第1章 1.3 习题课 导数与函数的单调性的综合问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1章 <<< 习题课　导数与函数的单 调性的综合问题 1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系. 2.能求简单的含参函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围. 学习目标 一、含参函数的单调性 二、由单调性求参数的取值范围 课时对点练 内容索引 随堂演练 含参函数的单调性 一 讨论函数f(x)=ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性. 例 1 5 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=ax+1-=. ①当a=0时,f'(x)=, 由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 6 ②当a>0时,f'(x)=, ∵a>0,∴>0. 由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 7 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点. 反 思 感 悟 8 　已知函数f(x)=aln x+x,讨论f(x)的单调性. 跟踪训练 1 9 ∵f(x)=aln x+x(x>0), ∴f'(x)=+1=(x>0), ①当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当a<0时,令f'(x)>0,则x∈(-a,+∞), 令f'(x)<0,则x∈(0,-a), ∴f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减. 综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减. 10 二 由单调性求参数的取值范围 对于函数f(x)=x3,我们发现,它的导函数f'(x)=3x2并没有恒大于0,当x=0时,有f'(0)=0,这是否会影响该函数的单调性? 问题1 提示　在x=0的左右两侧,都有f'(x)>0,且该函数在x=0处连续,故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有有限个等于0的点,不影响函数的单调性,其实即便是有无数个不连续的点使得f'(x)=0,也不会影响函数的单调性,比如f(x)=x-sin x,它的导函数f'(x)=1-cos x≥0恒成立,当且仅当x=2kπ,k∈Z时,f'(x)=0,但这并不影响函数f(x)=x-sin x在R上单调递增. 对于函数y=f(x),f'(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗? 问题2 提示　不是,因为这里的“≥”有两层含义,大于或等于,对于这个复合命题而言,只要大于或等于这两个条件有一个成立,它就是真命题,如果f'(x)≥0成立的条件是f'(x)=0,即该函数无单调递增区间. 在某区间I上,若f'(x)>0⇒函数f(x)在I上 ;在某区间I上,若f'(x)<0⇒函数f(x)在I上 . 若函数f(x)在I上单调递增⇒ ;若函数f(x)在I上单调递减⇒ . 单调递增 单调递减 f'(x)≥0 f'(x)≤0 知识梳理 (1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题.(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max.m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.(3)需要对等号进行单独验证. 注 意 点 <<< 15 已知函数f(x)=x3-ax,若函数f(x)是R上的增函数,求实数a的取值范围. 例 2 f'(x)=x2-a,因为f(x)是R上的增函数,故f'(x)=x2-a≥0在R上恒成立, 即a≤(x2)min,所以a≤0. 16 1.本例函数不变,若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的最大值. 由题意,得f'(x)=x2-a在有f'(x)=x2-a≥0恒成立,即a≤x2恒成立,即a≤1,故实数a的最大值是1. 延伸探究 17 2.本例函数不变,若函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 由题意,得f'(x)=x2-a在(2,+∞)上有f'(x)=x2-a≥0恒成立, 即a≤x2恒成立,即a≤4. 18 (1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f'(x)不恒等于0的参数的范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 反 思 感 悟 19 (1)函数f(x)=x3+x2+mx+2是R上的单调函数,则m的取值范围是 A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 跟踪训练 2 √ 因为函数f(x)=x3+x2+mx+2是R上的单调函数,所以f'(x)=x2+2x+m≥0或f'(x)=x2+2x+m≤0(舍)在R上恒成立, 所以Δ=4-4m≤0,解得m≥1. 20 (2)若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是 A.(-∞,-3]∪[-1,1]∪[3,+∞) B.(-3,-1)∪(1,3) C.(-2,2) D.不存在这样的实数k √ 由题意得,f'(x)=3x2-12=0在区间(k-1,k+1)上至少有一个实数根. 又f'(x)=3x2-12=0的根为±2,且f'(x)在x=2或-2两侧导数异号,而区间(k-1,k+1)的区间长度为2, 故只有2或-2在区间(k-1,k+1)内, ∴k-1<2<k+1或k-1<-2<k+1, 解得1<k<3或-3<k<-1. 21 1.知识清单： (1)求含参函数的单调性. (2)由单调性求参数的取值范围. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论. 课堂小结 随堂演练 三 ∵f'(x)=3ax2-1≤0恒成立, ∴a≤0. 1 2 3 4 1.若函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则 A.a≤0 B.a<1 C.a<2 D.a≤ √ 1 2 3 4 2.若函数f(x)=-cos x+ax为增函数,则实数a的取值范围是 A.[-1,+∞) B.[1,+∞) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 由题意可知,f'(x)=sin x+a≥0恒成立,故a≥-sin x恒成立,因为-1≤-sin x≤1,所以a≥1.经检验,当a≥1时,函数f(x)为增函数. √ 若函数f(x)有3个单调区间, 则f'(x)=4x2-4ax-(a-2)有2个零点, 故Δ=16a2+16(a-2)>0, 解得a<-2或a>1. 3.若函数f(x)=x3-2ax2-(a-2)x+5恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为 A.-1≤a≤2 B.-2≤a≤1 C.a<-1或a>2 D.a<-2或a>1 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 4.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上单调递减,则b的取值范围是　　　　. (-∞,-1] ∵f(x)在(-1,+∞)上单调递减, ∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立. ∵f'(x)=-x+, ∴-x+≤0在(-1,+∞)上恒成立, 即b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立. 设g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1, 则当x>-1时,b≤g(x)min, ∵g(x)>-1,∴b≤-1. 1 2 3 4 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是 A.(e+1,+∞) B.(e-1,+∞) C.[e+1,+∞) D.[e-1,+∞) 因为f(x)=ex-(a-1)x+1在[0,1]上单调递减,所以f'(x)=ex-(a-1)≤0在[0,1]上恒成立,即a≥ex+1在[0,1]上恒成立,又函数g(x)=ex+1在[0,1]上单调递增,所以g(x)≤e+1,故a≥e+1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上单调递减,函数g(x)=x2-aln x在(1,2)上单调递增,则a等于 A.1 B.2 C.0 D. ∵函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上单调递减,∴≥1,得a≥2;∵g'(x)=2x-,依题意,得g'(x)≥0在(1,2)上恒成立,即2x2≥a在(1,2)上恒成立,∴a≤2,∴a=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是 A.k> B.k<- C.-<k< D.1≤k< √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=4x-==. 由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得0<x<, ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增. 若f(x)在(k-1,k+1)上不是单调函数, 则解得1≤k<. 4.(多选)函数f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)的大致图象可能为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)的定义域为R, f'(x)=3x2+2ax+2.当Δ=(2a)2-4×3×2≤0,即-≤a≤时, f'(x)≥0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增,故C正确; 当Δ=(2a)2-4×3×2>0,即 a<-或 a>时, 设方程 3x2+2ax+2=0的两根为x1,x2, 且x1=,x2=, 由x1x2=>0,可知x1,x2同号, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令f'(x)<0,得x1<x<x2;令f'(x)>0,得x<x1或x>x2, 所以f(x)在区间 (-∞,x1)上单调递增,在区间(x1,x2)上单调递减,在区间(x2,+∞)上单调递增, 故A,B正确, D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.若函数f(x)=(x2-cx+5)ex在区间上单调递增,则实数c的取值范围是 A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.(-∞,8] D.[-2,4] √ 易得f'(x)=[x2+(2-c)x-c+5]ex. ∵函数f(x)在区间上单调递增,等价于x2+(2-c)x-c+5≥0对任意x∈恒成立, ∴c≤对任意x∈恒成立. ∵x∈,∴=x+1+≥4, 当且仅当x=1时等号成立,∴c≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)函数f(x)=ax2-x+2ln x单调递增的必要而不充分条件有 A.a≥2 B.a=2 C.a≥1 D.a>2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由函数f(x)=ax2-x+2ln x在区间上单调递增, 得f'(x)=ax-+=≥0在区间上恒成立, 即ax2-x+2≥0在区间上恒成立, ①当a=0时,-2x+2≥0⇒x≤1,不满足题意; ②当a<0时,ax2-x+2=a≥0, 又<0, 即≤0⇒0<x≤1,不满足题意; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ③当a>0时,ax2-x+2=a≥0, 又>0,若ax2-x+2≥0在区间上恒成立, 则Δ=-8a=≤0⇒a=2; 当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 综上,函数f(x)=ax2-x+2ln x单调递增的必要而不充分条件可以是a≥2或a≥1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.函数f(x)=x3-(2a+1)x2+(a2+a)x+4的单调递减区间是　　　　. f'(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=[x-(a+1)](x-a), 令f'(x)<0,得a<x<a+1, 故f(x)的单调递减区间是(a,a+1). (a,a+1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知函数f(x)=x3-12x,若f(x)在区间(2m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是　　　　. 令f'(x)≤0,即3x2-12≤0, 解得-2≤x≤2. ∴f(x)的单调递减区间为[-2,2], 由题意得(2m,m+1)⊆[-2,2], ∴解得-1≤m<1. [-1,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.设函数f(x)=x2+ax-3a2ln x,其中a∈R.讨论f(x)的单调性. f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x+a-==, 令f'(x)=0,解得x=a或x=-a, ①若a=0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a<0,则当0<x<-a时,f'(x)<0,当x>-a时,f'(x)>0, 所以f(x)在上单调递减,在上单调递增; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ③若a>0,则当0<x<a时,f'(x)<0,当x>a时,f'(x)>0, 所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 综上所述,当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增; 当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当a=-时, f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1), f'(x)=-x+=-(x>-1). 当f'(x)>0时,解得-1<x<1; 当f'(x)<0时,解得x>1. 故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1). (1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围. 因为函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减, 所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立, 即a≤-对任意x∈[1,+∞)恒成立. 令g(x)=-,x∈[1,+∞), 易求得在区间[1,+∞)上,g'(x)>0, 故g(x)在区间[1,+∞)上单调递增, 故g(x)min=g(1)=-,故a≤-. 即实数a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第一章 <<< $$ 习题课　导数与函数的单调性的综合问题 [学习目标]　1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.2.能求简单的含参函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围. 一、含参函数的单调性 例1　讨论函数f(x)=ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性. 解　函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=ax+1-=. ①当a=0时,f'(x)=, 由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ②当a>0时,f'(x)=, ∵a>0,∴>0. 由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 反思感悟　(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点. 跟踪训练1　已知函数f(x)=aln x+x,讨论f(x)的单调性. 解　∵f(x)=aln x+x(x>0), ∴f'(x)=+1=(x>0), ①当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当a<0时,令f'(x)>0,则x∈(-a,+∞), 令f'(x)<0,则x∈(0,-a), ∴f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减. 综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减. 二、由单调性求参数的取值范围 问题1　对于函数f(x)=x3,我们发现,它的导函数f'(x)=3x2并没有恒大于0,当x=0时,有f'(0)=0,这是否会影响该函数的单调性? 提示　在x=0的左右两侧,都有f'(x)>0,且该函数在x=0处连续,故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有有限个等于0的点,不影响函数的单调性,其实即便是有无数个不连续的点使得f'(x)=0,也不会影响函数的单调性,比如f(x)=x-sin x,它的导函数f'(x)=1-cos x≥0恒成立,当且仅当x=2kπ,k∈Z时,f'(x)=0,但这并不影响函数f(x)=x-sin x在R上单调递增. 问题2　对于函数y=f(x),f'(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗? 提示　不是,因为这里的“≥”有两层含义,大于或等于,对于这个复合命题而言,只要大于或等于这两个条件有一个成立,它就是真命题,如果f'(x)≥0成立的条件是f'(x)=0,即该函数无单调递增区间. 知识梳理 在某区间I上,若f'(x)>0⇒函数f(x)在I上单调递增;在某区间I上,若f'(x)<0⇒函数f(x)在I上单调递减. 若函数f(x)在I上单调递增⇒f'(x)≥0;若函数f(x)在I上单调递减⇒f'(x)≤0. 注意点: (1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题.(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max.m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.(3)需要对等号进行单独验证. 例2　已知函数f(x)=x3-ax,若函数f(x)是R上的增函数,求实数a的取值范围. 解　f'(x)=x2-a,因为f(x)是R上的增函数,故f'(x)=x2-a≥0在R上恒成立, 即a≤(x2)min,所以a≤0. 延伸探究　 1.本例函数不变,若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的最大值. 解　由题意,得f'(x)=x2-a在有f'(x)=x2-a≥0恒成立,即a≤x2恒成立,即a≤1,故实数a的最大值是1. 2.本例函数不变,若函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 解　由题意,得f'(x)=x2-a在(2,+∞)上有f'(x)=x2-a≥0恒成立, 即a≤x2恒成立,即a≤4. 反思感悟　(1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f'(x)不恒等于0的参数的范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 跟踪训练2　(1)函数f(x)=x3+x2+mx+2是R上的单调函数,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 答案　D 解析　因为函数f(x)=x3+x2+mx+2是R上的单调函数,所以f'(x)=x2+2x+m≥0或f'(x)=x2+2x+m≤0(舍)在R上恒成立, 所以Δ=4-4m≤0,解得m≥1. (2)若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是(　　) A.(-∞,-3]∪[-1,1]∪[3,+∞) B.(-3,-1)∪(1,3) C.(-2,2) D.不存在这样的实数k 答案　B 解析　由题意得,f'(x)=3x2-12=0在区间(k-1,k+1)上至少有一个实数根. 又f'(x)=3x2-12=0的根为±2,且f'(x)在x=2或-2两侧导数异号,而区间(k-1,k+1)的区间长度为2, 故只有2或-2在区间(k-1,k+1)内, ∴k-1<2<k+1或k-1<-2<k+1, 解得1<k<3或-3<k<-1. 1.知识清单: (1)求含参函数的单调性. (2)由单调性求参数的取值范围. 2.方法归纳:分类讨论、数形结合. 3.常见误区:求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论. 1.若函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则(　　) A.a≤0 B.a<1 C.a<2 D.a≤ 答案　A 解析　∵f'(x)=3ax2-1≤0恒成立, ∴a≤0. 2.若函数f(x)=-cos x+ax为增函数,则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,+∞) B.[1,+∞) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 答案　B 解析　由题意可知,f'(x)=sin x+a≥0恒成立,故a≥-sin x恒成立,因为-1≤-sin x≤1,所以a≥1.经检验,当a≥1时,函数f(x)为增函数. 3.若函数f(x)=x3-2ax2-(a-2)x+5恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为(　　) A.-1≤a≤2 B.-2≤a≤1 C.a<-1或a>2 D.a<-2或a>1 答案　D 解析　若函数f(x)有3个单调区间, 则f'(x)=4x2-4ax-(a-2)有2个零点, 故Δ=16a2+16(a-2)>0, 解得a<-2或a>1. 4.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上单调递减,则b的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,-1] 解析　∵f(x)在(-1,+∞)上单调递减, ∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立. ∵f'(x)=-x+, ∴-x+≤0在(-1,+∞)上恒成立, 即b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立. 设g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1, 则当x>-1时,b≤g(x)min, ∵g(x)>-1,∴b≤-1. 课时对点练　[分值:65分] 单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分 1.若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(e+1,+∞) B.(e-1,+∞) C.[e+1,+∞) D.[e-1,+∞) 答案　C 解析　因为f(x)=ex-(a-1)x+1在[0,1]上单调递减,所以f'(x)=ex-(a-1)≤0在[0,1]上恒成立,即a≥ex+1在[0,1]上恒成立,又函数g(x)=ex+1在[0,1]上单调递增,所以g(x)≤e+1,故a≥e+1. 2.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上单调递减,函数g(x)=x2-aln x在(1,2)上单调递增,则a等于(　　) A.1 B.2 C.0 D. 答案　B 解析　∵函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上单调递减,∴≥1,得a≥2;∵g'(x)=2x-,依题意,得g'(x)≥0在(1,2)上恒成立,即2x2≥a在(1,2)上恒成立,∴a≤2,∴a=2. 3.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是(　　) A.k> B.k<- C.-<k< D.1≤k< 答案　D 解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=4x-==. 由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得0<x<, ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增. 若f(x)在(k-1,k+1)上不是单调函数, 则解得1≤k<. 4.(多选)函数f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)的大致图象可能为(　　) 答案　ABC 解析　因为 f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)的定义域为R, f'(x)=3x2+2ax+2.当Δ=(2a)2-4×3×2≤0,即-≤a≤时, f'(x)≥0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增,故C正确; 当Δ=(2a)2-4×3×2>0,即 a<-或 a>时, 设方程 3x2+2ax+2=0的两根为x1,x2, 且x1=,x2=, 由x1x2=>0,可知x1,x2同号, 令f'(x)<0,得x1<x<x2;令f'(x)>0,得x<x1或x>x2, 所以f(x)在区间 (-∞,x1)上单调递增,在区间(x1,x2)上单调递减,在区间(x2,+∞)上单调递增, 故A,B正确, D错误. 5.若函数f(x)=(x2-cx+5)ex在区间上单调递增,则实数c的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.(-∞,8] D.[-2,4] 答案　B 解析　易得f'(x)=[x2+(2-c)x-c+5]ex. ∵函数f(x)在区间上单调递增,等价于x2+(2-c)x-c+5≥0对任意x∈恒成立, ∴c≤对任意x∈恒成立. ∵x∈,∴=x+1+≥4, 当且仅当x=1时等号成立,∴c≤4. 6.(多选)函数f(x)=ax2-x+2ln x单调递增的必要而不充分条件有(　　) A.a≥2 B.a=2 C.a≥1 D.a>2 答案　AC 解析　由函数f(x)=ax2-x+2ln x在区间上单调递增, 得f'(x)=ax-+=≥0在区间上恒成立, 即ax2-x+2≥0在区间上恒成立, ①当a=0时,-2x+2≥0⇒x≤1,不满足题意; ②当a<0时,ax2-x+2 =a≥0, 又<0, 即≤0⇒0<x≤1,不满足题意; ③当a>0时,ax2-x+2 =a≥0, 又>0,若ax2-x+2≥0在区间上恒成立, 则Δ=-8a=≤0⇒a=2; 当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 综上,函数f(x)=ax2-x+2ln x单调递增的必要而不充分条件可以是a≥2或a≥1. 7.(5分)函数f(x)=x3-(2a+1)x2+(a2+a)x+4的单调递减区间是　　　　　　.  答案　(a,a+1) 解析　f'(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=[x-(a+1)](x-a), 令f'(x)<0,得a<x<a+1, 故f(x)的单调递减区间是(a,a+1). 8.(5分)已知函数f(x)=x3-12x,若f(x)在区间(2m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　[-1,1) 解析　令f'(x)≤0,即3x2-12≤0, 解得-2≤x≤2. ∴f(x)的单调递减区间为[-2,2], 由题意得(2m,m+1)⊆[-2,2], ∴解得-1≤m<1. 9.(11分)设函数f(x)=x2+ax-3a2ln x,其中a∈R.讨论f(x)的单调性. 解　f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x+a-==, 令f'(x)=0,解得x=a或x=-a, ①若a=0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a<0,则当0<x<-a时,f'(x)<0,当x>-a时,f'(x)>0, 所以f(x)在上单调递减,在上单调递增; ③若a>0,则当0<x<a时,f'(x)<0,当x>a时,f'(x)>0, 所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 综上所述,当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增; 当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 10.(12分)已知函数f(x)=ax2+ln(x+1). (1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间;(6分) (2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)当a=-时, f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1), f'(x)=-x+=-(x>-1). 当f'(x)>0时,解得-1<x<1; 当f'(x)<0时,解得x>1. 故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞). (2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减, 所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立, 即a≤-对任意x∈[1,+∞)恒成立. 令g(x)=-,x∈[1,+∞), 易求得在区间[1,+∞)上,g'(x)>0, 故g(x)在区间[1,+∞)上单调递增, 故g(x)min=g(1)=-,故a≤-. 即实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$