第1章 1.3 培优课 与ex,ln x有关的常用不等式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1章 <<< 培优课　与ex,ln x有关的 常用不等式 一、经典不等式ex≥x+1 二、经典不等式ln x≤x-1 课时对点练 三、与ex和ln x有关的不等式 随堂演练 内容索引 经典不等式ex≥x+1 一 证明不等式ex≥x+1. 例 1 设f(x)=ex-x-1, 则f'(x)=ex-1,由f'(x)=0,得x=0, 所以当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,即ex-x-1≥0,所以ex≥x+1. 4 (1)ex≥1+x(x∈R). (2)ex≥ex(x∈R). 与ex有关的常用不等式 反 思 感 悟 5 　求证：ex-1≥x. 跟踪训练 1 方法一　令H(x)=ex-1-x, 则H'(x)=ex-1-1. 若x<1,则H'(x)<0,H(x)在(-∞,1)上单调递减; 若x>1,则H'(x)>0,H(x)在(1,+∞)上单调递增. ∴H(x)min=H(1)=0,∴H(x)≥0,∴ex-1≥x. 方法二　令t=x-1,则x=t+1.由et≥t+1,得ex-1≥x. 6 二 经典不等式ln x≤x-1 由题意知x>0,令f(x)=x-1-ln x, 所以f'(x)=1-=, 所以当f'(x)>0时,x>1; 当f'(x)<0时,0<x<1, 故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)有最小值f(1)=0, 故有f(x)=x-1-ln x≥f(1)=0, 即ln x≤x-1成立. 证明不等式ln x≤x-1. 例 2 8 1.证明不等式ln(x+1)≤x. 延伸探究 由题意知x>-1,令f(x)=ln(x+1)-x,所以f'(x)=-1=, 所以当f'(x)>0时,-1<x<0; 当f'(x)<0时,x>0,故f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)有最大值f(0)=0, 故有f(x)=ln(x+1)-x≤f(0)=0, 即ln(x+1)≤x成立. 9 2.已知x>0,求证：<ln(1+x). 10 方法一　构造函数g(x)=ln(1+x)-,则g(0)=0. 当x>0时,g'(x)=-=>0. 即当x>0时,函数g(x)单调递增. 即g(x)>g(0)=0.故g(x)=ln(1+x)->0, 即<ln(1+x). 11 方法二　∵ln x≤x-1,且当x=1时等号成立. ∴ln <-1(x>0), 即ln <, ∴<ln(x+1). 12 (1)≤ln x≤x-1(x>0,当且仅当x=1时,等号成立). (2)ln x≤(x>0,当且仅当x=e时,等号成立). (3)ln x≤(0<x≤1,当且仅当x=1时,等号成立). (4)ln x≥(x≥1,当且仅当x=1时,等号成立). (5)ln x≥(0<x≤1,当且仅当x=1时,等号成立). (6)ln x≤(x≥1,当且仅当x=1时,等号成立). 与ln x有关的常用不等式 反 思 感 悟 13 　设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; 跟踪训练 2 由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 14 由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0. 所以当x≠1时,ln x<x-1. 故当x∈(1,+∞)时, ln x<x-1,ln <-1,即1<<x. (2)证明：当x∈(1,+∞)时,1<<x. 15 与ex和ln x有关的不等式 三 已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; 例 3 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=aex-. 由题设知,f'(2)=0,所以a=. 从而f(x)=ex-ln x-1,f'(x)=ex-. 当0<x<2时,f'(x)<0; 当x>2时,f'(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2). 17 当a≥时,f(x)≥-ln x-1. 设g(x)=-ln x-1(x∈(0,+∞)), 则g'(x)=-. 当0<x<1时,g'(x)<0; 当x>1时,g'(x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当a≥时,f(x)≥0. (2)证明：当a≥时,f(x)≥0. 18 ex>x+1>x>x-1≥ln x,常用该不等式通过放缩证明一些问题. 与ex和ln x(x>0)有关的不等式之间的关系 反 思 感 悟 19 　已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R). (1)求函数y=f(x)的单调区间; 跟踪训练 3 函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x-(a-2)-=, 当a≤0时,f'(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立, ∴函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,由f'(x)>0得x>, 由f'(x)<0,得0<x<, ∴函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. 20 (2)当a=1时,证明：对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2. 21 当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,要证明f(x)+ex>x2+x+2, 只需证明ex-ln x-2 >0, 先证明当x>0时,ex>x+1, 令g(x)=ex-x-1(x>0), 则g'(x)=ex-1,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴当x>0时,g(x)>g(0)=0,即ex>x+1, ∴ex-ln x-2>x+1-ln x-2=x-ln x-1. 22 ∴只要证明x-ln x-1≥0(x>0), 令h(x)=x-ln x-1(x>0), 则h'(x)=1-=(x>0),易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴h(x)≥h(1)=0,即x-ln x-1≥0成立, ∴f(x)+ex>x2+x+2成立. 23 1.知识清单： (1)常见的几种经典不等式. (2)一般不等式的证明方法. 2.方法归纳：构造法、转化法、分类讨论. 3.常见误区：在证明不等式的转化过程中未做到等价转化. 课堂小结 随堂演练 四 设f(x)=,x>0,则f'(x)=, 所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,即有f(6)<f(4)<f(3),所以<=<,故c<a<b. 1.若a=,b=,c=,则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c √ 1 2 3 4 2.已知m,n都是正整数,且em+ln n<m+n,则 A.n>em B.m>em C.n<em D.m>en 由m,n都是正整数,得m≥1,n≥1,ln n≥0, 由em+ln n<m+n得em-m<n-ln n=eln n-ln n. 令f(x)=ex-x(x≥0),则f(m)<f(ln n), ∵f'(x)=ex-1在[0,+∞)上单调递增, f'(0)=0,∴f'(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴m<ln n,∴em<n. √ 1 2 3 4 1 2 3 4 3.(多选)已知a>b>0,ab=ba,下列结论正确的是 A.b<e B.b>e C.任意a,b满足a·b<e2 D.存在a,b满足a·b>e2 √ √ 由ab=ba两边取对数得bln a=aln b⇒=.对于y=,由图象易知当b<e<a时,才可能满足题意.故A正确,B错误; 另外,由ab=ba,令a=4,b=2,则a>e,b<e,ab=8>e2,故D正确,C错误. 1 2 3 4 欲使函数的值域为R,只需ex-x+a能取遍所有正数,即最小值小于等于0. 令f(x)=ex-x+a, ∵ex≥x+1,∴ex-x+a≥1+a, ∴f(x)min=1+a≤0, ∴a≤-1. 1 2 3 4 4.若函数y=ln(ex-x+a)的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　. (-∞,-1] 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.“x>1”是“ln x>”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 不等式ln x>等价于ln x-1+>0, 令f(x)=ln x-1+, 则f'(x)=-=, 当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0, 所以当x=1时, f(x)取得最小值f=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以当x>1时,f(x)>0,ln x>, 而当ln x>时,x>0且x≠1, 所以“x>1”是“ln x>”的充分而不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.已知在△ABC中,<A<B<C<,f(x)=cos x·ex,则下列结论一定成立的是 A.f(A)>f(B)>f(C) B.f(A)<f(B)<f(C) C.f(A)>f(C)>f(B) D.f(B)<f(A)<f(C) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f'(x)=ex+cos xex=ex, 当<x<时,cos x-sin x<0, 即f'(x)<0,f(x)在上单调递减, 又<A<B<C<, ∴f>f>f. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.以下不等式不成立的是 A.x>sin x,x∈ B.x-1≥ln x,x∈(0,+∞) C.ln x≤(x>0) D.ln x+1-ex>0,x∈(0,+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于A,令f(x)=x-sin x,x∈,由f'(x)=1-cos x>0,则f(x)在上单调递增,则f(x)>f(0)=0⇒x-sin x>0⇒x>sin x,不等式成立; 对于B,令f(x)=x-1-ln x,x∈(0,+∞),则f'(x)=1-=,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)≥f(1)=0⇒x-1-ln x≥0 ⇒x-1≥ln x,不等式成立; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于C,令f(x)=ln x-,x>0,则f'(x)=-=,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)≤f(e)=0⇒ln x≤(x>0),不等式成立; 对于D,令f(x)=ln x+1-ex,x∈(0,+∞), 当x=1时,f(1)=1-e<0,所以不等式不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 令2x=3y=5z=t(t>1),两边取对数得x=log2t=,y=log3t=,z=log5t=,从而2x=ln t,3y=ln t,5z=ln t.由t>1知,要比较三者大小,只需比较,,的大小.又=,e<3<4<5,由y=在(e,+∞)上单调递减可知,>>,从而<<,所以3y<2x<5z,故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.(多选)已知函数f(x)=ex,若f=f,且x1<x2,关于下列命题,其中正确的有 A.f>f B.f>f C.f>f D.f>f √ √ f'(x)=,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.又f(0)=1,f(1)=0,当x<0时,f(x)>0,所以x1<0<x2<1,即x轴是函数的渐近线,画出草图如下. 设A(x1,y1),B(x2,y2).由图可知f(x1)=f(x2)<f(-x2),AD错; f(x2)=f(x1)>f(-x1),BC对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)下列命题中正确的有 A.ln 5<ln 2 B.ln π> C.<11 D.3eln 2>4 √ √ 构造函数f(x)=,则f'(x)=,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 对于A,ln 5<ln 2⇒2ln<ln 2⇒<,又2<<e,故错误; 对于B,ln π>⇒2ln>⇒>=,又e>>,故正确; 对于C,<11⇒ln 2<ln 11=2ln⇒=<,又4>>e,故正确; 对于D,3eln 2>4⇒2eln >2×⇒>,显然错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.(多选)下列不等式中恒成立的有 A.ln≥x-x2 B.ln x>,x∈(0,1) C.ex≤1+x+x2 D.cos x≥1-x2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A选项,令f(x)=ln(x+1)-x+x2,x>-1, 则f'(x)=-1+=,x>-1, 当0<x<3时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,3)上单调递减, 又f(0)=0,∴f(3)<f(0)=0,故A错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B选项,令f(x)=ln x-,x∈(0,1), 则f'(x)=-==-≤0显然恒成立, 所以f(x)=ln x-在(0,1)上单调递减, 又f=0,所以当x∈时,f(x)>f=0,即ln x>,故B正确; C选项,当x=3时,e3>1+3+32,此时ex>1+x+x2,故C错; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D选项,令f(x)=cos x-1+x2, 则f'(x)=-sin x+x, 令h(x)=f'(x)=-sin x+x, 则h'(x)=-cos x+1≥0恒成立, 即函数f'(x)=-sin x+x单调递增, 又f'=0, 所以当x>0时,f'(x)>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即f(x)=cos x-1+x2单调递增; 当x<0时,f'(x)<0, 即f(x)=cos x-1+x2单调递减, 所以f(x)min=f=0, 因此cos x≥1-x2恒成立,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知函数f(x)=kx2-ln x,若f(x)>0在函数定义域内恒成立,则k的取值范围是 　　 　　. 由题意得f(x)>0在函数定义域内恒成立,即kx2-ln x>0在函数定义域内恒成立,即k>在函数定义域内恒成立,设g(x)=,则g'(x)== ,当x∈(0,)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,所以当x=时,函数g(x)取得最大值,此时最大值为g()=,所以实数k的取值范围是. 9.已知函数f(x)=ex-ln(x+2),求证：f(x)>0. 令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,令g'(x)=0,得x=0,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴g(x)≥g(0)=0,即ex-x-1≥0, ∴ex≥x+1(当且仅当x=0时,等号成立). ① 令h(x)=x+1-ln(x+2),则h'(x)=1-=(x>-2),易知h(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(-1)=0,即x+1-ln(x+2)≥0,即x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时,等号成立). ② ∵①和②中的等号不能同时成立,∴由①和②得ex>ln(x+2),即f(x)>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意得,g(x)=x-f(x)=x-aln x-1, 其定义域为(0,+∞),g'(x)=1-=, 当a≤0时,g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,易得函数g(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知函数f(x)=aln x+1(a∈R). (1)若g(x)=x-f(x),讨论函数g(x)的单调性; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)若t(x)=x2+x,h(x)=ex-1(其中e是自然对数的底数),且a=1,x∈(0,+∞),求证：h(x)>t(x)>f(x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设u(x)=h(x)-t(x)=ex-1-x2-x,则u'(x)=ex-x-1, 设m(x)=u'(x)=ex-x-1, 则m'(x)=ex-1, 当x>0时,m'(x)>0恒成立, 则m(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴m(x)>m(0)=0, 则u(x)在(0,+∞)上单调递增, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴u(x)>u(0)=0, ∴h(x)-t(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 即h(x)>t(x). 当a=1时,设v(x)=t(x)-x=x2, ∵当x>0时,v(x)>0,即t(x)>x. 设s(x)=x-ln x-1,则s'(x)=1-=. 易得s(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴s(x)≥s(1)=0, ∴x≥ln x+1=f(x) ∴t(x)>x≥f(x),即t(x)>f(x), 综上所述,h(x)>t(x)>f(x). 第一章 <<< $$ 培优课　与ex,ln x有关的常用不等式 一、经典不等式ex≥x+1 例1　证明不等式ex≥x+1. 证明　设f(x)=ex-x-1, 则f'(x)=ex-1,由f'(x)=0,得x=0, 所以当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,即ex-x-1≥0,所以ex≥x+1. 反思感悟　与ex有关的常用不等式 (1)ex≥1+x(x∈R). (2)ex≥ex(x∈R). 跟踪训练1　求证:ex-1≥x. 证明　方法一　令H(x)=ex-1-x, 则H'(x)=ex-1-1. 若x<1,则H'(x)<0,H(x)在(-∞,1)上单调递减; 若x>1,则H'(x)>0,H(x)在(1,+∞)上单调递增. ∴H(x)min=H(1)=0,∴H(x)≥0,∴ex-1≥x. 方法二　令t=x-1,则x=t+1.由et≥t+1,得ex-1≥x. 二、经典不等式ln x≤x-1 例2　证明不等式ln x≤x-1. 证明　由题意知x>0,令f(x)=x-1-ln x, 所以f'(x)=1-=, 所以当f'(x)>0时,x>1; 当f'(x)<0时,0<x<1, 故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)有最小值f(1)=0, 故有f(x)=x-1-ln x≥f(1)=0, 即ln x≤x-1成立. 延伸探究　 1.证明不等式ln(x+1)≤x. 证明　由题意知x>-1,令f(x)=ln(x+1)-x,所以f'(x)=-1=, 所以当f'(x)>0时,-1<x<0; 当f'(x)<0时,x>0,故f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)有最大值f(0)=0, 故有f(x)=ln(x+1)-x≤f(0)=0, 即ln(x+1)≤x成立. 2.已知x>0,求证:<ln(1+x). 证明　方法一　构造函数g(x)=ln(1+x)-,则g(0)=0. 当x>0时,g'(x)=- =>0. 即当x>0时,函数g(x)单调递增. 即g(x)>g(0)=0.故g(x)=ln(1+x)->0, 即<ln(1+x). 方法二　∵ln x≤x-1,且当x=1时等号成立. ∴ln <-1(x>0), 即ln <, ∴<ln(x+1). 反思感悟　与ln x有关的常用不等式 (1)≤ln x≤x-1(x>0,当且仅当x=1时,等号成立). (2)ln x≤(x>0,当且仅当x=e时,等号成立). (3)ln x≤(0<x≤1,当且仅当x=1时,等号成立). (4)ln x≥(x≥1,当且仅当x=1时,等号成立). (5)ln x≥(0<x≤1,当且仅当x=1时,等号成立). (6)ln x≤(x≥1,当且仅当x=1时,等号成立). 跟踪训练2　设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当x∈(1,+∞)时,1<<x. (1)解　由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减. (2)证明　由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0. 所以当x≠1时,ln x<x-1. 故当x∈(1,+∞)时, ln x<x-1,ln <-1,即1<<x. 三、与ex和ln x有关的不等式 例3　已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a≥时,f(x)≥0. (1)解　f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=aex-. 由题设知,f'(2)=0,所以a=. 从而f(x)=ex-ln x-1,f'(x)=ex-. 当0<x<2时,f'(x)<0; 当x>2时,f'(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2). (2)证明　当a≥时,f(x)≥-ln x-1. 设g(x)=-ln x-1(x∈(0,+∞)), 则g'(x)=-. 当0<x<1时,g'(x)<0; 当x>1时,g'(x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当a≥时,f(x)≥0. 反思感悟　与ex和ln x(x>0)有关的不等式之间的关系 ex>x+1>x>x-1≥ln x,常用该不等式通过放缩证明一些问题. 跟踪训练3　已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R). (1)求函数y=f(x)的单调区间; (2)当a=1时,证明:对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2. (1)解　函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x-(a-2)-=, 当a≤0时,f'(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立, ∴函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,由f'(x)>0得x>, 由f'(x)<0,得0<x<, ∴函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. (2)证明　当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,要证明f(x)+ex>x2+x+2, 只需证明ex-ln x-2 >0, 先证明当x>0时,ex>x+1, 令g(x)=ex-x-1(x>0), 则g'(x)=ex-1,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴当x>0时,g(x)>g(0)=0,即ex>x+1, ∴ex-ln x-2>x+1-ln x-2=x-ln x-1. ∴只要证明x-ln x-1≥0(x>0), 令h(x)=x-ln x-1(x>0), 则h'(x)=1-=(x>0),易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴h(x)≥h(1)=0,即x-ln x-1≥0成立, ∴f(x)+ex>x2+x+2成立. 1.知识清单: (1)常见的几种经典不等式. (2)一般不等式的证明方法. 2.方法归纳:构造法、转化法、分类讨论. 3.常见误区:在证明不等式的转化过程中未做到等价转化. 1.若a=,b=,c=,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 答案　C 解析　设f(x)=,x>0,则f'(x)=, 所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,即有f(6)<f(4)<f(3),所以<=<,故c<a<b. 2.已知m,n都是正整数,且em+ln n<m+n,则(　　) A.n>em B.m>em C.n<em D.m>en 答案　A 解析　由m,n都是正整数,得m≥1,n≥1,ln n≥0, 由em+ln n<m+n得em-m<n-ln n=eln n-ln n. 令f(x)=ex-x(x≥0),则f(m)<f(ln n), ∵f'(x)=ex-1在[0,+∞)上单调递增, f'(0)=0,∴f'(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴m<ln n,∴em<n. 3.(多选)已知a>b>0,ab=ba,下列结论正确的是(　　) A.b<e B.b>e C.任意a,b满足a·b<e2 D.存在a,b满足a·b>e2 答案　AD 解析　由ab=ba两边取对数得bln a=aln b⇒=.对于y=,由图象易知当b<e<a时,才可能满足题意.故A正确,B错误;另外,由ab=ba,令a=4,b=2,则a>e,b<e,ab=8>e2,故D正确,C错误. 4.若函数y=ln(ex-x+a)的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,-1] 解析　欲使函数的值域为R,只需ex-x+a能取遍所有正数,即最小值小于等于0. 令f(x)=ex-x+a, ∵ex≥x+1,∴ex-x+a≥1+a, ∴f(x)min=1+a≤0, ∴a≤-1. 课时对点练　[分值:65分] 单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共18分 1.“x>1”是“ln x>”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　不等式ln x>等价于ln x-1+>0, 令f(x)=ln x-1+, 则f'(x)=-=, 当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0, 所以当x=1时, f(x)取得最小值f=0, 所以当x>1时,f(x)>0,ln x>, 而当ln x>时,x>0且x≠1, 所以“x>1”是“ln x>”的充分而不必要条件. 2.已知在△ABC中,<A<B<C<,f(x)=cos x·ex,则下列结论一定成立的是(　　) A.f(A)>f(B)>f(C) B.f(A)<f(B)<f(C) C.f(A)>f(C)>f(B) D.f(B)<f(A)<f(C) 答案　A 解析　f'(x)=ex+cos xex=ex, 当<x<时,cos x-sin x<0, 即f'(x)<0,f(x)在上单调递减, 又<A<B<C<, ∴f>f>f. 故选A. 3.以下不等式不成立的是(　　) A.x>sin x,x∈ B.x-1≥ln x,x∈(0,+∞) C.ln x≤(x>0) D.ln x+1-ex>0,x∈(0,+∞) 答案　D 解析　对于A,令f(x)=x-sin x,x∈,由f'(x)=1-cos x>0,则f(x)在上单调递增,则f(x)>f(0)=0⇒x-sin x>0⇒x>sin x,不等式成立; 对于B,令f(x)=x-1-ln x,x∈(0,+∞),则f'(x)=1-=,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)≥f(1)=0⇒x-1-ln x≥0⇒x-1≥ln x,不等式成立; 对于C,令f(x)=ln x-,x>0,则f'(x)=-=,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)≤f(e)=0⇒ln x≤(x>0),不等式成立; 对于D,令f(x)=ln x+1-ex,x∈(0,+∞), 当x=1时,f(1)=1-e<0,所以不等式不成立. 4.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 答案　D 解析　令2x=3y=5z=t(t>1),两边取对数得x=log2t=,y=log3t=,z=log5t=,从而2x=ln t,3y=ln t,5z=ln t.由t>1知,要比较三者大小,只需比较,,的大小.又=,e<3<4<5,由y=在(e,+∞)上单调递减可知,>>,从而<<,所以3y<2x<5z,故选D. 5.(多选)已知函数f(x)=ex,若f=f,且x1<x2,关于下列命题,其中正确的有(　　) A.f>f B.f>f C.f>f D.f>f 答案　BC 解析　f'(x)=,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.又f(0)=1,f(1)=0,当x<0时,f(x)>0,所以x1<0<x2<1,即x轴是函数的渐近线,画出草图如下. 设A(x1,y1),B(x2,y2).由图可知f(x1)=f(x2)<f(-x2),AD错;f(x2)=f(x1)>f(-x1),BC对. 6.(多选)下列命题中正确的有(　　) A.ln 5<ln 2 B.ln π> C.<11 D.3eln 2>4 答案　BC 解析　构造函数f(x)=,则f'(x)=,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 对于A,ln 5<ln 2⇒2ln<ln 2⇒<, 又2<<e,故错误; 对于B,ln π>⇒2ln> ⇒>=, 又e>>,故正确; 对于C,<11⇒ln 2<ln 11=2ln⇒=<,又4>>e,故正确; 对于D,3eln 2>4⇒2eln >2×⇒>,显然错误. 7.(多选)下列不等式中恒成立的有(　　) A.ln≥x-x2 B.ln x>,x∈(0,1) C.ex≤1+x+x2 D.cos x≥1-x2 答案　BD 解析　A选项,令f(x)=ln(x+1)-x+x2,x>-1, 则f'(x)=-1+=,x>-1, 当0<x<3时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,3)上单调递减, 又f(0)=0,∴f(3)<f(0)=0,故A错误; B选项,令f(x)=ln x-,x∈(0,1), 则f'(x)=-==-≤0显然恒成立, 所以f(x)=ln x-在(0,1)上单调递减, 又f=0,所以当x∈时,f(x)>f=0,即ln x>,故B正确; C选项,当x=3时,e3>1+3+32,此时ex>1+x+x2,故C错; D选项,令f(x)=cos x-1+x2, 则f'(x)=-sin x+x, 令h(x)=f'(x)=-sin x+x, 则h'(x)=-cos x+1≥0恒成立, 即函数f'(x)=-sin x+x单调递增, 又f'=0, 所以当x>0时,f'(x)>0, 即f(x)=cos x-1+x2单调递增; 当x<0时,f'(x)<0, 即f(x)=cos x-1+x2单调递减, 所以f(x)min=f=0, 因此cos x≥1-x2恒成立,故D正确. 8.(5分)已知函数f(x)=kx2-ln x,若f(x)>0在函数定义域内恒成立,则k的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由题意得f(x)>0在函数定义域内恒成立,即kx2-ln x>0在函数定义域内恒成立,即k>在函数定义域内恒成立,设g(x)=,则g'(x)==,当x∈(0,)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,所以当x=时,函数g(x)取得最大值,此时最大值为g()=,所以实数k的取值范围是. 9.(10分)已知函数f(x)=ex-ln(x+2),求证:f(x)>0. 证明　令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,令g'(x)=0,得x=0,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴g(x)≥g(0)=0,即ex-x-1≥0, ∴ex≥x+1(当且仅当x=0时,等号成立). ① 令h(x)=x+1-ln(x+2),则h'(x)=1-=(x>-2),易知h(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(-1)=0,即x+1-ln(x+2)≥0,即x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时,等号成立). ② ∵①和②中的等号不能同时成立,∴由①和②得ex>ln(x+2),即f(x)>0. 10.(12分)已知函数f(x)=aln x+1(a∈R). (1)若g(x)=x-f(x),讨论函数g(x)的单调性;(5分) (2)若t(x)=x2+x,h(x)=ex-1(其中e是自然对数的底数),且a=1,x∈(0,+∞),求证:h(x)>t(x)>f(x).(7分) (1)解　由题意得,g(x)=x-f(x)=x-aln x-1, 其定义域为(0,+∞),g'(x)=1-=, 当a≤0时,g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,易得函数g(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. (2)证明　设u(x)=h(x)-t(x)=ex-1-x2-x,则u'(x)=ex-x-1, 设m(x)=u'(x)=ex-x-1, 则m'(x)=ex-1, 当x>0时,m'(x)>0恒成立, 则m(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴m(x)>m(0)=0, 则u(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴u(x)>u(0)=0, ∴h(x)-t(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 即h(x)>t(x). 当a=1时,设v(x)=t(x)-x=x2, ∵当x>0时,v(x)>0,即t(x)>x. 设s(x)=x-ln x-1,则s'(x)=1-=. 易得s(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴s(x)≥s(1)=0, ∴x≥ln x+1=f(x) ∴t(x)>x≥f(x),即t(x)>f(x), 综上所述,h(x)>t(x)>f(x). 学科网（北京）股份有限公司 $$