第1章 1.3 培优课 构造函数的应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

培优课　构造函数的应用 一、构造函数比较大小 例1　已知x>0,a=x,b=x-,c=ln(1+x),则(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a 答案　D 解析　令f(x)=a-c=x-ln(1+x),x>0, 则f'(x)=1->0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0,可得a>c. 令g(x)=c-b=ln(1+x)-x+,x>0, 则g'(x)=-1+x=>0, ∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)>g(0)=0,可得c>b. 综上可得,a>c>b. 反思感悟　(1)利用导数比较大小,有时需要利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小的问题. (2)比较大小时,需关注函数的性质,如奇偶性、对称性,进而把自变量转移到同一区间,再利用单调性比较即可. 跟踪训练1　若函数f(x)对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则(　　) A.3f(ln 5)>5f(ln 3) B.3f(ln 5)=5f(ln 3) C.3f(ln 5)<5f(ln 3) D.3f(ln 5)与5f(ln 3)的大小不确定 答案　A 解析　令g(x)=, 则g'(x)=, 因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x), 所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增. 又ln 3<ln 5,所以g(ln 3)<g(ln 5), 即<, 所以5f(ln 3)<3f(ln 5). 二、构造函数解不等式 角度1　利用f(x)与x构造 例2　已知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf'(x),则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(　　) A.(0,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(1,+∞) 答案　B 解析　构造函数g(x)=xf(x),x∈(0,+∞), 则g'(x)=f(x)+xf'(x)<0, 所以函数g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减. 又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1), 所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1), 即g(x+1)>g(x2-1),所以x+1<x2-1, 解得x>2或x<-1(舍). 所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2,+∞). 延伸探究　把本例中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)<xf'(x)”,解不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1). 解　设g(x)=, 则g'(x)=, ∵f(x)<xf'(x), ∴g'(x)>0, 故g(x)在(0,+∞)上单调递增, 由(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1),得>, 即g(2x+1)>g(x2+1), 所以解得0<x<2. 即不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)的解集为(0,2). 反思感悟　用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数,常见的有: (1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x). (2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x). (3)对于f'(x)>a,构造h(x)=f(x)-ax. (4)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x). (5)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=. 跟踪训练2　已知函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R).若存在x∈,使得f(x)>xf'(x)成立,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(,+∞) D.(3,+∞) 答案　C 解析　由f(x)>xf'(x)成立,可得'=<0. 构造函数g(x)==ln x+(x-a)2,则存在x∈,使得g'(x)=+2(x-a)<0成立, 即a>,又x+≥2=, 当且仅当x=,即x=时取等号,所以a>. 角度2　利用f(x)与ex构造 例3　已知f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且对于任意的x∈R,均有f(x)+f'(x)>0,则(　　) A.e-2 023f(-2 023)<f(0),e2 023f(2 023)>f(0) B.e-2 023f(-2 023)<f(0),e2 023f(2 023)<f(0) C.e-2 023f(-2 023)>f(0),e2 023f(2 023)>f(0) D.e-2 023f(-2 023)>f(0),e2 023f(2 023)<f(0) 答案　A 解析　构造函数h(x)=exf(x), 则h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0, 所以函数h(x)在R上单调递增, 故h(-2 023)<h(0), 即e-2 023f(-2 023)<e0f(0), 即e-2 023f(-2 023)<f(0). 同理,h(2 023)>h(0), 即e2 023f(2 023)>f(0). 延伸探究　把本例中的条件“f(x)+f'(x)>0”换为“f'(x)>f(x)”,比较e2 023f(-2 023)与f(0)的大小. 解　令g(x)=,则g'(x)=, 因为对任意的x∈R,都有f'(x)>f(x), 所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增, 所以g(-2 023)<g(0), 即<, 所以e2 023f(-2 023)<f(0). 反思感悟　f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=exf(x). (2)对于f'(x)>f(x),构造h(x)=. 跟踪训练3　(多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则(　　) A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 答案　AB 解析　构造函数g(x)=,则g'(x)=<0,所以g(x)在R上单调递减, 又ln 2>0,2>0, 所以g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即<,<, 所以f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0). 角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造 例4　(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断中正确的是(　　) A.f<f B.f>0 C.f>f D.f>f 答案　CD 解析　令g(x)=,x∈, 则g'(x)=, 因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0, 所以g'(x)=<0在上恒成立, 因此函数g(x)=在上单调递减, 又0<<<, 所以g>g,即>, 即f>f,故A错误; 又f(0)=0,所以g(0)==0, 所以g(x)=≤0在上恒成立, 因为ln ∈, 所以f<0,故B错误; 又0<<<,所以g>g, 所以>, 即f>f,故C正确; 又0<<<, 所以g>g,所以>, 即f>f,故D正确. 反思感悟　f(x)与sin x,cos x构造常见的形式 (1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0,构造函数h(x)=f(x)sin x. (2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0,构造函数h(x)=. (3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0,构造函数h(x)=f(x)cos x. (4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=. 跟踪训练4　已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　) A.f>-f B.f<-f C.f>2f D.f<f 答案　C 解析　由已知,得f(x)为奇函数,由函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x,得f'(x)sin x-f(x)cos x>0,即'>0, 所以y=在(0,π)上单调递增, 又因为y=为偶函数, 所以y=在(-π,0)上单调递减, 所以<,即f>2f,选项C成立; 同理把选项转化后知选项A,B,D均不成立. 三、构造函数证明不等式 例5　(1)已知函数f(x)=ex-e(ln x+1),求证:f(x)≥0恒成立; (2)当x>1时,求证:x2+ln x<x3. 证明　(1)由题意知f'(x)=ex-=,x>0, 设F(x)=xex-e,则F(x)在(0,+∞)上单调递增,且F=0. 当x∈时,F(x)<0, ∴f'(x)=<0,f(x)单调递减, 当x∈时,F(x)>0, ∴f'(x)=>0,f(x)单调递增. ∴f(x)的最小值为f(x)min=f=0, ∴f(x)≥0恒成立. (2)令f(x)=x3-x2-ln x, 则f'(x)=2x2-x-=, ∵x>1,∴x-1>0, 又2x2+x+1>0, ∴当x>1时,f'(x)>0, 即f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(1)=>0, 即x2+ln x<x3. 反思感悟　证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性或最值),可构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性,证明要证的不等式. 跟踪训练5　已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底数,求证:ab>ba. 证明　方法一　∵b>a>e, ∴要证ab>ba,只需证bln a>aln b. 设f(x)=xln a-aln x(x>a), 则f'(x)=ln a-. ∵x>a>e, ∴ln a>1,且<1, ∴f'(x)>0. ∴函数f(x)=xln a-aln x在(a,+∞)上单调递增. ∵b>a>e, ∴f(b)>f(a)=aln a-aln a=0, 即bln a-aln b>0, ∴bln a>aln b,即ab>ba. 方法二　∵b>a>e, ∴要证ab>ba,只需证bln a>aln b, 即>. 设f(x)=(x>e), 则f'(x)=. ∵x>e,∴f'(x)=>0, 故函数f(x)=在(e,+∞)上单调递增. 又b>a>e, ∴>,从而ab>ba. 课时对点练　[分值:65分] 单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共6分 1.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0,对任意的正数a,b,若a<b,则必有(　　) A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 答案　A 解析　设g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),则g'(x)=xf'(x)+f(x)≤0,∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递减或g(x)为常函数. ∵0<a<b,∴g(a)≥g(b),即af(a)≥bf(b). 2.已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)·,则下列判断一定正确的是(　　) A.f(1)<f(0) B.f(2)>e2f(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 答案　C 解析　构造函数F(x)=,则F'(x)==,又(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,则当x>1时,F'(x)>0,F(x)在(1,+∞)上单调递增,当x<1时,F'(x)<0,F(x)在(-∞,1)上单调递减.又由f(2-x)=f(x)·⇔F(2-x)=F(x)⇒F(x)的图象关于直线x=1对称,根据F(x)的单调性和图象(图略)可知选C. 3.已知α,β∈,且αsin α-βsin β>0,则下列结论正确的是(　　) A.α>β B.α2>β2 C.α<β D.α+β>0 答案　B 解析　构造函数f(x)=xsin x,则f'(x)=sin x+xcos x,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;因为f(x)为偶函数,则当x∈时, f(x)单调递减.又因为αsin α-βsin β>0, 所以αsin α>βsin β, 所以f(α)>f(β),则|α|>|β|,所以α2>β2. 4.已知f(x)的定义域为R,f(1)=2 023,且f'(x)≥6x恒成立,则不等式f(x)>3x2+2 020的解集为(　　) A.(-1,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案　B 解析　令函数g(x)=f(x)-3x2, 因为g'(x)=f'(x)-6x≥0, 所以g(x)在R上单调递增. 因为g(1)=f(1)-3=2 020, 所以不等式f(x)>3x2+2 020等价于 g(x)>g(1), 所以x>1. 5.已知a=ln,b=e-1,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b>c>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c 答案　D 解析　依题意得a=ln=,b=e-1=, c==. 令f(x)=(x>0), 则f'(x)=, 易知函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减. 所以f(x)max=f(e)==b, 且f(3)>f(8),即a>c, 所以b>a>c. 6.(多选)已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)f'(x)>f(x),则下列不等式一定成立的是(　　) A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3) C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2) 答案　BD 解析　由(x+1)f'(x)>f(x), 得(x+1)f'(x)-f(x)>0, 令g(x)=, 则g'(x)=>0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(2)<g(3)<g(4), 则<<, 即4f(2)<3f(3),5f(3)<4f(4). 7.(5分)设f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=f,b=0,c=-f,则a,b,c的大小关系是　　　　.  答案　a<b<c 解析　设函数g(x)=f(x)cos x, 则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x, 因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0, 所以g'(x)>0, 所以g(x)在(0,π)上单调递增, 因为a=f=fcos =g, b=0=fcos =g, c=-f=fcos =g, 又0<<<<π, 所以a<b<c. 8.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)>f'(x)+1,f(0)=3,则不等式f(x)>2ex+1的解集为　　　　.  答案　(-∞,0) 解析　设g(x)=,则g'(x)=-,∵f(x)>f'(x)+1,∴f(x)-f'(x)-1>0,∴g'(x)<0,∴g(x)在R上单调递减,∵f(x)>2ex+1,∴g(x)=>2,又g==2,∴g(x)>g,∴x<0,∴f(x)>2ex+1的解集为. 9.(12分)若对任意的x∈[e,+∞),都有xln x≥ax-a,求实数a的取值范围. 解　对任意的x∈[e,+∞),都有xln x≥ax-a,等价于a≤在[e,+∞)上恒成立, 令h(x)=,x∈[e,+∞), 则h'(x)=, 令m(x)=x-ln x-1,x∈[e,+∞), 则m'(x)=1-, 当x≥e时,m'(x)>0, 即m(x)在[e,+∞)上单调递增, 故m(x)≥m(e)=e-2>0,所以h'(x)>0, 所以h(x)=在[e,+∞)上单调递增, h(x)min=h(e)=,所以a≤. 即实数a的取值范围是. 10.(12分)已知f(x)=xln x. (1)求函数f(x)的极值;(5分) (2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.(7分) (1)解　由f(x)=xln x,x>0, 得f'(x)=ln x+1,令f'(x)=0,得x=. 当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=时,f(x)取得极小值, f(x)极小值=f=-,无极大值. (2)证明　问题等价于证明xln x>-,x∈(0,+∞). 由(1)可知f(x)=xln x(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到. 设m(x)=-,x∈(0,+∞), 则m'(x)=, 当x>1时,m'(x)<0,m(x)单调递减; 当0<x<1时,m'(x)>0,m(x)单调递增, 易知m(x)max=m(1)=-, 当且仅当x=1时取到. 从而对一切x∈(0,+∞),xln x≥-≥-,两个等号不同时取到, 所以对一切x∈(0,+∞)都有ln x>-成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 <<< 培优课　构造函数的应用 一、构造函数比较大小 二、构造函数解不等式 课时对点练 三、构造函数证明不等式 内容索引 构造函数比较大小 一 已知x>0,a=x,b=x-,c=ln(1+x),则 A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a 例 1 √ 4 令f(x)=a-c=x-ln(1+x),x>0, 则f'(x)=1->0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0,可得a>c. 令g(x)=c-b=ln(1+x)-x+,x>0, 则g'(x)=-1+x=>0, ∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)>g(0)=0,可得c>b. 综上可得,a>c>b. 5 (1)利用导数比较大小,有时需要利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小的问题. (2)比较大小时,需关注函数的性质,如奇偶性、对称性,进而把自变量转移到同一区间,再利用单调性比较即可. 反 思 感 悟 6 　若函数f(x)对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则 A.3f(ln 5)>5f(ln 3) B.3f(ln 5)=5f(ln 3) C.3f(ln 5)<5f(ln 3) D.3f(ln 5)与5f(ln 3)的大小不确定 跟踪训练 1 √ 7 令g(x)=, 则g'(x)=, 因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x), 所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增. 又ln 3<ln 5,所以g(ln 3)<g(ln 5), 即<, 所以5f(ln 3)<3f(ln 5). 8 二 构造函数解不等式 已知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf'(x),则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是 A.(0,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(1,+∞) 例 2 角度1　利用f(x)与x构造 √ 10 构造函数g(x)=xf(x),x∈(0,+∞), 则g'(x)=f(x)+xf'(x)<0, 所以函数g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减. 又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1), 所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1), 即g(x+1)>g(x2-1),所以x+1<x2-1, 解得x>2或x<-1(舍). 所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2,+∞). 11 把本例中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)<xf'(x)”,解不等式 (x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1). 延伸探究 12 设g(x)=, 则g'(x)=, ∵f(x)<xf'(x), ∴g'(x)>0, 故g(x)在(0,+∞)上单调递增, 由(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1),得>, 13 即g(2x+1)>g(x2+1), 所以解得0<x<2. 即不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)的解集为(0,2). 14 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数,常见的有： (1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x). (2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x). (3)对于f'(x)>a,构造h(x)=f(x)-ax. (4)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x). (5)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=. 反 思 感 悟 15 　已知函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R).若存在x∈,使得f(x)> xf'(x)成立,则实数a的取值范围是 A. B. C.(,+∞) D.(3,+∞) 跟踪训练 2 √ 16 由f(x)>xf'(x)成立,可得'=<0. 构造函数g(x)==ln x+(x-a)2, 则存在x∈,使得g'(x)=+2(x-a)<0成立, 即a>,又x+≥2=, 当且仅当x=,即x=时取等号,所以a>. 17 已知f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且对于任意的x∈R,均有f(x)+f'(x)>0,则 A.e-2 023f(-2 023)<f(0),e2 023f(2 023)>f(0) B.e-2 023f(-2 023)<f(0),e2 023f(2 023)<f(0) C.e-2 023f(-2 023)>f(0),e2 023f(2 023)>f(0) D.e-2 023f(-2 023)>f(0),e2 023f(2 023)<f(0) 例 3 角度2　利用f(x)与ex构造 √ 18 构造函数h(x)=exf(x), 则h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0, 所以函数h(x)在R上单调递增, 故h(-2 023)<h(0), 即e-2 023f(-2 023)<e0f(0), 即e-2 023f(-2 023)<f(0). 同理,h(2 023)>h(0), 即e2 023f(2 023)>f(0). 19 把本例中的条件“f(x)+f'(x)>0”换为“f'(x)>f(x)”,比较 e2 023f(-2 023)与f(0)的大小. 延伸探究 令g(x)=,则g'(x)=, 因为对任意的x∈R,都有f'(x)>f(x), 所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增, 所以g(-2 023)<g(0), 即<, 所以e2 023f(-2 023)<f(0). 20 (1)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=exf(x). (2)对于f'(x)>f(x),构造h(x)=. f(x)与ex构造常见的形式 反 思 感 悟 21 　(多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则 A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 跟踪训练 3 √ √ 构造函数g(x)=,则g'(x)=<0,所以g(x)在R上单调递减, 又ln 2>0,2>0, 所以g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即<,<, 所以f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0). 22 (多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0, f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断中正确的是 A.f<f B.f>0 C.f>f D.f>f 例 4 角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造 √ √ 23 令g(x)=,x∈, 则g'(x)=, 因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0, 所以g'(x)=<0在上恒成立, 因此函数g(x)=上单调递减, 又0<<<, 所以g>g,即>, 即f>f,故A错误; 24 又f(0)=0,所以g(0)==0, 所以g(x)=≤0在上恒成立, 因为ln ∈, 所以f<0,故B错误; 又0<<<,所以g>g, 所以>, 即f>f,故C正确; 25 又0<<<, 所以g>g,所以>, 即f>f,故D正确. 26 (1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0,构造函数h(x)=f(x)sin x. (2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0,构造函数h(x)=. (3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0,构造函数h(x)=f(x)cos x. (4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=. f(x)与sin x,cos x构造常见的形式 反 思 感 悟 27 　已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 A.f>-f B.f<-f C.f>2f D.f<f 跟踪训练 4 √ 28 由已知,得f(x)为奇函数,由函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x> f(x)cos x,得f'(x)sin x-f(x)cos x>0,即'>0, 所以y=在(0,π)上单调递增, 又因为y=为偶函数, 所以y=在(-π,0)上单调递减, 所以<,即f>2f,选项C成立; 同理把选项转化后知选项A,B,D均不成立. 29 构造函数证明不等式 三 (1)已知函数f(x)=ex-e(ln x+1),求证：f(x)≥0恒成立; 例 5 由题意知f'(x)=ex-=,x>0, 设F(x)=xex-e,则F(x)在(0,+∞)上单调递增,且F=0. 当x∈时,F(x)<0, ∴f'(x)=<0,f(x)单调递减, 当x∈时,F(x)>0, ∴f'(x)=>0,f(x)单调递增. ∴f(x)的最小值为f(x)min=f=0, ∴f(x)≥0恒成立. 31 (2)当x>1时,求证：x2+ln x<x3. 令f(x)=x3-x2-ln x, 则f'(x)=2x2-x-=, ∵x>1,∴x-1>0, 又2x2+x+1>0, ∴当x>1时,f'(x)>0, 即f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(1)=>0, 即x2+ln x<x3. 32 证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性或最值),可构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性,证明要证的不等式. 反 思 感 悟 33 已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底数,求证：ab>ba. 跟踪训练 5 34 方法一　∵b>a>e, ∴要证ab>ba,只需证bln a>aln b. 设f(x)=xln a-aln x(x>a), 则f'(x)=ln a-. ∵x>a>e, ∴ln a>1,且<1, ∴f'(x)>0. ∴函数f(x)=xln a-aln x在(a,+∞)上单调递增. 35 ∵b>a>e, ∴f(b)>f(a)=aln a-aln a=0, 即bln a-aln b>0, ∴bln a>aln b,即ab>ba. 方法二　∵b>a>e, ∴要证ab>ba,只需证bln a>aln b, 即>. 36 设f(x)=(x>e), 则f'(x)=. ∵x>e,∴f'(x)=>0, 故函数f(x)=在(e,+∞)上单调递增. 又b>a>e, ∴>,从而ab>ba. 37 课时对点练 四 设g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),则g'(x)=xf'(x)+f(x)≤0,∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递减或g(x)为常函数. ∵0<a<b,∴g(a)≥g(b),即af(a)≥bf(b). 1.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0,对任意的正数a,b,若a<b,则必有 A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,f(2-x) =f(x)·,则下列判断一定正确的是 A.f(1)<f(0) B.f(2)>e2f(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 构造函数F(x)=,则F'(x)==,又(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,则当x>1时,F'(x)>0,F(x)在(1,+∞)上单调递增,当x<1时,F'(x)<0,F(x)在 (-∞,1)上单调递减.又由f(2-x)=f(x)·⇔F(2-x)=F(x)⇒F(x)的图象关于直线x=1对称,根据F(x)的单调性和图象(图略)可知选C. 构造函数f(x)=xsin x,则f'(x)=sin x+xcos x,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;因为f(x)为偶函数,则当x∈时, f(x)单调递减.又因为αsin α-βsin β>0, 所以αsin α>βsin β, 所以f(α)>f(β),则|α|>|β|,所以α2>β2. 3.已知α,β∈,且αsin α-βsin β>0,则下列结论正确的是 A.α>β B.α2>β2 C.α<β D.α+β>0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.已知f(x)的定义域为R,f(1)=2 023,且f'(x)≥6x恒成立,则不等式f(x)>3x2+ 2 020的解集为 A.(-1,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令函数g(x)=f(x)-3x2, 因为g'(x)=f'(x)-6x≥0, 所以g(x)在R上单调递增. 因为g(1)=f(1)-3=2 020, 所以不等式f(x)>3x2+2 020等价于 g(x)>g(1), 所以x>1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知a=ln,b=e-1,c=,则a,b,c的大小关系为 A.b>c>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 依题意得a=ln=,b=e-1=,c==. 令f(x)=(x>0), 则f'(x)=, 易知函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减. 所以f(x)max=f(e)==b, 且f(3)>f(8),即a>c, 所以b>a>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)f'(x)>f(x),则下列不等式一定成立的是 A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3) C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由(x+1)f'(x)>f(x), 得(x+1)f'(x)-f(x)>0, 令g(x)=, 则g'(x)=>0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(2)<g(3)<g(4), 则<<, 即4f(2)<3f(3),5f(3)<4f(4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.设f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=f,b=0,c=-f,则a,b,c的大小关系是　　　　. a<b<c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设函数g(x)=f(x)cos x, 则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x, 因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0, 所以g'(x)>0, 所以g(x)在(0,π)上单调递增, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为a=f=fcos =g, b=0=fcos =g, c=-f=fcos =g, 又0<<<<π, 所以a<b<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)>f'(x)+1,f(0)=3,则不等式f(x)>2ex+1的解集为　　　　. 设g(x)=,则g'(x)=-,∵f(x)>f'(x)+1,∴f(x)-f'(x)-1>0,∴g'(x)<0,∴g(x)在R上单调递减,∵f(x)>2ex+1,∴g(x)=>2,又g==2,∴g(x)>g,∴x<0,∴f(x)>2ex+1的解集为. (-∞,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.若对任意的x∈[e,+∞),都有xln x≥ax-a,求实数a的取值范围. 对任意的x∈[e,+∞),都有xln x≥ax-a,等价于a≤在[e,+∞)上恒成立, 令h(x)=,x∈[e,+∞), 则h'(x)=, 令m(x)=x-ln x-1,x∈[e,+∞), 则m'(x)=1-, 当x≥e时,m'(x)>0, 即m(x)在[e,+∞)上单调递增, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 故m(x)≥m(e)=e-2>0,所以h'(x)>0, 所以h(x)=在[e,+∞)上单调递增, h(x)min=h(e)=,所以a≤. 即实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由f(x)=xln x,x>0, 得f'(x)=ln x+1,令f'(x)=0,得x=. 当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=时,f(x)取得极小值, f(x)极小值=f=-,无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知f(x)=xln x. (1)求函数f(x)的极值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)证明：对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 问题等价于证明xln x>-,x∈(0,+∞). 由(1)可知f(x)=xln x(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到. 设m(x)=-,x∈(0,+∞), 则m'(x)=, 当x>1时,m'(x)<0,m(x)单调递减; 当0<x<1时,m'(x)>0,m(x)单调递增, 易知m(x)max=m(1)=-, 当且仅当x=1时取到. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 从而对一切x∈(0,+∞),xln x≥-≥-,两个等号不同时取到, 所以对一切x∈(0,+∞)都有ln x>-成立. 第一章 <<< $$