第1章 1.2.3 简单复合函数的求导-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

1.2.3　简单复合函数的求导 [学习目标]　1.进一步运用导数公式和函数的求导法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 导语 法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过:“我只会做两件事,一件是简单的事,一件是把复杂的事情变简单.”我们学习了较简单的基本初等函数,还可以把两个或几个函数进行“复合”,怎样复合呢?那么,对于复合后的函数如何求导呢?我们是否也有简单的方法? 一、复合函数的概念 问题1　我们常说y=sin x为“正弦函数”,而y=sin 2x为“正弦型函数”,那么y=sin 2x是由哪些初等函数构成的? 提示　记u=2x,则y=sin 2x可以看作正弦函数y=sin u和u=2x两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成. 知识梳理 复合函数的概念 一般地,设y=f(u)是关于u的函数,u=g(x)是关于x的函数,则y=f(g(x))是关于x的函数,称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 注意点: 内、外层函数通常为基本初等函数. 例1　(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A.y=xln x B.y=(3x+6)2 C.y=e2x+1 D.y=sin 答案　BCD 反思感悟　若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数. 跟踪训练1　(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A.y=log2(2x+1) B.y=2x2- C.y=2ln x D.y=cos 答案　ACD 二、复合函数的导数 问题2　如何求函数y=sin 2x的导数? 提示　y=sin 2x=2sin xcos x,由两个函数相乘的求导法则可知y'x=2cos2x-2sin2x=2cos 2x;从整体上来看,外层函数是基本初等函数y=sin u,它的导数y'u=cos u,内层函数是幂函数的线性组合u=2x,它的导数是u'x=2,发现y'x=y'u·u'x. 知识梳理 复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 注意点: (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构; (2)求导由外向内,并保持对外层函数求导时,内层不变的原则; (3)求每层函数的导数时,注意分清是对哪个变量求导. 例2　(课本例9)　求下列函数的导数： (1)y=(2x+3)10； (2)y=e2x+1； (3)y=ln(3x-2). 解　(1)函数y=(2x+3)10可以看作y=u10与u=2x+3复合而成，根据复合函数求导法则有 y'x=y'u·u'x=(u10)'·(2x+3)'=10u9·2=20(2x+3)9. (2)函数y=e2x+1可以看作y=eu与u=2x+1复合而成，根据复合函数求导法则有 y'x=y'u·u'x==(eu)'·(2x+1)'=eu·2=2e2x+1. (3)函数y=ln(3x-2)可以看作y=ln u与u=3x-2复合而成，根据复合函数求导法则有 y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(3x-2)'=·3=. 例2　求下列函数的导数: (1)y=;(2)y=cos x2; (3)y=log2(2x+1);(4)y=e3x+2. 解　(1)令u=1-3x,则y==u-4, 所以y'u=-4u-5,u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. (2)令u=x2,则y=cos u, 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·2x=-2xsin x2. (3)设y=log2u,u=2x+1, 则y'x=y'u·u'x==. (4)设y=eu,u=3x+2, 则y'x=(eu)'·(3x+2)'=3eu=3e3x+2. 反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 跟踪训练2　求下列函数的导数: (1)y=; (2)y=5log2(1-x); (3)y=sin. 解　(1)y=(1-2x, 设y=,u=1-2x, 则y'x=()'(1-2x)'=·(-2) =(1-2x. (2)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数, 所以y'x=y'u·u'x=5(log2u)'·(1-x)' ==. (3)设y=sin u,u=2x+, 则y'x=(sin u)'' =cos u·2=2cos. 三、复合函数的导数的应用 例3　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)=3sin(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18 h时的导数,并解释它的实际意义. 解　设f(x)=3sin x,x=φ(t)=t+, 所以s'(t)=f'(x)φ'(t)=3cos x· =cos, 将t=18代入s'(t),得s'(18)=cos =(m/h). s'(18)表示当t=18 h时,潮水的高度上升的速度为 m/h. 反思感悟　将复合函数的求导与导数的实际意义结合,函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 跟踪训练3　我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,实施“以直代曲”的近似计算,用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值.借用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)=ln(2 024+1),则f'(x)=　　　　　,其在点(0,0)处的切线方程为　　　　.  答案　　y=2 024x 解析　∵f(x)=ln(2 024x+1), 故f'(x)==,则f'(0)=2 024.故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=2 024x. 1.知识清单: (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳:转化法. 3.常见误区:求复合函数的导数时不能正确分解函数;求导时不能分清是对哪个变量求导;计算结果复杂化. 1.(多选)函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(　　) A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2 C.y=tn,t=(x2-1)n D. t=x2-1,y=tn 答案　AD 2.设f(x)=log3(x-1),则f'(2)等于(　　) A.ln 3 B.-ln 3 C. D.- 答案　C 解析　f'(x)=,故f'(2)=. 3.曲线y=sin2x在点A处的切线的斜率是　　　　　　.  答案　 解析　∵y'=(sin2x)'=2sin x(sin x)' =2sin xcos x=sin 2x, ∴y'=sin =, ∴曲线在点A处的切线的斜率为. 4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　.  答案　2 解析　易知y'=aeax,y'|x=0=ae0=a, 故a×=-1,则a=2. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共18分 1.(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A.y=-x3-+1 B.y=cos C.y= D.y=(2x+3)4 答案　BCD 解析　A不是复合函数,B,C,D均是复合函数, 其中B由y=cos u,u=x+复合而成; C由y=ln u,u=3x+4复合而成; D由y=u4,u=2x+3复合而成. 2.已知函数f(x)=(2x-1)3,则f'(1)等于(　　) A.8 B.6 C.3 D.1 答案　B 解析　f'(x)=3(2x-1)2·2=6(2x-1)2, 所以f'(1)=6. 3.设f(x)=ln(3x+2)-3x2,则f'(0)等于(　　) A.1 B. C.-1 D.-2 答案　B 解析　f'(x)=-6x,故f'(0)=-0=. 4.函数y=x(1-ax)2(a>0),且y'=5,则a等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　y'=(1-ax)2-2ax(1-ax),则y'=12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1(舍负). 5.曲线y=2xex-2在点(2,4)处切线的斜率等于(　　) A.2e B.e C.6 D.2 答案　C 解析　∵y=2xex-2,∴y'=2ex-2+2xex-2, ∴k=y'|x=2=2e0+4e0=6,故选C. 6.(多选)以下求导运算正确的有(　　) A.若y=,则y'= B.若y=(2x-1)3,则y'=3(2x-1)2 C.若y=x2(ln x+sin x),则y'=x+2xln x+2xsin x+x2cos x D.若y=,则y'=- 答案　ACD 解析　A项,y=,则y'=××3=,A正确; B项,y=(2x-1)3,y'=3(2x-1)2×2=6(2x-1)2,B错误; C项,y=x2(ln x+sin x), y'=2x(ln x+sin x)+x2 =x+2xln x+2xsin x+x2cos x,C正确; D项,y=, y'= =-,D正确. 7.(5分)质点M按规律s(t)=(2t+1)2 做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=2 s时的瞬时速度为　　　　m/s.  答案　20 解析　∵s(t)=(2t+1)2, ∴s'(t)=2(2t+1)×2=8t+4, 则质点在t=2 s时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s). 8.(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　.  答案　2 解析　设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切于点(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a), 又曲线的导数为y'=, ∴y'==1,即x0+a=1. 又y0=ln(x0+a),∴y0=0, ∴x0=-1,∴a=2. 9.(12分)求下列函数的导数: (1)y=ln(ex+x2);(2分)(2)y=102x+3;(2分) (3)y=sin4x+cos4x;(2分)(4)y=;(2分) (5)y=sin 2xcos 3x;(2分)(6)y=x3.(2分) 解　(1)令u=ex+x2,则y=ln u. ∴y'x=y'u·u'x=·(ex+x2)' =·(ex+2x)=. (2)令u=2x+3,则y=10u, ∴y'x=y'u·u'x=10u·ln 10·(2x+3)' =2×102x+3ln 10. (3)∵y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x·cos2x=1-sin22x=1-(1-cos 4x) =+cos 4x. ∴y'=-sin 4x. (4)令u=1-x2,则y=, 则y'x=y'u·u'x='(1-x2)' =-·(-2x)=x(1-x2. (5)∵y=sin 2xcos 3x, ∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)' =2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. (6)y'=(x3)'+x3()'=3x2+x3·(cos x)'=3x2-x3sin x. 10.(10分)曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程. 解　∵y=esin x,∴y'=esin xcos x,∴y'|x=0=1. ∴曲线y=esin x在点(0,1)处的切线方程为 y-1=x,即x-y+1=0. 又直线l与x-y+1=0平行, 故直线l可设为x-y+m=0(m≠1). 由=得m=-1或3. ∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0. 11.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f'(x)=， 则f'(0)= =3， 即该切线方程为y-1=3x， 即y=3x+1， 令x=0，则y=1， 令y=0，则x=-， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S=×1×=. 12.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设在某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0 为初始时该放射性同位素的含量.已知当t=15 时,该放射性同位素含量的瞬时变化率为-,则当该放射性同位素含量为4.5贝克时,所需的衰变时间为(　　) A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 答案　D 解析　P'(t)=-·P0··ln 2,P'(15)=-P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·,当该放射性同位素含量为4.5贝克,即P(t)=4.5 时,18·=4.5,解得t=60. 13.(多选)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值可以是(　　) A. B. C. D. 答案　CD 解析　因为y=, 所以y'===. 因为ex>0, 所以ex+≥2(当且仅当x=0时取等号), 所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0). 又因为α∈[0,π),所以α∈. 14.(5分)设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　　　.  答案　 解析　∵f'(x)=-sin(x+φ), ∴f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ), 令g(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ), 则g(x)为奇函数,∴g(0)=0, 即cos φ-sin φ=0,∴tan φ=, 又0<φ<π,∴φ=. 15.(5分)(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　　　.  答案　ln 2 解析　由y=ex+x得y'=ex+1， 当x=0时，y'=e0+1=2， 故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为 y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'=， 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，ln(x0+1)+a)， 由两曲线有公切线得y'==2， 解得x0=-， 则切点为， 切线方程为 y=2+a-ln 2=2x+1+a-ln 2， 根据两切线重合， 所以a-ln 2=0，解得a=ln 2. 16.(10分)(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f';(4分) (2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.(6分) 解　(1)∵f(x)=eπxsin πx, ∴f'(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx=πeπx(sin πx+cos πx). ∴f'=π=π. (2)设切点坐标为P(x0,y0), 由题意可知y'=0. 又y'=, ∴y'==0. 解得x0=0,此时y0=1. 即切点坐标为P(0,1),切线方程为y-1=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 <<< 1.2.3　简单复合函数的求导 1.进一步运用导数公式和函数的求导法则求函数的导数. 2.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 学习目标 法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事,一件是简单的事,一件是把复杂的事情变简单.”我们学习了较简单的基本初等函数,还可以把两个或几个函数进行“复合”,怎样复合呢?那么,对于复合后的函数如何求导呢?我们是否也有简单的方法? 导 语 一、复合函数的概念 二、复合函数的导数 课时对点练 三、复合函数的导数的应用 随堂演练 内容索引 复合函数的概念 一 提示　记u=2x,则y=sin 2x可以看作正弦函数y=sin u和u=2x两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成. 我们常说y=sin x为“正弦函数”,而y=sin 2x为“正弦型函数”,那么y=sin 2x是由哪些初等函数构成的? 问题1 复合函数的概念 一般地,设y=f(u)是关于u的函数,u=g(x)是关于x的函数,则y= 是关于x的函数,称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. f(g(x)) 知识梳理 注 意 点 <<< 内、外层函数通常为基本初等函数. 8 (多选)下列函数是复合函数的是 A.y=xln x B.y=(3x+6)2 C.y=e2x+1 D.y=sin 例 1 √ √ √ 9 若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数. 反 思 感 悟 10 　(多选)下列函数是复合函数的是 A.y=log2(2x+1) B.y=2x2- C.y=2ln x D.y=cos 跟踪训练 1 √ √ √ 11 二 复合函数的导数 如何求函数y=sin 2x的导数? 问题2 提示　y=sin 2x=2sin xcos x,由两个函数相乘的求导法则可知y'x=2cos2x-2sin2x=2cos 2x;从整体上来看,外层函数是基本初等函数y=sin u,它的导数y'u=cos u,内层函数是幂函数的线性组合u=2x,它的导数是u'x=2,发现y'x=y'u·u'x. 复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x= ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. y'u·u'x 知识梳理 (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构; (2)求导由外向内,并保持对外层函数求导时,内层不变的原则; (3)求每层函数的导数时,注意分清是对哪个变量求导. 注 意 点 <<< 15 　　　(课本例9)　求下列函数的导数： (1)y=(2x+3)10； 函数y=(2x+3)10可以看作y=u10与u=2x+3复合而成，根据复合函数求导法则有 y'x=y'u·u'x=(u10)'·(2x+3)'=10u9·2=20(2x+3)9. 例 2 16 (2)y=e2x+1； 函数y=e2x+1可以看作y=eu与u=2x+1复合而成，根据复合函数求导法则有 y'x=y'u·u'x==(eu)'·(2x+1)'=eu·2=2e2x+1. (3)y=ln(3x-2). 函数y=ln(3x-2)可以看作y=ln u与u=3x-2复合而成，根据复合函数求导法则有 y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(3x-2)'=·3=. 17 求下列函数的导数： (1)y=; 例 2 令u=1-3x,则y==u-4, 所以y'u=-4u-5,u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. 18 (2)y=cos x2; 令u=x2,则y=cos u, 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·2x=-2xsin x2. 19 (3)y=log2(2x+1); 设y=log2u,u=2x+1, 则y'x=y'u·u'x==. 20 (4)y=e3x+2. 设y=eu,u=3x+2, 则y'x=(eu)'·(3x+2)'=3eu=3e3x+2. 21 (1)求复合函数的导数的步骤 反 思 感 悟 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 22 　求下列函数的导数： (1)y=; 跟踪训练 2 y=(1-2x, 设y=,u=1-2x, 则y'x=()'(1-2x)'=·(-2)=(1-2x. 23 (2)y=5log2(1-x); 函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数, 所以y'x=y'u·u'x=5(log2u)'·(1-x)'==. 24 (3)y=sin. 设y=sin u,u=2x+, 则y'x=(sin u)''=cos u·2=2cos. 25 复合函数的导数的应用 三 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)=3sin(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18 h时的导数,并解释它的实际意义. 例 3 设f(x)=3sin x,x=φ(t)=t+, 所以s'(t)=f'(x)φ'(t)=3cos x·=cos, 将t=18代入s'(t),得s'(18)=cos =(m/h). s'(18)表示当t=18 h时,潮水的高度上升的速度为 m/h. 27 将复合函数的求导与导数的实际意义结合,函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 反 思 感 悟 28 　我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,实施“以直代曲”的近似计算,用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值.借用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)=ln(2 024+1), 则f'(x)=　　　　　,其在点(0,0)处的切线方程为　　　 　. 跟踪训练 3 y=2 024x ∵f(x)=ln(2 024x+1), 故f'(x)==, 则f'(0)=2 024.故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=2 024x. 29 1.知识清单： (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数;求导时不能分清是对哪个变量求导;计算结果复杂化. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2 C.y=tn,t=(x2-1)n D.t=x2-1,y=tn √ √ 1 2 3 4 2.设f(x)=log3(x-1),则f'(2)等于 A.ln 3 B.-ln 3 C. D.- f'(x)=,故f'(2)=. √ ∵y'=(sin2x)'=2sin x(sin x)'=2sin xcos x=sin 2x, ∴y'=sin =, ∴曲线在点A. 1 2 3 4 3.曲线y=sin2x在点A处的切线的斜率是　　　. 易知y'=aeax,y'|x=0=ae0=a, 故a×=-1,则a=2. 1 2 3 4 4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　. 2 课时对点练 五 A不是复合函数,B,C,D均是复合函数, 其中B由y=cos u,u=x+复合而成; C由y=ln u,u=3x+4复合而成; D由y=u4,u=2x+3复合而成. 1.(多选)下列函数是复合函数的是 A.y=-x3-+1 B.y=cos C.y= D.y=(2x+3)4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知函数f(x)=(2x-1)3,则f'(1)等于 A.8 B.6 C.3 D.1 f'(x)=3(2x-1)2·2=6(2x-1)2, 所以f'(1)=6. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.设f(x)=ln(3x+2)-3x2,则f'(0)等于 A.1 B. C.-1 D.-2 f'(x)=-6x,故f'(0)=-0=. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.函数y=x(1-ax)2(a>0),且y'=5,则a等于 A.1 B.2 C.3 D.4 y'=(1-ax)2-2ax(1-ax),则y'=12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1(舍负). 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.曲线y=2xex-2在点(2,4)处切线的斜率等于 A.2e B.e C.6 D.2 ∵y=2xex-2,∴y'=2ex-2+2xex-2, ∴k=y'|x=2=2e0+4e0=6,故选C. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)以下求导运算正确的有 A.若y=,则y'= B.若y=(2x-1)3,则y'=3(2x-1)2 C.若y=x2(ln x+sin x),则y'=x+2xln x+2xsin x+x2cos x D.若y=,则y'=- 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A项,y=,则y'=××3=,A正确; B项,y=(2x-1)3,y'=3(2x-1)2×2=6(2x-1)2,B错误; C项,y=x2(ln x+sin x), y'=2x(ln x+sin x)+x2=x+2xln x+2xsin x+x2cos x,C正确; D项,y=,y'==-,D正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.质点M按规律s(t)=(2t+1)2 做直线运动(位移单位：m,时间单位：s),则质点M在t=2 s时的瞬时速度为　　　　m/s. ∵s(t)=(2t+1)2, ∴s'(t)=2(2t+1)×2=8t+4, 则质点在t=2 s时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s). 13 14 15 16 20 8.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　. 设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切于点(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a), 又曲线的导数为y'=, ∴y'==1,即x0+a=1. 又y0=ln(x0+a),∴y0=0, ∴x0=-1,∴a=2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令u=ex+x2,则y=ln u. ∴y'x=y'u·u'x=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.求下列函数的导数： (1)y=ln(ex+x2); 13 14 15 16 令u=2x+3,则y=10u, ∴y'x=y'u·u'x=10u·ln 10·(2x+3)'=2×102x+3ln 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)y=102x+3; 13 14 15 16 ∵y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x·cos2x=1-sin22x=1-(1-cos 4x)= +cos 4x. ∴y'=-sin 4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)y=sin4x+cos4x; 13 14 15 16 令u=1-x2,则y=, 则y'x=y'u·u'x='(1-x2)'=-·(-2x)=x(1-x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (4)y=; 13 14 15 16 ∵y=sin 2xcos 3x, ∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (5)y=sin 2xcos 3x; 13 14 15 16 y'=(x3)'+x3()'=3x2+x3·(cos x)'=3x2-x3sin x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (6)y=x3. 13 14 15 16 ∵y=esin x,∴y'=esin xcos x,∴y'|x=0=1. ∴曲线y=esin x在点(0,1)处的切线方程为 y-1=x,即x-y+1=0. 又直线l与x-y+1=0平行, 故直线l可设为x-y+m=0(m≠1). 由=得m=-1或3. ∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A. B. C. D. 综合运用 √ 13 14 15 16 f'(x)=， 则f'(0)==3， 即该切线方程为y-1=3x， 即y=3x+1， 令x=0，则y=1， 令y=0，则x=-， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S=×1×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设在某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0 为初始时该放射性同位素的含量.已知当t=15 时,该放射性同位素含量的瞬时变化率为-,则当该放射性同位素含量为4.5贝克时,所需的衰变时间为 A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P'(t)=-·P0··ln 2,P'(15)=-P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·,当该放射性同位素含量为4.5贝克,即P(t)=4.5 时,18·=4.5,解得t=60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值可以是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为y=, 所以y'===. 因为ex>0, 所以ex+≥2(当且仅当x=0时取等号), 所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0). 又因为α∈[0,π),所以α∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f'(x)=-sin(x+φ), ∴f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ), 令g(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ), 则g(x)为奇函数,∴g(0)=0, 即cos φ-sin φ=0,∴tan φ=, 又0<φ<π,∴φ=. 14.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　　　. ln 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 由y=ex+x得y'=ex+1， 当x=0时，y'=e0+1=2， 故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为 y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'=， 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，ln(x0+1)+a)， 由两曲线有公切线得y'==2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x0=-， 则切点为， 切线方程为 y=2+a-ln 2=2x+1+a-ln 2， 根据两切线重合， 所以a-ln 2=0，解得a=ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f'; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵f(x)=eπxsin πx, ∴f'(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx=πeπx(sin πx+cos πx). ∴f'=π=π. 13 14 15 16 (2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设切点坐标为P(x0,y0), 由题意可知y'=0. 又y'=, ∴y'==0. 解得x0=0,此时y0=1. 即切点坐标为P(0,1),切线方程为y-1=0. 13 14 15 16 第一章 <<< $$