第1章 1.2.2 函数的和差积商求导法则-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1章 <<< 1.2.2　函数的和差积 商求导法则 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和函数求导法则求函数的导数. 学习目标 同学们,上节课我们学习了基本初等函数的导数,实际上,它是我们整个导数的基础,而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则,我们知道,可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合,组合后的函数又如何求导,这将是我们本节课要解决的内容. 导 语 一、函数和、差的求导法则 二、函数的积与商的求导法则 课时对点练 三、函数求导法则的应用 随堂演练 内容索引 函数和、差的求导法则 一 设f(x)=x3,g(x)=x,计算(f(x)+g(x))',(f(x)-g(x))',它们与f'(x)和g'(x)有什么关系? 问题1 提示　设u(x)=f(x)+g(x)=x3+x, 则== ==3x2+3dx+d2+1, 当d→0时,3x2+3dx+d2+1→3x2+1, 即u'(x)=3x2+1,又f'(x)=3x2,g'(x)=1, 则u'(x)=f'(x)+g'(x), 即(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x). 类似地,可得(f(x)-g(x))'=3x2-1, 则(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x). 1.函数常数倍的导数,等于常数乘函数的导数,即(cf(x))'= . 2.两个函数和或差的导数： (f(x)±g(x))'= . 推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x). cf'(x) f'(x)±g'(x) 知识梳理 注 意 点 <<< 对于(logax)'=,我们可以先换底再求导：(logax)'='=·(ln x)'=. 9 求下列函数的导数： (1)y=x5-x3+cos x; 例 1 y'='-'+'=5x4-3x2-sin x. 10 (2)y=lg x-ex. y'=(lg x-ex)'=(lg x)'-(ex)'=-ex. 11 两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),对于每一项分别利用函数的求导法则即可. 反 思 感 悟 12 　求下列函数的导数： (1)f(x)=x2+sin x; 跟踪训练 1 ∵f(x)=x2+sin x, ∴f'(x)=2x+cos x. 13 (2)g(x)=x3-x2-6x+2. ∵g(x)=x3-x2-6x+2, ∴g'(x)=3x2-3x-6. 14 二 函数的积与商的求导法则 设f(x)=x3,g(x)=x,分别计算(f(x)·g(x))'与f'(x)g'(x),它们是否相等?'与是否相等? 问题2 提示　因为(f(x)g(x))'=(x4)'=4x3, f'(x)g'(x)=3x2·1=3x2, '=(x-2)'=-2x-3,=, 所以(f(x)g(x))'≠f'(x)g'(x), '≠. 1.(f(x)g(x))'= . 2.'=__________. 3.'=__________________. f'(x)g(x)+f(x)g'(x) - 知识梳理 　　　(1)(课本例6)　求函数f(x)=x3sin x的导数. f'(x)=(x3sin x)'=(x3)'sin x+x3(sin x)'=3x2sin x+x3cos x. 例 2 18 (2)(课本例8)　求下列函数的导数. (1)y=； y'=' = ==. 19 求下列函数的导数： (1)y=x2+xln x; 例 2 y'=(x2+xln x)'=(x2)'+(xln x)' =2x+(x)'ln x+x(ln x)' =2x+ln x+x· =2x+ln x+1. 20 (2)y=； y'=' = ==-. 21 (3)y=. y'=' = ==. 22 (2)y=; y'='===. 23 (3)y=; y'='==. 24 (4)y=(2x2-1)(3x+1). 方法一　y'=[(2x2-1)(3x+1)]'=(2x2-1)'·(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)' =4x(3x+1)+(2x2-1)×3 =12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3. 方法二　∵y=(2x2-1)(3x+1) =6x3+2x2-3x-1, ∴y'=(6x3+2x2-3x-1)' =(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-(1)' =18x2+4x-3. 25 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定所需的求导法则和基本公式. (2)如果求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等. (3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和、差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导. 利用函数求导法则的策略 反 思 感 悟 26 　求下列函数的导数： (1)y=(x2+1)(x-1); 跟踪训练 2 因为y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, 所以y'=3x2-2x+1. 27 (2)y=x2+tan x; y'=(x2)'+'=2x+. 28 (3)y=. y'===. 29 函数求导法则的应用 三 (1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位： 元)为c(x)=.那么净化到纯净度为90%时所需净化费 用的瞬时变化率是 A.-40元/吨 B.-10元/吨 C.10元/吨 D.40元/吨 例 3 √ 31 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数, 因为c(x)=(80<x<100). 所以c'(x)='=, 又因为c'(90)==40, 所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/吨. 32 (2)(课本例5)　求曲线f(x)=2x3-x2-3x+1在与直线x=1相交处的切线方程. 由基本初等函数的导数公式及运算法则可得f'(x)=6x2-2x-3. 将x=1代入得f'(1)=6-2-3=1. 所以该曲线在与直线x=1相交处切线的斜率k=1. 由f(1)=-1可知，所求切线方程为y-(-1)=x-1，即y=x-2. 33 (2)函数f(x)=x4-x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 √ f(1)=0,切点坐标为(1,0), f'(x)=4x3-3x2, 所以切线的斜率为k=f'(1)=4×13-3×12=1,切线方程为y-0=x-1, 即y=x-1. 34 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同. 反 思 感 悟 35 　(1)记函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=3xf'(2)-2ln x,则f(1)等于 A.1 B.2 C. D. 跟踪训练 3 √ f'(x)=3f'(2)-, ∴f'(2)=3f'(2)-1,解得f'(2)=, ∴f(x)=x-2ln x,∴f(1)=. 36 (2)曲线y=(x-1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为　　　. 由题意可知,y'=x·ex,y'|x=1=2, ∴切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 令x=0得y=-2;令y=0得x=1. ∴曲线y=(x-1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积S=×2×1=1. 1 37 1.知识清单： (1)函数的和差积商求导法则. (2)综合运用导数公式和函数求导法则求函数的导数. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对于函数求导,一般要遵循先化简、再求导的基本原则. 课堂小结 随堂演练 四 y'=-2(exsin x+excos x)=-2ex(sin x+cos x). 1 2 3 4 1.设函数y=-2exsin x,则y'等于 A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) √ 1 2 3 4 2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值为 A. B. C. D. ∵f'(x)=3ax2+6x, ∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=. √ 因为f(x)=f'(-1)x2-2x+3, 所以f'(x)=f'(-1)x-2, 所以f'(-1)=f'(-1)×(-1)-2, 所以f'(-1)=-1. 3.若函数f(x)=f'(-1)x2-2x+3,则f'(-1)的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 由题意得s=3t2+2t+4, 可得瞬时速度v=s'=6t+2,故它在第4 s末的瞬时速度为6×4+2=26(m/s). 1 2 3 4 4.某物体做直线运动,其运动规律是s=3t2+2t+4(t的单位：s,s的单位：m),则它在第4 s末的瞬时速度为　　　　m/s. 26 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.(多选)下列运算中正确的是 A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)' B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)' C.'= D.(cos xsin x)'=(cos x)'sin x+cos x(sin x)' 基础巩固 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A项中,(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)',故正确; B项中,(sin x-2x2)'=(sin x)'-2(x2)',故错误; C项中,'=,故错误; D项中,(cos xsin x)'=(cos x)'sin x+cos x·(sin x)',故正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.曲线f(x)=x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角为 A. B. C. D. 因为f'(x)=x2-2x,k=f'(1)=-1,所以f(x)在x=1处的切线的倾斜角为. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.设f(x)=xln x,若f'(x0)=2,则x0等于 A.e2 B.e C. D.ln 2 ∵f(x)=xln x,∴f'(x)=ln x+1(x>0),由f'(x0)=2,得ln x0+1=2,即ln x0=1, 解得x0=e. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0 ∵f'(x)=4ax3+2bx,f'(x)为奇函数, ∴f'(-1)=-f'(1)=-2. 13 14 15 16 √ 5.已知f(x)=x2+sin,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是 ∵f(x)=x2+sin=x2+cos x, ∴f'(x)=x-sin x.易知f'(x)=x-sin x是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D. 由f'=-<0,排除C,故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)过点P(2,-6)作曲线f(x)=x3-3x的切线,则切线方程可以为 A.3x+y=0 B.24x-y-54=0 C.3x-y=0 D.24x-y+54=0 13 14 15 16 √ √ 设切点为(m,m3-3m),f(x)=x3-3x的导数为f'(x)=3x2-3, 则切线斜率k=3m2-3, 由点斜式方程可得切线方程为y-m3+3m=(3m2-3)(x-m), 将点P(2,-6)代入可得-6-m3+3m=(3m2-3)(2-m), 解得m=0或m=3. 当m=0时,切线方程为3x+y=0; 当m=3时,切线方程为24x-y-54=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在一次高台跳水比赛中,若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)=10-5t2+5t,则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为　　　 米/秒. h'(t)=-10t+5,则 h'(1)=-10+5=-5. 13 14 15 16 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.曲线y= 在点(1,1)处的切线方程为 　　 　　. 由y=,得y'==-,所以y'|x=1=-1, 故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 13 14 15 16 x+y-2=0 y'='='+'=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.求下列函数的导数： (1)y=ln x+; 13 14 15 16 y'='==-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)y=; 13 14 15 16 y=x3+6x-,y'=3x2++6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)y=(x2+9); 13 14 15 16 y'===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (4)y=. 13 14 15 16 因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0), 所以f'(x)=2ax+b, 又f'(x)=2x-8,所以a=1,b=-8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f'(x)=2x-8. (1)求a,b的值; 13 14 15 16 由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3, 所以g'(x)=exsin x+excos x+2x-8, 所以g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7, 又g(0)=3, 所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为 y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程. 13 14 15 16 因为f(x)=(x+a)ln x,x>0, 所以f'(x)=ln x+(x+a)·,所以f'(1)=1+a. 又因为f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直, 所以f'(1)=-,解得a=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知曲线f(x)=(x+a)ln x在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,则a等于 A. B.1 C.- D.-1 综合运用 √ 13 14 15 16 12.已知函数f(x),g(x),h(x),且h(x)=,若f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,则h'(5)的值为 A. B. C. D. 由已知得h'(x)=, 所以h'(5)===. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)=2e·f'(e)·ln x-,则f(e)=　　　　. 因为f(x)=2e·f'(e)·ln x-, 则f'(x)=-,所以f'(e)=2f'(e)-, 所以f'(e)=,故f(x)=2ln x-, 因此f(e)=2ln e-1=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 14.若函数f(x)=ln x+2x2-ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [2,+∞) 13 14 15 16 函数f(x)=ln x+2x2-ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线, 即方程f'(x)=2在(0,+∞)上有解, 而f'(x)=+4x-a, 即+4x-a=2在(0,+∞)上有解, 得a=+4x-2在(0,+∞)上有解, ∵+4x≥2=4,当且仅当x=时“=”成立. ∴a≥4-2=2, ∴a的取值范围是[2,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f'(x)=(x)'·[(x-a1)(x-a2)…·(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]'·x=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…·(x-a8)]'·x, 所以f'(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a1a2…a8. 因为数列{an}为等比数列, 所以a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8,所以f'(0)=84=4 096. 15.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 4 096 16.已知函数f(x)=,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切. (1)求函数f(x)的解析式; 由题意得f'(x)===, 因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切, 所以 则f(x)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象切于P点,求直线l的斜率k的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)可得,f'(x)=, 所以直线l的斜率 k=f'(x0)==4, 令t=,则t∈(0,1], 所以k=4(2t2-t)=8-, 则k在对称轴t=处取到最小值-,在t=1处取到最大值4, 所以直线l的斜率k的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$ 1.2.2　函数的和差积商求导法则 [学习目标]　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和函数求导法则求函数的导数. 导语 同学们,上节课我们学习了基本初等函数的导数,实际上,它是我们整个导数的基础,而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则,我们知道,可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合,组合后的函数又如何求导,这将是我们本节课要解决的内容. 一、函数和、差的求导法则 问题1　设f(x)=x3,g(x)=x,计算(f(x)+g(x))',(f(x)-g(x))',它们与f'(x)和g'(x)有什么关系? 提示　设u(x)=f(x)+g(x)=x3+x, 则= = = =3x2+3dx+d2+1, 当d→0时,3x2+3dx+d2+1→3x2+1, 即u'(x)=3x2+1,又f'(x)=3x2,g'(x)=1, 则u'(x)=f'(x)+g'(x), 即(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x). 类似地,可得(f(x)-g(x))'=3x2-1, 则(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x). 知识梳理 1.函数常数倍的导数,等于常数乘函数的导数,即(cf(x))'=cf'(x). 2.两个函数和或差的导数: (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x). 推广式:(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))' =f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x). 注意点: 对于(logax)'=,我们可以先换底再求导:(logax)'='=·(ln x)'=. 例1　求下列函数的导数: (1)y=x5-x3+cos x; (2)y=lg x-ex. 解　(1)y'='-'+' =5x4-3x2-sin x. (2)y'=(lg x-ex)'=(lg x)'-(ex)'=-ex. 反思感悟　两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),对于每一项分别利用函数的求导法则即可. 跟踪训练1　求下列函数的导数: (1)f(x)=x2+sin x; (2)g(x)=x3-x2-6x+2. 解　(1)∵f(x)=x2+sin x, ∴f'(x)=2x+cos x. (2)∵g(x)=x3-x2-6x+2, ∴g'(x)=3x2-3x-6. 二、函数的积与商的求导法则 问题2　设f(x)=x3,g(x)=x,分别计算(f(x)·g(x))'与f'(x)g'(x),它们是否相等?'与是否相等? 提示　因为(f(x)g(x))'=(x4)'=4x3, f'(x)g'(x)=3x2·1=3x2, '=(x-2)'=-2x-3,=, 所以(f(x)g(x))'≠f'(x)g'(x), '≠. 知识梳理 1.(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). 2.'=-. 3.'=. 例2　(1)(课本例6)　求函数f(x)=x3sin x的导数. 解　f'(x)=(x3sin x)'=(x3)'sin x+x3(sin x)'=3x2sin x+x3cos x. 例2　(2)例8　求下列函数的导数. (1)y=； (2)y=； (3)y=. 解　(1)y'=' = ==. (2)y'=' = ==-. (3)y'=' = ==. 例2　求下列函数的导数: (1)y=x2+xln x; (2)y=; (3)y=;(4)y=(2x2-1)(3x+1). 解　(1)y'=(x2+xln x)'=(x2)'+(xln x)' =2x+(x)'ln x+x(ln x)' =2x+ln x+x· =2x+ln x+1. (2)y'='= ==. (3)y'='==. (4)方法一　y'=[(2x2-1)(3x+1)]'=(2x2-1)'·(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)' =4x(3x+1)+(2x2-1)×3 =12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3. 方法二　∵y=(2x2-1)(3x+1) =6x3+2x2-3x-1, ∴y'=(6x3+2x2-3x-1)' =(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-(1)' =18x2+4x-3. 反思感悟　利用函数求导法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定所需的求导法则和基本公式. (2)如果求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等. (3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和、差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导. 跟踪训练2　求下列函数的导数: (1)y=(x2+1)(x-1); (2)y=x2+tan x; (3)y=. 解　(1)因为y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, 所以y'=3x2-2x+1. (2)y'=(x2)'+'=2x+. (3)y'= ==. 三、函数求导法则的应用 例3　(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=.那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　) A.-40元/吨 B.-10元/吨 C.10元/吨 D.40元/吨 答案　D 解析　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数, 因为c(x)=(80<x<100). 所以c'(x)='=, 又因为c'(90)==40, 所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/吨. (2)课本例5　求曲线f(x)=2x3-x2-3x+1在与直线x=1相交处的切线方程. 解　由基本初等函数的导数公式及运算法则可得f'(x)=6x2-2x-3. 将x=1代入得f'(1)=6-2-3=1. 所以该曲线在与直线x=1相交处切线的斜率k=1. 由f(1)=-1可知，所求切线方程为y-(-1)=x-1，即y=x-2. (2)函数f(x)=x4-x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　) A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 答案　C 解析　f(1)=0,切点坐标为(1,0), f'(x)=4x3-3x2, 所以切线的斜率为k=f'(1)=4×13-3×12=1,切线方程为y-0=x-1, 即y=x-1. 反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同. 跟踪训练3　(1)记函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=3xf'(2)-2ln x,则f(1)等于(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　D 解析　f'(x)=3f'(2)-, ∴f'(2)=3f'(2)-1,解得f'(2)=, ∴f(x)=x-2ln x,∴f(1)=. (2)曲线y=(x-1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为　　　　.  答案　1 解析　由题意可知,y'=x·ex,y'|x=1=2, ∴切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 令x=0得y=-2;令y=0得x=1. ∴曲线y=(x-1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积S=×2×1=1. 1.知识清单: (1)函数的和差积商求导法则. (2)综合运用导数公式和函数求导法则求函数的导数. 2.方法归纳:转化法. 3.常见误区:对于函数求导,一般要遵循先化简、再求导的基本原则. 1.设函数y=-2exsin x,则y'等于(　　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 答案　D 解析　y'=-2(exsin x+excos x) =-2ex(sin x+cos x). 2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵f'(x)=3ax2+6x, ∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=. 3.若函数f(x)=f'(-1)x2-2x+3,则f'(-1)的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　A 解析　因为f(x)=f'(-1)x2-2x+3, 所以f'(x)=f'(-1)x-2, 所以f'(-1)=f'(-1)×(-1)-2, 所以f'(-1)=-1. 4.某物体做直线运动,其运动规律是s=3t2+2t+4(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4 s末的瞬时速度为　　　　m/s.  答案　26 解析　由题意得s=3t2+2t+4, 可得瞬时速度v=s'=6t+2,故它在第4 s末的瞬时速度为6×4+2=26(m/s). 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共12分 1.(多选)下列运算中正确的是(　　) A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)' B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)' C.'= D.(cos xsin x)'=(cos x)'sin x+cos x(sin x)' 答案　AD 解析　A项中,(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)',故正确; B项中,(sin x-2x2)'=(sin x)'-2(x2)',故错误; C项中,'=,故错误; D项中,(cos xsin x)'=(cos x)'sin x+cos x·(sin x)',故正确. 2.曲线f(x)=x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为f'(x)=x2-2x,k=f'(1)=-1,所以f(x)在x=1处的切线的倾斜角为. 3.设f(x)=xln x,若f'(x0)=2,则x0等于(　　) A.e2 B.e C. D.ln 2 答案　B 解析　∵f(x)=xln x,∴f'(x)=ln x+1(x>0),由f'(x0)=2,得ln x0+1=2,即ln x0=1, 解得x0=e. 4.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于(　　) A.-1 B.-2 C.2 D.0 答案　B 解析　∵f'(x)=4ax3+2bx,f'(x)为奇函数, ∴f'(-1)=-f'(1)=-2. 5.已知f(x)=x2+sin,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是(　　) 答案　A 解析　∵f(x)=x2+sin=x2+cos x, ∴f'(x)=x-sin x.易知f'(x)=x-sin x是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.由f'=-<0,排除C,故选A. 6.(多选)过点P(2,-6)作曲线f(x)=x3-3x的切线,则切线方程可以为(　　) A.3x+y=0 B.24x-y-54=0 C.3x-y=0 D.24x-y+54=0 答案　AB 解析　设切点为(m,m3-3m),f(x)=x3-3x的导数为f'(x)=3x2-3, 则切线斜率k=3m2-3, 由点斜式方程可得切线方程为y-m3+3m=(3m2-3)(x-m), 将点P(2,-6)代入可得-6-m3+3m=(3m2-3)(2-m), 解得m=0或m=3. 当m=0时,切线方程为3x+y=0; 当m=3时,切线方程为24x-y-54=0. 7.(5分)在一次高台跳水比赛中,若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系h(t)=10-5t2+5t,则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为　　　　 米/秒.  答案　-5 解析　h'(t)=-10t+5,则 h'(1)=-10+5=-5. 8.(5分)曲线y= 在点(1,1)处的切线方程为 　　　　　　　.  答案　x+y-2=0 解析　由y=,得y'==-,所以y'|x=1=-1, 故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 9.(10分)求下列函数的导数: (1)y=ln x+;(2分)(2)y=;(2分) (3)y=(x2+9);(3分)(4)y=.(3分) 解　(1)y'='='+' =-. (2)y'='= =-. (3)y=x3+6x-,y'=3x2++6. (4)y'= ==. 10.(11分)已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f'(x)=2x-8. (1)求a,b的值;(5分) (2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.(6分) 解　(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0), 所以f'(x)=2ax+b, 又f'(x)=2x-8,所以a=1,b=-8. (2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3, 所以g'(x)=exsin x+excos x+2x-8, 所以g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7, 又g(0)=3, 所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为 y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0. 11.已知曲线f(x)=(x+a)ln x在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,则a等于(　　) A. B.1 C.- D.-1 答案　C 解析　因为f(x)=(x+a)ln x,x>0, 所以f'(x)=ln x+(x+a)·,所以f'(1)=1+a. 又因为f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,所以f'(1)=-,解得a=-. 12.已知函数f(x),g(x),h(x),且h(x)=,若f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,则h'(5)的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得h'(x)=,所以h'(5)===. 13.(5分)已知函数f(x)=2e·f'(e)·ln x-,则f(e)=　　　　.  答案　1 解析　因为f(x)=2e·f'(e)·ln x-, 则f'(x)=-,所以f'(e)=2f'(e)-, 所以f'(e)=,故f(x)=2ln x-, 因此f(e)=2ln e-1=1. 14.(5分)若函数f(x)=ln x+2x2-ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[2,+∞) 解析　函数f(x)=ln x+2x2-ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线, 即方程f'(x)=2在(0,+∞)上有解, 而f'(x)=+4x-a, 即+4x-a=2在(0,+∞)上有解, 得a=+4x-2在(0,+∞)上有解, ∵+4x≥2=4,当且仅当x=时“=”成立. ∴a≥4-2=2, ∴a的取值范围是[2,+∞). 15.(5分)在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=　　　　.  答案　4 096 解析　因为f'(x)=(x)'·[(x-a1)(x-a2)…·(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]'·x=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…·(x-a8)]'·x, 所以f'(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a1a2…a8. 因为数列{an}为等比数列,所以a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8,所以f'(0)=84=4 096. 16.(12分)已知函数f(x)=,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切. (1)求函数f(x)的解析式;(5分) (2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象切于P点,求直线l的斜率k的取值范围.(7分) 解　(1)由题意得 f'(x)= ==, 因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切, 所以解得 则f(x)=. (2)由(1)可得,f'(x)=, 所以直线l的斜率 k=f'(x0)==4, 令t=,则t∈(0,1], 所以k=4(2t2-t)=8-, 则k在对称轴t=处取到最小值-,在t=1处取到最大值4, 所以直线l的斜率k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$