第1章 1.2.1 几个基本函数的导数-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

1.2.1　几个基本函数的导数 [学习目标]　1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.2.能利用给出的基本初等函数的求导公式求简单函数的导数. 导语 高铁是目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s=f(t),求它的瞬时速度,即f(t)的导数.根据导数的定义,运算比较复杂,是否有更好的求导方法呢?而且,对于y=sin x,y=ln x等很难运用定义求导的函数,是否有更简便的求导方法呢? 一、基本初等函数的求导公式 问题1　回顾之前所学,你学过哪些基本初等函数? 提示　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数. 问题2　如何求常数函数f(x)=c的导数? 提示　===0, 当d→0时,0当然还是0, 所以f'(x)=(c)'=0,即(c)'=0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数: f(x)=x⇒f'(x)=1=x1-1; f(x)=x2⇒f'(x)=2x=2x2-1; f(x)=x3⇒f'(x)=3x2=3x3-1; f(x)==x-1⇒f'(x)=-x-2=-x-1-1; f(x)== ⇒f'(x)==. 通过观察上面几个式子,我们发现了这几个幂函数求导的规律,即(xk)'=kxk-1. 知识梳理 基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ln x f'(x)= f(x)=logax(a>0,a≠1) f'(x)= f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=tan x f'(x)= 注意点: 对于根式f(x)=,要先转化为f(x)=,所以f'(x)=. 例1　(课本例3)　用基本初等函数的导数公式计算： (1)()'；(2)(log2x)'； (3)(2x)'；(4)'. 解　(1)()'=. (2)(log2x)'=. (3)(2x)'=2xln 2. (4)'=(tan x)'=. 例1　求下列函数的导数: (1)y=;(2)y=lg x; (3)y=;(4)y=2cos2-1. 解　(1)y'=ln =-ln 3. (2)y'=. (3)∵y==, ∴y'='==. (4)∵y=2cos2-1=cos x, ∴y'=(cos x)'=-sin x. 反思感悟　(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. (3)要特别注意“与ln x”,“ax与logax”,“sin x与cos x”的导数的区别. 跟踪训练1　求下列函数的导数: (1)y=2 025; (2)y=; (3)y=4x; (4)y=log3x. 解　(1)因为y=2 025, 所以y'=(2 025)'=0. (2)因为y==, 所以y'=-=-. (3)因为y=4x, 所以y'=4xln 4. (4)因为y=log3x, 所以y'=. 二、利用导数研究曲线的切线方程 例2　(课本例2)　写出过点A(-4，2)，并且和曲线xy-1=0相切的直线方程. 解　由于点A不在曲线xy-1=0上， 所以可设所求的切线和曲线切于点B(u，v). 又曲线的方程可写成函数y=则y'=-. 故曲线在点B处切线的斜率k=-. 所以曲线在点B处的切线方程为 y-v=-(x-u). 由题意可得，2-v=-(-4-u). ① 又点B在曲线xy-1=0上， 所以v=. ② 由①②得或 因此，过点A有两条切线，方程分别为y+1=-(x+1)和y-=-(x-2)，即分别为x+y+2=0和x+4y-4=0，如图所示. 例2　已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程. 解　∵y'=,∴k=, ∴切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0. 延伸探究　求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程. 解　∵O(0,0)不在曲线y=ln x上. ∴设切点为Q(x0,y0), 则切线的斜率k=. 又切线的斜率k==, ∴=,即x0=e, ∴Q(e,1), ∴k=, ∴切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0. 反思感悟　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 跟踪训练2　(1)函数y=x3在点(2,8)处的切线方程为(　　) A.y=12x-16 B.y=12x+16 C.y=-12x-16 D.y=-12x+16 答案　A 解析　因为y'=3x2, 当x=2时,y'=12, 故切线的斜率为12, 切线方程为y=12x-16. (2)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c的值为　　　　.  答案　-1 解析　设切点为(x0,ln x0), 由y=ln x得y'=. 因为曲线y=ln x在x=x0处的切线方程为x-y+c=0,其斜率为1. 所以有=1, 即x0=1,所以切点为(1,0). 所以1-0+c=0, 解得c=-1. 三、导数公式的实际应用 例3　(课本例1)　不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体.已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体表面积的多少？ 解　立方体的体积V(x)=x3，表面积S(x)=6x2. 因为V'(x)=(x3)'=3x2， 所以其体积关于x的变化率为3x2，是立方体表面积的. 例3　如图,质点P在半径为1 m的圆上沿逆时针做匀角速运动,角速度为1 rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在y轴上的投影点M的速度. 解　时刻t时,∵角速度为1 rad/s, ∴∠POA=1·t=t rad, ∴∠MPO=∠POA=t rad, ∴OM=OP·sin∠MPO=1·sin t, ∴点M的运动方程为y=sin t, ∴v=y'=(sin t)'=cos t, 即时刻t时,点P在y轴上的投影点M的速度为cos t m/s. 反思感悟　由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数. 跟踪训练3　从时刻t=0开始的t秒内,通过某导体的电量(单位:库仑)可以由公式q=cos t表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位:安). 解　由q=cos t得q'=-sin t, 所以q'(5)=-sin 5,q'(7)=-sin 7, 即第5秒,第7秒时的电流强度分别是-sin 5安,-sin 7安. 1.知识清单: (1)常用函数的导数. (2)基本初等函数的导数公式及应用. (3)利用导数研究曲线的切线方程. 2.方法归纳:求导时方程思想、待定系数法. 3.常见误区:求导前未先化简或变形成基本初等函数. 1.(多选)下列选项正确的是(　　) A.若y=ln 2,则y'= B.若y=,则y'=- C.若y=2x,则y'=2xln 2 D.若y=log2x,则y'= 答案　BCD 解析　对于A,y'=0,故A错误; 对于B,∵y==x-2,∴y'=-2x-3=-,故B正确; 显然C,D正确. 2.一质点的运动方程为s=cos t,则当t=1时质点的瞬时速度为(　　) A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.2sin 1 答案　B 解析　s'=-sin t,当t=1时,s'=-sin 1, 所以当t=1时质点的瞬时速度为-sin 1. 3.已知f(x)=,则f'(8)等于(　　) A.0 B.2 C. D.-1 答案　C 解析　由f(x)=,得f'(x)=, ∴f'(8)=×=. 4.曲线y=在点M(1,1)处的切线方程是　　　　　　.  答案　x+y-2=0 解析　令y=f(x)=, ∵f'(x)=-, ∴f'(1)=-1, 即在点M(1,1)处的切线的斜率为-1, 故切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分 1.下列求导运算正确的是(　　) A.(ex)'=xex-1 B.(x3)'=x3ln x C.(2 025x)'=2 025xln 2 025 D.(ln x)'= 答案　C 解析　由基本初等函数的求导公式可知C正确. 2.已知y=sin 30°,则y'等于(　　) A. B. C.0 D.不存在 答案　C 解析　函数y=sin 30°为常数函数,导数为0. 3.已知函数f(x)=xα(α∈R,且α≠0),若f'(-1)=-4,则α的值等于(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 答案　A 解析　∵f'(x)=αxα-1, ∴f'(-1)=α(-1)α-1=-4, ∴α=4. 4.已知f(x)=x2,g(x)=x,若m满足f'(m)+g'(m)=3,则m的值为(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 答案　A 解析　f'(x)+g'(x)=2x+1, ∴2m+1=3,解得m=1. 5.曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为(　　) A.y=x B.y=2x-1 C.y=2x+1 D.y=3x-2 答案　B 解析　由题知,y'=2x,y'|x=1=2, ∴切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 6.(多选)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时,P点的坐标为(　　) A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) 答案　BC 解析　y'=3x2,因为k=3, 所以3x2=3,所以x=±1, 则P点坐标为(-1,-1)或(1,1). 7.(5分)若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是　　　　.  答案　4 解析　因为y'=, 所以切线方程为y-=(x-a), 令x=0,得y=,令y=0,得x=-a, 由题意知··a=2,所以a=4. 8.(5分)假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品价格上涨的速度大约是　　　　.(精确到0.01元/年,其中1.0510≈1.63,ln 1.05≈0.05)  答案　0.08 解析　当p0=1时,p(t)=1.05t,∴p'(t)=1.05tln 1.05.∴p'(10)=1.0510ln 1.05≈0.08. 9.(10分)已知f(x)=,求曲线y=f(x)在点(4,2)处的切线方程. 解　∵f'(x)=,∴f'(4)=,又f(4)=2, ∴y=f(x)在点(4,2)处的切线方程为y-2=(x-4),即x-4y+4=0. 10.(12分)点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 解　如图,当曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最近. 则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线斜率为1, 又y'=(ex)'=ex, 所以=1,得x0=0, 代入y=ex,得y0=1,即P(0,1). 则点P到直线y=x的最小距离d==. 11.已知函数y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y-3=0垂直,则f'(1)等于(　　) A.2 B.0 C.1 D.-1 答案　C 解析　由题可知,函数y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f',因为直线x+y-3=0的斜率为-1,所以-f'=-1,解得f'=1,故选C. 12.已知点P在曲线y=sin2-cos2上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　) A.∪ B.[0,π) C. D.∪ 答案　A 解析　∵y=sin2-cos2=-cos x,∴y'=sin x.设P(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率为k=tan α=sin x0,∴-1≤tan α≤1.∵0≤α<π,∴α∈∪. 13.(5分)已知直线y=kx是曲线y=3x的切线,则k的值为　　　　.  答案　eln 3　 解析　设切点为(x0,y0),因为y'=3xln 3, 所以k=ln 3,所以y=ln 3·x. 又因为(x0,y0)在曲线y=3x上, 所以ln 3·x0=, 所以x0==log3e,所以k=eln 3. 14.(5分)设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 026(x)=　　　　.  答案　-sin x 解析　由已知得,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x, f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依此类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则f2 026(x)=f2(x)=-sin x. 15.(5分)已知A,B,C三点在曲线y=上,其横坐标依次为1,m,4(1<m<4),当△ABC的面积最大时,m的值为　　　　.  答案　 解析　如图,在△ABC中,边AC是确定的,要使△ABC的面积最大,则点B到直线AC的距离应最大,可以将直线AC作平行移动,显然当直线与曲线相切时,距离达到最大,即当过B点的切线平行于直线AC时,△ABC的面积最大. ∵y'|x=m=,A点坐标为(1,1),C点坐标为(4,2), ∴kAC==,∴=,∴m=. 16.(12分)设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,求a1+a2+…+a99的值. 解　导函数y'=(n+1)xn, 切线斜率k=n+1, 所以切线方程为y=(n+1)x-n, 可求得切线与x轴的交点为, 则an=lg=lg n-lg(n+1), 所以a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 <<< 1.2.1　几个基本函数的导数 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的求导公式求简单函数的导数. 学习目标 高铁是目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s=f(t),求它的瞬时速度,即f(t)的导数.根据导数的定义,运算比较复杂,是否有更好的求导方法呢?而且,对于y=sin x,y=ln x等很难运用定义求导的函数,是否有更简便的求导方法呢? 导 语 一、基本初等函数的求导公式 二、利用导数研究曲线的切线方程 课时对点练 三、导数公式的实际应用 随堂演练 内容索引 基本初等函数的求导公式 一 提示　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数. 回顾之前所学,你学过哪些基本初等函数? 问题1 如何求常数函数f(x)=c的导数? 问题2 提示　===0, 当d→0时,0当然还是0, 所以f'(x)=(c)'=0,即(c)'=0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)=x⇒f'(x)=1=x1-1; f(x)=x2⇒f'(x)=2x=2x2-1; f(x)=x3⇒f'(x)=3x2=3x3-1; f(x)==x-1⇒f'(x)=-x-2=-x-1-1; f(x)== ⇒f'(x)==. 通过观察上面几个式子,我们发现了这几个幂函数求导的规律, 即(xk)'=kxk-1. 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=__ f(x)=xα(α≠0) f'(x)=_____ f(x)=ex f'(x)=___ f(x)=ax(a>0,a≠1) f'(x)=______ f(x)=ln x f'(x)=___ 基本初等函数的求导公式 0 αxα-1 ex axln a 知识梳理 原函数 导函数 f(x)=logax(a>0,a≠1) f'(x)=_____ f(x)=sin x f'(x)=_____ f(x)=cos x f'(x)=_____ f(x)=tan x f'(x)=_____ cos x -sin x 注 意 点 <<< 对于根式f(x)=,要先转化为f(x)=,所以f'(x)=. 11 ()'=. 　　　(课本例3)　用基本初等函数的导数公式计算： (1)()'； (log2x)'=. (2)(log2x)'； 例 1 12 (2x)'=2xln 2. (3)(2x)'； '=(tan x)'=. (4)'. 13 求下列函数的导数： (1)y=; 例 1 y'=ln =-ln 3. 14 (2)y=lg x; y'=. 15 (3)y=; ∵y==, ∴y'='==. 16 (4)y=2cos2-1. ∵y=2cos2-1=cos x, ∴y'=(cos x)'=-sin x. 17 (1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. (3)要特别注意“与ln x”,“ax与logax”,“sin x与cos x” 的导数的区别. 反 思 感 悟 18 　求下列函数的导数： (1)y=2 025; 跟踪训练 1 因为y=2 025, 所以y'=(2 025)'=0. 19 (2)y=; 因为y==, 所以y'=-=-. 20 (3)y=4x; 因为y=4x, 所以y'=4xln 4. 21 (4)y=log3x. 因为y=log3x, 所以y'=. 22 二 利用导数研究曲线的切线方程 　　　(课本例2)　写出过点A(-4，2)，并且和曲线xy-1=0相切的直线方程. 例 2 24 由于点A不在曲线xy-1=0上， 所以可设所求的切线和曲线切于点B(u，v). 又曲线的方程可写成函数y=则y'=-. 故曲线在点B处切线的斜率k=-. 所以曲线在点B处的切线方程为 y-v=-(x-u). 25 由题意可得，2-v=-(-4-u). ① 又点B在曲线xy-1=0上， 所以v=. ② 由①②得 因此，过点A有两条切线，方程分别为y+1=-(x+1) 和y-=-(x-2)，即分别为x+y+2=0和x+4y-4=0，如 图所示. 26 已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程. 例 2 ∵y'=,∴k=, ∴切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0. 27 求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程. 延伸探究 28 ∵O(0,0)不在曲线y=ln x上. ∴设切点为Q(x0,y0), 则切线的斜率k=. 又切线的斜率k==, ∴=,即x0=e, ∴Q(e,1), ∴k=, ∴切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0. 29 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 反 思 感 悟 30 　(1)函数y=x3在点(2,8)处的切线方程为 A.y=12x-16 B.y=12x+16 C.y=-12x-16 D.y=-12x+16 跟踪训练 2 √ 因为y'=3x2, 当x=2时,y'=12, 故切线的斜率为12, 切线方程为y=12x-16. 31 (2)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c的值为　　. 设切点为(x0,ln x0), 由y=ln x得y'=. 因为曲线y=ln x在x=x0处的切线方程为x-y+c=0,其斜率为1. 所以有=1, 即x0=1,所以切点为(1,0). 所以1-0+c=0, 解得c=-1. -1 32 导数公式的实际应用 三 　　　(课本例1)　不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体.已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体表面积的多少？ 立方体的体积V(x)=x3，表面积S(x)=6x2. 因为V'(x)=(x3)'=3x2， 所以其体积关于x的变化率为3x2，是立方体表面积的. 例 3 34 如图,质点P在半径为1 m的圆上沿逆时针做 匀角速运动,角速度为1 rad/s,设A为起始点,求时刻 t时,点P在y轴上的投影点M的速度. 例 3 35 时刻t时,∵角速度为1 rad/s, ∴∠POA=1·t=t rad, ∴∠MPO=∠POA=t rad, ∴OM=OP·sin∠MPO=1·sin t, ∴点M的运动方程为y=sin t, ∴v=y'=(sin t)'=cos t, 即时刻t时,点P在y轴上的投影点M的速度为cos t m/s. 36 由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数. 反 思 感 悟 37 　从时刻t=0开始的t秒内,通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q=cos t表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安). 跟踪训练 3 由q=cos t得q'=-sin t, 所以q'(5)=-sin 5,q'(7)=-sin 7, 即第5秒,第7秒时的电流强度分别是-sin 5安,-sin 7安. 38 1.知识清单： (1)常用函数的导数. (2)基本初等函数的导数公式及应用. (3)利用导数研究曲线的切线方程. 2.方法归纳：求导时方程思想、待定系数法. 3.常见误区：求导前未先化简或变形成基本初等函数. 课堂小结 随堂演练 四 对于A,y'=0,故A错误; 对于B,∵y==x-2,∴y'=-2x-3=-,故B正确; 显然C,D正确. 1.(多选)下列选项正确的是 A.若y=ln 2,则y'= B.若y=,则y'=- C.若y=2x,则y'=2xln 2 D.若y=log2x,则y'= √ √ √ 1 2 3 4 1 2 3 4 2.一质点的运动方程为s=cos t,则当t=1时质点的瞬时速度为 A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.2sin 1 s'=-sin t,当t=1时,s'=-sin 1, 所以当t=1时质点的瞬时速度为-sin 1. √ 由f(x)=,得f'(x)=, ∴f'(8)=×=. 1 2 3 4 3.已知f(x)=,则f'(8)等于 A.0 B.2 C. D.-1 √ 令y=f(x)=, ∵f'(x)=-, ∴f'(1)=-1, 即在点M(1,1)处的切线的斜率为-1, 故切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. 4.曲线y=在点M(1,1)处的切线方程是　　　　 . x+y-2=0 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.下列求导运算正确的是 A.(ex)'=xex-1 B.(x3)'=x3ln x C.(2 025x)'=2 025xln 2 025 D.(ln x)'= 由基本初等函数的求导公式可知C正确. 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知y=sin 30°,则y'等于 A. B. C.0 D.不存在 函数y=sin 30°为常数函数,导数为0. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知函数f(x)=xα(α∈R,且α≠0),若f'(-1)=-4,则α的值等于 A.4 B.-4 C.5 D.-5 ∵f'(x)=αxα-1, ∴f'(-1)=α(-1)α-1=-4, ∴α=4. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知f(x)=x2,g(x)=x,若m满足f'(m)+g'(m)=3,则m的值为 A.1 B.3 C.5 D.7 f'(x)+g'(x)=2x+1, ∴2m+1=3,解得m=1. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为 A.y=x B.y=2x-1 C.y=2x+1 D.y=3x-2 由题知,y'=2x,y'|x=1=2, ∴切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时,P点的坐标为 A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) y'=3x2,因为k=3, 所以3x2=3,所以x=±1, 则P点坐标为(-1,-1)或(1,1). 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是　　　　. 因为y'=, 所以切线方程为y-=(x-a), 令x=0,得y=,令y=0,得x=-a, 由题意知··a=2,所以a=4. 13 14 15 16 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品价格上涨的速度大约是　　　　.(精确到0.01元/年,其中1.0510≈1.63,ln 1.05≈0.05)  当p0=1时,p(t)=1.05t,∴p'(t)=1.05tln 1.05.∴p'(10)=1.0510ln 1.05≈0.08. 13 14 15 16 0.08 ∵f'(x)=,∴f'(4)=,又f(4)=2, ∴y=f(x)在点(4,2)处的切线方程为y-2=(x-4),即x-4y+4=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知f(x)=,求曲线y=f(x)在点(4,2)处的切线方程. 13 14 15 16 如图,当曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最近. 则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线斜率为1, 又y'=(ex)'=ex, 所以=1,得x0=0, 代入y=ex,得y0=1,即P(0,1). 则点P到直线y=x的最小距离d==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 13 14 15 16 由题可知,函数y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f',因为直线x+y-3=0的斜率为-1,所以-f'=-1,解得f'=1,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知函数y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y-3=0垂直,则f'(1)等于 A.2 B.0 C.1 D.-1 综合运用 √ 13 14 15 16 12.已知点P在曲线y=sin2-cos2上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 A.∪ B.[0,π) C. D.∪ ∵y=sin2-cos2=-cos x,∴y'=sin x.设P(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率为k=tan α=sin x0,∴-1≤tan α≤1.∵0≤α<π,∴α∈∪. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线y=kx是曲线y=3x的切线,则k的值为　　　　. 设切点为(x0,y0),因为y'=3xln 3, 所以k=ln 3,所以y=ln 3·x. 又因为(x0,y0)在曲线y=3x上, 所以ln 3·x0=, 所以x0==log3e,所以k=eln 3. eln 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x, f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依此类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则f2 026(x)=f2(x)=-sin x. 14.设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 026(x)=　　 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -sin x 13 14 15 16 15.已知A,B,C三点在曲线y=上,其横坐标依次为1,m,4(1<m<4),当△ABC的面积最大时,m的值为　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 如图,在△ABC中,边AC是确定的,要使△ABC的面积最大,则点B到直线AC的距离应最大,可以将直线AC作平行移动,显然当直线与曲线相切时,距离达到最大,即当过B点的切线平行于直线AC时,△ABC的面积最大. ∵y'|x=m=,A点坐标为(1,1),C点坐标为(4,2), ∴kAC==,∴=,∴m=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 导函数y'=(n+1)xn, 切线斜率k=n+1, 所以切线方程为y=(n+1)x-n, 可求得切线与x轴的交点为, 则an=lg=lg n-lg(n+1), 所以a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2. 16.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,求a1+a2+…+a99的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$