第1章 1.1.3 导数的几何意义-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1章 <<< 1.1.3　导数的几何意义 1.理解导数的几何意义,会求导数. 2.会求曲线的切线方程. 学习目标 在投篮过程中,篮球的轨迹为抛物线,根据篮球的运动轨迹,我们知道,篮球的速度方向线就是抛物线的切线,我们如何能作出抛物线的切线呢?一般地,我们如何作出一般曲线的切线呢? 导 语 一、导数的几何意义 二、求切点坐标或参数值 课时对点练 三、求曲线过某点的切线方程 随堂演练 内容索引 导数的几何意义 一 导数f'(x0)的几何意义是什么? 问题1 提示　我们知道导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处 的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化 情况,如图. 容易发现,平均变化率表示的是割线P0P的斜率,当P点沿着曲线无限趋近于P0点时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定的位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线,因此,切线P0T的斜率k就是函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),即k=f'(x0),这就是导数的几何意义. 如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程? 问题2 提示　根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线的点斜式方程求出切线方程. 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点? 问题3 提示　不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示. 导数f'(x)的几何意义就是该曲线在点 处的切线的 . (x,f(x)) 斜率 知识梳理 　　　(课本例10)　求曲线f(x)=在点A处切线的斜率. 如图，在曲线上另取一点B. 因为kAB=== 在所求得的斜率表达式中，当d→0时，kAB→. 因此，所求切线的斜率k=. 例 1 11 求曲线y=在点处的切线方程. 例 1 12 ==-, 当d→0时,-→-. ∴f'(2)=-, ∵点在曲线y=上, ∴曲线在点处的切线的斜率为-, 由直线的点斜式方程可得切线方程为y-=-(x-2), 即x+4y-4=0. 13 求曲线在某点处的切线方程,先由导数的几何意义求出斜率,再根据直线的点斜式方程写出切线方程. 反 思 感 悟 14 　已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程. 跟踪训练 1 ==4+2d+d2. 当d→0时,4+2d+d2→4. ∴f'(2)=4, 由于点P(2,4)在曲线y=x3+上, ∴曲线在点P处的切线的斜率k=f'(2)=4. 故曲线在点P处的切线方程为 y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 15 二 求切点坐标或参数值 已知函数f(x)=x2,在曲线y=f(x)上某点P处的切线满足下列条件,分别求出P点. (1)平行于直线y=4x-5; 例 2 17 设P(x0,y0)是满足条件的点, ∵==2x0+d, 当d→0时,2x0+d→2x0, ∴过点P的切线的斜率k=2x0. ∵切线与直线y=4x-5平行, ∴2x0=4,x0=2,y0=4, 即P(2,4)是满足条件的点. 18 (2)垂直于直线2x-6y+5=0; ∵切线与直线2x-6y+5=0垂直, ∴2x0·=-1,得x0=-,y0=, 即P是满足条件的点. 19 (3)与x轴成135°的倾斜角. ∵切线与x轴成135°的倾斜角,∴其斜率为-1. 即2x0=-1,得x0=-,y0=, 即P是满足条件的点. 20 (1)设切点坐标为(x0,y0). (2)求切线的斜率f'(x0). (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0. (4)将x0代入f(x),求y0,得切点坐标. 切点坐标的求法 反 思 感 悟 21 　已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a的值为　　　. 跟踪训练 2 1 由题意知,当x=1,d→0时,→4, 又==3+3d+d2+a, ∴当d→0时,3+3d+d2+a→4, ∴3+a=4,即a=1. 22 求曲线过某点的切线方程 三 如何求过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程? 问题4 提示　过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求解步骤： (1)设切点(x0,f(x0)). (2)建立方程f'(x0)=. (3)解方程得k=f'(x0),由x0,f(x0)及k,写出切线方程. 求抛物线y=f(x)=x2过点的切线方程. 例 3 25 设过点, ∵==x0+d, 当d→0时,x0+d→x0, ∴过切点的切线的斜率k=f'(x0)=x0, ∴=x0, 即-8x0+7=0,解得x0=7或x0=1, 即切点坐标为,,故切线方程为y-=(x-7)或y-=(x-1), 即所求的切线方程为14x-4y-49=0或2x-4y-1=0. 26 求曲线过某点的切线方程时,该点未必是切点,应该设出切点坐标(x0,y0),根据导数的几何意义和斜率公式列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 反 思 感 悟 27 　已知曲线C：y=x3. (1)求曲线C在x=1处的切线方程; 跟踪训练 3 28 将x=1代入曲线C的方程得y=1, 所以切点为(1,1), 由题意得==3+3d+d2, 当d→0时,3+3d+d2→3, 所以曲线C在点(1,1)处的切线的斜率为3, 故曲线C在点(1,1)处的切线的方程为 y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 29 (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程. 30 设过点(1,1)的直线与曲线C相切于点(x0,y0), 则==3x0d+3+d2, 当d→0时,3x0d+3+d2→3, 由题意可知切线方程为y-y0=3(x-x0), 又切线过点(1,1), 所以1-y0=3(1-x0), 又y0=, 31 所以1-=3(1-x0), 整理得(x0-1)2(2x0+1)=0, 解得x0=1或x0=-. ①当x0=1时,切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x-y-2=0. ②当x0=-时,切点坐标为,相应的切线方程为y+=, 即3x-4y+1=0. 故所求的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 32 1.知识清单： (1)导数的几何意义. (2)求切点坐标或参数值. (3)求曲线过某点的切线方程. 2.方法归纳：方程思想、数形结合. 3.常见误区：曲线过某点,该点不一定是切点. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定 由导数的几何意义,知f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f'(xA)<f'(xB). 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 √ 因为f'(x0)=0,所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,即在点(x0,f(x0))处的切线与x轴平行或重合. ==1-. 当d→0时,→2,则f'(1)=-1, ∴曲线在点A处的切线斜率为-1. 1 2 3 4 3.曲线f(x)=x+在点A(1,3)处的切线斜率为 A.-1 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 4.已知曲线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为　　　　. 设切点坐标为(x0,y0), 则=4x0+2d, 当d→0时,4x0+2d→4x0, 又切线的斜率k=tan 45°=1, ∴4x0=1,即x0=, ∴y0=2×+1=, ∴切点坐标为. 1 2 3 4 课时对点练 五 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.(多选)下面说法不正确的是 A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)必存在 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f'(x0)有可能存在 √ 基础巩固 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f'(1)等于 A.4 B.-4 C.-2 D.2 √ 由导数的几何意义知f'(1)=2. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 √ 由f'(x1)>0,f'(x2)<0可知,f(x)的图象在x1处切线的斜率为正,在x2处切线的斜率为负. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知函数y=f(x)=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则的值为 A.1 B.2 C.3 D. √ 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得f'(1)=2, 又=2a+ad, 当d→0时,2a+ad→2a, ∴2a=2,即a=1, 又f(1)=a+b=3,则b=2, ∴=2. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.若曲线f(x)=的一条切线l与直线2x+y-8=0垂直,则l的方程为 A.x-2y+1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y-1=0 D.2x-y-1=0 √ 13 14 15 16 设切点为(x0,y0), 则==, 当d→0时,→, 则kl=, 又由题意可知,·(-2)=-1,解得x0=1. 所以切点坐标为(1,1), 切线方程为y-1=(x-1), 即x-2y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为的是 A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) √ 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设切点坐标为(x0,y0), ==3-2+3x0d+d2, 当d→0时,3-2+3x0d+d2→3-2, 则k=f'(x0)=3-2, 又由题意知k=tan =1, ∴3-2=1, ∴x0=±1, 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当x0=1时,y0=-1, 当x0=-1时,y0=1. 故切点坐标为(1,-1)或(-1,1). 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则f'(2)=　　　. 因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知f'(2)=3. 13 14 15 16 3 8.已知f(x)=x2+ax,f'(1)=4,曲线f(x)在x=1处的切线在y轴上的截距为-1,则实数a的值为　　. 由导数的几何意义,得切线的斜率k=f'(1)=4. 又切线在y轴上的截距为-1, 所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=4x-1, 从而可得切点坐标为(1,3), 所以f(1)=1+a=3,即a=2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ==3d+2. 当d→0时,3d+2→2, ∴曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率为2. ∴过点P(-1,2)的直线的斜率为2, 由点斜式方程得y-2=2(x+1), 即2x-y+4=0. 所以所求直线方程为2x-y+4=0. 9.求过点P(-1,2)且与曲线f(x)=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 得 ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8),(3,13). 10.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求： (1)它们的交点; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ==2x+d, 当d→0时,2x+d→2x, ∴f'(x)=2x, ∴f'(-2)=-4,f'(3)=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6, ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0, 在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0. (2)抛物线在交点处的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(多选)过点(2,0)作曲线y=f(x)=x3的切线l,则直线l的方程可能为 A.y=0 B.x=0 C.12x-y-24=0 D.27x-y-54=0 综合运用 √ √ 13 14 15 16 由f(x)=x3,设切点(x0,). 则=3x0d+3+d2, 当d→0时,3x0d+3+d2→3, ∴在x=x0处的切线方程为 y-=3(x-x0), 把点(2,0)代入并解得x0=0或x0=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x0=0时,切线方程为y=0; 当x0=3时,切点为(3,27),斜率k=27, 故切线方程为y-27=27(x-3), 整理得27x-y-54=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是 A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(-∞,1) D.(1,+∞) ∵曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k, 设点P(x0,y0), 则==1-, 当d→0时,1-→1-, ∴k=f'(x0)=1-<1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是 A.f'(a)<f'(b)<f'(c) B.f'(b)<f'(c)<f'(a) C.f'(a)<f'(c)<f'(b) D.f'(c)<f'(a)<f'(b) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图,分别作曲线在x=a,x=b,x=c三处的切线l1,l2, l3,设切线的斜率分别为k1,k2,k3,易知k1<k2<k3,又f'(a)=k1,f'(b)=k2,f'(c)=k3,所以f'(a)<f'(b)<f'(c). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若点P是曲线y=f(x)=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为　 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为曲线y=f(x)=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2, 设点P(x0,y0), 由导数的几何意义知=2x0+d, 当d→0时,2x0+d→2x0, 所以2x0=1,解得x0=, 则y0=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以点P的坐标为, 故点P到直线y=x-2的最小距离为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,f'(0)>0,且对于任意实数x,都有f(x)≥0,则的最小值为　　　　. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 ∵==b+ad, 当d→0时,b+ad→b, ∴f'(0)=b>0, 又∴ac≥,∴c>0. ∴=≥≥=2. 当且仅当a=c=时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.点P在曲线y=f(x)=x2+1上,且曲线y=f(x)在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设P(x0,y0), 则y0=+1, ==2x0+d, 当d→0时,2x0+d→2x0, 所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-y0=2x0(x-x0), 即y=2x0x+1-, 又此切线与曲线y=-2x2-1相切, 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以切线与曲线y=-2x2-1只有一个公共点, 由 得2x2+2x0x+2-=0, 则Δ=4-8(2-)=0, 解得x0=±,则y0=, 所以点P的坐标为. 13 14 15 16 第一章 <<< $$ 1.1.3　导数的几何意义 [学习目标]　1.理解导数的几何意义,会求导数.2.会求曲线的切线方程. 导语 在投篮过程中,篮球的轨迹为抛物线,根据篮球的运动轨迹,我们知道,篮球的速度方向线就是抛物线的切线,我们如何能作出抛物线的切线呢?一般地,我们如何作出一般曲线的切线呢? 一、导数的几何意义 问题1　导数f'(x0)的几何意义是什么? 提示　我们知道导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况,如图. 容易发现,平均变化率表示的是割线P0P的斜率,当P点沿着曲线无限趋近于P0点时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定的位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线,因此,切线P0T的斜率k就是函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),即k=f'(x0),这就是导数的几何意义. 问题2　如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程? 提示　根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线的点斜式方程求出切线方程. 问题3　曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点? 提示　不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示. 知识梳理 导数f'(x)的几何意义就是该曲线在点(x,f(x))处的切线的斜率. 例1　(课本例10)　求曲线f(x)=在点A处切线的斜率. 解　如图，在曲线上另取一点B. 因为kAB=== 在所求得的斜率表达式中，当d→0时，kAB→. 因此，所求切线的斜率k=. 例1　求曲线y=在点处的切线方程. 解　==-, 当d→0时,-→-. ∴f'(2)=-, ∵点在曲线y=上, ∴曲线在点处的切线的斜率为-, 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y-=-(x-2), 即x+4y-4=0. 反思感悟　求曲线在某点处的切线方程,先由导数的几何意义求出斜率,再根据直线的点斜式方程写出切线方程. 跟踪训练1　已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程. 解　 = =4+2d+d2. 当d→0时,4+2d+d2→4. ∴f'(2)=4, 由于点P(2,4)在曲线y=x3+上, ∴曲线在点P处的切线的斜率k=f'(2)=4. 故曲线在点P处的切线方程为 y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 二、求切点坐标或参数值 例2　已知函数f(x)=x2,在曲线y=f(x)上某点P处的切线满足下列条件,分别求出P点. (1)平行于直线y=4x-5; (2)垂直于直线2x-6y+5=0; (3)与x轴成135°的倾斜角. 解　设P(x0,y0)是满足条件的点, ∵==2x0+d, 当d→0时,2x0+d→2x0, ∴过点P的切线的斜率k=2x0. (1)∵切线与直线y=4x-5平行, ∴2x0=4,x0=2,y0=4, 即P(2,4)是满足条件的点. (2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直, ∴2x0·=-1,得x0=-,y0=, 即P是满足条件的点. (3)∵切线与x轴成135°的倾斜角,∴其斜率为-1. 即2x0=-1,得x0=-,y0=, 即P是满足条件的点. 反思感悟　切点坐标的求法 (1)设切点坐标为(x0,y0). (2)求切线的斜率f'(x0). (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0. (4)将x0代入f(x),求y0,得切点坐标. 跟踪训练2　已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a的值为　　　　　.  答案　1 解析　由题意知,当x=1,d→0时,→4, 又==3+3d+d2+a, ∴当d→0时,3+3d+d2+a→4, ∴3+a=4,即a=1. 三、求曲线过某点的切线方程 问题4　如何求过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程? 提示　过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求解步骤: (1)设切点(x0,f(x0)). (2)建立方程f'(x0)=. (3)解方程得k=f'(x0),由x0,f(x0)及k,写出切线方程. 例3　求抛物线y=f(x)=x2过点的切线方程. 解　设过点的切线与抛物线相切于点, ∵= =x0+d, 当d→0时,x0+d→x0, ∴过切点的切线的斜率k=f'(x0)=x0, ∴=x0, 即-8x0+7=0,解得x0=7或x0=1, 即切点坐标为,,故切线方程为 y-=(x-7)或y-=(x-1), 即所求的切线方程为14x-4y-49=0或2x-4y-1=0. 反思感悟　求曲线过某点的切线方程时,该点未必是切点,应该设出切点坐标(x0,y0),根据导数的几何意义和斜率公式列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 跟踪训练3　已知曲线C:y=x3. (1)求曲线C在x=1处的切线方程; (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程. 解　(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, 所以切点为(1,1), 由题意得= =3+3d+d2, 当d→0时,3+3d+d2→3, 所以曲线C在点(1,1)处的切线的斜率为3, 故曲线C在点(1,1)处的切线的方程为 y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. (2)设过点(1,1)的直线与曲线C相切于点(x0,y0), 则= =3x0d+3+d2, 当d→0时,3x0d+3+d2→3, 由题意可知切线方程为y-y0=3(x-x0), 又切线过点(1,1), 所以1-y0=3(1-x0), 又y0=, 所以1-=3(1-x0), 整理得(x0-1)2(2x0+1)=0, 解得x0=1或x0=-. ①当x0=1时,切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x-y-2=0. ②当x0=-时,切点坐标为,相应的切线方程为y+=, 即3x-4y+1=0. 故所求的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 1.知识清单: (1)导数的几何意义. (2)求切点坐标或参数值. (3)求曲线过某点的切线方程. 2.方法归纳:方程思想、数形结合. 3.常见误区:曲线过某点,该点不一定是切点. 1. 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　) A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定 答案　B 解析　由导数的几何意义,知f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f'(xA)<f'(xB). 2.若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线(　　) A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 答案　B 解析　因为f'(x0)=0,所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,即在点(x0,f(x0))处的切线与x轴平行或重合. 3.曲线f(x)=x+在点A(1,3)处的切线斜率为(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　==1-. 当d→0时,→2,则f'(1)=-1, ∴曲线在点A处的切线斜率为-1. 4.已知曲线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为　　　　.  答案　 解析　设切点坐标为(x0,y0), 则=4x0+2d, 当d→0时,4x0+2d→4x0, 又切线的斜率k=tan 45°=1, ∴4x0=1,即x0=, ∴y0=2×+1=, ∴切点坐标为. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共18分 1.(多选)下面说法不正确的是(　　) A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)必存在 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f'(x0)有可能存在 答案　ABD 解析　根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误. 2.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f'(1)等于(　　) A.4 B.-4 C.-2 D.2 答案　D 解析　由导数的几何意义知f'(1)=2. 3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) 答案　D 解析　由f'(x1)>0,f'(x2)<0可知,f(x)的图象在x1处切线的斜率为正,在x2处切线的斜率为负. 4.已知函数y=f(x)=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D. 答案　B 解析　由题意得f'(1)=2, 又=2a+ad, 当d→0时,2a+ad→2a, ∴2a=2,即a=1, 又f(1)=a+b=3,则b=2, ∴=2. 5.若曲线f(x)=的一条切线l与直线2x+y-8=0垂直,则l的方程为(　　) A.x-2y+1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y-1=0 D.2x-y-1=0 答案　A 解析　设切点为(x0,y0), 则==, 当d→0时,→, 则kl=, 又由题意可知,·(-2)=-1,解得x0=1. 所以切点坐标为(1,1), 切线方程为y-1=(x-1), 即x-2y+1=0. 6.(多选)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为的是(　　) A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) 答案　BC 解析　设切点坐标为(x0,y0), = =3-2+3x0d+d2, 当d→0时,3-2+3x0d+d2→3-2, 则k=f'(x0)=3-2, 又由题意知k=tan =1, ∴3-2=1, ∴x0=±1, 当x0=1时,y0=-1, 当x0=-1时,y0=1. 故切点坐标为(1,-1)或(-1,1). 7.(5分)已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则f'(2)=　　　　.  答案　3 解析　因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知f'(2)=3. 8.(5分)已知f(x)=x2+ax,f'(1)=4,曲线f(x)在x=1处的切线在y轴上的截距为-1,则实数a的值为　　　　.  答案　2 解析　由导数的几何意义,得切线的斜率k=f'(1)=4. 又切线在y轴上的截距为-1, 所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=4x-1, 从而可得切点坐标为(1,3), 所以f(1)=1+a=3,即a=2. 9.(10分)求过点P(-1,2)且与曲线f(x)=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程. 解　= =3d+2. 当d→0时,3d+2→2, ∴曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率为2. ∴过点P(-1,2)的直线的斜率为2, 由点斜式方程得y-2=2(x+1), 即2x-y+4=0. 所以所求直线方程为2x-y+4=0. 10.(10分)已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求: (1)它们的交点;(4分) (2)抛物线在交点处的切线方程.(6分) 解　(1)由 得或 ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8),(3,13). (2)==2x+d, 当d→0时,2x+d→2x, ∴f'(x)=2x, ∴f'(-2)=-4,f'(3)=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6, ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0, 在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0. 11.(多选)过点(2,0)作曲线y=f(x)=x3的切线l,则直线l的方程可能为(　　) A.y=0 B.x=0 C.12x-y-24=0 D.27x-y-54=0 答案　AD 解析　由f(x)=x3,设切点(x0,). 则=3x0d+3+d2, 当d→0时,3x0d+3+d2→3, ∴在x=x0处的切线方程为 y-=3(x-x0), 把点(2,0)代入并解得x0=0或x0=3. 当x0=0时,切线方程为y=0; 当x0=3时,切点为(3,27),斜率k=27, 故切线方程为y-27=27(x-3), 整理得27x-y-54=0. 12.若曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 答案　C 解析　∵曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k, 设点P(x0,y0), 则 = =1-, 当d→0时,1-→1-, ∴k=f'(x0)=1-<1. 13. 已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是(　　) A.f'(a)<f'(b)<f'(c) B.f'(b)<f'(c)<f'(a) C.f'(a)<f'(c)<f'(b) D.f'(c)<f'(a)<f'(b) 答案　A 解析　如图,分别作曲线在x=a,x=b,x=c三处的切线l1,l2,l3,设切线的斜率分别为k1,k2,k3,易知k1<k2<k3,又f'(a)=k1,f'(b)=k2,f'(c)=k3,所以f'(a)<f'(b)<f'(c). 14.(5分)若点P是曲线y=f(x)=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为　　　　.  答案　 解析　由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为曲线y=f(x)=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2, 设点P(x0,y0), 由导数的几何意义知=2x0+d, 当d→0时,2x0+d→2x0, 所以2x0=1,解得x0=, 则y0=, 所以点P的坐标为, 故点P到直线y=x-2的最小距离为=. 15.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,f'(0)>0,且对于任意实数x,都有f(x)≥0,则的最小值为　　　　.  答案　2 解析　∵= =b+ad, 当d→0时,b+ad→b, ∴f'(0)=b>0, 又∴ac≥,∴c>0. ∴=≥≥=2. 当且仅当a=c=时等号成立. 16.(12分)点P在曲线y=f(x)=x2+1上,且曲线y=f(x)在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标. 解　设P(x0,y0), 则y0=+1, = =2x0+d, 当d→0时,2x0+d→2x0, 所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为 y-y0=2x0(x-x0), 即y=2x0x+1-, 又此切线与曲线y=-2x2-1相切, 所以切线与曲线y=-2x2-1只有一个公共点, 由 得2x2+2x0x+2-=0, 则Δ=4-8(2-)=0, 解得x0=±,则y0=, 所以点P的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$