第1章 1.1.1 函数的平均变化率-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

1.1.1　函数的平均变化率 [学习目标]　1.理解平均变化率的含义.2.会求函数在给定区间上的平均变化率,并能用平均变化率解释一些实际问题. 导语 你登过泰山吗?登山过程中,你会体验到“六龙过万壑”的雄奇,感受到“会当凌绝顶,一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时,你感觉怎样?是平缓的山好攀登,还是陡峭的山好攀登?陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢.从数学的角度,如何量化曲线的“陡峭”程度呢? 一、平均速度 问题1　在一次跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,根据上述探究,你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤内的平均速度吗?有什么发现? 提示　当0≤t≤0.5时,==4.05(m/s); 当1≤t≤2时,==-8.2(m/s); 当0≤t≤时,==0(m/s). 虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s,但实际情况是,该运动员仍在运动,可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态. 例1　(课本例1)　设数轴上动点P在任何时刻t的位置均可用函数f(t)=0.5t+1表示，求点P在时间段[a，b]内的平均速度v[a，b]. 解　由于v[a，b]===0.5， 所以点P在时间段[a，b]内的平均速度为0.5. 例1　某物体运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈. (1)分别求该物体在t∈和t∈上的平均速度; (2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义. 解　(1)物体在区间上的平均速度为 === =(m/s). 物体在区间上的平均速度为 ===(m/s). (2)由(1)可知-=>0,所以<.作出函数s(t)=sin t在上的图象,如图所示,可以发现,s(t)=sin t在上随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢. 反思感悟　求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)-s(t1). (2)再计算时间的改变量t2-t1. (3)得平均速度=. 跟踪训练1　一质点按运动方程s(t)=做直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为(　　) A.-1 B.- C.-2 D.2 答案　B 解析　==-1=-. 二、函数的平均变化率 问题2　如图,从数学的角度刻画气温“陡升”,用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度? 提示　陡峭程度反映了气温变化的快与慢;AB两点相差31天,气温增加了15.1 ℃,则有≈0.5;而BC两点相差2天,气温增加了14.8 ℃,则有=7.4,我们用此值刻画了变量变化的快慢程度. 知识梳理 1.平均变化率的概念 一般地,函数y=f(x)的自变量有可能不是时刻,因变量有可能不表示位置,因而就不一定是平均速度,但仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减),因此我们把称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率. 2.平均变化率的几何意义 平均变化率的几何意义是经过曲线y=f(x)上两点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线AB的斜率.因此平均变化率是曲线陡峭程度的数量化,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的视觉化. 注意点: 平均变化率的绝对值大小,表示函数值变化的快慢,平均变化率的正负只表示变化的方向. 例2　(课本例5)　已知函数f(x)=3x+2，g(x)=x2，分别计算它们在区间[-2，-1]，[1，5]上的平均变化率. 解　函数f(x)=3x+2在[-2，-1]上的平均变化率为==3. 函数f(x)=3x+2在[1，5]上的平均变化率为=3. 函数g(x)=x2在[-2，-1]上的平均变化率为=-3. 函数g(x)=x2在[1，5]上的平均变化率为=6. 例2　已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)计算从x=1到x=1+d的平均变化率,其中d的值为①2;②1;③0.1;④0.01. (2)根据(1)中的计算,当d越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+d]上的平均变化率有怎样的变化趋势? 解　(1)∵h(1+d)-h(1)=-4.9d2-3.3d, ∴=-4.9d-3.3. ①当d=2时,-4.9d-3.3=-13.1. ②当d=1时,-4.9d-3.3=-8.2. ③当d=0.1时,-4.9d-3.3=-3.79. ④当d=0.01时,-4.9d-3.3=-3.349. (2)当d越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+d]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3. 反思感悟　求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量y2-y1. (2)再计算自变量的改变量x2-x1. (3)最后求平均变化率. 跟踪训练2　已知函数f(x)=-,则函数f(x)在区间[1,1.5],[1,1.1]上的平均变化率各是多少? 解　∵f(x)=-, ∴f(1)=-6,f(1.5)=-4,f(1.1)=-, ∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为==4, 在区间[1,1.1]上的平均变化率为 ==. 三、实际问题中的平均变化率 例3　(课本例4)　充满气的气球近似为球体.在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大.试描述气球的半径相对于体积的平均变化率. 解　设气球的半径为r，体积为V，则V=πr3， 所以r=. 例如，当0.5≤V≤1时，借助计算器可算得： 半径r的平均变化率==≈0.26. 当1≤V≤1.5时，借助计算器可算得： 半径r的平均变化率==≈0.18. 由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5增至1，再由1增至1.5，二者都增大了0.5，但r的平均变化率却由0.26变成0.18，变小了.也就是说，随着气球体积的逐渐增大，它的半径的平均变化率逐渐变小. 例3　2020年12月1日22时57分,“嫦娥五号”探测器从距离月球表面1 500 m处开始实施动力下降,7 500牛变推力发动机开机,逐步将探测器相对月球纵向速度从约1 500 m/s降为零.14分钟后,探测器成功在月球预选地着陆,记与月球表面距离的平均变化率为v,相对月球纵向速度的平均变化率为a,则(　　) A.v= m/s,a= m/s2 B.v=- m/s,a= m/s2 C.v= m/s,a=- m/s2 D.v=- m/s,a=- m/s2 答案　D 解析　探测器与月球表面的距离逐渐减小, 所以v==-(m/s); 探测器的速度逐渐减小,所以 a==-(m/s2). 反思感悟　平均变化率问题在生活中随处可见,常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等,分清自变量和因变量是解决此类问题的关键. 跟踪训练3　蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T=+15,其中T为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min),则从t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率为　　　　℃/min.  答案　-1.6 解析　= =-1.6(℃/min), ∴从t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率为-1.6 ℃/min. 1.知识清单: (1)平均速度. (2)函数的平均变化率. (3)平均变化率在实际问题中的应用. 2.方法归纳:公式法、转化法. 3.常见误区:对平均变化率的理解不透彻导致错误. 1. 如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　B 解析　平均变化率为=-1. 2.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为==1. 3.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 答案　B 解析　===2. 4.已知函数f(x)=2x2-4的图象上有两点A,B,且xA=1,xB=1.1,则直线AB的斜率为(　　) A.4 B.4x C.4.2 D.4.02 答案　C 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分 1.已知函数y=2+,当x由1变到2时,函数值的改变量等于(　　) A. B.- C.1 D.-1 答案　B 解析　函数值的改变量为-(2+1)=-. 2.函数y=在区间[1,4]上的平均变化率为(　　) A. B. C. D.3 答案　A 解析　设f(x)=,则函数y=在区间[1,4]上的平均变化率为===. 3. 甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是(　　) A.甲厂 B.乙厂 C.两厂一样 D.不确定 答案　B 解析　在t0处,虽然有W甲(t0)=W乙(t0), 但W甲(t0-Δt)<W乙(t0-Δt), 所以在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好. 4.设地铁在某段时间内进行调试,由始点起经过t秒后的距离为s(t)=t4-4t3+16t2(单位:米),则列车运行10秒的平均速度为(　　) A.10米/秒 B.8米/秒 C.4米/秒 D.0米/秒 答案　A 解析　列车从开始运行到10秒时,列车距离的增加量为s(10)-s(0)=100-0=100(米), 则列车运行10秒的平均速度为 =10(米/秒). 5. 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为(　　) A.>> B.>> C.>> D.>> 答案　B 解析　设直线O'A,AB,BC的斜率分别为kO'A,kAB,kBC,则==kO'A, ==kAB,==kBC,由题中图象知kBC>kAB>kO'A,即>>. 6.(多选)如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况,下列说法正确的是(　　) A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内,甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 答案　BC 解析　在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为=,故A错误,B正确;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以>,故C正确,D错误. 7.(5分)若函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率为2,则t=　　　　.  答案　5 解析　由题意知=2,整理得t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍). 8.(5分)已知函数y=sin x在区间,上的平均变化率分别为k1,k2,那么k1,k2的大小关系为　　　　.  答案　k1>k2 解析　当x∈时,平均变化率k1==,当x∈时,平均变化率k2==,故k1>k2. 9.(10分)已知函数f(x)=x2+3x在[0,m]上的平均变化率是函数g(x)=2x+1在[1,4]上的平均变化率的3倍,求实数m的值. 解　函数g(x)在[1,4]上的平均变化率为==2. 函数f(x)在[0,m]上的平均变化率为==m+3. 由题意知m+3=2×3,解得m=3. 10.(11分)为了检测甲、乙两辆车的刹车性能,分别对两辆车进行了测试,甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s,乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s,试比较两辆车的刹车性能. 解　甲车速度的平均变化率为=-5(m/s2). 乙车速度的平均变化率为=-4.5(m/s2), 平均变化率为负值说明速度在减少,因为刹车后,甲车的速度变化相对较快,所以甲车的刹车性能较好. 11.(多选)甲工厂八年来某种产品产量y与时间x(单位:年)的函数关系如图所示.现有下列四种说法,正确的是(　　) A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品产量保持不变 答案　BD 解析　设产量与时间的关系为y=f(x),由图象可知前四年该产品产量增长速度越来越慢,故A错误,B正确;由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化,且f(4)≠0,故C错误,D正确. 12. 函数y=f(x)的图象如图,则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得函数f(x)在区间[x,x+d]上的平均变化率为, 由图象可得,在区间[4,7]上,<0, 即函数f(x)在区间[4,7]上的平均变化率小于0; 在区间[1,2],[2,3],[3,4]上,>0且d相同, 由图象可知函数在区间[3,4]上的平均变化率最大. 13.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况(注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程). 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 10月1日 12 35 000 10月15日 60 35 600 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(　　) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 答案　C 解析　由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量V=60(升),这段时间行驶的里程数S=35 600-35 000=600(千米),故这段时间,该车每100千米平均耗油量为×100=10(升). 14.(5分)人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位:mg/mL)来表示,它是时间t(单位:min)的函数,表示为c=c(t),下表给出了c(t)的一些函数值: t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/(mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后30~70 min这段时间内,药物浓度的平均变化率为　　　　mg/(mL·min).  答案　-0.002 解析　= =-0.002 mg/(mL·min). 15.(5分)将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率为,则m的值为　　　　.  答案　2 解析　体积的增加量为m3-=(m3-1), 所以=, 所以m2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去). 16.(12分)圆柱形容器,其底面直径为2 m,深度为1 m,盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出,求液面高度的平均变化率. 解　设液体放出t s后液面高度为y m, 则π·12·y=π·12×1-0.01t, ∴y=1-t, 液面高度在t到t+d之间的平均变化率为 =-(m/s), 故液面高度的平均变化率为- m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 <<< 1.1.1　函数的平均变化率 1.理解平均变化率的含义. 2.会求函数在给定区间上的平均变化率,并能用平均变化率解释一些实际问题. 学习目标 你登过泰山吗?登山过程中,你会体验到“六龙过万壑”的雄奇,感受到“会当凌绝顶,一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时,你感觉怎样?是平缓的山好攀登,还是陡峭的山好攀登?陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢.从数学的角度,如何量化曲线的“陡峭”程度呢? 导 语 一、平均速度 二、函数的平均变化率 课时对点练 三、实际问题中的平均变化率 随堂演练 内容索引 平均速度 一 在一次跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,根据上述探究,你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤内的平均速度吗?有什么发现? 问题1 提示　当0≤t≤0.5时,==4.05(m/s); 当1≤t≤2时,==-8.2(m/s); 当0≤t≤时,==0(m/s). 虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s,但实际情况是,该运动员仍在运动,可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态. 由于v[a，b]===0.5， 所以点P在时间段[a，b]内的平均速度为0.5. 　　　(课本例1)　设数轴上动点P在任何时刻t的位置均可用函数f(t)=0.5t+1表示，求点P在时间段[a，b]内的平均速度v[a，b]. 例 1 8 物体在区间上的平均速度为 ====(m/s). 物体在区间上的平均速度为 ===(m/s). 某物体运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式为 s(t)=sin t,t∈. (1)分别求该物体在t∈和t∈上的平均速度; 例 1 9 由(1)可知-=>0,所以<.作出函数s(t)=sin t在上的图 象,如图所示,可以发现,s(t)=sin t在上随着t的增大,函数值s(t)变化 得越来越慢. (2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义. 10 (1)先计算位移的改变量s(t2)-s(t1). (2)再计算时间的改变量t2-t1. (3)得平均速度=. 求物体运动的平均速度的主要步骤 反 思 感 悟 11 　一质点按运动方程s(t)=做直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为 A.-1 B.- C.-2 D.2 跟踪训练 1 √ ==-1=-. 12 二 函数的平均变化率 如图,从数学的角度刻画气温“陡升”,用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度? 问题2 提示　陡峭程度反映了气温变化的快与慢;AB两点相差31天,气温增加了15.1 ℃,则有≈0.5;而BC两点相差2天,气温增加了14.8 ℃,则有=7.4,我们用此值刻画了变量变化的快慢程度. 1.平均变化率的概念 一般地,函数y=f(x)的自变量有可能不是时刻,因变量有可能不表示位置,因而就不一定是平均速度,但仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减),因此我们把_________称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率. 知识梳理 2.平均变化率的几何意义 平均变化率的几何意义是经过曲线y=f(x)上两点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线AB的 .因此平均变化率是曲线陡峭程度的数量化,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的视觉化. 斜率 平均变化率的绝对值大小,表示函数值变化的快慢,平均变化率的正负只表示变化的方向. 注 意 点 <<< 18 函数f(x)=3x+2在[-2，-1]上的平均变化率为==3. 函数f(x)=3x+2在[1，5]上的平均变化率为=3. 函数g(x)=x2在[-2，-1]上的平均变化率为=-3. 函数g(x)=x2在[1，5]上的平均变化率为=6. 　　　(课本例5)　已知函数f(x)=3x+2，g(x)=x2，分别计算它们在区间[-2，-1]，[1，5]上的平均变化率. 例 2 19 已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)计算从x=1到x=1+d的平均变化率,其中d的值为①2;②1;③0.1;④0.01. 例 2 ∵h(1+d)-h(1)=-4.9d2-3.3d, ∴=-4.9d-3.3. ①当d=2时,-4.9d-3.3=-13.1. ②当d=1时,-4.9d-3.3=-8.2. ③当d=0.1时,-4.9d-3.3=-3.79. ④当d=0.01时,-4.9d-3.3=-3.349. 20 (2)根据(1)中的计算,当d越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+d]上的平均变化率有怎样的变化趋势? 当d越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+d]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3. 21 (1)先计算函数值的改变量y2-y1. (2)再计算自变量的改变量x2-x1. (3)最后求平均变化率. 求函数平均变化率的步骤 反 思 感 悟 22 　已知函数f(x)=-,则函数f(x)在区间[1,1.5],[1,1.1]上的平均变化率各是多少? 跟踪训练 2 ∵f(x)=-, ∴f(1)=-6,f(1.5)=-4,f(1.1)=-, ∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为==4, 在区间[1,1.1]上的平均变化率为 ==. 23 实际问题中的平均变化率 三 　　　(课本例4)　充满气的气球近似为球体.在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大.试描述气球的半径相对于体积的平均变化率. 例 3 25 设气球的半径为r，体积为V，则V=πr3， 所以r=. 例如，当0.5≤V≤1时，借助计算器可算得： 半径r的平均变化率==≈0.26. 当1≤V≤1.5时，借助计算器可算得： 半径r的平均变化率==≈0.18. 26 由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5增至1，再由1增至1.5，二者都增大了0.5，但r的平均变化率却由0.26变成0.18，变小了.也就是说，随着气球体积的逐渐增大，它的半径的平均变化率逐渐变小. 27 2020年12月1日22时57分,“嫦娥五号”探测器从距离月球表面 1 500 m处开始实施动力下降,7 500牛变推力发动机开机,逐步将探测器相对月球纵向速度从约1 500 m/s降为零.14分钟后,探测器成功在月球预选地着陆,记与月球表面距离的平均变化率为v,相对月球纵向速度的平均变化率为a,则 A.v= m/s,a= m/s2 B.v=- m/s,a= m/s2 C.v= m/s,a=- m/s2 D.v=- m/s,a=- m/s2 例 3 √ 28 探测器与月球表面的距离逐渐减小, 所以v==-(m/s); 探测器的速度逐渐减小, 所以a==-(m/s2). 29 平均变化率问题在生活中随处可见,常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等,分清自变量和因变量是解决此类问题的关键. 反 思 感 悟 30 　蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T=+15,其中T为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min),则从t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率为　　　℃/min. -1.6 跟踪训练 3 ==-1.6(℃/min), ∴从t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率为-1.6 ℃/min. 31 1.知识清单: (1)平均速度. (2)函数的平均变化率. (3)平均变化率在实际问题中的应用. 2.方法归纳:公式法、转化法. 3.常见误区:对平均变化率的理解不透彻导致错误. 课堂小结 随堂演练 四 平均变化率为=-1. 1 2 3 4 1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于 A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 1 2 3 4 2.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为 A.-1 B.1 C.2 D.3 √ 因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为==1. ===2. 1 2 3 4 3.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是 A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 √ 1 2 3 4 4.已知函数f(x)=2x2-4的图象上有两点A,B,且xA=1,xB=1.1,则直线AB的斜率为 A.4 B.4x C.4.2 D.4.02 √ 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.已知函数y=2+,当x由1变到2时,函数值的改变量等于 A. B.- C.1 D.-1 √ 函数值的改变量为-(2+1)=-. 基础巩固 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.函数y=在区间[1,4]上的平均变化率为 A. B. C. D.3 √ 设f(x)=, 则函数y=在区间[1,4]上的平均变化率为===. 13 14 15 16 在t0处,虽然有W甲(t0)=W乙(t0), 但W甲(t0-Δt)<W乙(t0-Δt), 所以在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是 A.甲厂 B.乙厂 C.两厂一样 D.不确定 √ 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.设地铁在某段时间内进行调试,由始点起经过t秒后的距离为s(t)=t4-4t3+16t2(单位:米),则列车运行10秒的平均速度为 A.10米/秒 B.8米/秒 C.4米/秒 D.0米/秒 √ 列车从开始运行到10秒时,列车距离的增加量为s(10)-s(0)=100-0=100(米), 则列车运行10秒的平均速度为=10(米/秒). 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示, 在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,, ,则三者的大小关系为 A.>> B.>> C.>> D.>> √ 设直线O'A,AB,BC的斜率分别为kO'A,kAB,kBC,则==kO'A, ==kAB,==kBC,由题中图象知kBC>kAB>kO'A, 即>>. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况,下列说法正确的是 A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内,甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 √ √ 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为=,故A错误,B正确; 在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度 为,因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以>,故C正 确,D错误. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率为2,则t=　　. 由题意知=2,整理得t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍). 5 13 14 15 16 8.已知函数y=sin x在区间,上的平均变化率分别为k1,k2,那么k1,k2的大小关系为　　　　. 当x∈时,平均变化率k1==,当x∈时,平均变化率k2==,故k1>k2. k1>k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知函数f(x)=x2+3x在[0,m]上的平均变化率是函数g(x)=2x+1在[1,4]上的平均变化率的3倍,求实数m的值. 函数g(x)在[1,4]上的平均变化率为==2. 函数f(x)在[0,m]上的平均变化率为==m+3. 由题意知m+3=2×3,解得m=3. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能,分别对两辆车进行了测试,甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s,乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s,试比较两辆车的刹车性能. 甲车速度的平均变化率为=-5(m/s2). 乙车速度的平均变化率为=-4.5(m/s2), 平均变化率为负值说明速度在减少,因为刹车后,甲车的速度变化相对较快,所以甲车的刹车性能较好. 13 14 15 16 11.(多选)甲工厂八年来某种产品产量y与时间x(单位:年)的函数关系如图所示.现有下列四种说法,正确的是 A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品产量保持不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合运用 √ √ 13 14 15 16 设产量与时间的关系为y=f(x),由图象可知前四年该产品产量增长速度越来越慢,故A错误,B正确; 由题图可知从第四年开始产品产量不发 生变化,且f(4)≠0,故C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.函数y=f(x)的图象如图,则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得函数f(x)在区间[x,x+d]上的平均变化率为, 由图象可得,在区间[4,7]上,<0, 即函数f(x)在区间[4,7]上的平均变化率小于0; 在区间[1,2],[2,3],[3,4]上,>0且d相同, 由图象可知函数在区间[3,4]上的平均变化率最大. 13 14 15 16 13.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况(注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程) 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 10月1日 12 35 000 10月15日 60 35 600 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量V=60(升),这段时间行驶的里程数S=35 600-35 000=600(千米),故这段时间,该车每100千米平均耗油量为×100=10(升). 13 14 15 16 ==-0.002 mg/(mL·min). 14.人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位:mg/mL)来表示,它是时间t(单位:min)的函数,表示为c=c(t),下表给出了c(t)的一些函数值: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/(mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后30~70 min这段时间内,药物浓度的平均变化率为　　 mg/(mL·min). -0.002 13 14 15 16 体积的增加量为m3-=(m3-1), 所以=, 所以m2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去). 15.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率为,则m的值为　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 2 13 14 15 16 设液体放出t s后液面高度为y m, 则π·12·y=π·12×1-0.01t, ∴y=1-t, 液面高度在t到t+d之间的平均变化率为=-(m/s), 故液面高度的平均变化率为- m/s. 16.圆柱形容器,其底面直径为2 m,深度为1 m,盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出,求液面高度的平均变化率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$