第4章 习题课 与球有关的内切、外接问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

习题课　与球有关的内切、外接问题 [学习目标]　1.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.2.会求特殊几何体的内切球的相关问题. 导语 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法 例1　(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，一个底面的周长为3，则这个球的体积为　　　　.  答案　 解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 则有∴ ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=， 球心到底面的距离d=. ∴外接球的半径R==1.∴V球=. (2)在三棱锥A-BCD中，侧棱长均为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为　　　　.  答案　 解析　由题意知该三棱锥为正三棱锥，如图所示，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面△BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心， 令O'A=O'D=R， ∵OD=DE=×2×=2，AD=2， ∴AO==4， ∴OO'=4-R， 又OO'2+OD2=O'D2， ∴(4-R)2+4=R2，解得R=， ∴V球=πR3=. 反思感悟　找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 跟踪训练1　正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A.　B.16π　C.9π　D. 答案　A 解析　如图，设球心为O，半径为r，AE=，OE=4-r，则在Rt△AOE中，(4-r)2+()2=r2(或(r-4)2+()2=r2)，解得r=， ∴该球的表面积为4πr2=4π×=. 二、构造法 例2　(1)三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.  答案　4π 解析　因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R. ∵V三棱锥A-BCD=××BC×CD×AB =×2×CD×2=， ∴CD=2，∴该长方体为正方体， ∴AD=2，∴R=， 故外接球的体积为V=πR3=4π. 延伸探究　若把条件改为三棱锥A-BCD的三个面是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.  答案　4π 解析　因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD， 构造如图所示的长方体， 则AE为三棱锥A-BCD的外接球的直径， 设外接球的半径为R. V三棱锥A-BCD=××BC×BD×AB =×2×BD×2=， ∴BD=2，∴该长方体为正方体， ∴AE=2，∴R=， ∴外接球的体积为V=πR3=4π. (2)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有(　　) A.该半正多面体的体积为 B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 C.该半正多面体外接球的表面积为8π D.该半正多面体的表面积为6+2 答案　D 解析　如图，因为AB=1， 所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去八个三棱锥所得到的， 所以该半正多面体的体积V=()3-8××××=，故A错误； 根据该半正多面体的对称性可知，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED， 又AB=1，所以正六边形的面积S=6××1×1×=，故B错误； 根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心， 即正六边形ABCFED的中心，故半径R=1， 所以该半正多面体外接球的表面积为S=4πR2=4π×12=4π，故C错误； 因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1， 所以其表面积为8××1×1×+6×12=6+2，故D正确. 反思感悟　构造法的解题策略 (1)侧面为直角三角形的四面体或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解. ①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示. ②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示. ③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示. ④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示. (2)将直三棱锥补成三棱柱求解. 跟踪训练2　三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是，，，则该三棱锥的外接球的体积是(　　) A.　B.　C.π　D.8π 答案　C 解析　三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设PA=a，PB=b，PC=c， 令ab=，bc=，ca=， 解得a=，b=1，c=. 则长方体的体对角线长为=. 所以外接球的直径是，半径R=， 则外接球的体积V=πR3=π. 三、寻求轴截面圆半径法 例3　已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB=.连接OO1， 则OO1⊥平面ABC， OO1===， 所以三棱锥O-ABC的体积V=S△ABC·OO1=××1×1×=. 反思感悟　与球截面有关的解题策略 (1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. 跟踪训练3　已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB=BC，∠ABC=90°，AD=2，CD=2，三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为(　　) A.25π　B.　C.32π　D. 答案　A 解析　如图，设点P在底面的射影为H， ∵四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等， ∴HA=HB=HC=HD， ∴A，B，C，D四点共圆. ∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ADC=90°. ∵AD=2，CD=2， ∴AC=4，∴AB=BC=2. ∵三棱锥P-ABC的体积为， ∴S△ABC·PH=，∴PH=4， 设球O的半径为R，∴(4-R)2+22=R2， 解得R=，则球O的表面积S=4πR2=25π. 四、确定球心的位置法 例4　在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为　　　　.  答案　16π 解析　由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4， 根据余弦定理可得AC=AD=2，则AC⊥BC，AD⊥BD，又在Rt△BAC，Rt△BAD中，E为斜边AB中点，所以到各点的距离相等，则三棱锥A-BCD外接球的直径为AB=4，故三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π·=16π. 反思感悟　对于一般的几何体来说，解决外接球问题，关键是找到球心.由外接球定义，其球心在过每个面的多边形的外心且与该面垂直的直线上. 跟踪训练4　已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则外接球的表面积为　　　　　.  答案　8π 解析　由AB=2，AC=1，∠BAC=60°及余弦定理可得BC= ==， 所以AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°， 所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点. 设△ABC的外接圆半径为r，则r==1. 又S△ABC=BC·AC=××1=， 所以V柱=S△ABC·AA1=，所以AA1=2， 因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面， 设其外接球的半径为R，则R2=r2+=12+12=2， 所以外接球的表面积S=4πR2=4π×2=8π. 五、等体积法求内切球问题 例5　各棱长均为的四面体内有一内切球，求该球的体积. 解　如图，在四面体S-ABC中，取底面△ABC的中心为O1，连接SO1，O1A，则SO1⊥O1A. ∵AO1=××=1， ∴SO1=， ∴四面体的体积V=××()2×=. 设内切球球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC， ∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC =S表·r=×4××()2×r =r=，∴r=， ∴球的体积V球=r3=×=π. 延伸探究　求本例所给四面体外接球的表面积. 解　设外接球半径为R，由上述例题解题过程可知，R=OS=SO1-OO1=SO1-r=-=， ∴外接球的表面积S球=4πR2=4π×=. 反思感悟　求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点，各个面为底面的棱锥，这些棱锥的高的大小恰好是内切球半径的大小. 跟踪训练5　已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积的比值为(　　) A.6　B.12　C.24　D.30 答案　C 解析　如图①，依题意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF， 所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如图②. 所以在三棱锥P-DEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PE=PF=1，PD=2， 所以三棱锥P-DEF的外接球即为以PD，PE，PF为相邻三条棱的长方体的外接球， 所以三棱锥P-DEF的外接球半径R满足 2R==，所以R=， 则其外接球的表面积为4πR2=6π. 因为三棱锥P-DEF的表面积为正方形ABCD的面积， 所以S表=2×2=4， V三棱锥P-DEF=××1×1×2=. 设三棱锥P-DEF的内切球的半径为r， 所以由S表·r=V三棱锥P-DEF，解得r=， 所以内切球的表面积为4πr2=， 所以三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积的比值为=24. 1.知识清单： (1)掌握简单几何体的外接球问题的求解方法. (2)会求特殊几何体的内切球的相关问题. 2.方法归纳：直接法、构造空间几何体法、截面圆法、确定球心的位置法、定义法、等体积法. 3.常见误区：球心位置的确定、空间几何体的构造. 1.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　) A.6π　B.12π　C.8π　D.16π 答案　D 解析　由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O=|R-1|，R2=O1O2+r2=(R-1)2+()2，解得R=2，所以球O的表面积为4πR2=16π. 2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为(　　) A. B. C. D.20π 答案　B 解析　设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB， 如图所示， 由题意可得该三棱柱的外接球的球心O为O1O2的中点. 在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC =32+12-2×3×1×cos 60°=7， 则BC=， 由正弦定理可得△ABC外接圆的直径 2r==， 则r=， 而球心O到截面ABC的距离d=OO2=O1O2=AA1=1， 设直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为R， 在△OO2B中可得R2=d2+r2=12+=， 故R=， 所以该三棱柱的外接球的体积V=πR3=π×=. 3.已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径的比值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　如图，设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2与侧面SBC的切点. 在Rt△SAO中，该四面体的高 h=SO== ===2. 又四面体的表面积S=4××(2)2=12， 则·S·R1=×3h，解得R1=， 由=，得=， 即=，解得R2=，故=. 4.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面面积为12，其内切球体积为36π，则该正四棱台的表面积为　　　　　.  答案　312 解析　如图，作该正棱台的截面，因为该正四棱台的上底面面积为12， 故上底面边长为2， 因为内切球体积为36π=πGM3，故GM=3. 在△GMP中，GM=3，MP=，∠GMP=90°， 所以GP=2，∠MPG=60°， 根据对称性∠QPG=60°， 故∠QPM=120°，∠QEN=60°，所以∠GEN=30°， 因为GN=3，所以EN=3， 所以正四棱台下底面是一个边长为6 的正方形， 故侧面梯形的高 PE=PQ+QE=+3=4， 即S表=12+108+4××4=312. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为(　　) A.8　B.8　C.8　D.4 答案　A 解析　∵球的半径为1，且正方体内接于球， ∴球的直径即为正方体的体对角线，即正方体的体对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2=4，即a2=. ∴正方体的表面积为6a2=6×=8. 2.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为(　　) A.　B.56π　C.14π　D.64π 答案　C 解析　设长方体的棱长分别为a，b，c，则解得设外接球的半径为R，则4R2=a2+b2+c2=14，所以这个球的表面积为4πR2=14π. 3.在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为(　　) A.4π　B.6π　C.8π　D.9π 答案　B 解析　在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=， 则∠ASB=，则正三棱锥S-ABC为正四面体. 将正四面体补成正方体(正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点)， 则正四面体的外接球即为正方体的外接球， 由△ABC的边长为2，可得补成的正方体棱长为， 则其外接球的半径R==， 所以该正三棱锥外接球的表面积S=4πR2=6π. 4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6，则其外接球的体积为(　　) A.28π B.π C.π D.28π 答案　D 解析　由正三棱柱的底面边长AB=6，设底面外接圆的半径为r，所以2r=，解得r=2.又正三棱柱的高AA1=6，则球心到底面的距离d=3，根据球心距、底面外接圆半径与球半径的关系得，R2=r2+d2=12+9=21，即R=.所以外接球的体积V=πR3=28π. 5.(多选)用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列结论中正确的是(　　) A.若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6 B.若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等 C.若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3+ D.若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的截面面积不是定值 答案　BC 解析　若该平面过点A，C，B1，则截面为正三角形ACB1，其边长为，则截面的周长为3，A错误； 若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，故外接球体积相等，B正确； 当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，且三棱柱的表面积均为2×12+2××12+1×=3+，C正确； 若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心，所以截外接球所得的截面面积是定值，D错误. 6.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(　　) A.　B.　C.　D.2π 答案　A 解析　设圆锥的底面半径为r，高为h， 则2πr=×3， ∴r=1，h==2，设内切球的半径为R，则=， ∴R=，V=πR3=π×=. 7.(5分)各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是　　　　.  答案　24π 解析　正四棱柱的高为4，体积为16，则底面积为4，则底面正方形边长为2，正四棱柱的体对角线长即球的直径，为2，所以球的半径为，所以球的表面积是24π. 8.(5分)已知A，B，C，D为球O的球面上四个点，且满足AB=4，BC=3，CD=4，AB⊥平面BCD，则球O的表面积的最小值为　　　　　.  答案　32π 解析　如图， 以△BCD为底，AB为高补成直三棱柱BCD-AEF， O1，O2分别为△BCD，△AEF的外心， 易知球心O即为O1O2中点， 设球的半径为R，△BCD外接圆半径为r， 则R2=r2+4， 由正弦定理可知2r=≥=4， 当且仅当BD=时取等号. ∴rmin=2，∴Rmin=2. ∴Smin=4π=32π. 9.(10分)一块边长为20 cm的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，如图2. 图1　　　　　　　　　图2 (1)试把容器的容积V表示成底边边长x的函数；(4分) (2)当x=12 cm时，求此容器的内切球(与四个侧面和底面均相切的球)的半径r.(6分) 解　(1)如图，在Rt△EOF中，EF=10，OF=x， 则EO=， ∴V=x2， 0<x<20. (2)方法一　设正四棱锥的内切球球心为P，且与底面相切于点O，与侧面相切于斜高ΕF于点Q， 则PO=PQ=r， ∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，则EQ=4， 又EP=8-r， ∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得 r2+42=(8-r)2， 解得r=3. 方法二　当x=12时，由(1)知V=×122×=384， 正四棱锥的表面积S=4××12×10+122=384， 由等体积法可得V=Sr， 即r==3. 10.(10分)某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，该塔垂直于水平面，他们选择了与该塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB=54米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和α，其中cos α=，∠ADB=45°. (1)求该塔的高CD的长；(3分) (2)求四面体ABCD的表面积；(3分) (3)求四面体ABCD的内切球的半径.(4分) 解　(1)设CD=x，在△ACD中，∠CDA=90°，∠CAD=45°， 则AD=x， 在△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=α，且cos α=， 则tan α=，所以BD=x， 在△ABD中，因为∠ADB=45°， 所以由余弦定理得x2+2x2-2x·xcos 45°=542， 整理得x2=542，解得x=54，即CD的长为54米. (2)由(1)知△ABD， △ACD， △BCD均为直角三角形， CD=AD=AB=54，BD=54， 所以AC=54，BC=54， 所以在△ABC中，满足AB2+AC2=BC2， 所以△ABC为直角三角形； 所以S△ABD=S△ACD=1 458(平方米)， S△ABC=S△BCD=1 458(平方米)， 所以SABCD=2 916(1+)平方米. (3)设四面体ABCD的内切球的半径为r，根据等体积法， 得VABCD=S△ABD·CD=SABCD·r 所以r=27(-1)米. 11.在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A.2π　B.4π　C.6π　D.8π 答案　C 解析　如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则 三式相加得a2+b2+c2=6， 所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，故外接球的表面积为4πR2=6π. 12.(多选)下列关于三棱柱ABC-A1B1C1的命题，正确的是(　　) A.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有外接球 B.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有内切球 C.若正三棱柱ABC-A1B1C1有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为6 D.若直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形 答案　ACD 解析　对于A，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点O，则点O到直三棱柱各个顶点的距离均为，其中r为底面三角形外接圆半径，h为直三棱柱的高， ∴点O即为直三棱柱的外接球球心，A正确； 对于B，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径， 即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B错误； 对于C，若正三棱柱的内切球半径为1，则正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为3， 设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则=3，解得a=2， ∴该正三棱柱的体积V=×××2=6，C正确； 对于D，若外接球球心在直三棱柱的侧面上，则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等， ∴球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等， 又该侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上， ∴该投影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半， ∴该底面三角形为直角三角形，D正确. 13.(多选)在七面体MN-ABCD中，四边形ABCD为正方形且边长为2，MB，ND都与平面ABCD垂直，且MB=ND=h，则对这个多面体描述正确的是(　　) A.当h=1时，它有外接球，且其半径为 B.当h=2时，它有外接球，且其半径为 C.当它有内切球时，h=2 D.当它有内切球时，h=4 答案　ABD 解析　以ABCD为底面作长方体ABCD-PMQN，则这个长方体的外接球即为多面体MN-ABCD的外接球， 当h=1时，外接球半径为=， 当h=2时，外接球半径为=，故A，B正确； 设E，F分别为MN，AC的中点，若这个多面体有内切球，则其球心O必在EF上，且半径为r=1. 设OH⊥AE，垂足为H，则由=， 可得=，解得h=4， 故C错误，D正确. 14.(5分)已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为　　　　.  答案　80π 解析　设球O的半径为R，球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面的距离为|6-x|，结合勾股定理，建立等式22+x2=42+|6-x|2，解得x=4，所以R2=x2+22=20，因而球O的表面积S=4πR2=80π. 15.(多选)已知圆锥OP的底面半径r=，侧面积为6π，内切球的球心为O1，外接球的球心为O2，则下列说法正确的是(　　) A.外接球O2的表面积为16π B.设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2，则r2=2r1 C.过点P作平面α截圆锥OP的截面面积的最大值为2 D.设母线PB的中点为M，从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为 答案　ABD 解析　设母线长为l，侧面积为πrl=πl=6π，所以l=2. 所以l=2r，△PAB为等边三角形. 则圆锥的轴截面△PAB的内切圆半径即为圆锥内切球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径，如图1， 图1 设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2， 则S△PAB=r1(PA+AB+PB) =×6r1=3r1， 又S△PAB=PA·ABsin∠PAB=×(2)2×=3，所以r1=1. 在△PAB中，由正弦定理可得=2r2，即2r2==4，则r2=2. 所以外接球O2的表面积为4π=16π，A正确； 因为r1=1，r2=2，所以r2=2r1，B正确； 图2 显然，过点P作平面α截圆锥OP的截面均为腰长为2的等腰三角形，如图2，在底面圆上任取一点C，易知∠APC≤∠APB=. 所以S△ACP≤S△ABP=3，即最大面积为3，C错误； 图3 将圆锥侧面沿PA剪开，得到的扇形的半径R=l=2， 弧长l1=2πr=2π， 则扇形的圆心角α===π，如图3所示. 连接AM，即为最近路线，在Rt△APM中，有PA=R=2，PM=PB=， 所以AM===，D正确. 16.(11分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. (1)求AB的长度；(6分) (2)求该长方体外接球的表面积.(5分) 解　(1)设AB=x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1=. 如图乙的最短路程为 AC1==， ∵x>1，∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4， 故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得=2， 解得x=2.即AB的长度为2. (2)设长方体外接球的半径为R，则 (2R)2=12+12+22=6， ∴R2=， ∴S=4πR2=6π， 即该长方体外接球的表面积为6π. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 习题课 第4章 <<< 与球有关的内切、外接问题 1.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法. 2.会求特殊几何体的内切球的相关问题. 学习目标 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 导 语 一、直接法 二、构造法 课时对点练 三、寻求轴截面圆半径法 随堂演练 内容索引 四、确定球心的位置法 五、等体积法求内切球问题 直接法 一 　　　(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，一个底面的周长 为3，则这个球的体积为　　　.  例 1 6 则有∴ ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=， 球心到底面的距离d=. ∴外接球的半径R==1.∴V球=. 设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 7 (2)在三棱锥A-BCD中，侧棱长均为2，底面是边长为2的等边三角形， 则该三棱锥外接球的体积为　　　　.  8 由题意知该三棱锥为正三棱锥，如图所示，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面△BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心， 令O'A=O'D=R， ∵OD=DE=×2×=2，AD=2， ∴AO==4， ∴OO'=4-R， 又OO'2+OD2=O'D2， ∴(4-R)2+4=R2，解得R=，∴V球=πR3=. 9 找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 反 思 感 悟 10 　　　　　正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A.　　　　B.16π　　　　C.9π　　　　D. 跟踪训练 1 √ 如图，设球心为O，半径为r，AE=，OE=4-r， 则在Rt△AOE中，(4-r)2+()2=r2(或(r-4)2+()2=r2)， 解得r=， ∴该球的表面积为4πr2=4π×=. 11 二 构造法 　　　(1)三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.  例 2 4π 13 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R. ∵V三棱锥A-BCD=××BC×CD×AB =×2×CD×2=， ∴CD=2，∴该长方体为正方体， ∴AD=2，∴R=， 故外接球的体积为V=πR3=4π. 14 　　　　　若把条件改为三棱锥A-BCD的三个面是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.  延伸探究 4π 15 因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD， 构造如图所示的长方体， 则AE为三棱锥A-BCD的外接球的直径， 设外接球的半径为R. V三棱锥A-BCD=××BC×BD×AB=×2×BD×2=， ∴BD=2，∴该长方体为正方体， ∴AE=2，∴R=， ∴外接球的体积为V=πR3=4π. 16 (2)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有 A.该半正多面体的体积为 B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 C.该半正多面体外接球的表面积为8π D.该半正多面体的表面积为6+2 √ 17 如图，因为AB=1， 所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱 中点截去八个三棱锥所得到的， 所以该半正多面体的体积V=()3-8××× ×=，故A错误； 根据该半正多面体的对称性可知，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED， 又AB=1，所以正六边形的面积S=6××1×1×=，故B错误； 18 根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体 的外接球的球心为正方体的中心， 即正六边形ABCFED的中心，故半径R=1， 所以该半正多面体外接球的表面积为 S=4πR2=4π×12=4π，故C错误； 因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1， 所以其表面积为8××1×1×+6×12=6+2，故D正确. 19 反 思 感 悟 (1)侧面为直角三角形的四面体或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解. ①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示. ②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示. 构造法的解题策略 反 思 感 悟 ③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示. ④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示. (2)将直三棱锥补成三棱柱求解. 　　　　　三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是，，，则该三棱锥的外接球的体积是 A.　　　　　B.　　　　　C.π　　　　　D.8π 跟踪训练 2 √ 22 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设PA=a，PB=b，PC=c， 令ab=bc=ca=， 解得a=，b=1，c=. 则长方体的体对角线长为=. 所以外接球的直径是，半径R=， 则外接球的体积V=πR3=π. 23 寻求轴截面圆半径法 三 　　　已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为 A.　　　　B. 　　　　C.　　　　D. 例 3 √ 25 如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB=. 连接OO1， 则OO1⊥平面ABC， OO1===， 所以三棱锥O-ABC的体积V=S△ABC·OO1=××1×1×=. 26 反 思 感 悟 (1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. 与球截面有关的解题策略 　　　　　已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB=BC，∠ABC=90°，AD=2，CD=2，三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为 A.25π　　　　　B.　　　　　C.32π　　　　　D. 跟踪训练 3 √ 28 如图，设点P在底面的射影为H， ∵四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等， ∴HA=HB=HC=HD， ∴A，B，C，D四点共圆. ∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ADC=90°. ∵AD=2，CD=2， ∴AC=4，∴AB=BC=2. 29 ∵三棱锥P-ABC的体积为， ∴S△ABC·PH=，∴PH=4， 设球O的半径为R，∴(4-R)2+22=R2， 解得R=，则球O的表面积S=4πR2=25π. 30 确定球心的位置法 四 　　　在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为　　　.  例 4 16π 32 由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4， 根据余弦定理可得AC=AD=2， 则AC⊥BC，AD⊥BD， 又在Rt△BAC，Rt△BAD中，E为斜边AB中点， 所以到各点的距离相等， 则三棱锥A-BCD外接球的直径为AB=4， 故三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π·=16π. 33 反 思 感 悟 对于一般的几何体来说，解决外接球问题，关键是找到球心.由外接球定义，其球心在过每个面的多边形的外心且与该面垂直的直线上. 　　　　　已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则外接球的表面积为　　　.  跟踪训练 4 8π 35 由AB=2，AC=1，∠BAC=60°及余弦定理可得BC= ==， 所以AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°， 所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点. 36 设△ABC的外接圆半径为r，则r==1. 又S△ABC=BC·AC=××1=， 所以V柱=S△ABC·AA1=，所以AA1=2， 因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面， 设其外接球的半径为R，则R2=r2+=12+12=2， 所以外接球的表面积S=4πR2=4π×2=8π. 37 等体积法求内切球问题 五 　　　各棱长均为的四面体内有一内切球，求该球的体积. 例 5 39 如图，在四面体S-ABC中，取底面△ABC的中心为O1，连接SO1，O1A，则SO1⊥O1A. ∵AO1=××=1， ∴SO1=， ∴四面体的体积V=××()2×=. 40 设内切球球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC， ∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC=S表·r =×4××()2×r=r=， ∴r=， ∴球的体积V球=r3=×=π. 41 　　　　　求本例所给四面体外接球的表面积. 延伸探究 设外接球半径为R，由上述例题解题过程可知， R=OS=SO1-OO1=SO1-r=-=， ∴外接球的表面积S球=4πR2=4π×=. 42 反 思 感 悟 求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点，各个面为底面的棱锥，这些棱锥的高的大小恰好是内切球半径的大小. 　　　　　已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积的比值为 A.6　　　　　B.12　　　　　C.24　　　　　D.30 跟踪训练 5 √ 44 如图①，依题意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF， 所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如图②. 所以在三棱锥P-DEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PE=PF=1，PD=2， 所以三棱锥P-DEF的外接球即为以PD，PE，PF为相邻三条棱的长方体的外接球， 所以三棱锥P-DEF的外接球半径R满足 2R==，所以R=， 则其外接球的表面积为4πR2=6π. 45 因为三棱锥P-DEF的表面积为正方形ABCD的面积， 所以S表=2×2=4， V三棱锥P-DEF=××1×1×2=. 设三棱锥P-DEF的内切球的半径为r， 所以由S表·r=V三棱锥P-DEF，解得r=， 所以内切球的表面积为4πr2=， 所以三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积的比值为=24. 46 1.知识清单： (1)掌握简单几何体的外接球问题的求解方法. (2)会求特殊几何体的内切球的相关问题. 2.方法归纳：直接法、构造空间几何体法、截面圆法、确定球心的位置法、定义法、等体积法. 3.常见误区：球心位置的确定、空间几何体的构造. 课堂小结 随堂演练 六 1.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为 A.6π　　　　　B.12π　　　　　C.8π　　　　　D.16π 由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为. 设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R， 则O1O=|R-1|，R2=O1O2+r2=(R-1)2+()2， 解得R=2， 所以球O的表面积为4πR2=16π. √ 1 2 3 4 2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为 A. B. C. D.20π √ 1 2 3 4 设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2， 连接O1O2，O2B，OB， 如图所示， 由题意可得该三棱柱的外接球的球心O为O1O2的中点. 在△ABC中，由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC =32+12-2×3×1×cos 60°=7， 则BC=， 1 2 3 4 由正弦定理可得△ABC外接圆的直径2r==， 则r=， 而球心O到截面ABC的距离d=OO2=O1O2=AA1=1， 设直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为R， 在△OO2B中可得R2=d2+r2=12+=，故R=， 所以该三棱柱的外接球的体积V=πR3=π×=. 1 2 3 4 3.已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径的比值为 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. √ 1 2 3 4 如图，设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2与侧面SBC的切点. 在Rt△SAO中，该四面体的高 h=SO== ===2. 1 2 3 4 又四面体的表面积S=4××(2)2=12， 则·S·R1=×3h，解得R1=， 由==， 即=，解得R2==. 1 2 3 4 4.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面面积为12，其内切球体积为36π，则该正四棱台的表面积为　　　.  1 2 3 4 312 如图，作该正棱台的截面，因为该正四棱台的上底面面积为12， 故上底面边长为2， 因为内切球体积为36π=πGM3，故GM=3. 在△GMP中，GM=3，MP=，∠GMP=90°， 所以GP=2，∠MPG=60°， 根据对称性∠QPG=60°， 故∠QPM=120°，∠QEN=60°，所以∠GEN=30°， 1 2 3 4 因为GN=3，所以EN=3， 所以正四棱台下底面是一个边长为6 的正方形， 故侧面梯形的高 PE=PQ+QE=+3=4， 即S表=12+108+4××4=312. 1 2 3 4 课时对点练 七 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D BC A 24π 32π 题号 11 12 13 14　 15 答案 C ACD ABD 80π ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图，在Rt△EOF中，EF=10，OF=x，则EO=， ∴V=x2，0<x<20. (2)方法一　设正四棱锥的内切球球心为P，且与底面相切于点O，与侧面相切于斜高ΕF于点Q， 则PO=PQ=r， ∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，则EQ=4， 又EP=8-r，∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得r2+42=(8-r)2，解得r=3. 方法二　当x=12时，由(1)知V=×122×=384， 正四棱锥的表面积S=4××12×10+122=384， 由等体积法可得V=Sr，即r==3. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)设CD=x，在△ACD中，∠CDA=90°，∠CAD=45°，则AD=x， 在△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=α，且cos α=，则tan α=，所以BD=x， 在△ABD中，因为∠ADB=45°，所以由余弦定理得x2+2x2-2x·xcos 45°=542， 整理得x2=542，解得x=54，即CD的长为54米. (2)由(1)知△ABD， △ACD， △BCD均为直角三角形，CD=AD=AB=54，BD=54， 所以AC=54，BC=54，所以在△ABC中，满足AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形； 所以S△ABD=S△ACD=1 458(平方米)，S△ABC=S△BCD=1 458(平方米)，所以SABCD=2 916(1+)平方米. (3)设四面体ABCD的内切球的半径为r，根据等体积法，得VABCD=S△ABD·CD=SABCD·r 所以r=27(-1)米. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)设AB=x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1=. 如图乙的最短路程为AC1==， ∵x>1，∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4， 故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为. 由题意得=2，解得x=2. 即AB的长度为2. (2)设长方体外接球的半径为R，则(2R)2=12+12+22=6， ∴R2=，∴S=4πR2=6π， 即该长方体外接球的表面积为6π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为 A.8　　　　　B.8　　　　　C.8　　　　　D.4 ∵球的半径为1，且正方体内接于球， ∴球的直径即为正方体的体对角线，即正方体的体对角线长为2. 不妨设正方体的棱长为a，则有3a2=4，即a2=. ∴正方体的表面积为6a2=6×=8. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为 A.　　　　　B.56π　　　　　C.14π　　　　　D.64π 设长方体的棱长分别为a，b，c，则 设外接球的半径为R，则4R2=a2+b2+c2=14， 所以这个球的表面积为4πR2=14π. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为 A.4π　　　　　B.6π　　　　　C.8π　　　　　D.9π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=， 则∠ASB=，则正三棱锥S-ABC为正四面体. 将正四面体补成正方体(正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点)， 则正四面体的外接球即为正方体的外接球， 由△ABC的边长为2，可得补成的正方体棱长为， 则其外接球的半径R==， 所以该正三棱锥外接球的表面积S=4πR2=6π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6，则其外接球的体积为 A.28π B.π C.π D.28π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由正三棱柱的底面边长AB=6，设底面外接圆的半径为r， 所以2r=，解得r=2. 又正三棱柱的高AA1=6，则球心到底面的距离d=3， 根据球心距、底面外接圆半径与球半径的关系得， R2=r2+d2=12+9=21，即R=. 所以外接球的体积V=πR3=28π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.(多选)用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列结论中正确的是 A.若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6 B.若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等 C.若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3+ D.若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的截 　面面积不是定值 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 若该平面过点A，C，B1，则截面为正三角形ACB1， 其边长为，则截面的周长为3，A错误； 若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的 外接球均为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，故 外接球体积相等，B正确； 当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，且三棱柱的表面积均为2×12+2××12+1×=3+，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心，所以截外接球所得的截面面积是定值，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.2π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设圆锥的底面半径为r，高为h， 则2πr=×3， ∴r=1，h==2，设内切球的半径为R，则=， ∴R=，V=πR3=π×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是　　　.  正四棱柱的高为4，体积为16，则底面积为4，则底面正方形边长为2，正四棱柱的体对角线长即球的直径，为2 ，所以球的表面积是24π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24π 答案 8.已知A，B，C，D为球O的球面上四个点，且满足AB=4，BC=3，CD=4，AB⊥平面BCD，则球O的表面积的最小值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32π 答案 如图，以△BCD为底，AB为高补成直三棱柱BCD-AEF， O1，O2分别为△BCD，△AEF的外心， 易知球心O即为O1O2中点， 设球的半径为R，△BCD外接圆半径为r，则R2=r2+4， 由正弦定理可知2r=≥=4， 当且仅当BD=时取等号. ∴rmin=2，∴Rmin=2. ∴Smin=4π=32π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.一块边长为20 cm的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，如图2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1　　　　　　　图2 (1)试把容器的容积V表示成底边边长x的函数； 答案 如图，在Rt△EOF中，EF=10，OF=x， 则EO=， ∴V=x2， 0<x<20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 79 (2)当x=12 cm时，求此容器的内切球(与四个侧面和底面均相切的球)的半径r. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1　　　　　　　图2 答案 方法一　设正四棱锥的内切球球心为P，且与底面相切于点O，与侧面相切于斜高ΕF于点Q， 则PO=PQ=r， ∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，则EQ=4， 又EP=8-r， ∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得 r2+42=(8-r)2， 解得r=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 81 方法二　当x=12时， 由(1)知V=×122×=384， 正四棱锥的表面积S=4××12×10+122=384， 由等体积法可得V=Sr， 即r==3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1 图2 答案 82 10.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，该塔垂直于水平面，他们选择了与该塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB=54米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和α，其中cos α=，∠ADB=45°. (1)求该塔的高CD的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设CD=x，在△ACD中，∠CDA=90°，∠CAD=45°，则AD=x， 在△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=α， 且cos α=， 则tan α=，所以BD=x， 在△ABD中，因为∠ADB=45°， 所以由余弦定理得x2+2x2-2x·xcos 45°=542， 整理得x2=542，解得x=54，即CD的长为54米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 84 (2)求四面体ABCD的表面积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由(1)知△ABD， △ACD， △BCD均为直角三角形， CD=AD=AB=54，BD=54， 所以AC=54，BC=54， 所以在△ABC中，满足AB2+AC2=BC2， 所以△ABC为直角三角形； 所以S△ABD=S△ACD=1 458(平方米)， S△ABC=S△BCD=1 458(平方米)， 所以SABCD=2 916(1+)平方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 86 (3)求四面体ABCD的内切球的半径. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设四面体ABCD的内切球的半径为r， 根据等体积法， 得VABCD=S△ABD·CD=SABCD·r 所以r=27(-1)米. 答案 11.在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为 A.2π　　　　　B.4π　　　　　C.6π　　　　　D.8π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设长、宽、高分别为a，b，c，则 三式相加得a2+b2+c2=6， 所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，故外接球的表面积为4πR2=6π. 答案 12.(多选)下列关于三棱柱ABC-A1B1C1的命题，正确的是 A.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有外接球 B.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有内切球 C.若正三棱柱ABC-A1B1C1有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为 　6 D.若直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底 　面是直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 对于A，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点O， 则点O到直三棱柱各个顶点的距离均为， 其中r为底面三角形外接圆半径，h为直三棱柱的高， ∴点O即为直三棱柱的外接球球心，A正确； 对于B，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径， 即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于C，若正三棱柱的内切球半径为1，则正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为3， 设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则=3，解得a=2， ∴该正三棱柱的体积V=×××2=6，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于D，若外接球球心在直三棱柱的侧面上，则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等， ∴球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等， 又该侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上， ∴该投影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半， ∴该底面三角形为直角三角形，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)在七面体MN-ABCD中，四边形ABCD为正方形且边长为2，MB，ND都与平面ABCD垂直，且MB=ND=h，则对这个多面体描述正确的是 A.当h=1时，它有外接球，且其半径为 B.当h=2时，它有外接球，且其半径为 C.当它有内切球时，h=2 D.当它有内切球时，h=4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 以ABCD为底面作长方体ABCD-PMQN，则这个长方体的外接球即为多面体MN-ABCD的外接球， 当h=1时，外接球半径为=， 当h=2时，外接球半径为=， 故A，B正确； 设E，F分别为MN，AC的中点，若这个多面体有内切球，则其球心O必在EF上，且半径为r=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设OH⊥AE，垂足为H，则由=， 可得=，解得h=4， 故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为　　　.  设球O的半径为R，球心O到上底面的距离为x， 则球心O到下底面的距离为|6-x|， 结合勾股定理，建立等式22+x2=42+|6-x|2，解得x=4， 所以R2=x2+22=20，因而球O的表面积S=4πR2=80π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80π 答案 拓广探究 15.(多选)已知圆锥OP的底面半径r=，侧面积为6π，内切球的球心为O1，外接球的球心为O2，则下列说法正确的是 A.外接球O2的表面积为16π B.设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2， 则r2=2r1 C.过点P作平面α截圆锥OP的截面面积的最大值为2 D.设母线PB的中点为M，从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 设母线长为l，侧面积为πrl=πl=6π，所以l=2. 所以l=2r，△PAB为等边三角形. 则圆锥的轴截面△PAB的内切圆半径即为圆锥内切 球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径， 如图1， 设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2， 则S△PAB=r1(PA+AB+PB)=×6r1=3r1， 又S△PAB=PA·ABsin∠PAB=×(2)2×=3，所以r1=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1 答案 在△PAB中，由正弦定理可得=2r2， 即2r2==4，则r2=2. 所以外接球O2的表面积为4π=16π，A正确； 因为r1=1，r2=2，所以r2=2r1，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1 答案 显然，过点P作平面α截圆锥OP的截面均为腰长 为2的等腰三角形，如图2，在底面圆上任取 一点C，易知∠APC≤∠APB=. 所以S△ACP≤S△ABP=3，即最大面积为3， C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图2 答案 将圆锥侧面沿PA剪开，得到的扇形的半径R=l=2， 弧长l1=2πr=2π， 则扇形的圆心角α===π，如图3所示. 连接AM，即为最近路线，在Rt△APM中，有PA=R=2，PM=PB=， 所以AM===，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图3 答案 16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. (1)求AB的长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设AB=x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1=. 如图乙的最短路程为 AC1==， ∵x>1，∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4， 故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为. 由题意得=2， 解得x=2.即AB的长度为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 104 (2)求该长方体外接球的表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设长方体外接球的半径为R， 则(2R)2=12+12+22=6， ∴R2=， ∴S=4πR2=6π， 即该长方体外接球的表面积为6π. 答案 第一章 <<< $$