第2章 2.3 第1课时 半角公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1课时 第2章 <<< 半角公式 1.能用二倍角公式推导出半角公式、万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想. 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 学习目标 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换. 导 语 一、半角公式 二、万能公式 课时对点练 三、三角恒等式的证明 随堂演练 内容索引 半角公式 一 提示　三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 余弦的二倍角展开有几种形式？请写出. 问题1 半角公式 sin=__________， ① cos=__________， ② tan=__________(无理形式). ③ tan==________(有理形式). 上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，.半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断. ± ± ± 知识梳理 求tan 常用上面的有理形式. 注 意 点 <<< 8 　已知sin α=-，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值. 例 1 ∵π<α<，sin α=-， ∴cos α=-<<， ∴sin==， cos =-=-，tan ==-2. 9 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan == ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算. 利用半角公式求值的思路 反 思 感 悟 10 　已知cos α=，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . 跟踪训练 1 11 ∵α为第四象限角， ∴为第二或第四象限角， 当为第二象限角时， sin==， cos=-=-， tan=-=-. 12 当为第四象限角时， sin=-=-， cos==， tan=-=-. 13 二 万能公式 提示　能. sin 2α=2sin αcos α==. cos 2α=cos2α-sin2α==. 能否用tan α表示sin 2α，cos 2α？试给出推导过程. 问题2 万能公式 sin α=， ④ cos α=， ⑤ tan α=. ⑥ 角α(α≠2kπ+π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，这组公式(④~⑥)简称为“万能公式”. 知识梳理 16 　已知=-，求sin的值. 例 2 17 ∵=-， ∴3tan α=-2tan， ∴3tan α=-， ∴3tan2α-5tan α-2=0， ∴tan α=-或tan α=2. 当tan α=-时，sin 2α==-，cos 2α==. 18 ∴sin=(sin 2α+cos 2α)=. 当tan α=2时，sin 2α=，cos 2α=-， ∴sin=(sin 2α+cos 2α)=. 综上，sin. 19 反 思 感 悟 万能公式的优点：只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值.因此灵活应用万能公式解答三角函数的化简求值，更加方便、快捷. ∵tan=，∴sin θ==. cos θ==. ∴==. 　已知tan=，则的值为 A.　 B.-　 C.　 D.- 跟踪训练 2 √ 21 三角恒等式的证明 三 　证明：=. 例 3 左边= =====. 右边===， 所以左边=右边，即等式成立. 23 反 思 感 悟 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 　已知3π<θ<4π，求证：=-cos. 跟踪训练 3 因为3π<θ<4π，所以<<2π，<<π，所以cos=，cos= -，所以左边====-cos=右边，所以等式成立. 25 1.知识清单： (1)半角公式. (2)万能公式. (3)三角恒等式的证明. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：不判断角α所在的象限，盲目套用半角公式. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知cos α=-，<α<π，则sin等于 A.-　 B.　 C.-　 D. 由<α<π可知<<，故sin===. √ 1 2 3 4 2.若tan α=3，则sin 2α等于 A.　 B.-　 C.-　 D. 原式===. √ 1 2 3 4 3.tan 67.5°-tan 22.5°的值为 A.2　 B.2　 C.2　 D.3 tan 67.5°-tan 22.5°=-=-=2. √ 1 2 3 4 4.若sin α=，α∈，则tan =　　　　.  ∵sin α=，α∈，∴cos α=， ∴tan ===5-2. 1 2 3 4 5-2 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D AD C A B 　 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 B D A BC 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ∵tan=， ∴tan(1+cos α)=sin α. 又∵cos=-sin α， 且1-cos α=2sin2， ∴原式===-. ∵0<α<π，∴0<<， ∴sin >0，∴原式=-2cos . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 因为α为钝角，β为锐角， sin α=，sin β=， 所以cos α=-，cos β=. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=. 因为<α<π，且0<β<， 所以0<α-β<π，即0<<， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 方法一　由0<<， 得cos===，sin==， 所以tan==. 方法二　由0<α-β<π， cos(α-β)=，得sin(α-β)==. 所以tan===. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)选②式：sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.故这个常数为. (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=. 证明如下： 左边=+-sin α(cos 30°·cos α+sin 30° sin α) =1-[cos 2α-cos(60°-2α)]-sin αcos α-sin2α =1-(cos 2α-cos 60°cos 2α-sin 60°sin 2α)-sin 2α-(1-cos 2α) =1-cos 2α+sin 2α-sin 2α-+cos 2α==右边，所以等式成立. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知180°<α<360°，则cos 的值等于 A.- B. C.- D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 由半角公式知cos =±， ∵180°<α<360°，∴90°<<180°， ∴cos <0，∴cos =-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 39 2.下列各式与tan α相等的是 A. B. C. D. ===tan α. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.(多选)已知2sin α=1+cos α，则tan的可能取值为 A.　 B.1　 C.2　 D.不存在 由题意知4sincos=1+2cos2-1，故有2sincos-cos2=0，若2sin-cos=0，则tan=；若cos=0，则tan不存在. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 4.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=，则有 A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°，b= 2sin 13°cos 13°=sin 26°，c=sin 25°， ∵y=sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a<c<b. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.若α是第三象限角，且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-，则tan的值为 A.-5　 B.5　 C.-　 D. 由已知及正弦公式得，sin α=-， ∵α是第三象限角，∴cos α=-. ∴tan ===-5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.已知α为锐角，且tan α=m，cos 2α=-，则sin2等于 A.　 B.+　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵tan α=m，cos 2α=-，又cos 2α=， ∴=-，∴m2=2. ∴cos 2α=-. ∵0<α<，∴sin 2α==， ∴sin2==+sin 2α=+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.若θ∈，sin 2θ=，则sin θ=　　　.  由θ∈，可得2θ∈， ∴cos 2θ=-=-， ∴sin θ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.若α∈，sin 2α=cos2α，则cos 2α=　　　.  ∵sin 2α=cos2α，∴2sin αcos α=cos2α， 又α∈，∴2sin α=cos α，即tan α=. ∴cos 2α==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.化简：(0<α<π). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵tan=，∴tan(1+cos α)=sin α.又∵cos=-sin α，且 1-cos α=2sin2，∴原式===-. ∵0<α<π，∴0<<，∴sin >0， ∴原式=-2cos . 答案 10.已知α为钝角，β为锐角，且sin α=，sin β=，求cos 与tan的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为α为钝角，β为锐角，sin α=，sin β=， 所以cos α=-，cos β=. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=. 因为<α<π，且0<β<， 所以0<α-β<π，即0<<， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 50 方法一　由0<<，得cos===，sin==，所以tan==. 方法二　由0<α-β<π，cos(α-β)=，得sin(α-β)==. 所以tan===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 51 11.在△ABC中，若sin Asin B=cos2，则△ABC是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 由题意得sin Asin B=(1+cos C)， 即2sin Asin B=1+cos C， ∴2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B， 故得cos(A-B)=1，又因为A-B∈(-π，π)， ∴A-B=0，即A=B，则△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.函数f(x)=(1+cos 2x)·sin2x(x∈R)是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意，得f(x)=(1+cos 2x)(1-cos 2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos 4x).又f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.若cos α=-，α是第三象限角，则等于 A.-　 B.　 C.2　 D.-2 ∵α是第三象限角，cos α=-， ∴sin α=-，∴tan ===-3， ∴==-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.sin -cos =　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 sin ======， cos ======， 则sin -cos =-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.(多选)下列命题是真命题的有 A.∃x∈R，sin2 +cos2 = B.∃x，y∈R，sin(x-y)=sin x-sin y C.∀x∈[0，π]，=sin x D.sin x=cos y⇒x+y= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 因为sin2 +cos2 =1≠，所以A为假命题； 当x=y=0时，sin(x-y)=sin x-sin y，所以B为真命题； 因为==|sin x|=sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题； 当x=，y=2π时，sin x=cos y，但x+y≠，所以D为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值等于同一个常数： ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°； ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°； ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°； ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°； ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 选②式：sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.故这个常数为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 62 (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=. 证明如下： 左边=+-sin α(cos 30°·cos α+sin 30° sin α) =1-[cos 2α-cos(60°-2α)]-sin αcos α-sin2α =1-(cos 2α-cos 60°cos 2α-sin 60°sin 2α)-sin 2α-(1-cos 2α) =1-cos 2α+sin 2α-sin 2α-+cos 2α ==右边，所以等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$ 第1课时　半角公式 [学习目标]　1.能用二倍角公式推导出半角公式、万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 导语 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换. 一、半角公式 问题1　余弦的二倍角展开有几种形式？请写出. 提示　三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 知识梳理 半角公式 sin=±， ① cos=±， ② tan=±(无理形式). ③ tan==(有理形式). 上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，.半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断. 注意点： 求tan 常用上面的有理形式. 例1　已知sin α=-，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值. 解　∵π<α<，sin α=-， ∴cos α=-，且<<， ∴sin==， cos =-=-， tan ==-2. 反思感悟　利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ==，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算. 跟踪训练1　已知cos α=，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . 解　∵α为第四象限角， ∴为第二或第四象限角， 当为第二象限角时， sin==， cos=-=-， tan=-=-. 当为第四象限角时， sin=-=-， cos==， tan=-=-. 二、万能公式 问题2　能否用tan α表示sin 2α，cos 2α？试给出推导过程. 提示　能. sin 2α=2sin αcos α==. cos 2α=cos2α-sin2α==. 知识梳理 万能公式 sin α=， ④ cos α=， ⑤ tan α=. ⑥ 角α(α≠2kπ+π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，这组公式(④~⑥)简称为“万能公式”. 例2　已知=-，求sin的值. 解　∵=-， ∴3tan α=-2tan， ∴3tan α=-， ∴3tan2α-5tan α-2=0， ∴tan α=-或tan α=2. 当tan α=-时，sin 2α==-， cos 2α==. ∴sin=(sin 2α+cos 2α)=. 当tan α=2时，sin 2α=，cos 2α=-， ∴sin=(sin 2α+cos 2α)=. 综上，sin的值为. 反思感悟　万能公式的优点：只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值.因此灵活应用万能公式解答三角函数的化简求值，更加方便、快捷. 跟踪训练2　已知tan=，则的值为(　　) A.　B.-　C.　D.- 答案　A 解析　∵tan=，∴sin θ==. cos θ==. ∴==. 三、三角恒等式的证明 例3　证明：=. 证明　左边= = ====. 右边===， 所以左边=右边，即等式成立. 反思感悟　(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 跟踪训练3　已知3π<θ<4π，求证：=-cos. 证明　因为3π<θ<4π，所以<<2π，<<π，所以cos=，cos=-，所以左边====-cos=右边，所以等式成立. 1.知识清单： (1)半角公式. (2)万能公式. (3)三角恒等式的证明. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：不判断角α所在的象限，盲目套用半角公式. 1.已知cos α=-，<α<π，则sin等于(　　) A.-　B.　C.-　D. 答案　D 解析　由<α<π可知<<，故sin===. 2.若tan α=3，则sin 2α等于(　　) A.　B.-　C.-　D. 答案　A 解析　原式===. 3.tan 67.5°-tan 22.5°的值为(　　) A.2　B.2　C.2　D.3 答案　A 解析　tan 67.5°-tan 22.5°=-=-=2. 4.若sin α=，α∈，则tan =　　　　.  答案　5-2 解析　∵sin α=，α∈，∴cos α=， ∴tan ===5-2. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知180°<α<360°，则cos 的值等于 (　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　由半角公式知cos =±， ∵180°<α<360°，∴90°<<180°， ∴cos <0，∴cos =-. 2.下列各式与tan α相等的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　===tan α. 3.(多选)已知2sin α=1+cos α，则tan的可能取值为(　　) A.　B.1　C.2　D.不存在 答案　AD 解析　由题意知4sincos=1+2cos2-1，故有2sincos-cos2=0，若2sin-cos=0，则tan=；若cos=0，则tan不存在. 4.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=，则有(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a 答案　C 解析　a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°，b=2sin 13°cos 13°=sin 26°，c=sin 25°， ∵y=sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a<c<b. 5.若α是第三象限角，且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-，则tan的值为(　　) A.-5　B.5　C.-　D. 答案　A 解析　由已知及正弦公式得，sin α=-， ∵α是第三象限角，∴cos α=-. ∴tan ===-5. 6.已知α为锐角，且tan α=m，cos 2α=-，则sin2等于(　　) A.　B.+　C.　D. 答案　B 解析　∵tan α=m，cos 2α=-，又cos 2α=， ∴=-，∴m2=2. ∴cos 2α=-. ∵0<α<，∴sin 2α==， ∴sin2==+sin 2α =+. 7.(5分)若θ∈，sin 2θ=，则sin θ=　　　　.  答案　 解析　由θ∈，可得2θ∈，∴cos 2θ=-=-，∴sin θ==. 8.(5分)若α∈，sin 2α=cos2α，则cos 2α=　　　　.  答案　 解析　∵sin 2α=cos2α，∴2sin αcos α=cos2α， 又α∈，∴2sin α=cos α，即tan α=. ∴cos 2α==. 9.(10分)化简：(0<α<π). 解　∵tan=，∴tan(1+cos α)=sin α.又∵cos=-sin α，且1-cos α=2sin2，∴原式===-. ∵0<α<π，∴0<<，∴sin >0， ∴原式=-2cos . 10.(11分)已知α为钝角，β为锐角，且sin α=，sin β=，求cos 与tan的值. 解　因为α为钝角，β为锐角，sin α=，sin β=， 所以cos α=-，cos β=. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=. 因为<α<π，且0<β<， 所以0<α-β<π，即0<<， 方法一　由0<<，得cos===，sin==，所以tan==. 方法二　由0<α-β<π，cos(α-β)=，得 sin(α-β)==. 所以tan===. 11.在△ABC中，若sin Asin B=cos2，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 答案　B 解析　由题意得sin Asin B=(1+cos C)， 即2sin Asin B=1+cos C， ∴2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B， 故得cos(A-B)=1，又因为A-B∈(-π，π)， ∴A-B=0，即A=B，则△ABC是等腰三角形. 12.函数f(x)=(1+cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 答案　D 解析　由题意，得f(x)=(1+cos 2x)(1-cos 2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos 4x).又f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数. 13.若cos α=-，α是第三象限角，则等于(　　) A.-　B.　C.2　D.-2 答案　A 解析　∵α是第三象限角，cos α=-， ∴sin α=-，∴tan ===-3， ∴==-. 14.(5分)sin -cos =　　　　.  答案　 解析　sin === ===， cos === ===， 则sin -cos =-=. 15.(多选)下列命题是真命题的有(　　) A.∃x∈R，sin2 +cos2 = B.∃x，y∈R，sin(x-y)=sin x-sin y C.∀x∈[0，π]，=sin x D.sin x=cos y⇒x+y= 答案　BC 解析　因为sin2 +cos2 =1≠，所以A为假命题；当x=y=0时，sin(x-y)=sin x-sin y，所以B为真命题；因为==|sin x|=sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x=，y=2π时，sin x=cos y，但x+y≠，所以D为假命题. 16.(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值等于同一个常数： ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°； ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°； ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°； ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°； ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(6分) (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.(6分) 解　(1)选②式：sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.故这个常数为. (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=. 证明如下： 左边=+-sin α(cos 30°·cos α+sin 30° sin α) =1-[cos 2α-cos(60°-2α)]-sin αcos α-sin2α =1-(cos 2α-cos 60°cos 2α-sin 60°sin 2α)-sin 2α-(1-cos 2α) =1-cos 2α+sin 2α-sin 2α-+cos 2α ==右边，所以等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$