2.3 简单的三角恒等变换（半角公式）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第2章 三角恒等变换 2.3 简单的三角恒等变换 （半角公式） 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 记法 公式 推导 S(2α) sin 2α＝________________ S(α＋β)(—令β＝α→)S(2α) C(2α) cos 2α＝_______________ C(α＋β)(—令β＝α→)C(2α) cos 2α＝______________ cos 2α＝______________ 利用_____________ 消去sin2α或cos2α T(2α) tan 2α＝1－tan2α(2tan α) T(α＋β) (—令β＝α→)T(2α) 复习回顾 复习回顾 思考一下：如果已知 升幂缩角变换 cos 2α＝2cos2 α－1 cos 2α＝1－2sin2 α． 降幂扩角变换 cos2 α＝(1＋cos 2α) sin2 α＝(1－cos 2α) sin αcos α＝sin 2α 新知学习 思路：由于 新知学习 还可以利用倍角公式的变形来直接得出结论！ 倍角公式的变形 ①升幂公式：1＋ cos 2α＝ ⁠； 1－ cos 2α＝ . ②降幂公式： cos 2α＝ ⁠； sin 2α＝ . 2 cos 2α　 2 sin 2α　 　 　 典例精析--半角公式的应用 [典例1]．已知求下列条件下的值. （1） （2）角在第一象限 练习巩固 典例精析 [典例2]．求证：. 练习巩固 [练习2] 求证： ＝ sin 2α. 证明：证法一：左边＝ ＝ ＝ ＝ cos α sin cos ＝ sin α cos α＝ sin 2α＝右边. ∴原式成立. 证法二：左边＝ ＝ cos 2α· ＝ cos 2αtan α＝ cos α sin α＝ sin2α＝右边. ∴原式成立. 典例精析 [典例3]．当 由典例3可以看到，角 使用说明 万能公式 设tan ＝ t ，则 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ . 在万能公式中不论α的哪种三角函数（包括 sin α与 cos α）都可以表示tan ＝ t 的 “有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成 t 的函数，从而就可以进行相 关代数恒等式的证明或三角式的求值. 练习巩固 [练习3]　已知 cos θ＝－ ，且180°＜θ＜270°，求tan . 解：∵180°＜θ＜270°， ∴90°＜ ＜135°，∴tan ＜0. 由 cos θ＝ ，得 ＝－ ， 解得tan2 ＝4.又tan ＜0，∴tan ＝－2. 练习巩固 1. 已知180°＜α＜360°，则 cos 的值等于（　C　） A. － B. C. － D. 2. 已知 cos θ＝－ （－180°＜θ＜－90°），则 cos ＝（　B　） A. － B. C. － D. 3. 化简： ＝ 　 cos 1　. C B cos 1　 4. 若tan α＝2，则tan ＝ 　 　. 5. 若tan ＝3，则 cos α＝ 　－ 　. 解析：∵tan ＝3 ∴ cos α＝ ＝ ＝ ＝－ . 　 － 　 练习巩固 D B 练习巩固 C A 练习巩固 BC AD 练习巩固 5. 已知α∈（0， ），若 sin （ ＋2α）＝ ，则tan α的值为 　 　. 解析：∵ sin （ ＋2α）＝ cos 2α＝ ，α∈（0， ）， ∴ sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ， ∴tan α＝ ＝ . 　 练习巩固 1. 若 cos α＝ ，且α∈（0，π），则 cos ＋ sin ＝（　B　） A. B. C. D. B 解析：∵ cos α＝ ，且α∈（0，π），∴ ∈ . ∴ cos ＝ ＝ ＝ ＝ ，sin ＝ ＝ ＝ . ∴ cos ＋ sin ＝ ＋ ＝ . 练习巩固 2. 设5π＜θ＜6π， cos ＝ a ，则 sin ＝（　D　） A. B. C. － D. － 解析：∵5π＜θ＜6π，∴ ＜ ＜ ， 又∵ cos ＝ a ， ∴ sin ＝－ ＝－ . D 练习巩固 练习巩固 4. 已知 sin θ＝－ ，3π＜θ＜ ，则tan 的值为（　B　） A. 3 B. －3 C. D. － 解析：∵3π＜θ＜ ， sin θ＝－ ， ∴ cos θ＝－ ＝－ ， ∵3π＜θ＜ ，∴ ＜ ＜ . 则tan ＝－ ＝－ ＝－3. B 练习巩固 5. 在△ ABC 中，若3 cos 2 ＋5 sin 2 ＝4，则tan A ·tan B ＝ 　 　. 解析：因为3 cos 2 ＋5 sin 2 ＝4， 所以 cos （ A － B ）－ cos （ A ＋ B ）＝0， 所以 cos A cos B ＋ sin A sin B － cos A cos B ＋ sin A · sin B ＝0， 即 cos A cos B ＝4 sin A sin B ， 所以tan A tan B ＝ . 　 练习巩固 6. 已知函数 f （ x ）＝ cos （ x － ）， x ∈R. （1）求 f （－ ）的值； 解：（1） f ＝ cos ＝ cos ＝ cos ＝1. 练习巩固 （2）若 cos θ＝ ，θ∈（ ，2π），求 f （2θ＋ ）. 解：（2） f ＝ cos ＝ cos ＝ cos 2θ－ sin 2θ. 因为 cos θ＝ ，θ∈ ， 所以 sin θ＝－ . 所以 sin 2θ＝2 sin θ cos θ＝－ ， cos 2θ＝ cos 2θ－ sin 2θ＝－ . 所以 f ＝ cos 2θ－ sin 2θ＝－ － ＝ . 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 2cos2α－1 cos2α＋sin2α＝1 2sin αcos α cos2α－sin2α 1－2sin2α [练习 1] 若cos α＝eq \f(1,3)，α∈(0，π)，则cos eq \f(α,2)的值为(　　) A．eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3) C．±eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(3),3) A　[∵cos α＝eq \f(1,3)，α∈(0，π)，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))． ∴cos eq \f(α,2)＝ eq \r(\f(1＋cos α,2))＝ eq \r(\f(1＋\f(1,3),2))＝eq \f(\r(6),3)．] 3．若eq \f(π,2)<θ<π，且cos eq \f(θ,2)＝eq \f(1,4)，则sin eq \f(θ,4)等于(　　) A．eq \f(\r(3),4) B．eq \f(\r(6),8) C．eq \f(\r(3),8) D．eq \f(\r(6),4) D　[∵eq \f(π,2)<θ<π且cos eq \f(θ,2)＝eq \f(1,4)． ∴eq \f(π,8)<eq \f(θ,4)<eq \f(π,4)且sin eq \f(θ,4)＝ eq \r(\f(1－cos \f(θ,2),2))＝ eq \r(\f(1－\f(1,4),2))＝eq \f(\r(6),4)．] $$