2.3.1简单的三角恒等变换——半角公式（5大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

2.3.1简单的三角恒等变换--- 半角公式 题型一 半角公式、二倍角的余弦公式 1.设，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 3.（多选）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 4.利用半角公式，求 ． 题型二 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、半角公式、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 1.若，，则（    ）． A． B． C． D． 2.在中，，则 . 3.化简：． 题型三 半角公式 1.已知，，则（    ）（是的半角） A． B． C． D． 2.若，且，则（　　） A． B． C． D． 3.已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 4.已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四 二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 1.已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为（　　） A．- B． C． D．3 2.（多选）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 3.求值：＝ . 4.在△ABC中，若，，求，，的值. 题型五 已知弦（切）求切（弦）、给值求值型问题 1.已知为第一象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 3.已知，，，均为锐角，则=（　　） A． B． C． D． 4.已知，求下列条件下，，的值： (1)； (2)角在第一象限． 1.若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 2.设△的三边长为，，，若，，则△是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 3.已知， ，则 4.已知，，则 . 5.如果，，则 ; . 6.半角公式的变形 ； ． 7.若，，则 ． 8.已知，角的终边在第一象限，求的值． 9.化简． 10.化简： (1)； (2). 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.1简单的三角恒等变换--- 半角公式 题型一 半角公式、二倍角的余弦公式 1.设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】半角公式、二倍角的余弦公式 【分析】借助，得出与所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得. 【详解】，，， 故，又， . 故选：D. 2.已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 3.（多选）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 【答案】AD 【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式、已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式 【分析】由二倍角、半角公式即可求解. 【详解】， 当时，不存在， 当时，. 故选：AD. 4.利用半角公式，求 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式、二倍角的正弦公式 【分析】利用半角公式依次求出即可得解. 【详解】， ， 则． 故答案为：. 题型二 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、半角公式、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 1.若，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、半角公式、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据同角三角函数商数关系，半角公式化简得到，结合角的范围，求出，从而求出正切值. 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以，即， 所以， 又因为，所以，． 故选：B． 2.在中，，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、半角公式、诱导公式二、三、四 【分析】先利用三角恒等变换化简得到，从而代入，求出答案. 【详解】 故答案为： 3.化简：． 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由于侧重角度不同，出发点不同，所以本题化简的方法不止一种． 法一：利用半角公式把化为，化为； 法二：函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （3）次数为2（有降次的可能）； （4）有平方项（可以进行配方）． 【详解】法一（“角”入手，“倍角”变“单角”）: 原式 ． 法二（从“名”入手，“异名”化“同名”）： 原式 ． 法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）： 原式 ． 法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）： 原式 ． 题型三 半角公式 1.已知，，则（    ）（是的半角） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】半角公式 【分析】直接利用半角公式求解即可 【详解】∵，∴， ∴． 故选：A 2.若，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】半角公式 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可求得的值. 【详解】因为，则， 因为，则，所以，. 故选：D. 3.已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】半角公式 【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：正切值的符号. 【详解】方法一：∵，， ∴. 方法二：∵，， ∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即， ∴ 故选：C 4.已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、半角公式 【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案. 【详解】是第三象限的角，故， 故， 因为，， 则，， 若，，，， 此时，满足要求，故， 若，，，， 此时，不合要求，舍去， ，D正确. 故选：D 题型四 二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 1.已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为（　　） A．- B． C． D．3 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】利用等腰三角形顶角与底角的关系及三角恒等变换计算即可. 【详解】设该等腰三角形的顶角为，则， 易知， 因为底角大小为， 所以 = = . 故选：D. 2.（多选）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】半角公式 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解． 【详解】由， 得，故A，B两项正确； ，故C项正确； ，故D项错误， 故选：ABC 3.求值：＝ . 【答案】4 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】利用辅助角公式，二倍角公式，诱导公式进行化简计算. 【详解】. 故答案为：4. 4.在△ABC中，若，，求，，的值. 【答案】sin，cos，tan. 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式、诱导公式二、三、四 【分析】运用同角三角函数平方关系、商数关系及二倍角公式逆用求解即可. 【详解】因为A，B，C均为三角形的内角， 所以，， 所以， 所以， ， . 题型五 已知弦（切）求切（弦）、给值求值型问题 1.已知为第一象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、给值求值型问题 【分析】根据为第一象限角得出为第一或第三象限角，然后利用同角三角函数的基本关系求出，利用半角公式再分情况进行求解. 【详解】因为为第一象限角，则，所以 故为第一或第三象限角．且，则． 当为第一象限角时，； 当为第三象限角时，． 故选：C． 2.已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式 【分析】由角的范围及平方关系求得，利用半角公式即可求目标式的值. 【详解】由，又，，则， 所以. 故选：D 3.已知，，，均为锐角，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、半角公式 【分析】运用同角三角函数平方关系、二倍角公式及角的配凑求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 又因为，所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 4.已知，求下列条件下，，的值： (1)； (2)角在第一象限． 【答案】(1)，，. (2)答案见详解. 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式、半角公式，根据三角函数的符号法则运算即可得解. （2）利用同角三角函数基本关系式、半角公式，根据三角函数的符号法则运算即可得解. 【详解】（1）解：当时，． 因为，所以， ∴， ， ． （2）解：当角在第一象限时，， 则． 且由，可得. 当为偶数时，角在第一象限，故由（1）可得 ，，． 当为奇数时，角在第三象限， 此时有， ． 1.若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、半角公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解. 【详解】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 2.设△的三边长为，，，若，，则△是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、半角公式、万能公式 【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r， 法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系； 法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设，△的内切圆半径为r，如图所示，    法一： ∴①；②. ①÷②，得：，即． 于是， ，， 从而得或， ∴或．故△为等腰三角形或直角三角形， （1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，   ，从而得． 又，代入①式，得，即， 上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形， ∴△为等腰直角三角形． （2）当时，易得． 代入②式，得，此式恒成立， 综上，△为直角三角形． 法二： 利用，及正弦定理和题设条件，得①，②. ∴③；④. 由③和④得：，即，， 因为为三角形内角， ∴或，即或． （1）若，代入③得：⑤ 又，将其代入⑤，得：． 变形得， 即⑥， 由知A为锐角，从而知． ∴由⑥，得：，即，从而，． 因此，△为等腰直角三角形． （2）若，即，此时③④恒成立， 综上，△为直角三角形． 故选：B 3.已知， ，则 【答案】2 【知识点】万能公式、已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用同角关系，求出和的值，再利用半角公式求解. 【详解】由，，则，， 又，所以，解得或（舍）， ，所以； 故答案为：2. 4.已知，，则 . 【答案】 【知识点】半角公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】首先由同角三角函数的基本关系求出，再由半角公式计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为： 5.如果，，则 ; . 【答案】 【知识点】半角公式、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】首先求，再利用半角公式，化简求值. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，， ，所以， 所以. 故答案为：； 6.半角公式的变形 ； ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式 【分析】根据二倍角公式即可求解. 【详解】由可得，， 故答案为：， 7.若，，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式 【分析】根据给定条件，求出，再利用半角的正切公式求出. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 8.已知，角的终边在第一象限，求的值． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式 【分析】先求出，根据半角公式得出的值． 【详解】解：因为，角的终边在第一象限， 所以， 所以. 9.化简． 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】法1：由倍角余弦公式得，以此形式及和差角余弦公式化简求值；法2：应用和差角正弦公式及平方关系化简求值. 【详解】法1：由倍角公式，得． 原式 ． 法2： ． 10.化简： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、半角公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式 【分析】（1）化切为弦，通分后利用二倍角公式和半角公式求出答案； （2）利用余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系得到答案. 【详解】（1） . （2） . 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$