第2章 2.2 第2课时 二倍角的三角函数及其应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时　二倍角的三角函数及其应用 [学习目标]　1.能利用二倍角公式对三角函数进行化简、求值.2.能够利用二倍角公式解决几何中的问题以及生活中的实际问题. 导语 上节课我们学习了二倍角的正弦、余弦、正切公式，知道了其简单的应用.这节课我们将对该知识进行深化，明确其在生产实际中的应用及与两角和与差的三角函数的综合应用.让我们一起来学习吧！ 一、二倍角公式的综合应用 例1　(1)函数f(x)=的最小正周期为(　　) A.　B.　C.π　D.2π 答案　C 解析　f(x)== ==sin xcos x=sin 2x，x≠kπ+(k∈Z)， 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 答案　B 解析　易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1 =(2cos2x-1)++1=cos 2x+， 则f(x)的最小正周期为π，当x=kπ(k∈Ζ)时， f(x)取得最大值，最大值为4. 反思感悟　求解此类问题的关键是熟练应用二倍角公式，化简原函数，其中当代数式中出现sin2x，cos2x时，要想到对代数式“降幂”，即sin2x=，cos2x=. 跟踪训练1　函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　　.  答案　-4 解析　f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=1-2cos2x-3cos x=-2+，因为cos x∈[-1，1]，所以当cos x=1时，f(x)取得最小值，f(x)min=-4. 二、二倍角公式同其他三角函数公式的综合应用 例2　已知cos=，≤α<，求cos的值. 解　∵≤α<，∴≤α+<. ∵cos=>0，∴<α+<. ∴sin=- =-=-. ∴cos 2α=sin=2sincos =2××=-， sin 2α=-cos=1-2cos2 =1-2×=. ∴cos=cos 2α-sin 2α =×=-. 反思感悟　注意几种公式的灵活应用，如： (1)sin 2x=cos=cos =2cos2-1=1-2sin2； (2)cos 2x=sin=sin =2sincos. 跟踪训练2　已知x∈，sin=-，求cos 2x的值. 解　方法一　因为sin=-，所以cos x-sin x=-，将此式两边平方得2sin xcos x=. 由此可得(cos x+sin x)2=. 因为x∈，所以sin x>0，cos x>0. 所以cos x+sin x=. 故cos 2x=cos2x-sin2x=(cos x+sin x)(cos x-sin x)=×=-. 方法二　因为sin=-，x∈， 所以-x∈，cos=. cos 2x=sin=sin =2sincos =2××=-. 三、二倍角的三角函数在几何中的应用 例3　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). 解　如图，连接OC， 设∠COB=θ， 则0°<θ<45°，OC=1 m. 因为AB=OB-OA=cos θ-AD=(cos θ-sin θ)m， 所以S矩形ABCD=AB·BC=(cos θ-sin θ)·sin θ =-sin2θ+sin θcos θ=-(1-cos 2θ)+sin 2θ =(sin 2θ+cos 2θ)-=cos(2θ-45°)-. 当2θ-45°=0°，即θ=22.5°时，(S矩形ABCD)max=(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 反思感悟　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想. 跟踪训练3　有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH，使其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角x=　　　　来截.  答案　或 解析　设正方形EFGH的边长为1， 则正方形ABCD的边长为BC=BF+CF=CG+CF=sin x+cos x， 由题意可得=， 即1+sin 2x=，可得sin 2x=， 因为x∈，则2x∈(0，π)， 所以2x=或2x=， 解得x=或x=. 1.知识清单： (1)二倍角公式的应用. (2)二倍角的三角函数在几何中的应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：对角之间的转化不熟导致错误. 1.化简等于(　　) A.1　B.2　C.　D.-1 答案　B 解析　原式===2. 2.设sin α=，2π<α<3π，则sin +cos 等于(　　) A.-　B.　C.　D.- 答案　A 解析　∵sin α=， ∴=1+sin α=. 又2π<α<3π，∴π<<，∴sin+cos<0， ∴sin +cos=-. 3.已知函数f(x)=sincos，则f(x)的值域为　　　　　　.  答案　 解析　f(x)=sin，其值域为. 4. 如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为 　　　　.  答案　 解析　设∠POQ=θ， 则PQ=sin θ，OQ=cos θ， ∴S△POQ=sin θcos θ=sin 2θ，由sin 2θ>，得sin 2θ>. 又2θ∈(0，π)，∴<2θ<，则<θ<， ∴∠POQ的取值范围为. 课时对点练　[分值：100分] 　　　　　　　　　　　　　　　　 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知sin α+cos α=，则sin2等于(　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　由sin α+cos α=，两边平方得1+sin 2α=，解得sin 2α=-， 所以sin2= ===. 2.(多选)已知函数f(x)=是奇函数，则有(　　) A.函数f(x)的图象关于直线x=对称 B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的最小正周期为π 答案　BCD 解析　因为f(x)===-tan x，x≠(k∈Z)，所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD. 3.若tan θ=-2，则等于(　　) A.-　B.-　C.　D. 答案　C 解析　方法一　因为tan θ=-2，所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以或 所以= =sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ=-=. 方法二　(弦化切法)因为tan θ=-2，所以==sin θ(sin θ+cos θ)====. 方法三　(正弦化余弦法)因为tan θ=-2， 所以sin θ=-2cos θ，则= =sin θ(sin θ+cos θ)= ===. 4.已知α∈(0，π)，且3cos 2α-8cos α=5，则sin α的值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　A 解析　由3cos 2α-8cos α=5， 得3(2cos2α-1)-8cos α=5， 即3cos2α-4cos α-4=0， 解得cos α=-或cos α=2(舍去). 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α===. 5.若=，则cos的值为(　　) A.　B.-　C.-　D. 答案　A 解析　因为=，所以=.所以cos α-sin α=，平方得1-2cos αsin α=，所以sin 2α=. 所以cos=sin 2α=. 6.函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间上的最大值是(　　) A.　B.1　C.　D.1+ 答案　A 解析　f(x)=+sin 2x =+sin. ∵≤x≤，∴≤2x-≤， ∴当2x-=，即x=时，f(x)max=+1=. 7.(5分)设α为锐角，若sin=，则cos的值为　　　　.  答案　 解析　原式=cos=-cos =-=-=. 8.(5分)若tan=，则tan 2α+=　　　　.  答案　2 解析　由tan==，可求得tan α=，则tan 2α+=+===2. 9.(10分)已知函数f(x)=sin(0<ω<3)，x=是f(x)的零点. (1)求ω的值；(4分) (2)求函数y=f+f的值域.(6分) 解　(1)由已知可得f=sin=0， 则ω-=kπ，k∈Z， 解得ω=2+8k，k∈Z， 又0<ω<3，可得ω=2. (2)由f(x)=sin，可得 y=f+f =sin+sin x=-cos 2x+sin x =-(1-2sin2x)+sin x =2-， 其中-1≤sin x≤1， 则当sin x=-时，函数y=f+f取得最小值-， 当sin x=1时，函数y=f+f取得最大值2， 故函数y=f+f的值域为. 10.(11分)已知cos=，x∈.求： (1)sin x的值；(5分) (2)sin的值.(6分) 解　(1)因为x∈，所以x-∈.所以sin==. 所以sin x=sin =sincos +cossin  =×+×=. (2)因为x∈，所以cos x=-=-=-. 所以sin 2x=2sin xcos x=-， cos 2x=2cos2x-1=-. 所以sin=sin 2xcos +cos 2xsin =-×+×=-. 11.函数f(x)=4cos2x-4cos4x+sin xcos x的最小值是(　　) A.-　B.　C.　D. 答案　A 解析　f(x)=4cos2x-4cos4x+sin xcos x=4cos2x·(1-cos2x)+sin xcos x=4sin2xcos2x+sin xcos x=sin22x+sin 2x=-，因此，当且仅当sin 2x=-时，f(x)取最小值-. 12.若cos=，且0<α<，则sin等于(　　) A.-　B.　C.　D.- 答案　B 解析　令t=+α，因为0<α<， 则t∈，所以sin t>0，α=t-， 所以cos=cos(2t+π)=-cos 2t=2sin2t-1=，解得sin t=. 13.(多选)已知函数f(x)=sin2，若a=f(lg 5)，b=f，则(　　) A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=sin(2lg 5) 答案　CD 解析　由题意可得f(x)=sin2 ==. 因为a=f(lg 5)，b=f=f(-lg 5)， 所以a+b=+=1， a-b=-=sin(2lg 5). 14.(5分)如图，已知OPQ是半径为5，圆心角为θ(tan θ=2)的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形.当矩形ABCD的周长最大时，BC边的长为　　　.  答案　 解析　由得 设∠COP=α，则AD=BC=OCsin α=5sin α， OB=OCcos α=5cos α， 在Rt△OAD中，∠AOD=θ， ∴OA==sin α， ∴CD=AB=OB-OA=5cos α-sin α， ∴矩形ABCD的周长为2(AB+BC)= 2×=5 =5sin， 当α+θ=时，矩形ABCD的周长取最大值5， 此时BC=5sin α=5sin=5cos θ=. 15.(5分)正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，设∠CAD=α，则cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α=　　　　，cos αcos 2αcos 3αcos 4α=　　　　.  答案　0　 解析　正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形. 正五边形的内角和为180°×(5-2)=180°×3=540°；每个角为=108°， 三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180°-108°=72°， 三角形内角和为180°，那么三角形顶角，即五角星尖角为180°-72°×2=36°， 即∠CAD=α=36°. cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α =cos 36°+cos 72°+cos 108°+cos 144° =cos 36°+cos 72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°) =cos 36°+cos 72°-cos 72°-cos 36°=0； cos αcos 2αcos 3αcos 4α =cos 36°cos 72°cos 108°cos 144°=(cos 36°cos 72°)2， 因为cos 36°·cos 72°= ===， 所以cos αcos 2αcos 3αcos 4α=. 16.(12分)已知点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT=1，∠PAB=α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？ 解　如图所示. ∵AB为半圆的直径， ∴∠APB=，又AB=1， ∴PA=cos α，PB=sin α. 又PT切半圆于点P， ∴∠TPB=∠PAB=α， ∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB =PA·PB+PT·PB·sin α =sin αcos α+sin2α=sin 2α+(1-cos 2α)=sin+. ∵0<α<， ∴-<2α-<， ∴当2α-=，即α=时， S四边形ABTP取得最大值+. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第2章 <<< 二倍角的三角函数及其应用 1.能利用二倍角公式对三角函数进行化简、求值. 2.能够利用二倍角公式解决几何中的问题以及生活中的实际问题. 学习目标 上节课我们学习了二倍角的正弦、余弦、正切公式，知道了其简单的应用.这节课我们将对该知识进行深化，明确其在生产实际中的应用及与两角和与差的三角函数的综合应用.让我们一起来学习吧！ 导 语 一、二倍角公式的综合应用 二、二倍角公式同其他三角函数公式的综合应用 课时对点练 三、二倍角的三角函数在几何中的应用 随堂演练 内容索引 二倍角公式的综合应用 一 　(1)函数f(x)=的最小正周期为 A.　 B.　 C.π　 D.2π 例 1 √ f(x)====sin xcos x=sin 2x，x≠kπ+(k∈Z)， 所以f(x)的最小正周期T==π. 6 (2)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2，则 A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 √ 易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=(2cos2x-1)++1=cos 2x+， 则f(x)的最小正周期为π，当x=kπ(k∈Ζ)时， f(x)取得最大值，最大值为4. 7 求解此类问题的关键是熟练应用二倍角公式，化简原函数，其中当代数式中出现sin2x，cos2x时，要想到对代数式“降幂”，即sin2x=，cos2x=. 反 思 感 悟 8 　函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　.  跟踪训练 1 -4 f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=1-2cos2x-3cos x=-2+，因为cos x∈[-1，1]，所以当cos x=1时，f(x)取得最小值，f(x)min=-4. 9 二 二倍角公式同其他三角函数公式的综合应用 　已知cos=，≤α<，求cos的值. 例 2 11 ∵≤α<，∴≤α+<. ∵cos=>0，∴<α+<. ∴sin=-=-=-. ∴cos 2α=sin=2sincos =2××=-， 12 sin 2α=-cos=1-2cos2=1-2×=. ∴cos=cos 2α-sin 2α =×=-. 13 反 思 感 悟 注意几种公式的灵活应用，如： (1)sin 2x=cos=cos =2cos2-1=1-2sin2； (2)cos 2x=sin=sin =2sincos. 　已知x∈，sin=-，求cos 2x的值. 跟踪训练 2 15 方法一　因为sin=-，所以cos x-sin x=-，将此式两边平方得2sin xcos x=. 由此可得(cos x+sin x)2=. 因为x∈，所以sin x>0，cos x>0. 所以cos x+sin x=. 故cos 2x=cos2x-sin2x=(cos x+sin x)(cos x-sin x)=×=-. 16 方法二　因为sin=-，x∈， 所以-x∈，cos=. cos 2x=sin=sin =2sincos =2××=-. 17 二倍角的三角函数在几何中的应用 三 　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). 例 3 19 如图，连接OC， 设∠COB=θ， 则0°<θ<45°，OC=1 m. 因为AB=OB-OA=cos θ-AD=(cos θ-sin θ)m， 所以S矩形ABCD=AB·BC=(cos θ-sin θ)·sin θ =-sin2θ+sin θcos θ=-(1-cos 2θ)+sin 2θ =(sin 2θ+cos 2θ)-=cos(2θ-45°)-. 20 当2θ-45°=0°，即θ=22.5°时，(S矩形ABCD)max=(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 21 反 思 感 悟 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想. 　有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH，使其面积是原正 方形钢板面积的三分之二，则应按角x=　　　　来截.  跟踪训练 3 或 23 设正方形EFGH的边长为1， 则正方形ABCD的边长为BC=BF+CF=CG+CF=sin x+cos x， 由题意可得=， 即1+sin 2x=，可得sin 2x=， 因为x∈，则2x∈(0，π)， 所以2x=或2x=， 解得x=或x=. 24 1.知识清单： (1)二倍角公式的应用. (2)二倍角的三角函数在几何中的应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：对角之间的转化不熟导致错误. 课堂小结 随堂演练 四 1.化简等于 A.1　 B.2　 C.　 D.-1 原式===2. √ 1 2 3 4 2.设sin α=，2π<α<3π，则sin +cos 等于 A.-　 B.　 C.　 D.- ∵sin α=， ∴=1+sin α=. 又2π<α<3π，∴π<<，∴sin+cos<0， ∴sin +cos=-. √ 1 2 3 4 3.已知函数f(x)=sincos，则f(x)的值域为　　　　　　.  f(x)=sin. 1 2 3 4 4.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为 上异于A，B的点， 且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围 为 　　　　.  1 2 3 4 设∠POQ=θ， 则PQ=sin θ，OQ=cos θ， ∴S△POQ=sin θcos θ=sin 2θ，由sin 2θ>， 得sin 2θ>. 又2θ∈(0，π)，∴<2θ<<θ<， ∴∠POQ的取值范围为. 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D BCD C A A A 　 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 2 A B CD 0　 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)由已知可得 f =sin=0， 则ω-=kπ，k∈Z， 解得ω=2+8k，k∈Z， 又0<ω<3，可得ω=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)由f(x)=sin，可得y=f+f =sin+sin x =-cos 2x+sin x=-(1-2sin2x)+sin x=2-， 其中-1≤sin x≤1， 则当sin x=-时，函数y=f +f 取得最小值-， 当sin x=1时，函数y=f +f 取得最大值2， 故函数y=f +f 的值域为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为x∈， 所以x-∈. 所以sin==. 所以sin x=sin=sincos+cossin =×+×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为x∈， 所以cos x=-=-=-. 所以sin 2x=2sin xcos x=-，cos 2x=2cos2x-1=-. 所以sin=sin 2xcos +cos 2xsin=-×+×=-. 16. 如图所示. ∵AB为半圆的直径， ∴∠APB=， 又AB=1， ∴PA=cos α，PB=sin α. 又PT切半圆于点P， ∴∠TPB=∠PAB=α， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sin α =sin αcos α+sin2α=sin 2α+(1-cos 2α)=sin+. ∵0<α<， ∴-<2α-<， ∴当2α-=，即α=时， S四边形ABTP取得最大值+. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知sin α+cos α=，则sin2等于 A.　 B. C.　 D. 由sin α+cos α=，两边平方得1+sin 2α=，解得sin 2α=-， 所以sin2====. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.(多选)已知函数f(x)=是奇函数，则有 A.函数f(x)的图象关于直线x=对称 B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的最小正周期为π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 因为f(x)===-tan x，x≠(k∈Z)，所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.若tan θ=-2，则等于 A.-　 B.-　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 方法一　因为tan θ=-2，所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以 所以==sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ=-=. 方法二　(弦化切法)因为tan θ=-2，所以==sin θ (sin θ+cos θ)====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 方法三　(正弦化余弦法)因为tan θ=-2， 所以sin θ=-2cos θ，则= =sin θ(sin θ+cos θ)= ===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.已知α∈(0，π)，且3cos 2α-8cos α=5，则sin α的值为 A.　 B.　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由3cos 2α-8cos α=5， 得3(2cos2α-1)-8cos α=5， 即3cos2α-4cos α-4=0， 解得cos α=-或cos α=2(舍去). 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.若=，则cos的值为 A.　 B.-　 C.-　 D. 因为==.所以cos α-sin α=，平方得 1-2cos αsin α=，所以sin 2α=. 所以cos=sin 2α=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间上的最大值是 A.　 B.1　 C.　 D.1+ f(x)=+sin 2x=+sin. ∵≤x≤，∴≤2x-≤， ∴当2x-=，即x=时，f(x)max=+1=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.设α为锐角，若sin=，则cos的值为　　　　.  原式=cos=-cos =-=-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.若tan=，则tan 2α+=　　　　.  由tan==，可求得tan α=，则tan 2α+= +===2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 9.已知函数f(x)=sin(0<ω<3)，x=是f(x)的零点. (1)求ω的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得f =sin=0， 则ω-=kπ，k∈Z， 解得ω=2+8k，k∈Z， 又0<ω<3，可得ω=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数y=f +f 的值域. 答案 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)=sin，可得y=f +f =sin+sin x=-cos 2x+sin x=-(1-2sin2x)+sin x=2-， 其中-1≤sin x≤1， 则当sin x=-时，函数y=f +f 取得最小值-， 当sin x=1时，函数y=f +f 取得最大值2， 故函数y=f +f . 答案 54 10.已知cos=，x∈.求： (1)sin x的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x∈，所以x-∈. 所以sin==. 所以sin x=sin=sincos +cossin  =×+×=. 答案 (2)sin的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x∈，所以cos x=-=-=-. 所以sin 2x=2sin xcos x=-， cos 2x=2cos2x-1=-. 所以sin=sin 2xcos +cos 2xsin=-×+×=-. 答案 11.函数f(x)=4cos2x-4cos4x+sin xcos x的最小值是 A.-　 B.　 C.　 D. f(x)=4cos2x-4cos4x+sin xcos x=4cos2x·(1-cos2x)+sin xcos x=4sin2xcos2x +sin xcos x=sin22x+sin 2x=-，因此，当且仅当sin 2x=-时，f(x)取最小值-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 12.若cos=，且0<α<，则sin等于 A.-　 B.　 C.　 D.- 令t=+α，因为0<α<， 则t∈，所以sin t>0，α=t-， 所以cos=cos(2t+π)=-cos 2t=2sin2t-1=，解得sin t=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)已知函数f(x)=sin2，若a=f(lg 5)，b=f ，则 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=sin(2lg 5) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由题意可得f(x)=sin2==. 因为a=f(lg 5)，b=f=f(-lg 5)， 所以a+b=+=1， a-b=-=sin(2lg 5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.如图，已知OPQ是半径为5，圆心角为θ(tan θ=2)的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形.当矩形ABCD的周长最大时，BC边的长为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由 设∠COP=α，则AD=BC=OCsin α=5sin α， OB=OCcos α=5cos α， 在Rt△OAD中，∠AOD=θ， ∴OA==sin α， ∴CD=AB=OB-OA=5cos α-sin α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∴矩形ABCD的周长为2(AB+BC)= 2×=5 =5sin， 当α+θ=时，矩形ABCD的周长取最大值5， 此时BC=5sin α=5sin=5cos θ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，设∠CAD=α，则cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α=　　，cos αcos 2αcos 3αcos 4α =　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 答案 正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形. 正五边形的内角和为180°×(5-2)=180°×3 =540°；每个角为=108°， 三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角， 即底角为180°-108°=72°， 三角形内角和为180°，那么三角形顶角，即五角星尖角为180°-72°×2=36°， 即∠CAD=α=36°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α =cos 36°+cos 72°+cos 108°+cos 144° =cos 36°+cos 72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°) =cos 36°+cos 72°-cos 72°-cos 36°=0； cos αcos 2αcos 3αcos 4α =cos 36°cos 72°cos 108°cos 144°=(cos 36°cos 72°)2， 因为cos 36°·cos 72°====， 所以cos αcos 2αcos 3αcos 4α=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.已知点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT=1，∠PAB=α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示. ∵AB为半圆的直径， ∴∠APB=，又AB=1， ∴PA=cos α，PB=sin α. 又PT切半圆于点P， ∴∠TPB=∠PAB=α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 68 ∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sin α =sin αcos α+sin2α=sin 2α+(1-cos 2α)=sin+. ∵0<α<， ∴-<2α-<， ∴当2α-=，即α=时， S四边形ABTP取得最大值+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 69 第一章 <<< $$