第6章 6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第6章 <<< 第2课时 空间向量数量积的坐标运 算及空间两点间的距离公式 1.会用坐标法计算空间向量的数量积，会判断空间向量的垂直，会求空间两向量的夹角. 2.理解空间两点间距离公式的推导方法. 3.掌握空间两点间的距离公式及简单应用. 学习目标 对于平面内两个非零向量a=(x1，y1)和b=(x2，y2)，有a·b=x1x2+y1y2.那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？ 导 语 一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 课时对点练 三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 随堂演练 内容索引 一 空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 设空间两个非零向量为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，a·b=x1x2+y1y2+z1z2成立吗？该计算公式如何推导？ 问题1 提示　a·b=x1x2+y1y2+z1z2成立，证明推导过程如下： 设｛i，j，k｝为空间的一个单位正交基底，则 a=(x1，y1，z1)=x1i+y1j+z1k， b=(x2，y2，z2)=x2i+y2j+z2k. a·b=(x1i+y1j+z1k)·(x2i+y2j+z2k) =x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2+x1y2i·j+x1z2i·k+y1x2j·i+y1z2j·k+z1x2k·i+z1y2k·j =x1x2+y1y2+z1z2. 设空间两个非零向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，它们的夹角为〈a，b〉，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|·cos〈a，b〉 _______________ a⊥b a·b=0 ________________ 模 |a|= ________________ x1x2+y1y2+z1z2 x1x2+y1y2+z1z2=0 知识梳理 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 夹角 余弦 cos〈a，b〉= 知识梳理 　　　(1)已知a=(-1，2，1)，b=(2，0，1)，则(2a+3b)·(a-b)=　　. 例 1 -4 易得2a+3b=(4，4，5)，a-b=(-3，2，0)， 则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4. 10 (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点. ①求证：EF⊥B1C； 11 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则有E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)， B1(1，1，1)，G， =-=， =(0，1，0)-(1，1，1)=(-1，0，-1). ∴·=×(-1)+×0+×(-1)=0，∴⊥，即EF⊥B1C. 12 ②求cos〈，〉； 因为=-(0，1，1)=. 所以||=. 又·=×0+×+×(-1)=，||=， 所以cos〈，〉==. 13 ③求||. H， =-=. ∴||==. 14 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标. 反 思 感 悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 15 　　　　　已知向量a=(x，1，2)，b=(1，y，-2)，c=(3，1，z)，a∥b，b⊥c. (1)求x，y，z的值； 跟踪训练 1 16 ∵a=(x，1，2)，b=(1，y，-2)，c=(3，1，z)， 且a∥b，b⊥c， ∴ 解得 17 (2)求向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值. 由(1)知a=(-1，1，2)，b=(1，-1，-2)，c=(3，1，1)，∴a+c=(2，2，3)，b+c=(4，0，-1). ∴(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5， |a+c|==， |b+c|==. ∴向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为 =. 18 二 空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 问题2 提示　如图，建立空间直角坐标系O-xyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)， 于是||= =， 所以P1P2=|| =. 如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？ 问题3 提示　设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点为P，则=+)=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)=. 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1)AB=__________________________________. (2)线段AB的中点M的坐标为______________________. 知识梳理 (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆. (2)空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广.动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为+(y-y0)2+(z-z0)2=r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面. 注 意 点 <<< 24 　　　(课本例4)　已知点A(3，1，3)，B(1，5，0)，求： (1)线段AB的中点坐标和AB的长度； 例 2 25 设M是AB的中点，O是坐标原点， 则=(3，1，3)，=(1，5，0). =+=+ =+-)=+) =[(3，1，3)+(1，5，0)]=. 所以线段AB的中点坐标是. 因为=-=(1，5，0)-(3，1，3)=(-2，4，-3)，所以线段AB的长度为 ||==. 26 (2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件. 设P(x，y，z)到A，B两点的距离相等，则 =. 化简，得4x-8y+6z+7=0， 这就是点P的坐标x，y，z满足的条件. 27 　　　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度. 例 2 28 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为C1C=CB=CA=2， 所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式， 可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， 所以DE==， EF==. 29 反 思 感 悟 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 　　　　　已知点M(3，2，1)，N(1，0，5)，求： (1)线段MN的长度； 跟踪训练 2 根据空间两点间的距离公式得MN==2. 31 (2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件. 因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等. 所以 =， 化简得x+y-2z+3=0， 因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x+y-2z+3=0. 32 三 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 　　　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3=，若PQ⊥AE，=λ，求λ的值. 例 3 34 如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，因为3=， 所以3(a-1，a-1，0)=(-a，-a，0)， 所以3a-3=-a，解得a=， 所以点P的坐标为. 35 由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)， 因为PQ⊥AE，所以·=0， 所以·=0， 即--=0， 解得b=， 所以点Q的坐标为， 36 因为=λ， 所以(-1，-1，0)=λ， 所以=-1，故λ=-4. 37 1.若本例中的“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？ 延伸探究 38 以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c，0)， 因为B1Q⊥EQ，所以·=0， 所以(c-1，c-1，-1)·=0， 即c(c-1)+c(c-1)+=0， 整理得4c2-4c+1=0， 解得c=， 39 所以点Q的坐标为， 所以点Q是线段BD的中点， 所以=-2，故λ=-2. 40 2.本例中若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置. 41 以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在xDy平面上，设点H的坐标为(m，n，0)，因为=(m，n，0)-=，=(0，0，1)-(1，1，0)=(-1，-1，1)，且∥，所以==，解得m=1，n=，所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点. 42 反 思 感 悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 　　　　　已知空间三点O(0，0，0)，A(-1，1，0)，B(0，1，1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为　　　　　　.  跟踪训练 3 44 设H(x，y，z)，则=(x，y，z)， =(x，y-1，z-1)，=(-1，1，0). 因为BH⊥OA，所以·=0， 即-x+y-1=0， ① 又点H在直线OA上， 所以=λ， 即 ② 45 联立①②解得 所以点H的坐标为. 46 1.知识清单： (1)空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示. (2)空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式. (3)利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题. 2.方法归纳：坐标法. 3.常见误区： (1)把两直线的夹角混淆为两个向量的夹角，导致出错. (2)混淆空间向量平行与垂直的条件. 课堂小结 47 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若向量a=(4，2，-4)，b=(6，-3，2)，则(2a-3b)·(a+2b)等于 A.-212　 B.-106　 C.106　 D.212 √ (2a-3b)·(a+2b) =(-10，13，-14)·(16，-4，0) =-10×16+13×(-4)=-212. 2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为(1，2，2)，(2，-2，1)，则||等于 A.18　 B.12　 C.2　 D.3 1 2 3 4 ||= =3. √ 3.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是 A.1　 B.　 C.　 D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 依题意得(ka+b)·(2a-b)=0， 所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0， 而|a|2=2，|b|2=5，a·b=-1， 所以4k+k-2-5=0，解得k=. 4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角为　　.  1 2 3 4 ∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)， ∴||=3，||=， ·=0×(-1)+3×1+3×0=3， ∴cos〈，〉==， 又∵〈，〉∈［0，π］，∴〈，〉=. 课时对点练 五 1.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离CM的值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A(3，3，1)，B(1，0，5)， ∴AB的中点M，∴=， 故CM=||==. 2.已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=，且λ>0，则λ等于 A.5 B.4 C.3 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==， 且λ>0，解得λ=3. √ 3.已知向量a=(1，2，3)，b=(-2，-4，-6)，|c|=，若(a+b)·c=7，则a与c的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a+b=(-1，-2，-3)=-a， 故(a+b)·c=-a·c=7， 得a·c=-7， 而|a|==， 所以cos〈a，c〉==-， 所以〈a，c〉=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=(3，4，-8)，=(2，-3，1)， =(5，1，-7)， ·=10-3-7=0， 所以BC⊥AC， 而||=，||=5， 所以△ABC是直角三角形. 5.从点P(1，2，3)出发，沿着向量v=(-4，-1，8)的方向取点Q，使PQ=18，则点Q的坐标为 A.(-1，-2，3) B.(9，4，-13) C.(-7，0，19) D.(1，-2，-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Q(x0，y0，z0)，则=λv(λ>0)， 即(x0-1，y0-2，z0-3)=λ(-4，-1，8). 由PQ=18，得=18， 所以λ=2， 所以(x0-1，y0-2，z0-3)=2(-4，-1，8)， 所以所以Q(-7，0，19). 6.(多选)已知向量a=(1，1，-1)，b=(2，-1，0)，c=(0，1，-2)，则下列结论正确的是 A.a·(b+c)=4 B.(a-b)·(b-c)=-8 C.记a与b-c的夹角为θ，则cos θ= D.若(a+λb)⊥c，则λ=3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得a·(b+c)=(1，1，-1)·(2，0，-2)=2+0+2=4. (a-b)·(b-c)=(-1，2，-1)·(2，-2，2) =-2-4-2=-8. cos θ===-. 因为(a+λb)⊥c，所以(a+λb)·c=0， 即(1+2λ，1-λ，-1)·(0，1，-2)=0， 得1-λ+2=0，解得λ=3.综上可知，选项ABD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知a=(1，1，0)，b=(0，1，1)，c=(1，0，1)，p=a-b，q=a+2b-c，则p·q=　　　.  -1 ∵p=a-b=(1，0，-1)， q=a+2b-c=(0，3，1)， ∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知a=(cos α，1，sin α)，b=(sin α，1，cos α)，则向量a+b与a-b的夹角是　　　　.  ∵a=(cos α，1，sin α)，b=(sin α，1，cos α)， ∴a+b=(sin α+cos α，2，sin α+cos α)， a-b=(cos α-sin α，0，sin α-cos α)， ∴(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0， ∴(a+b)⊥(a-b).∴向量a+b与a-b的夹角是90°. 90° 67 9.已知向量a=(x，4，1)，b=(-2，y，-1)，c=(3，-2，z)，且a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a∥b，所以==，且y≠0， 解得x=2，y=-4， 此时a=(2，4，1)，b=(-2，-4，-1). 又由b⊥c得b·c=0， 故(-2，-4，-1)·(3，-2，z)=-6+8-z=0， 得z=2，此时c=(3，-2，2). (2)求向量a+c与向量b+c所成角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得， a+c=(5，2，3)，b+c=(1，-6，1)， 因此向量a+c与向量b+c所成角θ的余弦值为 cos θ===-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB=BC=2，又PA=PB=PC=3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中， (1)求点A，B，C，P的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取AC的中点O，连接OB，OP. 因为△ABC是直角三角形，且AB=BC=2. 所以AC=4，OB=2. 因为PA=PB=PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O. 故PO⊥平面ABC. 因为PA=3，所以PO===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则P(0，0，)，A(0，-2，0)， B(2，0，0)，C(0，2，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求AB，PC的中点之间的距离. 由(1)得AB的中点坐标为(1，-1，0)， PC的中点坐标为. 这两个中点之间的距离d==. 11.已知向量=(2，-2，3)，向量=(x，1-y，4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则(x，y，z)等于 A.(-2，-4，-1) B.(-2，-4，1) C.(-2，4，-1) D.(2，-4，-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得(2，-2，3)+(x，1-y，4z)=2， 即(x+2，-1-y，3+4z)=(0，3，-1)， 所以解得 12.已知O为坐标原点，=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=λ， 则=-=-λ=(1-λ，2-λ，3-2λ)， =-=-λ=(2-λ，1-λ，2-2λ)， 所以·=(1-λ，2-λ，3-2λ)·(2-λ，1-λ，2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=2. 当λ=时，·取得最小值，此时点Q的坐标为. 13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为　　　　，线段MN的长度为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N ·=·=0，∴⊥， ∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°.又=， ∴MN=||==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知向量a=(5，3，1)，b=，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　.  ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-，因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0，且a与b的夹角不等于180°. 当a·b<0时， 即3t-<0， 所以t<. 若a与b的夹角为180°， 则存在实数λ<0，使a=λb， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(5，3，1)=λ， 所以所以t=-， 故t的取值范围是∪. 15.一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线所经过的路程是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 点P关于xOy平面对称的点为P'(1，1，-1)，则光线所经过的路程为 P'Q==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 则B(0，1，0)，M(1，0，1)， N. ∵=(1，-1，1)， =， ∴||==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ||==. 故BM的长为，BN的长为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求△BMN的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵cos∠MBN=cos〈，〉===， ∴sin∠MBN==， ∴S△BMN=·BM·BN·sin∠MBN=×××=. 即△BMN的面积为. 第一章 <<< $$ 第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 ［学习目标］　1．会用坐标法计算空间向量的数量积，会判断空间向量的垂直，会求空间两向量的夹角．2．理解空间两点间距离公式的推导方法．3．掌握空间两点间的距离公式及简单应用． 导语 对于平面内两个非零向量a=(x1，y1)和b=(x2，y2)，有a·b=x1x2+y1y2．那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？ 一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 问题1　设空间两个非零向量为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，a·b=x1x2+y1y2+z1z2成立吗？该计算公式如何推导？ 提示　a·b=x1x2+y1y2+z1z2成立，证明推导过程如下： 设｛i，j，k｝为空间的一个单位正交基底，则 a=(x1，y1，z1)=x1i+y1j+z1k， b=(x2，y2，z2)=x2i+y2j+z2k． a·b=(x1i+y1j+z1k)·(x2i+y2j+z2k) =x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2+x1y2i·j+x1z2i·k+y1x2j·i+y1z2j·k+z1x2k·i+z1y2k·j =x1x2+y1y2+z1z2． 知识梳理 设空间两个非零向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，它们的夹角为〈a，b〉，则 名称 满足条件 向量表 示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|· cos〈a，b〉 x1x2+y1y2+z1z2 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 模 |a| = 夹角 余弦 cos〈a，b〉 = 例1　(1)已知a=(-1，2，1)，b=(2，0，1)，则(2a+3b)·(a-b)=　　　　．  答案　-4 解析　 易得2a+3b=(4，4，5)，a-b=(-3，2，0)， 则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4． (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点． ①求证：EF⊥B1C； ②求cos〈，〉； ③求||． ①证明　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则有E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)， B1(1，1，1)，G， =-=， =(0，1，0)-(1，1，1)=(-1，0，-1)． ∴·=×(-1)+×0+×(-1)=0，∴⊥，即EF⊥B1C． ②解　因为=-(0，1，1) =． 所以||=． 又·=×0+×+×(-1)=，||=， 所以cos〈，〉==． ③解　H， =-=． ∴||==． 反思感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 跟踪训练1　已知向量a=(x，1，2)，b=(1，y，-2)，c=(3，1，z)，a∥b，b⊥c． (1)求x，y，z的值； (2)求向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值． 解　(1)∵a=(x，1，2)，b=(1，y，-2)，c=(3，1，z)， 且a∥b，b⊥c， ∴ 解得 (2)由(1)知a=(-1，1，2)，b=(1，-1，-2)，c=(3，1，1)，∴a+c=(2，2，3)，b+c=(4，0，-1)． ∴(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5， |a+c|==， |b+c|==． ∴向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为 =． 二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 问题2　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示　如图，建立空间直角坐标系O-xyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)， 于是||= =， 所以P1P2=|| =． 问题3　如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？ 提示　设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点为P，则=+)=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)=． 知识梳理 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1)AB=． (2)线段AB的中点M的坐标为 ． 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广．动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为+(y-y0)2+(z-z0)2=r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面． 例2　(课本例4)　已知点A(3，1，3)，B(1，5，0)，求： (1)线段AB的中点坐标和AB的长度； (2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件. 解　(1)设M是AB的中点，O是坐标原点， 则=(3，1，3)，=(1，5，0). =+=+ =+-)=+) =[(3，1，3)+(1，5，0)]=. 所以线段AB的中点坐标是. 因为=-=(1，5，0)-(3，1，3)=(-2，4，-3)，所以线段AB的长度为 ||==. (2)设P(x，y，z)到A，B两点的距离相等，则 = . 化简，得4x-8y+6z+7=0， 这就是点P的坐标x，y，z满足的条件. 例2　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 解　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为C1C=CB=CA=2， 所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式， 可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， 所以DE==， EF==． 反思感悟　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 跟踪训练2　已知点M(3，2，1)，N(1，0，5)，求： (1)线段MN的长度； (2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件． 解　(1)根据空间两点间的距离公式得MN==2． (2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等． 所以 =， 化简得x+y-2z+3=0， 因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x+y-2z+3=0． 三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 例3　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3=，若PQ⊥AE，=λ，求λ的值． 解　如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，因为3=， 所以3(a-1，a-1，0)=(-a，-a，0)，所以3a-3=-a，解得a=， 所以点P的坐标为． 由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)， 因为PQ⊥AE，所以·=0， 所以·=0， 即--=0， 解得b=， 所以点Q的坐标为， 因为=λ， 所以(-1，-1，0)=λ， 所以=-1，故λ=-4． 延伸探究 1．若本例中的“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？ 解　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c，0)， 因为B1Q⊥EQ，所以·=0， 所以(c-1，c-1，-1)·=0， 即c(c-1)+c(c-1)+=0， 整理得4c2-4c+1=0， 解得c=， 所以点Q的坐标为， 所以点Q是线段BD的中点， 所以=-2，故λ=-2． 2．本例中若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置． 解　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在xDy平面上，设点H的坐标为(m，n，0)，因为=(m，n，0)-=，=(0，0，1)-(1，1，0)=(-1，-1，1)，且∥，所以==，解得m=1，n=，所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点． 反思感悟　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 跟踪训练3　已知空间三点O(0，0，0)，A(-1，1，0)，B(0，1，1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为　　　　．  答案　 解析　设H(x，y，z)，则=(x，y，z)， =(x，y-1，z-1)，=(-1，1，0)． 因为BH⊥OA，所以·=0， 即-x+y-1=0， ① 又点H在直线OA上， 所以=λ， 即 ② 联立①②解得 所以点H的坐标为． 1．知识清单： (1)空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示． (2)空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式． (3)利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题． 2．方法归纳：坐标法． 3．常见误区： (1)把两直线的夹角混淆为两个向量的夹角，导致出错． (2)混淆空间向量平行与垂直的条件． 1．若向量a=(4，2，-4)，b=(6，-3，2)，则(2a-3b)·(a+2b)等于 (　　) A．-212　B．-106　C．106　D．212 答案　A 解析　(2a-3b)·(a+2b) =(-10，13，-14)·(16，-4，0) =-10×16+13×(-4)=-212． 2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为(1，2，2)，(2，-2，1)，则||等于 (　　) A.18　B.12　C.2　D.3 答案　D 解析　||= =3． 3．已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是 (　　) A．1　B．　C．　D． 答案　D 解析　依题意得(ka+b)·(2a-b)=0， 所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0， 而|a|2=2，|b|2=5，a·b=-1， 所以4k+k-2-5=0，解得k=． 4．已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角为　　　　．  答案　 解析　∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)， ∴||=3，||=， ·=0×(-1)+3×1+3×0=3， ∴cos〈，〉==， 又∵〈，〉∈［0，π］，∴〈，〉=． 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离CM的值为 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵A(3，3，1)，B(1，0，5)， ∴AB的中点M，∴=， 故CM=||==． 2．已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=，且λ>0，则λ等于 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　C 解析　λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==， 且λ>0，解得λ=3． 3．已知向量a=(1，2，3)，b=(-2，-4，-6)，|c|=，若(a+b)·c=7，则a与c的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　a+b=(-1，-2，-3)=-a， 故(a+b)·c=-a·c=7， 得a·c=-7， 而|a|==， 所以cos〈a，c〉==-， 所以〈a，c〉=120°． 4．已知A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　因为=(3，4，-8)，=(2，-3，1)， =(5，1，-7)， ·=10-3-7=0， 所以BC⊥AC， 而||=，||=5， 所以△ABC是直角三角形． 5．从点P(1，2，3)出发，沿着向量v=(-4，-1，8)的方向取点Q，使PQ=18，则点Q的坐标为 (　　) A.(-1，-2，3) B.(9，4，-13) C.(-7，0，19) D.(1，-2，-3) 答案　C 解析　设Q(x0，y0，z0)，则=λv(λ>0)， 即(x0-1，y0-2，z0-3)=λ(-4，-1，8)． 由PQ=18，得=18， 所以λ=2， 所以(x0-1，y0-2，z0-3)=2(-4，-1，8)， 所以所以Q(-7，0，19)． 6．(多选)已知向量a=(1，1，-1)，b=(2，-1，0)，c=(0，1，-2)，则下列结论正确的是 (　　) A.a·(b+c)=4 B.(a-b)·(b-c)=-8 C.记a与b-c的夹角为θ，则cos θ= D.若(a+λb)⊥c，则λ=3 答案　ABD 解析　由题意得a·(b+c)=(1，1，-1)·(2，0，-2)=2+0+2=4． (a-b)·(b-c)=(-1，2，-1)·(2，-2，2) =-2-4-2=-8． cos θ= ==-． 因为(a+λb)⊥c，所以(a+λb)·c=0， 即(1+2λ，1-λ，-1)·(0，1，-2)=0， 得1-λ+2=0，解得λ=3．综上可知，选项ABD正确． 7．(5分)已知a=(1，1，0)，b=(0，1，1)，c=(1，0，1)，p=a-b，q=a+2b-c，则p·q=　　　　．  答案　-1 解析　∵p=a-b=(1，0，-1)， q=a+2b-c=(0，3，1)， ∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1． 8．(5分)已知a=(cos α，1，sin α)，b=(sin α，1，cos α)，则向量a+b与a-b的夹角是　　　　．  答案　90° 解析　∵a=(cos α，1，sin α)，b=(sin α，1，cos α)， ∴a+b=(sin α+cos α，2，sin α+cos α)， a-b=(cos α-sin α，0，sin α-cos α)， ∴(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0， ∴(a+b)⊥(a-b)．∴向量a+b与a-b的夹角是90°． 9．(10分)已知向量a=(x，4，1)，b=(-2，y，-1)，c=(3，-2，z)，且a∥b，b⊥c． (1)求向量a，b，c；(5分) (2)求向量a+c与向量b+c所成角的余弦值．(5分) 解　(1)因为a∥b，所以==，且y≠0， 解得x=2，y=-4， 此时a=(2，4，1)，b=(-2，-4，-1)． 又由b⊥c得b·c=0， 故(-2，-4，-1)·(3，-2，z)=-6+8-z=0， 得z=2，此时c=(3，-2，2)． (2)由(1)得， a+c=(5，2，3)，b+c=(1，-6，1)， 因此向量a+c与向量b+c所成角θ的余弦值为 cos θ===-． 10．(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB=BC=2，又PA=PB=PC=3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中， (1)求点A，B，C，P的坐标；(6分) (2)求AB，PC的中点之间的距离．(6分) 解　(1)取AC的中点O，连接OB，OP． 因为△ABC是直角三角形，且AB=BC=2． 所以AC=4，OB=2． 因为PA=PB=PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O． 故PO⊥平面ABC． 因为PA=3，所以PO===． 以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则P(0，0，)，A(0，-2，0)， B(2，0，0)，C(0，2，0)． (2)由(1)得AB的中点坐标为(1，-1，0)， PC的中点坐标为． 这两个中点之间的距离为d==． 11．已知向量=(2，-2，3)，向量=(x，1-y，4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则(x，y，z)等于 (　　) A.(-2，-4，-1) B.(-2，-4，1) C.(-2，4，-1) D.(2，-4，-1) 答案　A 解析　由题意得(2，-2，3)+(x，1-y，4z)=2， 即(x+2，-1-y，3+4z)=(0，3，-1)， 所以解得 12．已知O为坐标原点，=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为 (　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设=λ， 则=-=-λ=(1-λ，2-λ，3-2λ)， =-=-λ=(2-λ，1-λ，2-2λ)， 所以·=(1-λ，2-λ，3-2λ)·(2-λ，1-λ，2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=2． 当λ=时，·取得最小值， 此时点Q的坐标为． 13．(5分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为　　　　，线段MN的长度为　　　　．  答案　90°　 解析　以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N·=·=0，∴⊥， ∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°．又=， ∴MN=||==． 14．(5分)已知向量a=(5，3，1)，b=，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为　　　　．  答案　∪ 解析　由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-，因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0，且a与b的夹角不等于180°． 当a·b<0时， 即3t-<0， 所以t<． 若a与b的夹角为180°， 则存在实数λ<0，使a=λb， 即(5，3，1)=λ， 所以所以t=-， 故t的取值范围是∪． 15．(5分)一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线所经过的路程是　　　　．  答案　 解析　点P关于xOy平面对称的点为P'(1，1，-1)，则光线所经过的路程为 P'Q==． 16．(12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长；(6分) (2)求△BMN的面积．(6分) 解　 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 则B(0，1，0)，M(1，0，1)， N． (1)∵=(1，-1，1)， =， ∴||= =， ||==． 故BM的长为，BN的长为． (2)∵cos∠MBN=cos〈，〉 ===， ∴sin∠MBN==， ∴S△BMN=·BM·BN·sin∠MBN=×××=． 即△BMN的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$