第6章 6.1.3 共面向量定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第6章 <<< 6.1.3 共面向量定理 1.了解共面向量的概念. 2.理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. 3.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面. 学习目标 在平面向量中，向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b=λa.那么，空间任意一个向量p与两个不共线的向量a，b共面时，它们之间存在什么样的关系呢？ 导 语 一、共面向量 二、共面向量定理 课时对点练 三、空间四点共面的条件 随堂演练 内容索引 一 共面向量 提示　向量a，b与平面ABCD平行，向量p在平面ABCD内. 如图，在长方体中，向量a，b，p与平面ABCD有怎样的位置关系？ 问题1 一般地，能平移到 内的向量叫作共面向量. 同一平面 知识梳理 (1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括向量所在直线平行于同一平面的情况. (2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 注 意 点 <<< 8 　　　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量，，是 A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共面向量 D.不共面向量 例 1 √ 9 如图所示.向量，，不是有相同起点的 向量，故A错误； 三个向量的模不一定相等，故B错误； 又在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∵=， 而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量，，是共面向量，C正确，D错误. 10 若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在平面α内或p∥平面α. 反 思 感 悟 11 　　　　　 (多选)下列说法错误的是 A.空间的任意三个向量都不共面 B.空间的任意两个向量都共面 C.三个向量共面，即它们所在的直线共面 D.若三个向量两两共面，则这三个向量一定也共面 跟踪训练 1 √ √ √ 12 二 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=xa+yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示. 知识梳理 　　　(课本例5)　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：MN∥平面CDE. 例 2 15 如题图，因为点M在BD上，且BM=BD，所以==+. 同理=+. 又因为==-， 所以=++ =++ =+=+. 又共面. 因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE. 16 　　　(1)已知，是空间两个不共线的向量，=3-2，那么必有 A.，共线 B.，共线 C.，，共面 D.，，不共面 例 2 √ 由共面向量定理知，，，共面. 17 (2)如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，设=a，=b，=c，在面对角线AC1和棱BC上分别取点M，N，使=k，=k(0≤k≤1).求证：MN∥平面ABB1A1. 18 =k=k(+)=kb+kc， 又=+=a+k=a+k(b-a) =(1-k)a+kb， ∴=-=(1-k)a+kb-kb-kc =(1-k)a-kc， 又与不共线，根据共面向量定理可知，，，共面， ∵MN不在平面ABB1A1内， ∴MN∥平面ABB1A1. 19 反 思 感 悟 在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a，b不共线”的要求. 　　　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E，F分别为PC，BD的中点.求证：EF∥平面PAD. 跟踪训练 2 21 =- =+)- =+-) =+=+， 又与不共线，根据共面向量定理可知，，，共面， 又EF⊄平面PAD，DA，PD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 22 三 空间四点共面的条件 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 问题2 提示　x+y+z=1. 证明如下：(1)充分性. ∵=x+y+z 可变形为=(1-y-z)+y+z， ∴-=y(-)+z(-)， ∴=y+z， ∴点P与A，B，C共面. (2)必要性. ∵点P在平面ABC内，且点A，B，C不共线， ∴存在有序实数组(m，n)，使得=m+n， 即-=m(-)+n(-)， ∴=(1-m-n)+m+n， ∵=x+y+z， 且点O在平面ABC外， ∴，，不共面， ∴x=1-m-n，y=m，z=n， ∴x+y+z=1. 若空间任意无三点共线的四点A，B，C，D，对于空间任一点O，存在实数x，y，z使得=x+y+z，且x，y，z满足 ，则A，B，C，D四点共面. x+y+z=1 知识梳理 　　　 (1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是 A.=++ B.=++ C.=++ D.=2-- 例 3 √ √ 28 方法一　A选项，=++，不能转化成=x+y的形式，所以A不正确； B选项，∵=++，∴3=++， ∴-=(-)+(-)，∴=+，∴=--， ∴P，A，B，C共面，故B正确； C选项，=++=++)++)=++. 29 ∴-=+， ∴=+， 由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确； D选项，=2--，无法转化成=x+y的形式，所以D项不正确. 方法二　当点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有=x+y+z，且x+y+z=1，可判断出只有B，C选项符合要求. 30 (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 31 设=a，=b，=c，则=b-a， ∵M为线段DD1的中点，∴=c-a， 又AN∶NC=2∶1，∴==(b+c)，∴=-=(b+c)-a =(b-a)+=+， 由向量共面的充要条件知，，为共面向量.又三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. 32 反 思 感 悟 (1)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y=x+ y+z (x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示. 解决向量共面的策略 　　　　　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面. 跟踪训练 3 34 如图，连接EG，BG. 因为=+=++)=++ =+，由向量共面的充要条件知向量，，共面，又，，有公共起点E，所以E，F，G，H四点共面. 35 (2)BD∥平面EFGH. 因为=-=-=， 所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. 36 1.知识清单： (1)共面向量定理的概念及应用. (2)空间中应用共面向量定理判断共面问题. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：应用=x+y+z(x+y+z=1)时，应注意四向量共起点，才能四点共面. 课堂小结 37 随堂演练 四 1 2 3 4 1.对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a-b为共面向量. √ 2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有=x++ ，则x的值为 A.1　 B.0　 C.3　 D. 1 2 3 4 ∵=x++， 且M，A，B，C四点共面， ∴x++=1，解得x=. √ 3.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 1 2 3 4 A选项中，3-1-1=1，M，A，B，C四点共面， C选项中，=--，∴点M，A，B，C共面. √ √ 4.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，向量，，是　　　向量(填“共面”或“不共面”).  1 2 3 4 共面 1 2 3 4 +=， 而=， 所以+=，所以，，是共面向量. 课时对点练 五 1.若a与b不共线，且m=a+b，n=a-b，p=a，则 A.m，n，p共线 B.m与p共线 C.n与p共线 D.m，n，p共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 由于(a+b)+(a-b)=2a，即m+n=2p， 即p=m+n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面. √ 2.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，有2=-++2，则 A.O，A，B，C四点共面 B.P，A，B，C四点共面 C.O，P，B，C四点共面 D.O，P，A，B，C五点共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2=-++2，可得-=2(-)+-， 即=2+，根据平面向量基本定理，可得，，共面， 又因为三个向量有公共点P，所以P，A，B，C四点共面. 3.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足=x+2y-3，则x2+y2的最小值为 A. B. C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=x+2y-3， 所以=-x-2y+3，又点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点， 所以-x-2y+3=1，即x=2-2y， 则x2+y2=(2-2y)2+y2=5y2-8y+4=5+≥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知向量e1，e2不共线，=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-5e2，则 A.与共线 B.与共线 C.A，B，C，D四点不共面 D.A，B，C，D四点共面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，不存在实数λ，使=λ，故A错误； B中，=-=e1-13e2，不存在实数λ，使=λ，故B错误； 若A，B，C，D四点共面，则必有=x+y=(x+2y)e1+(x+8y)e2=3e1-5e2， 则即 故=-， 故A，B，C，D四点共面，故C错误，D正确. 5.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有=x+y+ z(x，y，z∈R)，则x=2，y=-3，z=2是P，A，B，C四点共面的 A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 空间任意一点O和不共线的三点A，B，C， 且=x+y+z(x，y，z∈R)， 则P，A，B，C四点共面等价于x+y+z=1； 若x=2，y=-3，z=2，则x+y+z=1， 所以P，A，B，C四点共面； 若P，A，B，C四点共面，则x+y+z=1，但不能得到x=2，y=-3，z=2， 所以x=2，y=-3，z=2是P，A，B，C四点共面的充分且不必要条件. 6.(多选)下列命题中是真命题的为 A.若向量p=xa+yb，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则p=xa+yb C.若=x+y，则P，M，A，B四点共面 D.若P，M，A，B四点共面，则=x+y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，由共面向量定理得p与a，b共面，A是真命题； 对于选项B，若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题； 对于选项C，若=x+y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题； 对于选项D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则=x+y不成立，D是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知i，j，k是不共面向量，a=2i-j+3k，b=-i+4j-2k，c=7i+5j+λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ=　　　　.  ∵a，b，c三个向量共面， ∴存在实数m，n，使得c=ma+nb， 即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k). ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且=-x+，则实数x的值为　　　　.  =-x+=-x+-)=-x-. 又P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， ∴-x-=1，解得x=. 57 9.已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足=++. (1)判断，，三个向量是否共面； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵++=3， ∴-=(-)+(-)， ∴=+=--， ∴向量，，共面. (2)判断M是否在平面ABC内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知，向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点，证明：MN∥平面A'ACC'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=+， 且点M，N分别为A'B和B'C'的中点， 所以=++)=+)++)=+， 又与不共线， 所以，，共面， 因为MN⊄平面A'ACC'， AA'，A'C'⊂平面A'ACC'， 所以MN∥平面A'ACC'. 11.下面关于空间向量的说法正确的是 A.若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B.若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 C.若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D.若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确； 由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确； 由A，B，C，D四点不共面知，AB，AC，AD是空间中有公共端点A但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确. 12.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足=+x+y，=2x++y，则x+3y等于 A.　 B.　 C.　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由点A，B，C，D共面得x+y=， ① 又由点B，C，D，E共面得2x+y=， ② 联立①②，解得x=，y=， 所以x+3y=. 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有=+7+6-4，那么M必 A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+7+6-4 =++6-4 =++6-4 =+6(-)-4(-) =11-6-4， 于是M，B，A1，D1四点共面. 所以M必在平面BA1D1内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外任意一点，点P满足+2=6-3，则P与平面ABC的关系是　　　　　　　　　.  P在平面ABC内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵3-3=+2-3 =(-)+(2-2)， ∴3=+2，即=-2-3. ∴点P与点A，B，C共面，即P在平面ABC内. 方法二　由题意得=++， ∵++=1，且A，B，C三点不共线， ∴点P与点A，B，C共面.即P在平面ABC内. 15.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为棱PC上的点，且=，点G在AH上，且=m，若G，B，P，D四点共面，则实数m的值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接BD，BG(图略). 因为=-，=，所以=-. 因为=+， 所以=+-=-++. 因为=， 所以=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以=-++. 又因为=-， 所以=-++. 因为=m， 所以=m=-++. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为=+=++， 且G，B，P，D四点共面， 所以1-=0， 解得m=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量=k，=k，=k，=k. 求证：(1)点E，F，G，H共面； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵+=，∴k+k=k. 而=k，=k，∴+k=. 又+=，∴=k. 同理，=k，=k. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴=+，∴=+， 即=+.又它们有同一公共点E， ∴点E，F，G，H共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)AB∥平面EFGH. 由(1)知=k， ∴∥，即AB∥EF.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 第一章 <<< $$ 6.1.3　共面向量定理 ［学习目标］　1．了解共面向量的概念．2．理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行．3．理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面． 导语 在平面向量中，向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b=λa．那么，空间任意一个向量p与两个不共线的向量a，b共面时，它们之间存在什么样的关系呢？ 一、共面向量 问题1　如图，在长方体中，向量a，b，p与平面ABCD有怎样的位置关系？ 提示　向量a，b与平面ABCD平行，向量p在平面ABCD内． 知识梳理 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量． 注意点： (1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括向量所在直线平行于同一平面的情况． (2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了． 例1　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量，，是 (　　) A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共面向量 D.不共面向量 答案　C 解析　如图所示．向量，，不是有相同起点的向量，故A错误；三个向量的模不一定相等，故B错误；又在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∵=，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量，，是共面向量，C正确，D错误． 反思感悟　若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在平面α内或p∥平面α． 跟踪训练1　(多选)下列说法错误的是 (　　) A.空间的任意三个向量都不共面 B.空间的任意两个向量都共面 C.三个向量共面，即它们所在的直线共面 D.若三个向量两两共面，则这三个向量一定也共面 答案　ACD 二、共面向量定理 知识梳理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=xa+yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示． 例2　(课本例5)　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：MN∥平面CDE. 证明　如题图，因为点M在BD上，且BM=BD，所以==+. 同理=+. 又因为==-， 所以=++ =++ =+=+. 又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面. 因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE. 例2　(1)已知，是空间两个不共线的向量，=3-2，那么必有 (　　) A.，共线 B.，共线 C.，，共面 D.，，不共面 答案　C 解析　由共面向量定理知，，，共面． (2)如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，设=a，=b，=c，在面对角线AC1和棱BC上分别取点M，N，使=k，=k(0≤k≤1)．求证：MN∥平面ABB1A1． 证明　=k=k(+)=kb+kc， 又=+=a+k=a+k(b-a) =(1-k)a+kb， ∴=-=(1-k)a+kb-kb-kc =(1-k)a-kc， 又与不共线，根据共面向量定理可知，，，共面， ∵MN不在平面ABB1A1内， ∴MN∥平面ABB1A1． 反思感悟　在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a，b不共线”的要求． 跟踪训练2　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E，F分别为PC，BD的中点．求证：EF∥平面PAD． 证明　=- =+)- =+-) =+=+， 又与不共线，根据共面向量定理可知，，，共面， 又EF⊄平面PAD，DA，PD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD． 三、空间四点共面的条件 问题2　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 提示　x+y+z=1． 证明如下：(1)充分性． ∵=x+y+z 可变形为=(1-y-z)+y+z， ∴-=y(-)+z(-)， ∴=y+z， ∴点P与A，B，C共面． (2)必要性． ∵点P在平面ABC内，且点A，B，C不共线， ∴存在有序实数组(m，n)，使得=m+n， 即-=m(-)+n(-)， ∴=(1-m-n)+m+n， ∵=x+y+z， 且点O在平面ABC外， ∴，，不共面， ∴x=1-m-n，y=m，z=n， ∴x+y+z=1． 知识梳理 若空间任意无三点共线的四点A，B，C，D，对于空间任一点O，存在实数x，y，z使得=x+y+z，且x，y，z满足x+y+z=1，则A，B，C，D四点共面． 例3　(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是 (　　) A.=++ B.=++ C.=++ D.=2-- 答案　BC 解析　方法一　A选项，=++，不能转化成=x+y的形式，所以A不正确； B选项，∵=++，∴3=++，∴-=(-)+(-)，∴=+，∴=--，∴P，A，B，C共面，故B正确； C选项，=++=++)++)=++． ∴-=+， ∴=+， 由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确； D选项，=2--，无法转化成=x+y的形式，所以D项不正确． 方法二　当点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有=x+y+z，且x+y+z=1，可判断出只有B，C选项符合要求． (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明　设=a，=b，=c， 则=b-a， ∵M为线段DD1的中点，∴=c-a， 又AN∶NC=2∶1，∴==(b+c)， ∴=-=(b+c)-a =(b-a)+=+， 由向量共面的充要条件知，，为共面向量．又三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． 反思感悟　解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z (x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示． 跟踪训练3　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面． (2)BD∥平面EFGH． 证明　如图，连接EG，BG． (1)因为=+=++)=++=+，由向量共面的充要条件知向量，，共面，又，，有公共起点E，所以E，F，G，H四点共面． (2)因为=-=-=， 所以EH∥BD．又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH． 1．知识清单： (1)共面向量定理的概念及应用． (2)空间中应用共面向量定理判断共面问题． 2．方法归纳：类比法． 3．常见误区：应用=x+y+z(x+y+z=1)时，应注意，，，四向量共起点，才能四点共面． 1．对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是 (　　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 答案　A 解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a-b为共面向量． 2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有=x++，则x的值为 (　　) A．1　B．0　C．3　D． 答案　D 解析　∵=x++， 且M，A，B，C四点共面， ∴x++=1，解得x=． 3．(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 (　　) A．=3-- B．=++ C．++=0 D．+++=0 答案　AC 解析　A选项中，3-1-1=1，M，A，B，C四点共面， C选项中，=--，∴点M，A，B，C共面． 4．如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，向量，，是　　　向量(填“共面”或“不共面”)．  答案　共面 解析　+=， 而=， 所以+=，所以，，是共面向量． 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．若a与b不共线，且m=a+b，n=a-b，p=a，则 (　　) A.m，n，p共线 B.m与p共线 C.n与p共线 D.m，n，p共面 答案　D 解析　由于(a+b)+(a-b)=2a，即m+n=2p， 即p=m+n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面． 2．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，有2=-++2，则 (　　) A.O，A，B，C四点共面 B.P，A，B，C四点共面 C.O，P，B，C四点共面 D.O，P，A，B，C五点共面 答案　B 解析　由2=-++2，可得-=2(-)+-， 即=2+，根据平面向量基本定理，可得，，共面， 又因为三个向量有公共点P，所以P，A，B，C四点共面． 3．已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足=x+2y-3，则x2+y2的最小值为 (　　) A. B. C.1 D.2 答案　A 解析　因为=x+2y-3， 所以=-x-2y+3，又点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点， 所以-x-2y+3=1，即x=2-2y， 则x2+y2=(2-2y)2+y2=5y2-8y+4=5+≥． 4．已知向量e1，e2不共线，=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-5e2，则 (　　) A.与共线 B.与共线 C.A，B，C，D四点不共面 D.A，B，C，D四点共面 答案　D 解析　A中，不存在实数λ，使=λ，故A错误； B中，=-=e1-13e2，不存在实数λ，使=λ，故B错误； 若A，B，C，D四点共面，则必有=x+y=(x+2y)e1+(x+8y)e2=3e1-5e2， 则即 故=-， 故A，B，C，D四点共面，故C错误，D正确． 5．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有=x+y+z(x，y，z∈R)，则x=2，y=-3，z=2是P，A，B，C四点共面的 (　　) A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　空间任意一点O和不共线的三点A，B，C， 且=x+y+z(x，y，z∈R)， 则P，A，B，C四点共面等价于x+y+z=1； 若x=2，y=-3，z=2，则x+y+z=1， 所以P，A，B，C四点共面； 若P，A，B，C四点共面，则x+y+z=1，但不能得到x=2，y=-3，z=2， 所以x=2，y=-3，z=2是P，A，B，C四点共面的充分且不必要条件． 6．(多选)下列命题中是真命题的为 (　　) A.若向量p=xa+yb，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则p=xa+yb C.若=x+y，则P，M，A，B四点共面 D.若P，M，A，B四点共面，则=x+y 答案　AC 解析　对于选项A，由共面向量定理得p与a，b共面，A是真命题； 对于选项B，若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题； 对于选项C，若=x+y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题； 对于选项D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则=x+y不成立，D是假命题． 7．(5分)已知i，j，k是不共面向量，a=2i-j+3k，b=-i+4j-2k，c=7i+5j+λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ=　　　　．  答案　 解析　∵a，b，c三个向量共面， ∴存在实数m，n，使得c=ma+nb， 即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k)． ∴ 8．(5分)已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且=-x+，则实数x的值为　　　　．  答案　 解析　=-x+=-x+-)=-x-． 又P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， ∴-x-=1，解得x=． 9．(10分)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足=++． (1)判断，，三个向量是否共面；(5分) (2)判断M是否在平面ABC内．(5分) 解　(1)∵++=3， ∴-=(-)+(-)， ∴=+=--， ∴向量，，共面． (2)由(1)知，向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内． 10．(12分)如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点，证明：MN∥平面A'ACC'． 证明　因为=+， 且点M，N分别为A'B和B'C'的中点， 所以=++)=+)++)=+， 又与不共线， 所以，，共面， 因为MN⊄平面A'ACC'， AA'，A'C'⊂平面A'ACC'， 所以MN∥平面A'ACC'． 11．下面关于空间向量的说法正确的是 (　　) A.若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B.若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 C.若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D.若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 答案　D 解析　我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确；由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确；由A，B，C，D四点不共面知，AB，AC，AD是空间中有公共端点A但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确． 12．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足=+x+y，=2x++y，则x+3y等于 (　　) A．　B．　C．　D． 答案　B 解析　由点A，B，C，D共面得x+y=， ① 又由点B，C，D，E共面得2x+y=， ② 联立①②，解得x=，y=， 所以x+3y=． 13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有=+7+6-4，那么M必 (　　) A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内 C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内 答案　C 解析　=+7+6-4 =++6-4 =++6-4 =+6(-)-4(-) =11-6-4， 于是M，B，A1，D1四点共面． 所以M必在平面BA1D1内． 14．(5分)已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外任意一点，点P满足+2=6-3，则P与平面ABC的关系是　　　　　　　　　．  答案　P在平面ABC内 解析　方法一　∵3-3=+2-3 =(-)+(2-2)， ∴3=+2，即=-2-3． ∴点P与点A，B，C共面，即P在平面ABC内． 方法二　由题意得=++， ∵++=1，且A，B，C三点不共线， ∴点P与点A，B，C共面．即P在平面ABC内． 15．(5分)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为棱PC上的点，且=，点G在AH上，且=m，若G，B，P，D四点共面，则实数m的值是　　　　．  答案　 解析　连接BD，BG(图略)． 因为=-，=，所以=-． 因为=+， 所以=+-=-++． 因为=， 所以=， 所以=-++． 又因为=-， 所以=-++． 因为=m， 所以=m=-++． 又因为=+=++，且G，B，P，D四点共面， 所以1-=0， 解得m=． 16．(12分)已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量=k，=k，=k，=k． 求证：(1)点E，F，G，H共面；(7分) (2)AB∥平面EFGH．(5分) 证明　(1)∵+=，∴k+k=k． 而=k，=k，∴+k=． 又+=，∴=k． 同理，=k，=k． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴=+， ∴=+， 即=+．又它们有同一公共点E， ∴点E，F，G，H共面． (2)由(1)知=k， ∴∥，即AB∥EF．又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH． 学科网（北京）股份有限公司 $$