第6章 6.1.1 空间向量的线性运算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

6.1.1　空间向量的线性运算 ［学习目标］　1．通过向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．3．掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． 导语 你见过滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔伞运动呢？ 一、空间向量的概念 知识梳理 1．定义：在空间，把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫作空间向量． 2．几何表示法：空间向量用有向线段表示． 3．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量 相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作-a 相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b相等 注意点： (1)空间任意两个向量都共面． (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小． 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是 (　　) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等，而方向相同或相反 C.若向量，满足||>||，则> D.相同的向量其方向必相同 答案　D 解析　A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小． (2)(多选)下列命题为真命题的是 (　　) A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有= C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.任一向量与它的相反向量不相等 答案　 BC 解析　A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故=； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量． 反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB=AD=2，AA1=1，求向量的模． 解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个． (2)向量的相反向量为，，，． (3)||===3． 二、空间向量及其线性运算 问题1　联想平面向量的线性运算，思考空间向量的线性运算包括哪些？其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用？ 提示　易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算；线性运算法则也是一样，如加法满足三角形法则和平行四边形法则；减法是加法的逆运算；数乘运算，分λ>0，λ<0和λ=0三种情况． 问题2　你能借助向量加法的几何意义证明等式(a+b)+c=a+(b+c)吗？ 提示　如图， 因为=+=(+)+ =(a+b)+c， =+=++)=a+(b+c)， 所以(a+b)+c=a+(b+c)． 知识梳理 1．空间向量的线性运算 已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，=c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：=+=a+c； =-=a-b=-c． 若P在直线OA上，则=λa(λ∈R)． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a+b=b+a； (2)(a+b)+c=a+(b+c)； (3)λ(a+b)=λa+λb(λ∈R)． 例2　(课本例1)　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)+； (2)++； (3)--. 解　(1)+=. (2)因为M是BB1的中点， 所以=. 又因为=， 所以++=+=. (3)--=-=. 向量，，如图所示. 例2　已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)++； (2)-+； (3)++-)． 解　(1)++=++=． (2)-+=-(-)=-=． (3)++-)=++)=+． 设M是线段CB'的中点， 则++-) =+=． 向量，，如图所示． 反思感悟　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移求解运算结果． 跟踪训练2　如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：--=　　　　；  (2)用，，表示，则=　　　　．  答案　(1) (2)++ 解析　(1)--=-+)=-=-=． (2)=+=+)+ =++． 三、共线向量(或平行向量) 问题3　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示　对任意两个平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b=λa，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量． 知识梳理 1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa． 例3　(课本例2)　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点M，N分别在线段A1B，D1B1上，且BM=BA1，B1N=B1D1，P为棱B1C1的中点.求证：MN∥BP. 证明　=++. 因为BM=BA1，B1N=B1D1， 所以=-++ =-+)+++) =+=+. 又因为P为B1C1的中点， 所以=+=+ ==， 从而与为共线向量. 因为直线MN与BP不重合，所以MN∥BP. 例3　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN． 证明　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴=++ =++． ① 又=+++ =-+--， ② ①+②得2=， ∴与共线． 又∵直线CE与MN不重合，∴CE∥MN． 反思感悟　向量共线的判定及应用 (1)判断或证明空间中任意两向量a，b(a≠0)共线，就是寻找实数λ，使b=λa成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：存在实数λ，使=λ． 跟踪训练3　(1)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的实数k的值为　　　　．  答案　- 解析　由题意知，存在实数λ使得2ke1-e2=λ［e1+2(k+1)e2］，即解得 (2)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且=，BD与AC交于点M．求证：C1，O，M三点共线． 证明　设=a，=b，=c， 则=+=+ =+)++) =++++) =++=a+b+c， =+=+=+)+=a+b+c，∴=3，又直线MC1与直线MO有公共点M，∴C1，O，M三点共线． 1．知识清单： (1)空间向量的概念． (2)空间向量的线性运算． (3)共线向量(或平行向量)． 2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合． 3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线． 1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，=，则下列向量相等的是 (　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　D 解析　∵=，∴||=||，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，=． 2．在三棱锥O-ABC中，+-等于 (　　) A. 　B.　C.　D. 答案　C 解析　+-=-=+=． 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是 (　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 答案　A 解析　∵+=+， ∴=． ∴∥且||=||． ∴四边形ABCD为平行四边形． 4．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知=9a+mb，=-2a-b，=a-2b，且A，B，D三点共线，则实数m=　　　　．  答案　-3 解析　因为=-2a-b，=a-2b， 所以=+=- =-2a-b-(a-2b)=-3a+b． 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ，使得=λ， 即9a+mb=λ(-3a+b)． 所以 解得m=λ=-3． 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共30分 1．(多选)下列命题为真命题的是 (　　) A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相同的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 答案　ABC 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相同的向量或相反向量． 2．向量a，b互为相反向量，已知|b|=3，则下列结论正确的是 (　　) A.a=b B.a+b为实数0 C.a与b方向相同 D．|a|=3 答案　D 解析　向量a，b互为相反向量，则向量a，b的模相等，方向相反，故选D． 3．与共线是直线AB∥CD的 (　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　根据向量共线的定义，可知若与共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则与共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知与共线是直线AB∥CD的必要且不充分条件． 4．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列各式运算结果是的为 (　　) A.++ B.++ C.++ D.++ 答案　ABC 解析　选项A中， ++=+=； 选项B中， ++=+(+) =+=； 选项C中， ++=+=； 选项D中， ++=+(+) =+≠． 5．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=e1+ke2，=5e1+4e2，=-e1-2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是 (　　) A.1　B.2　C.3　D.4 答案　A 解析　因为=5e1+4e2，=-e1-2e2， 所以=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2) =6e1+6e2． 又A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得=λ， 所以e1+ke2=λ(6e1+6e2)． 因为e1，e2是不共线向量， 所以解得k=1． 6．若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则 (　　) A.P∈AB B.P∉AB C.点P可能在直线AB上 D.以上都不对 答案　A 解析　因为m+n=1，所以m=1-n， 所以=(1-n)+n， 即-=n(-)， 即=n，所以与共线． 又，有公共起点A， 所以P，A，B三点共线，即P∈AB． 7．(5分)在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则+--化简的结果为　　　．  答案　0 解析　如图所示，延长DE交边BC于点F， 则有+=，+=+=， 故+--=0． 8．(5分)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=，若=x+y(+)，则x=　　　　，y=　　　　．  答案　1　 解析　=+=+=++)．所以x=1，y=． 9．(10分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)+；(2分) (2)++；(4分) (3)--．(4分) 解　(1)+=． (2)因为M是BB1的中点， 所以=． 又=， 所以++=+=． (3)--=-=． 向量，，如图所示． 10．(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且=2，F在对角线A1C上，且=． 求证：E，F，B三点共线． 证明　设=a，=b，=c， 因为=2，=， 所以=，=， 所以==b， =-)=+-) =a+b-c， 所以=-=a-b-c =． 又=++=-b-c+a=a-b-c，所以=，又与有公共起点E， 所以E，F，B三点共线． 11．(多选)若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式为零向量的是 (　　) A.+2+2+ B.2+2+3+3+ C.++ D.-+- 答案　BD 解析　A中，+2+2+=+2+=+++=+； B中，2+2+3+3+=2+3+=0； C中，++=+； D中，-+-=+++表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0． 12．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c，则下列向量中与共线的向量是 (　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.a-b-c D.-a-b+c 答案　AC 解析　因为=+=++)=c+(-a+b)=-a+b+c，a-b-c=-，所以与共线的向量是-a+b+c和a-b-c． 13．(多选)下列命题，其中是真命题的是 (　　) A.若∥，则A，B，C，D四点共线 B.若∥，则A，B，C三点共线 C.若e1，e2为不共线的非零向量，a=4e1-e2，b=-e1+e2，则a∥b D.|a|-|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件 答案　BC 解析　根据共线向量的定义，若∥， 则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误； 因为∥，且，有公共点A， 故B正确； 由于a=4e1-e2=-4=-4b， 所以a∥b，故C正确； 若a，b共线，则|a|+|b|=|a+b|或 |a+b|=||a|-|b||，故D错误． 14．(5分)如图，已知空间四边形ABCD中，F为BC的中点，E为AD的中点，若=λ(+)，则λ=　　　．  答案　 解析　由=++，=++，且=-，=-，得=+，即=+)，故λ=． 15．(5分)已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若=2+μ，则μ=　　　　　，若存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么λ+m+n的值为　　　　．  答案　-1　0 解析　∵A，B，C三点共线，∴2+μ=1，∴μ=-1， 又由λ+m+n=0， 得=--， 由A，B，C三点共线知--=1，则λ+m+n=0． 16．(10分)如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且=，=．求证：四边形EFGH是梯形． 证明　∵E，H分别是边AB，AD的中点， ∴=，=， ∴=-=-=． 又=-=-=-) =， ∴=，∴∥，||=||． 又点F不在线段EH上， ∴四边形EFGH是梯形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 <<< 6.1.1 空间向量的线性运算 1.通过向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律. 3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题. 学习目标 你见过滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔伞运动呢？ 导 语 一、空间向量的概念 二、空间向量及其线性运算 课时对点练 三、共线向量(或平行向量) 随堂演练 内容索引 一 空间向量的概念 1.定义：在空间，把像位移、力、速度、加速度这样既有 又有_____ 的量，叫作空间向量. 2.几何表示法：空间向量用 表示. 大小 方向 有向线段 知识梳理 3.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为 ，记作0 单位向量 的向量，叫作单位向量 相反向量 与向量a长度 ，方向 的向量，叫作a的相反向量，记作-a 相同的向量 所有 相等且 的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b______ 零向量 长度等于1个单位长度 相等 相反 长度 方向相同 相等 知识梳理 (1)空间任意两个向量都共面. (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)向量不能比较大小. 注 意 点 <<< 8 　　　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等，而方向相同或相反 C.若向量，满足||>||，则> D.相同的向量其方向必相同 例 1 √ 9 A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小. 10 (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有= C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.任一向量与它的相反向量不相等 √ √ 11 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故=； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 12 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 反 思 感 悟 13 　　　　　如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； 跟踪训练 1 与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个. 14 (2)试写出的相反向量； 向量的相反向量为，，，. (3)若AB=AD=2，AA1=1，求向量的模. ||===3. 15 二 空间向量及其线性运算 提示　易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算；线性运算法则也是一样，如加法满足三角形法则和平行四边形法则；减法是加法的逆运算；数乘运算，分λ>0，λ<0和λ=0三种情况. 联想平面向量的线性运算，思考空间向量的线性运算包括哪些？其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用？ 问题1 提示　如图， 你能借助向量加法的几何意义证明等式(a+b)+c=a+(b+c)吗？ 问题2 因为=+=(+)+ =(a+b)+c， =+=++)=a+(b+c)， 所以(a+b)+c=a+(b+c). 1.空间向量的线性运算 已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，=c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：=+= ； =-= = . 若P在直线OA上，则= (λ∈R). a+c a-b -c λa 知识梳理 2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a+b= ； (2)(a+b)+c= ； (3)λ(a+b)= (λ∈R). b+a a+(b+c) λa+λb 知识梳理 　　　(课本例1)　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)+； 例 2 +=. 21 (2)++； 因为M是BB1的中点， 所以=. 又因为=， 所以++=+=. 22 (3)--. --=-=. 向量如图所示. 23 　　　已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)++； 例 2 ++=++=. (2)-+； -+=-(-)=-=. 24 (3)++-). 25 ++-)=++)=+. 设M是线段CB'的中点， 则++-) =+=. 向量，，如图所示. 26 反 思 感 悟 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移求解运算结果. 空间向量加法、减法运算的两个技巧 　　　　　如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， O为AC的中点. 跟踪训练 2 (1)化简：--=　　　　；  --=-+)=-=-=. (2)用，，表示，则=　　　　　　　　　.  =+=+)+=++. 28 三 共线向量(或平行向量) 提示　对任意两个平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b=λa，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 问题3 1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行，记作 ，规定 与任意向量共线. 2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使 . 平行 重合 a∥b 零向量 b=λa 知识梳理 　　　(课本例2)　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点M，N分别在线段A1B，D1B1上，且BM=BA1，B1N=B1D1，P为棱B1C1的中点.求证：MN∥BP. 例 3 32 =++. 因为BM=BA1，B1N=B1D1， 所以=-++ =-+)+++) =+=+. 又因为P为B1C1的中点， 所以=+=+ ==， 33 从而为共线向量. 因为直线MN与BP不重合，所以MN∥BP. 34 　　　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN. 例 3 35 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴=++ =++. ① 又=+++ =-+--， ② ①+②得2=， ∴与共线. 又∵直线CE与MN不重合，∴CE∥MN. 36 反 思 感 悟 (1)判断或证明空间中任意两向量a，b(a≠0)共线，就是寻找实数λ，使b=λa成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：存在实数λ，使=λ. 向量共线的判定及应用 　　　　　(1)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的实数k的值为　　.  跟踪训练 3 - 由题意知，存在实数λ使得2ke1-e2=λ［e1+2(k+1)e2］，即解得 38 (2)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且=，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线. 39 设=a，=b，=c， 则=+=+ =+)++) =++++) =++=a+b+c， =+=+=+)+=a+b+c，∴=3，又直线MC1与直线MO有公共点M，∴C1，O，M三点共线. 40 1.知识清单： (1)空间向量的概念. (2)空间向量的线性运算. (3)共线向量(或平行向量). 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合. 3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线. 课堂小结 41 随堂演练 四 1 2 3 4 1.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，=，则下列向量相等的是 A.与 B.与 C.与 D.与 ∵=，∴||=||，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，=. √ 2.在三棱锥O-ABC中，+-等于 A. 　 B.　 C.　 D. 1 2 3 4 √ +-=-=+=. 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 1 2 3 4 ∵+=+， ∴=. ∴∥且||=||. ∴四边形ABCD为平行四边形. √ 4.设a，b是空间中两个不共线的向量，已知=9a+mb，=-2a-b，=a-2b，且A，B，D三点共线，则实数m=　　.  1 2 3 4 -3 1 2 3 4 因为=-2a-b，=a-2b， 所以=+=- =-2a-b-(a-2b)=-3a+b. 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ，使得=λ， 即9a+mb=λ(-3a+b). 所以 解得m=λ=-3. 课时对点练 五 1.(多选)下列命题为真命题的是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相同的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相同的向量或相反向量. √ 2.向量a，b互为相反向量，已知|b|=3，则下列结论正确的是 A.a=b B.a+b为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|=3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 向量a，b互为相反向量，则向量a，b的模相等，方向相反，故选D. √ 3.与共线是直线AB∥CD的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据向量共线的定义，可知若与共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则与共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知与共线是直线AB∥CD的必要且不充分条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列各式运算结果是的为 A.++ B.++ C.++ D.++ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项A中，++=+=； 选项B中，++=+(+) =+=； 选项C中，++=+=； 选项D中，++=+(+) =+≠. 5.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=e1+ke2，=5e1+4e2，=-e1-2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是 A.1　 B.2　 C.3　 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=5e1+4e2，=-e1-2e2， 所以=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2) =6e1+6e2. 又A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得=λ， 所以e1+ke2=λ(6e1+6e2). 因为e1，e2是不共线向量， 所以解得k=1. 6.若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则 A.P∈AB B.P∉AB C.点P可能在直线AB上 D.以上都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为m+n=1，所以m=1-n， 所以=(1-n)+n， 即-=n(-)， 即=n，所以与共线. 又，有公共起点A， 所以P，A，B三点共线，即P∈AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则+--化简的结果为　　　.  0 如图所示，延长DE交边BC于点F， 则有+=，+=+=， 故+--=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=，若=x+y(+)，则x=　，y=　　.  =+=+=++).所以x=1，y=. 1 59 9.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)+； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +=. (2)++； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M是BB1的中点， 所以=. 又=， 所以++=+=. (3)--. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 --=-=. 向量，，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且=2，F在对角线A1C上，且=. 求证：E，F，B三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=a，=b，=c， 因为=2，=， 所以=，=， 所以==b， =-)=+-) =a+b-c， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以=-=a-b-c =. 又=++=-b-c+a=a-b-c， 所以=，又与有公共起点E， 所以E，F，B三点共线. 11.(多选)若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式为零向量的是 A.+2+2+ B.2+2+3+3+ C.++ D.-+- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，+2+2+=+2+=+++=+； B中，2+2+3+3+=2+3+=0； C中，++=+； D中，-+-=+++表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0. 12.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c，则下列向量中与共线的向量是 A.-a+b+c B.a+b+c C.a-b-c D.-a-b+c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 因为=+=++)=c+(-a+b)=-a+b+c，a-b-c =-，所以与共线的向量是-a+b+c和a-b-c. 13.(多选)下列命题，其中是真命题的是 A.若∥，则A，B，C，D四点共线 B.若∥，则A，B，C三点共线 C.若e1，e2为不共线的非零向量，a=4e1-e2，b=-e1+e2，则a∥b D.|a|-|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据共线向量的定义，若∥， 则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误； 因为∥，且，有公共点A，故B正确； 由于a=4e1-e2=-4=-4b， 所以a∥b，故C正确； 若a，b共线，则|a|+|b|=|a+b|或 |a+b|=||a|-|b||，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，已知空间四边形ABCD中，F为BC的中点，E为AD的中点，若=λ(+)，则λ=　　　.  由=++，=++，且=-，=-，得=+，即=+)，故λ=. 15.已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若=2+μ，则μ=　，若存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么λ+m+n的值为　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A，B，C三点共线，∴2+μ=1，∴μ=-1， 又由λ+m+n=0， 得=--， 由A，B，C三点共线知--=1，则λ+m+n=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且=，=.求证：四边形EFGH是梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵E，H分别是边AB，AD的中点， ∴=，=， ∴=-=-=. 又=-=-=-)=， ∴=，∴∥，||=||. 又点F不在线段EH上， ∴四边形EFGH是梯形. 第一章 <<< $$