热点必刷题05 几何综合题综合压轴题解答题25题（3类题型34题） -2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

热点必刷题05 几何综合题综合压轴题解答题25题 题型一：与圆有关几何综合题 1 题型二：与三角形有关几何综合题 13 题型三：与四边形有关几何综合题 25 题型一：与圆有关几何综合题 1．（2025·上海杨浦·一模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． (1)如图1，当点G与点O重合时，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 2．（2024·上海静安·二模）如图1，中，已知为锐角，． (1)求的值； (2)如图2，点P在边上，点Q是边的中点，经过点A，与外切，且的直径不大于，设的半径为x，的半径为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)在第（2）小题条件下，连接，如果是等腰三角形，求的长． 3．（2024·上海黄浦·二模）已知：如图，是圆O的内接三角形，，、的中点分别为M、N，与、、分别交于点P、T、Q． (1)求证：； (2)当是等边三角形时，求的值； (3)如果圆心O到弦、的距离分别为7和15，求线段的长． 4．（2024·上海闵行·二模）如图，是的半径，弦垂直于弦，点M是弦的中点，过点M作的平行线，交于点E和点F． (1)如图1，当时． ①求的度数； ②连接OE，求证：； (2)如图2，连接，当时，，求y关于x的函数关系式并直接写出定义域． 5．（2024·上海金山·二模）如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图1，如果，求的值； (3)如图2，如果，求的余弦值． 6．（2024·上海青浦·二模）在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F． (1)如图，当点D在线段上时． ①设，求；（用含的式子表示） ②当时，求的值； (2)如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长． 7．（2024·上海徐汇·二模）如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且． (1)①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系； ②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论； (2)分别交、于点、． ①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值； ②当时，求圆心角的正切值． 8．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 9．（2023·上海普陀·二模）如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．    (1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长； (2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长． 10．（2024·上海浦东新·二模）已知：和相交于A、B两点，线段的延长线交于点C，、的延长线分别交于点D、E． (1)连接、，、分别与连心线相交于点H、点G，如图1，求证：； (2)如果． ①如图2，当点G与O重合，的半径为4时，求的半径； ②连接、，与连心线相交于点F，如图3，当，且的半径为2时，求的长． 11．（2024·上海虹口·二模）在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 12．（2024·上海奉贤·二模）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． (1)如果，，求边的长； (2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值； (3)连接并延长，交于点，如果，求的值． 13．（2024·上海长宁·二模）已知在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）． (1)当时，判断点B与的位置关系，并说明理由； (2)过点C作，交延长线于点E．以点E为圆心，为半径作，延长，交于点． ①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长； ②连接、，如果与的一条边平行，求的半径长． 题型二：与三角形有关几何综合题 14．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 15．（2025·上海静安·一模）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (4)连接，如果四边形有两个内角互补，求的长． 16．（2024·上海·二模）如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，． (1)如图1，求：的值 (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 17．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． (1)求的长； (2)当点是的重心时，求的值： (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 18．（2025·上海闵行·一模）如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上． (1)如图2，当点与点重合时，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，联结，交于点． ⅰ）当直线经过的重心时，求的值； ⅱ）如果是直角三角形且，求的正切值． 19．（2025·上海普陀·一模）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 20．（2025·上海长宁·一模）已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． (1)如图1，如果，，求的余切值： (2)如图2，连接交于点，如果，求的值； (3)如果，，，与相似，求的长． 21．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中 ， ，正方形的顶点、在线段上，在边上．在边上取一点，使 ． (1)若点为的重心，直接写出点和射线的位置关系，并求的长； (2)如图1，若为正三角形，且 ，求正方形的边长； (3)连接，若和全等，求的长． 22．（2025·上海金山·一模）已知三角形的顶点在三角形的内部，点、点在直线同侧． (1)如图1，连接、、，若和是等边三角形时，点、、三点共线，，求的比值； (2)如图2，连接、、（点、、三点不共线），（），若，，求的值（用含的代数式表示）； (3)若是等腰三角形，，，，点在高上，点在的延长线上，连接并延长交边于点，连接，，当，与相似时，求的长． 23．（2025·上海嘉定·一模）如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． (1)求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，求证：； (3)设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 24．（2025·上海杨浦·一模）已知中，，点在边上，． (1)如图1，当，时，求的长； (2)点是边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当是等腰三角形时，求的余弦值． 25．（2025·上海宝山·一模）如图，已知中，，，，点E、F分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点D． (1)当时，求的长； (2)当时，求值； (3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积． 题型三：与四边形有关几何综合题 26．（2025·上海奉贤·一模）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． (1)当点E在线段上时，求的正切值； (2)当G是中点时，求的值； (3)当，且与相似时，直接写出的长． 27．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 28．（2024·上海嘉定·二模）在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 29．（2025·上海青浦·一模）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 30．（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 31．（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 32．（2025·上海虹口·一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 33．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 34．（2024·上海普陀·二模）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题05 几何综合题综合压轴题解答题25题 题型一：与圆有关几何综合题 1 题型二：与三角形有关几何综合题 56 题型三：与四边形有关几何综合题 111 题型一：与圆有关几何综合题 1．（2025·上海杨浦·一模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． (1)如图1，当点G与点O重合时，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据弧、圆心角的关系，以及对顶角的性质得出，结合平角定义求出，根据余弦定义求出，即可求解； （2）连接，，，，设与相交于H，根据垂径定理得出，根据弧、弦、圆心角的关系得出，，结合（1）可得，，结合平角定义求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据垂径定理、垂直平分线的性质得出，进而求出，然后证明，得出，证明是等腰三角形，得出，则可化简为，最后解方程即可； （3）分情况讨论：当C在上时，连接，，，过F作与于H，证明 ，得出，证明，得出，在和中，根据勾股定理得出，则可求出即可求出y关于x的函数解析式；当C在上时，同理求解即可． 【详解】（1）解∶连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F是弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，，，，设与相交于H， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得（负值舍去）； （3）解：当C在上时，连接，，，过F作与于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 化简得， ∴（负值舍去）， ∴； 当C在上时，连接，，，过F作与于H， 同理可求出， ， 解得 ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 2．（2024·上海静安·二模）如图1，中，已知为锐角，． (1)求的值； (2)如图2，点P在边上，点Q是边的中点，经过点A，与外切，且的直径不大于，设的半径为x，的半径为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)在第（2）小题条件下，连接，如果是等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或3 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）构建直角三角形，根据，得出，根据勾股定理，得出，然后，再运用正弦的定义列式计算，即可作答． （2）设的半径为，的半径为，作图，根据已有的条件得出，结合勾股定理，得出，，在中，，代入数值进行计算，即可作答． （3）因为是等腰三角形，所以进行分类讨论，分为,以及 ，结合等腰三角形的性质以及线段的和差运算，列式作答即可． 【详解】（1）解：过点A作 ∵为锐角，． ∴在 解得 ∴ ∵ ∴ ∴在 ∴； （2）解：如图： ∵与外切，设的半径为，的半径为 ∴ ∵ ∴ ∵，点Q是边的中点 ∴ 过点P作于点G ∵ ∴ 则 在中， 则 ∴ 当时，则，得出； 当时，则，得出； ∵ ∴ 则 （3）解：∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴当时，， 则， ∵点Q是边的中点， ∴点P是边的中点， ∴， ∴当时，， 此时 ∴ 解出（舍去） 综上：是等腰三角形，的长为或3 3．（2024·上海黄浦·二模）已知：如图，是圆O的内接三角形，，、的中点分别为M、N，与、、分别交于点P、T、Q． (1)求证：； (2)当是等边三角形时，求的值； (3)如果圆心O到弦、的距离分别为7和15，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)1 (3)15或 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，由题意得，则点A在的中垂线上，结合圆的性质得点O在的中垂线上，则垂直平分即可； （2）连接，由圆周角定理得，证得是等边三角形，则有，可得即可； （3）连接交于点G，延长交于点H，由（1）得，同理，且，结合，设圆O的半径为r，利用和，整理得到，进一部分分当与位于元O得两侧和当与位于元O得同侧求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 由题意得，则点A在的中垂线上， ∵， ∴点O在的中垂线上， 则垂直平分， 那么， ； （2）连接，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， 点N为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴； （3）连接交于点G，延长交于点H，如图， 由（1）得，同理，且， ∵，， ∴， 设圆O的半径为r， ∵，， ∴，即， 当与位于元O得两侧时，则， ，解得，（舍去）， 则，，， ∵， ∴， 则； 当与位于元O得同侧时，如图， 则， ，解得，（舍去）， 则，，， ∵， ∴， 则； 故线段的长为15或． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆的性质和解直角三角形，第三问主要分情况讨论． 4．（2024·上海闵行·二模）如图，是的半径，弦垂直于弦，点M是弦的中点，过点M作的平行线，交于点E和点F． (1)如图1，当时． ①求的度数； ②连接OE，求证：； (2)如图2，连接，当时，，求y关于x的函数关系式并直接写出定义域． 【答案】(1)（1）①，②见详解（2） (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①连接，，由已知条件可得出，，由三角形内角和得出，由外角的性质可得出，进而可得出，即可证明A，O，C三点共线，再利用等腰三角形三线合一的性质即可求出答案． ②连接，由平行的性质可得出，由，可得出，，进而可得出，再由直角三角形的性质可得出． （2）过点A作与点G， 过O点作与点P． 设半径为r， 则，由得出，由平行线的性质可得出，，进而证明，由相似三角形性的性质可得出，即可求出，，再求证，即可得出，即，根据y的取值范围即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：①连接，， ∵， ∴，， ∵，且， ∴， ∴A，O，C三点共线， ∵， ∴平分， ∵， ∴． ②连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴． （2）过点A作与点G， 过O点作与点P． 设半径为r， 则， ∵ ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 则有， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定以及性质，正切的定义，直角三角形的性质，三角形外角的定义等等知识点，得出是解题的关键． 5．（2024·上海金山·二模）如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图1，如果，求的值； (3)如图2，如果，求的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值 【分析】（1）由题意知，，则，，由等腰梯形，可得，则，进而结论得证； （2）由垂径定理得，证明，则，设，则，证明，则，，由勾股定理得，，，则，根据，求解作答即可； （3）由（2）可知，，则，，由（2）可知，，则，，如图，作，垂足为点I，连接，则，设，，则，，证明，可得，，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， 如图，作，垂足为点I，连接， ∵， ∴， 设，，则，， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，余弦等知识．熟练掌握等腰梯形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，余弦是解题的关键． 6．（2024·上海青浦·二模）在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F． (1)如图，当点D在线段上时． ①设，求；（用含的式子表示） ②当时，求的值； (2)如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长． 【答案】(1)①  ② (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据等边对等角得到，，然后根据四边形的内角和是计算解题； ②先根据得到，然后推导，得到，可以求出长，过点A作于点G，然后求出值即可； （2）设交于点H，设，则，然后证明，得到，然后根据平行线分线段成比例得到，，再根据，就可得到，代入数值即可解题． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即，解得：或（舍）； 过点A作于点G， 则， ∴； （2）解：设交于点H，设， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴，即， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（2024·上海徐汇·二模）如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且． (1)①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系； ②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论； (2)分别交、于点、． ①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值； ②当时，求圆心角的正切值． 【答案】(1)①；②，证明见解析； (2)①的值不变，；②或． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求证、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案； ②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案； （2）①证明，即可得到答案； ②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N作于点F，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可． 【详解】（1）解：①，， ， ； ②．证明如下： 在弧上取点连接，使得， ； 、可得； ， ， ； ； ． （2）解：①的值不变，． ，， ； ，， ； ； ； ． ②如图， 过点在下方作，截取，连接、， ， ， ，， ； 又，， ， ， ； ，； 解得或； 过点N作于点F，则， ， ， ， 设，则， 当时， 在中，，即， 解得：， ； 当时， 在中，，即， 解得：， ． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 8．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴, ∴ ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，点边中点， 设，，则 由（1）可得 ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴ 即， ∵， 在中，， ∴， ∴ 解得：或（舍去） ∴； （3）解：①当时，点与点重合，舍去； ②当时，如图所示，延长交于点P，    ∵点是的中点，， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， 设， ∵ ∴，   ∴， ∴， ∴， 连接交于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 9．（2023·上海普陀·二模）如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．    (1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长； (2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，，是圆的内接正六边形的一边时，进而判断是等边三角形，即可求解； （2）根据题意证明，得出则,，在，中，勾股定理即可求解； （3）分情况讨论，①当时，如图所示，过点作于点，则，②当时，分别画出图形，根据，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，，      ∵半圆的直径， ∴， ∵是圆的内接正六边形的一边时， ∴, ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，    ∵是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图所示，过点作于点，则，    设，由（2）可得，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 又∵ ∴， 解得：， ∴； ②如图所示，当时，      同理可得，则，, ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，函数关系式，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键． 10．（2024·上海浦东新·二模）已知：和相交于A、B两点，线段的延长线交于点C，、的延长线分别交于点D、E． (1)连接、，、分别与连心线相交于点H、点G，如图1，求证：； (2)如果． ①如图2，当点G与O重合，的半径为4时，求的半径； ②连接、，与连心线相交于点F，如图3，当，且的半径为2时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、圆和圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，可得，再证明，可得； （2）①如图，连接，，，，证明三点共线，证明，再利用勾股定理求解即可；②如图，连接，，， 证明，可得， 证明，求解，证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴； （2）①如图，连接，，，， ∵为的直径， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②如图，连接，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，设，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11．（2024·上海虹口·二模）在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可得证； （2）①过作于，连接，根据锐角三角函数的定义，求出的长，从而求得和的长，根据勾股定理求出的长，从而得到的三角函数值，进而求得的长，然后根据，推出和相似，从而求出的长即可； ②过点作于，根据垂径定理以及勾股定理求出的三角函数值，然后用表示出的长，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ， 又， ， ， ； （2）解：①过作于，连接，如图：   ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ∵为直径， ， ， ， ， ； ②过点作于，连接，如图：   是的中点， ，， ， ， 设， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合运用三角函数的定义、垂径定理、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、勾股定理以及平行线的性质等知识点，掌握以上知识点是本题解题的关键． 12．（2024·上海奉贤·二模）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． (1)如果，，求边的长； (2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值； (3)连接并延长，交于点，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（）连接，过点作，垂足为，由圆周角定理可得，进而可得，再证明，根据，可得，即可求解； （）连接，设， 则 ， ， 求出，得到，进而得到，，分和两种情况解答即可求解； （）由可得，进而得到，可证明△≌△，得到，设，，则，，证明△∽△，得到，即可得到，由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点作，垂足为， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ，则 ， ， 在△中，， ∴， ∴， ， 当时，， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点作，垂足为， ∵， ∴，则， ∴， 在△中， ∵， ∴； 当时，， 即，不存在； ∴的余切值为：； （3）解：如图 由可得， ∴，，， ∴△≌△， ∴； 设，，由题意得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，，， ∴， ∴△∽△， ∴， 即 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线等分线段定理，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 13．（2024·上海长宁·二模）已知在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）． (1)当时，判断点B与的位置关系，并说明理由； (2)过点C作，交延长线于点E．以点E为圆心，为半径作，延长，交于点． ①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长； ②连接、，如果与的一条边平行，求的半径长． 【答案】(1)点B在内，见详解 (2)①；②或 【知识点】圆和圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合、解非直角三角形 【分析】（1）借助垂径定理，利用表示出和，通过比较和的大小确定点与圆的位置关系； （2）需要紧扣，第①问中结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出、，从而求解； 第②问当时，过点作，证明出，在中，，得到解得则； 当，延长交延长线于点F，由，得到，解得或5（舍去），则． 【详解】（1）解：过点O作，垂足为点H， ∵过圆心，， ∴ ， ∵， ， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B在内． （2）解：过点C作，垂足为M， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ， 又∵ ， ∵， ∴在中，，， 设，则， ∴， ①两圆的交点记为P、Q，连接， ∵与相交，是公共弦， ∴垂直平分，即， ∵经过的中点， ∴垂直平分， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②由于点A在直线上， ∴不可能与平行， 则当时，过点作， ， ∵， ， ， ∵ ， ∵ ， ∵ ， 在中，， ∴ ； 当，延长交延长线于点F， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 解得或5（舍去）， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，本题的解题方法都是落在“解三角形”上，发现等角，并灵活解三角形是本题的突破点和难点． 题型二：与三角形有关几何综合题 14．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】等腰三角形的定义、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据题意，，证明即可求证； （2）根据题意可得，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合（2）的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 如图所示，作，垂足是，   ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：若是等腰三角形，那么或或， 第一种情况：当时， ， ， 又， ， ，即  ， ， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， ，即 第二种情况：当时 ， ， ， ，即， ； 第三种情况：当时， ， ， 又， ， ， ， 由（2）可知，在中，， ， ， ，即； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 15．（2025·上海静安·一模）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (4)连接，如果四边形有两个内角互补，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、函数解析式 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据，得到，即，可证，得到，即平分，即可求解； （3）根据相似三角形的判定和性质得到，则，即，如图所示，连接，过点作于点，由勾股定理可得，，，根据三角函数的计算得到，在中，，，，可求出，， 则，在中，由勾股定理可得，所以有，由此即可求解； （4）由（3）可知，分类讨论：第一种情况，如果与互补，则，在中，由三角函数的计算可得，结合，可求解；第二种情况，如果与互补，即，则，由题意可得点也是的中点，即，结合，可求解；第三种情况，一定是钝角，则（舍）；由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即平分； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， 如图所示，连接，过点作于点， ∵，是中点，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴. （4）解：由（3）可知， 第一种情况，如果与互补，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况，如果与互补，即，则， ∵点是的中点， ∴点也是的中点，即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第三种情况，∵一定是钝角， ∴（舍）. 综上所述，当四边形有两个内角互补时，的长为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，函数解析式的计算，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是解题的关键． 16．（2024·上海·二模）如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，． (1)如图1，求：的值 (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可求解； （2）证明，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接， ，，，分别为，，的中点， ，， ， ． （2）解：， 理由如下： 连接，如图2， ，，，分别为，，的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． (1)求的长； (2)当点是的重心时，求的值： (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)为或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点、作的垂线，垂足分别为、，通过解直角三角形求出、，利用勾股定理求出，即可解答； （2）连接并延长交于点，根据题意得到是的垂直平分线，证明，列出比例式即可解答； （3）若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：当时，证明，求出，即可解答；当时，证明，求得，，过作，垂足为，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， ，，， ，， 点是边的中点， ， 在中，，， ， ， ， 在中，； （2）解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 点是的三条中线的交点， 是的中线， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况： 当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图： ， ， ， ， ， ， 即， ，， 过作，垂足为， ， ， ， ， ； 综上，为或． 【点睛】本题考查三角形的综合运用，主要考查勾股定理、重心的性质、解直角三角形、垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 18．（2025·上海闵行·一模）如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上． (1)如图2，当点与点重合时，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，联结，交于点． ⅰ）当直线经过的重心时，求的值； ⅱ）如果是直角三角形且，求的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)ⅰ）；ⅱ）的正切值为或． 【知识点】重心的有关性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）i）延长至G，使，连接，证明，得出，证出，则可得出答案； ii）分三种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：i）延长至G，使，连接， ∵直线经过的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ii）当时显然不成立． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，连接， ∵， ∴D，B，，C四点共圆， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，的正切值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 19．（2025·上海普陀·一模）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【答案】(1)的值等于3； (2)图见解析，是“线垂三角形”，是“分角”，是“线垂三角形”，是“分角”，理由见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点E作，交于点G．由“线垂”三角形的定义求得，由等腰三角形的性质求得，证明，，推出，，据此求解即可； （2）在边上取点M，使，联结，那么是“线垂三角形”，是“分角”，证明，得到，则也是“线垂三角形”，是“分角”； （3）作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N，延长至点G，使，联结，证明，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点E作，交于点G．    由是“线垂”三角形的“分角”，， 可知， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴的值等于3 ∴的值等于3； （2）解：在边上取点M，使，联结，    那么是“线垂三角形”，是“分角”， 可得， ∵为公共角， ∴， ∴， ∴也是“线垂三角形”，是“分角”； （3）解：作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N， 由（2）得， ∴， 可得， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 延长至点G，使，联结， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， ∴． 【点睛】本题考查了“线垂三角形”的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 20．（2025·上海长宁·一模）已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． (1)如图1，如果，，求的余切值： (2)如图2，连接交于点，如果，求的值； (3)如果，，，与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的值为或． 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理得出，再根据余切的定义求解即可． （2）过点分别作于点，于点，过点作于点，过点作于点，由相似三角形的性质可得出，再证明，再利用相似三角形的性质得出，再结合三角形的面积得出，进一步即可得出答案． （3）分两种情况讨论，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴， 在中，， ∴ （2）解：过点分别作于点，于点， 过点作于点，过点作于点， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解∶∵，与相似， 当，此时， ∴ 且为等边三角形， 设，则，，， 又∵， ∴， 即，， （舍）， ∴， 当，此时， 则，， ∴， 设，， 则， 解得． ∴， 综上：的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，余切的定义，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 21．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中 ， ，正方形的顶点、在线段上，在边上．在边上取一点，使 ． (1)若点为的重心，直接写出点和射线的位置关系，并求的长； (2)如图1，若为正三角形，且 ，求正方形的边长； (3)连接，若和全等，求的长． 【答案】(1) (2)正方形的边长为 (3) 【知识点】重心的有关性质、三线合一、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据重心的性质，三线合一的性质，正方形的性质可得，可得在射线上，设，则，．则，证明，在中， ，即可求解； （2）延长交于，作于证明，，，设正方形边长为根据相似三角形的性质得出，根据，即可求解． （3）延长交于根据得出，进而求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：在射线上，理由如下： ，为的重心， 在的中线上， ∴， 又∵四边形是正方形，则， 在射线上， 为的重心， ， 四边形是正方形， ， 设，则，， ， ，，，，， ， ， 为等腰三角形的中线， ， 又， 可证得， 在中，， 解得； （2）延长交于，作于， 在与中， ，， ， ， 设，， 三角形为等边三角形， ，，， 则，，， ， ， ， ， 又， ， 设正方形边长为， 则，， ∴， ∴， ∴，化简得， 则， ∴，， ∴， 解得， 即正方形的边长为； （3）延长交于， ， ，， 可得， ， 可得， 设，，， 则，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，重心的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（2025·上海金山·一模）已知三角形的顶点在三角形的内部，点、点在直线同侧． (1)如图1，连接、、，若和是等边三角形时，点、、三点共线，，求的比值； (2)如图2，连接、、（点、、三点不共线），（），若，，求的值（用含的代数式表示）； (3)若是等腰三角形，，，，点在高上，点在的延长线上，连接并延长交边于点，连接，，当，与相似时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）设，，过点作，求出的长，证明，利用面积比等于相似比，进行求解即可； （2）证明，得到，利用三角形的内角和定理和角度之间的和差关系进行求解即可； （3）分和两种情况，利用相似三角形的性质以及解直角三角形，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 设，， 是等边三角形， ，，                             ， 在中，，，， 过点作，则：， ∴， ∴， 是等边三角形，为等边三角形， ∴， ∴，                                                ； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ； 在中，，                            在中，，                         ，                     即， ∴， ∴， ∴， （3）∵，，， ∴，， ∴垂直平分，， 当，与相似时： ①当时： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵点在的中垂线上， ∴， ∴， ∵点在上， ∴点重合； 此时：点与成点重合（不合题意舍去）；                                      ②当时： ，， ， ， ∴， 过点作，， ∴， ∵， ∴， 设，则：，   ∴ 与相似 即 ，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，                     ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 23．（2025·上海嘉定·一模）如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． (1)求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，求证：； (3)设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）设，则，在结合等腰三角形的性质即可推出结论； （2）过点作于点，过作于点，证明，得出，可推出结论； （3）分两种情况①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵与相似， ①当时，如图所示 则， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了等边对等角，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质等知识点．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．（2025·上海杨浦·一模）已知中，，点在边上，． (1)如图1，当，时，求的长； (2)点是边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当是等腰三角形时，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 或 【知识点】求角的余弦值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由可求得，由勾股定理可求得，由可求得，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）①设，则，，过点作，交延长线于点，由可得，结合，可证得，于是可得，则，进而可得，由等角对等边可得，过点作于点，由三线合一可得，由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，则，由平行线分线段成比例定理可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，设，则，，整理得，则，由勾股定理可得，则，由此即可求出的值； ②过点作交延长线于点，然后分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解即可求出的余弦值． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 又， ， 在中，，， ∴； （2）解：①， 设，则，， 如图，过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 如图，过点作于点，则可得， 又， ， 由勾股定理可得：， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 整理，得：， ， 在中，，， ， ， ； ②，，， ， 如图，过点作交延长线于点， 分三种情况讨论： ）当时， ， ∴， 但不平行，故此种情况不存在； ）当时， 如图，过点作，垂足为， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 由①可知：此时， ， ； ）当时， 同理可得：， 设， 如图，延长至点，使得，连接， 又，， ， ， 过P作于H，则，， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 整理，得：， 解得：， ， ； 综上，或， 即：的余弦值为或． 【点睛】本题主要考查了已知正弦值求边长，相似三角形的判定与性质，等角对等边，三线合一，角平分线的性质定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，两直线平行内错角相等，线段的和与差，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理，同位角相等两直线平行，求角的余弦值，全等三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 25．（2025·上海宝山·一模）如图，已知中，，，，点E、F分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点D． (1)当时，求的长； (2)当时，求值； (3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、公式法解一元二次方程 【分析】（1）过F作，垂足为点H，利用等角的三角函数值相等可得，，设，则，可得，所以，求出x值，再利用勾股定理求出即可； （2）同（1）思路，证，即可得解； （3）分两种情况讨论，为直角或为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方程求解即可． 【详解】（1）解：过F作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ， 设，则， ， , ∵， ∴， ∴； （2）解：过F作，垂足为点H， 由（1）知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图， 此时， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ； ②当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 同理，得， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴ ； 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 题型三：与四边形有关几何综合题 26．（2025·上海奉贤·一模）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． (1)当点E在线段上时，求的正切值； (2)当G是中点时，求的值； (3)当，且与相似时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)； (3)当，且与相似时，的长为或． 【知识点】公式法解一元二次方程、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）先证明，推出，得到，再证明，得到，再利用正切函数的定义即可求解； （2）证明点四点共圆，得到点是矩形的中心，再证明四边形是菱形，设，则，再设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当点E在线段上时，设，则，证明，推出，再证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长；当点E在延长线上时，证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，，， 由（1）得， ∴点四点共圆， ∴， ∵G是中点， ∴点是矩形的中心， ∴点三点共线， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 再设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，当点E在线段上时， ∵， ∴当时，， ∵点四点共圆， ∴， ∴， 设， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴； 当点E在延长线上时， ∵， ∴当时，， 同理点四点共圆， ∴， ∵， ∴，， 设， 同理得， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴； 综上，当，且与相似时，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解一元二次方程，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 27．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，PF的长度不变， (3)能相似， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键． （1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可； （2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解； （3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，过点作，垂足为，如图所示： ∴，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当时（均为钝角），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（2024·上海嘉定·二模）在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)的正切值是 (2) (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质，结合已知判定是等边三角形，证明 ，后利用正切函数计算即可； （2）取的中点M，连接，结合(1)的解答，利用平行线的性质，三角形面积的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理计算即可； （3）过作点，垂足为，判定相似三角形的对应关系，结合等腰三角形的判定和性质，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是边的中点， ∴，， ∴，   又， ∴，   设， ∴，， 在中，， ∴的正切值是． （2）解：取的中点M，连接， 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∵与是同高的，设这个高为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴ ， ∴． （3）过作点，垂足为 由（1）得：是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵与以点、G、组成的三角形相似 ∴点只能与点G对应， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股定理，解方程，熟练掌握正切函数，三角形相似，勾股定理是解题的关键． 29．（2025·上海青浦·一模）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）延长，交的延长线于点，可证得，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，设作于，可证得，，从而，进而得出，从而得出，，从而得出，，进而得出，，，，，进一步得出结果； （3）设，，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作于，从而，，，可证得，从而，从而得出，从而得出，根据，根据，从而得出，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，延长，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长，交的延长线于点，作于， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，设，则，， ，， 在中， ，， ， ； （3）解：如图3，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作于， 设，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 30．（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作，垂足为点，由求出，由勾股定理的出，，所以，由，， 得到，进而可得出结论； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系证出，由，得到，，所以，求出，进而可求出的长； （3）过点作，垂足为点，根据，得到，证明出，可得，由，可得，然后分两种情况讨论：当点在线段的延长线上时；当点在线段上时；即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：过点作，垂足为点， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 当点在线段的延长线上时， 由，可得， 设， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段上时，可得， 设， ，，， ，， ， ， ， 综上所述的值为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 31．（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)5 (3)或或2 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ； （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ； ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ； ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 32．（2025·上海虹口·一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）设，根据题意进行角度计算，得出，即可得证； （2）延长交延长线于H，求出的长度，即可得出的值； （3）过A作于M，设，根据相似三角形和勾股定理，得出结果． 【详解】（1）解：证明：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交延长线于H，过A作于M， ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过A作于M， ∵， ∴， ∴， 由（2）可设，则 ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 33．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 34．（2024·上海普陀·二模）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【答案】(1) (2)①；②理由见解析，双同正多边形的边数为 【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）当点正好落在的延长线上时，连接，根据平行线的性质、旋转的性质、等边对等角的性质，得出，结合三角形内角和为求出度数即可； （2）①连接、、、，过点作于点，根据旋转的性质、相似三角形的判定定理，证明，得出，结合勾股定理，用含的代数式表示出、，代入中整理得出关于的函数解析式即可；②根据①过程中，，，已知，说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形即可；根据当这两个正多边形的面积比是时，相似多边形的面积比等于相似比的平方，得出相似比为，求出的长，结合勾股定理计算，求出，得出，计算即可得出双同正多边形的边数． 【详解】（1）解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接， ∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴（两直线平行，内错角相等），，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接、、、，过点作于点， ∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， 和都等于旋转角，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 整理得：； ②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下， 如图，由①过程得：，，， ∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， ∴也是一个正多边形的中心角， ∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形， ∴这两个正多边形也是相似多边形， ∵当这两个正多边形的面积比是时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这两个正多边形的中心角， ∴这两个正多边形的边数， ∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正多边形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、推理证明是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$