精品解析：黑龙江省大庆市靓湖学校2024-2025学年九年级下学期3月份数学反馈练习

2024—2025学年度下学期 九年级数学3月份反馈练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（ ） A. 都为0 B. 只有一个0 C. 有两个数互为相反数 D. 至少有一个0 2. 人口问题已经成为严峻的全球性问题，我国目前正面临着严峻的人口挑战，包括人口老龄化加剧，出生人口男女性别比偏高，大量的人口流动，总和生育率明显低于更替水平，总人口增速趋缓等。根据统计，2024年我国出生人口约为8822100人，则出生人口可以用科学记数法表示为（ ）人 A. B. C. D. 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 5. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形内，飞镖投中正方形内各点机会均等，则飞镖落入阴影区域内概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B. 到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 C. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 7. 如图，是绕点顺时针旋转得到的，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点，，，分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为2．开动脑筋想一想，经过点的“蛋圆”切线的解析式为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点E为上的一点（），点P沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．设运动时间为t，，图2是点P运动时y随t变化的关系图象（当时点P运动到点D），则a的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 17.5 D. 20 二．填空题（共8小题，满分24分） 11. =_______． 12. 已知，则的值为_______（用字母a表示）． 13. 如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为_______．（取） 14. 若点，都在一次函数的图象上，则________（用“＞”，“＜”或“＝”填空）． 15. 已知关于的分式方程有整数解，且关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之积为_____． 16. 我国宋代数学家杨辉发现了，2，3，展开式系数的规律：根据上述规律，展开式的系数和是____． 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 17. 给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线是抛物线的切线； ②直线与抛物线相切于点 ③若直线与抛物线相切，则相切于点 ④若直线与抛物线相切，则实数 其中正确命题有___________． 18. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为______． 三．解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某公司研发6000件新产品，需要甲、乙两个工厂精加工后才能投放市场．已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用25天，而乙工厂每天加工的件数是甲工厂每天加工件数的1.5倍，问甲厂、乙厂每天各加工多少件新产品？ 22. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离的高度．（计算结果精确到米，参考数据：，，， ）． 23. 为激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某校开展主题为“乐学悦读，打造未来之星”读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型：A：2本，B：3本，C：4本，D：5本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查学生________人，________．将条形统计图补全； （2）本次抽取学生的读书量的众数是________本，中位数是________本； （3）学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数． 24. 如图，在平行四边形中，，是和的中点，且．在的延长线上取一点，连接，使得． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 25. 近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 26. 如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M （1）求M点的坐标及直线的解析式； （2）反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； （3）在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 27. 如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，，． （1）求证：． （2）如图2，若点为的中点，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F． （1）求抛物线的对称轴方程； （2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标； （3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期 九年级数学3月份反馈练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（ ） A. 都为0 B. 只有一个0 C. 有两个数互为相反数 D. 至少有一个0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 2. 人口问题已经成为严峻的全球性问题，我国目前正面临着严峻的人口挑战，包括人口老龄化加剧，出生人口男女性别比偏高，大量的人口流动，总和生育率明显低于更替水平，总人口增速趋缓等。根据统计，2024年我国出生人口约为8822100人，则出生人口可以用科学记数法表示为（ ）人 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，2024年我国出生人口约为8822100人， 则出生人口可以用科学记数法表示为， 故选：D． 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯， ∴它的投影属于中心投影． 故选B． 5. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形内，飞镖投中正方形内各点机会均等，则飞镖落入阴影区域内概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式求概率是解题的关键．根据题意得：图中阴影部分面积为正方形面积的，根据概率即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为正方形面积的， 则飞镖落入阴影区域内概率为， 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B. 到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 C. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边的中线，角平分线，平移的性质，正方形的判定，对各选项进行判断即可． 【详解】解：如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，A正确，故符合要求； 如果在同一平面内，到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上或平分线的反向延长线上，B错误，故不符合要求； 一个图形和它经过平移所得的图形的对应线段平行或在一条直线上，C错误，故不符合要求； 对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，D错误，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线，角平分线，平移的性质，正方形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7. 如图，是绕点顺时针旋转得到的，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，解题的关键是要理解旋转是一种位置变换，旋转前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角为，据此可得答案． 【详解】解：根据三角形的内角和定理得，， 由图可知即为旋转角， ∴旋转角的度数为， 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象分布，根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】解：根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 9. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点，，，分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为2．开动脑筋想一想，经过点的“蛋圆”切线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义及性质，一次函数的定义，一元二次方程的判别式等知识，解题的关键是熟练准确掌握以上定义和性质． 因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题． 【详解】解：∵点的坐标为，半圆半径为2， ∴，， ∵点的坐标为， ∴假设抛物线解析式为，直线解析式为， 将，代入抛物线解析式得， 解得 ∴抛物线解析式为， 联立得 整理得， ∴当时，直线和“蛋圆”相切， 解得， ∴直线解析式为 故选：A． 10. 如图1，在矩形中，点E为上的一点（），点P沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．设运动时间为t，，图2是点P运动时y随t变化的关系图象（当时点P运动到点D），则a的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 17.5 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】当时，点在点处，可得，当点在点处时，可知此时取最小值，结合图象有：，在中，，即可求出，，当时点运动到点，过点作于点，结合图象有：，在中，，据此即可作答． 【详解】当时，点在点处，， ∴结合图象有：，即， 当点在点处时，， 如图，连接， ∴，， ∴可知当点运动到点时，取最小值， ∴结合图象有：， ∵在中，， ∴， ∴解得：或者， ∴或者， ∵， ∴，， 当时点运动到点，过点作于点，如图， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵结合图象有：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴解得：， ∴， ∵点沿折线以每秒个单位长度的速度从点匀速运动到点， ∴当时，点运动到点， 故选：． 【点睛】此题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分） 11. =_______． 【答案】##-0.25 【解析】 【分析】根据立方根的概念求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查求一个数的立方根，理解概念正确计算是解题关键． 12. 已知，则的值为_______（用字母a表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】将两边同时平方，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式：，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 13. 如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为_______．（取） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解答本题的关键． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短，求出答案． 【详解】解：如图，即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， 圆柱的底面半径为， ， 又， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是， 故答案为：． 14. 若点，都在一次函数的图象上，则________（用“＞”，“＜”或“＝”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】根据，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答． 【详解】解：， 函数值y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是一次函数的性质，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 15. 已知关于的分式方程有整数解，且关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程整数解和不等式组的整数解问题，熟练掌握分式方程和不等式组的解法，根据关于y的分式方程有整数解得到或或，根据有解且最多有4个整数解，综合得到a的整数解为，，即可得到答案． 【详解】解：∵解分式方程， 解得：， ∵y的分式方程有整数解， ∴， 解得或或或 ∵， ∴， ∴或或， ∵的解集为， ∵有解且最多有4个整数解， ∴， 解得， 综上满足条件的整数a的值为，之积为． 故答案为：8． 16. 我国宋代数学家杨辉发现了，2，3，展开式系数的规律：根据上述规律，展开式的系数和是____． 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 【答案】64 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能通过计算发现展开式的系数的和为是解题的关键．根据题意，依次求出展开式的系数的和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式的系数的和为：； 展开式的系数的和为：； 展开式的系数的和为：； ， 由此可见，展开式的系数的和为：． 当时， 展开式的系数的和为：． 故答案为：64． 17. 给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线是抛物线的切线； ②直线与抛物线相切于点 ③若直线与抛物线相切，则相切于点 ④若直线与抛物线相切，则实数 其中正确命题有___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据切线的定义，判断公共点的个数和对称轴的位置关系两个方面判断． 【详解】∵直线与抛物线有一个公共点（0，0），与对称轴是垂直的，符合定义， ∴①的说法是正确的； ∵直线与抛物线有一个公共点（-2,1），但是与对称轴是平行的，不符合定义， ∴②的说法是错误的； ∵直线与抛物线相切， ∴有两个相等的实数根， ∴△=0即， ∴b= -1, ∴, 解得x=2，此时y=1，即交点坐标为（2，1）， ∴直线与抛物线相切，则相切于点（2，1）， ∴③是正确的； ∵直线与抛物线相切， ∴有两个相等的实数根， ∴△=0即， ∴， ∴④是错误的； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系－相切，准确理解定义并灵活计算判断是解题的关键． 18. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为______． 【答案】10或14 【解析】 【分析】解法一：在对角线上截取，使，连接，分两种情况：点H在点O上方，点H在点O下方，分别画出图形，求出结果即可； 解法二：延长，至点G，使，连接，过点E做于点H，根据中位线的性质求出，然后根据正方形的性质得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理表示出，在利用勾股定理及一元二次方程求出，再利用正方形的性质得出，即可解答． 【详解】解：解法一：在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O上方时，如图所示： ∵F为的中点． ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O下方时，如图所示： ∵F为的中点， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为10或14． 解法二：延长，至点G，使，连接， 过点E做于点H， ∴ ∴点A是的中点， ∵F为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形对角线，相交于点， ∴，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ， 在中 ， ， 即 解得：，， 当时，， 当时，， 在中 ， ， ∴，或（不符合题意，舍去） 或， 综上所述的长为10或14． 故答案为：10或14 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三．解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据绝对值的代数意义、特殊角三角函数值、负整数指数幂以及零次幂运算法则计算各项后，再进行加减运算即可得出答案． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质和运算法则先化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 某公司研发6000件新产品，需要甲、乙两个工厂精加工后才能投放市场．已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用25天，而乙工厂每天加工的件数是甲工厂每天加工件数的1.5倍，问甲厂、乙厂每天各加工多少件新产品？ 【答案】甲厂、乙厂每天各加工件、件新产品 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，设甲工厂每天加工x件新产品，则乙工厂每天加工件新产品，由甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用25天建立方程求出其解即可． 【详解】解：甲工厂每天加工件数为件，则乙工厂每天加工的件数是件，列方程得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴件， 答：甲厂、乙厂每天各加工件、件新产品． 22. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离的高度．（计算结果精确到米，参考数据：，，， ）． 【答案】塔帽与地面的距离的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，求出的长是解答本题的关键．连接，先证四边形是矩形，得，米，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，设米，则米，米，由得出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：，，，米， ， 四边形是矩形， ，米， ， ， 在中，， ， 设米，则米，米， ， ， 解得：， （米）， 答：塔帽与地面的距离的高度约为米． 23. 为激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某校开展主题为“乐学悦读，打造未来之星”读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型：A：2本，B：3本，C：4本，D：5本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查学生________人，________．将条形统计图补全； （2）本次抽取学生的读书量的众数是________本，中位数是________本； （3）学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数． 【答案】（1） ，， 补全条形统计图如下： ； （2）3，4 （3）该校有2000名学生中此次受表扬的学生人数大约有人． 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图和数据分析： （1）综合分析条形统计图和扇形统计图的信息即可求得答案； （2）根据众数和中位数定义即可求得答案； （3）先求得读书量不低于4本的学生比例，结合该校学生总数即可求得答案． 【小问1详解】 解：本次抽查学生人数：(人) ． 因为，所以． 组的学生人数：(人)， 补全条形统计图略； 【小问2详解】 解：这组数据中出现次数最多的数据是，所以众数是本； 将这组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的两个数据是，所以中位数是本． 故答案为：，； 【小问3详解】 解：(人)， 答：该校有2000名学生中此次受表扬的学生人数大约有人． 24. 如图，在平行四边形中，，是和的中点，且．在的延长线上取一点，连接，使得． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 根据平行四边形的性质可证，，根据点、分别是、的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； 根据菱形的性质和三角形外角的性质可知，利用勾股定理可求，过点作于点，在中，利用勾股定理可求，从而可得：，在中利用勾股定理可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由可知四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ，，， ，， ， 如下图所示，过点作于点， 则， ， ， 解得：， 在中，， ， 在中，， 的长度是． 25. 近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 【答案】（1） （2）2160元 【解析】 【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答； （2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着x的增大而减小，问题随之得解． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ， 即， 又， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：根据题意有：， 解得：， ， ∵， ∴当时，W随着x的增大而减小， 又， 当时，函数值最大，最大为：． 答：此时W的最大值为2160元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解答本题的关键． 26. 如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M （1）求M点的坐标及直线的解析式； （2）反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； （3）在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把代入得；设直线的解析式为把代入即可求解； （2）设，则，，推出，即可求解； （3）由题意得；，设点到直线的距离为h，根据，即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴ 设直线的解析式为 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 【小问2详解】 解：∵点P在上，点Q在线段上，轴， ∴设，则， ∴， ∴ 即：， 解得：或（舍去） ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴； ∴， 设点P到直线的距离为 ∴， ∴； ∴点P到直线的距离为 27. 如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，，． （1）求证：． （2）如图2，若点为的中点，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ，， ， ， ， ， ； （2） 证明：，， ， ， ， ， ，， 点B为的中点， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等等条件证明三角形全等，即可得出结果； （2）利用三角形相似得到对应边成比例，再根据三角形全等得出对应边相等，通过等量代换可得出结果； （3）构造辅助线，通过（1）（2）的结论，求出相关线段的长度，假设未知数，表示出相关的线段，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，连接， 由（2）得， ∴是等腰三角形， ， 在中，由勾股定理得， 由（1）得， ， ，， 假设，则， 由（2）得， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得（舍去），， ∴的长为． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F． （1）求抛物线的对称轴方程； （2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标； （3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）； （2）P点坐标为； （3）直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据，坐标以及对称性可求对称轴； （2）由对称轴得到，所以抛物线，再代入点A坐标，即可得，最后可得抛物线解析式为，再求出的解析式为，与抛物线联立可得．根据已知条件可转化为证明，求得．再由待定系数法可得直线的解析式，与抛物线解析式联立可解得P点坐标为； （3）设，，利用待定系数法可得直线，和的解析式，求得，，根据可列式化简整理可得，进而可得①，把①式代入直线的解析式中，化简后可得：，令，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过，， ∴抛物线的对称轴方程为直线； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， ∴抛物线，代入点， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∵点C为抛物线对称轴与x轴的交点， ∴， 又∵， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， 由待定系数法可知直线的解析式为， 联立与， 得， 解得或0（舍去）， 即． 如图1所示，设交y轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故， 同理，由待定系数法可得直线的解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式可得， 解得或， 故P点坐标为； 【小问3详解】 证明：如图2所示， 设，， 故由待定系数法可得直线的解析式为． ∵，再由抛物线对称性可知， 同理可得直线的解析式为， 则， 同理可得直线的解析式为， 则， ∵，即， 化简整理可得， 进而可得①， 把①式代入直线的解析式中，得： ， 令， 解得，此时， 故直线恒过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数与方程的转化，函数恒过定点问题，难度较大，对运算变形能力要求高，熟练掌握以上内容是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $