第13章 13.3 培优课 与球有关的内切、外接问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

培优课 第13章 <<< 与球有关的内切、外接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法(公式法) 二、构造法(补形法) 课时对点练 三、寻求轴截面圆半径法 内容索引 四、确定球心位置法 五、利用等体积法求内切球半径 直接法(公式法) 一 若正三棱柱ABC- A'B'C'的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点在同一个球面上，则球的表面积为　　　.  例 1 π 如图，设H'，H分别为上、下底面的中心，则H'H的中点O为外接球的球心.由题意知，在Rt△OAH中， AH=，OH=， 则外接球的半径R=OA==， ∴S球=4πR2=π. 5 反 思 感 悟 本题运用公式R2=r2+d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 6 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3， 则这个球的体积为　 　.  跟踪训练 1 7 设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 则有∴ ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=， 球心到底面的距离d=. ∴外接球的半径R==1. ∴V球=. 8 二 构造法(补形法) (1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是　　　.  例 2 6π 根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R， 则有(2R)2=12+()2+()2=6. ∴R2=. 故其外接球的表面积S=4πR2=6π. 10 (2)在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为 A.2π B.4π C.6π D.8π √ 11 如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点， 设长、宽、高分别为a，b，c， 则 三式相加得a2+b2+c2=6， 因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长， 所以4R2=a2+b2+c2=6， 所以外接球的表面积S=4πR2=6π. 12 反 思 感 悟 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R=. 三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且VA-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.  跟踪训练 2 4π 14 AB⊥BC，BC⊥CD， 故可构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA-BCD=××BC×CD×AB=×2×CD×2=，∴CD=2， ∴该长方体为正方体， ∴AD=2，∴R=， 外接球体积为V=πR3=4π. 15 寻求轴截面圆半径法 三 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C， D都在同一球面上，则此球的体积为　　 .  例 3 17 如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC中，由SA=SC=，AC=2， 得SA2+SC2=AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴=1是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故V球=. 18 反 思 感 悟 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通用解法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比. 跟踪训练 3 20 如图，等边三角形ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O. 设球的半径OE=R， OA==2OE=2R. ∴AD=OA+OD=2R+R=3R， BD=AD·tan 30°=R， ∵V球=πR3， V圆锥=π·BD2×AD=π(R)2×3R=3πR3， ∴V球∶V圆锥=4∶9. 21 确定球心位置法 四 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA=2，AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　　.  例 4 16π 23 取PC的中点O，连接OA，OB(图略)， ∵△PAC为直角三角形且∠PAC=90°， ∴OA=PC，同理OB=PC， 即OA=OB=OP=OC， 即点O到点P，A，B，C四点的距离相等， ∴O为外接球的球心， PC==4， ∴R=PC=2， ∴S球=4πR2=16π. 24 反 思 感 悟 找空间图形的外接球球心，即找点O，使点O到空间图形各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 　在三棱锥A-BCD中，侧棱长为2，底面是边长为2的等 边三角形，则该三棱锥外接球的体积为　　　.  跟踪训练 4 π 26 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心，令O'A=O'D=R， OD=DE=×2×=2，AD=2， ∴AO==4， ∴OO'=4-R， 又OO'2+OD2=O'D2， ∴(4-R)2+4=R2， 解得R=， ∴V球=πR3=π. 27 利用等体积法求内切球半径 五 在正三棱锥A-BCD中，底面边长为2，高为1，则该三棱锥的表面 积为　　　，内切球半径为　 　.  例 5 3 29 如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的中点， ∵底面边长为2， ∴DE=，OD=，OE=， ∴AE===， S△ABC=×2×=， S△BCD=×2×=， S表=3S△ABC+S△BCD=2+=3， 30 设内切球半径为r，球心为O'， ∴VA-BCD=VO'-ABC+VO'-ACD+VO'-ABD+VO'-BCD， ∴××1=3×+××r， 解得r=. 31 反 思 感 悟 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法. 内切球问题处理方法 　已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为　　　.  跟踪训练 5 2π 33 如图，由题意知， AO==2. 设圆锥内半径最大的球O'与底面切于O， 与侧面切于B，球O'的半径为r，则AO'=2-r， 又==， ∴r=， ∴S球=4πr2=2π. 34 课时对点练 六 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A A ABC 64π π∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 9. 如图，取底面中心E， 连接AE，A-BCD为正四面体， ∴AE垂直于底面BCD， ∴外接球球心与内切球球心重合且球心在线段AE上， 设球心为O，连接OB，令外接球半径为R，内切球半径为r， ∵△BCD为等边三角形， ∴BE=a××=a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 9. ∴AE===a， ∴ 解得R=a，r=a， ∴外接球的表面积S外表=4πR2=a2， 内切球的表面积S内表=4πr2=a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 10. (1)∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD. ∵∠ADP=90°，即AD⊥DP， 又CD∩DP=D，CD，DP⊂平面CDP，∴AD⊥平面PCD. ∵CE⊂平面PCD.∴AD⊥CE. ∵PD=AD，CD=AD，∠PDC=60°， ∴△PCD为等边三角形. ∵E为PD的中点，∴CE⊥DP. ∵AD∩DP=D，AD，DP⊂平面PAD，∴CE⊥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 10. (2)由(1)知，CE⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，故AE⊥CE， ∴△ABC，△AEC都是以AC为斜边的直角三角形，取AC的中点O，连接OE，OB(图略)， 由直角三角形斜边中点O到三角形三顶点距离相等知： OE=OC=OA=OB， 即O为三棱锥E-ABC外接球的球心， ∴外接球的半径为=， ∴三棱锥E-ABC外接球的体积V=π×()3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为 A.16π B.20π C.24π D.32π √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵正四棱锥的高为3，体积为6， ∴S底=6， ∴底面正方形的边长为，其对角线为2. 设球的半径为R， 则R2=(3-R)2+()2，解得R=2， ∴S球=4πR2=16π. 答案 2.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为=a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线， 长度为=a， 则球的半径R==a， 所以球的表面积S=4πR2=6πa2. 答案 3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积为 A.153π B.160π C.169π D.360π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由于直三棱柱的底面是直角三角形， 所以可以把此三棱柱补成长方体， 其体对角线就是外接球的直径， 所以球O的半径R=×=， 所以球O的表面积S=4π×=169π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作出该球的轴截面图如图所示， 由题意BE=2，AE=CE=4， 设DE=x，故AD=2+x， 因为AD2=AE2+DE2， 则(2+x)2=42+x2，解得x=3， 故该球的半径AD=5， 所以V=πR3=(cm3). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB=. 连接OO1，则OO1⊥平面ABC， OO1===， 所以三棱锥O-ABC的体积 V=S△ABC×OO1=××1×1×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为-1，则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为π C.正方体的棱长为2 D.线段MN长度的最大值为2 √ √ √ 答案 设正方体的棱长为a，则正方体的外接球半径为正方体体对角线长的 一半，即a，内切球半径为棱长的一半，即a， ∵M，N分别为外接球和内切球上的动点， ∴MN最小值=a-=a=-1， ∴a=2，即正方体的棱长为2， ∴正方体外接球的表面积为4π×()2=12π， 内切球体积为，线段MN长度的最大值为a+=+1，故A，B，C 正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 7.若三棱锥P-ABC的各顶点都在球O的表面上，AB=BC=CA=4，PA=PB =PC=4，则球O的表面积为　　　.  64π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设P在平面ABC中的射影为D， ∵AB=BC=CA=4， ∴AD=××4=4， ∵PA=4， ∴PD==4， 设外接球的半径为R，则R2=42+(4-R)2， ∴R=4，∴外接球的表面积为4πR2=64π. 答案 8.在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 π∶2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正 方体的棱长为a，那么CC'=a，OC=. 在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2+OC2=OC'2， 即a2+=R2，∴R=a. 从而V半球=πR3=π×=πa3， V正方体=a3. 因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二　将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a，球的半径为R， 则根据长方体的体对角线性质， 得(2R)2=a2+a2+(2a)2， 即4R2=6a2，∴R=a. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 从而V半球=πR3=π×=πa3， V正方体=a3. 因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2. 答案 9.在正四面体A-BCD中，所有棱长为a，求该四面体的外接球和内切球的表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，取底面中心E， 连接AE， A-BCD为正四面体， ∴AE垂直于底面BCD， ∴外接球球心与内切球球心重合且球心在线段AE上，设球心为O， 连接OB，令外接球半径为R，内切球半径为r， ∵△BCD为等边三角形， ∴BE=a××=a， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴AE===a， ∴ 解得R=a，r=a， ∴外接球的表面积S外表=4πR2=a2， 内切球的表面积S内表=4πr2=a2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90°，PD=AD，∠PDC=60°，E为PD的中点. (1)证明：CE⊥平面PAD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD⊥CD. ∵∠ADP=90°，即AD⊥DP， 又CD∩DP=D，CD，DP⊂平面CDP， ∴AD⊥平面PCD. ∵CE⊂平面PCD. ∴AD⊥CE. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵PD=AD，CD=AD，∠PDC=60°， ∴△PCD为等边三角形. ∵E为PD的中点， ∴CE⊥DP. ∵AD∩DP=D，AD，DP⊂平面PAD， ∴CE⊥平面PAD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)求三棱锥E-ABC外接球的体积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由(1)知，CE⊥平面PAD， 又AE⊂平面PAD，故AE⊥CE， ∴△ABC，△AEC都是以AC为斜边的直角三角形， 取AC的中点O，连接OE，OB(图略)， 由直角三角形斜边中点O到三角形三顶点距离相等知：OE=OC=OA=OB， 即O为三棱锥E-ABC外接球的球心， ∴外接球的半径为=， ∴三棱锥E-ABC外接球的体积V=π×()3=. 答案 第一章 <<< $$ 培优课　与球有关的内切、外接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法(公式法) 例1　若正三棱柱ABC- A'B'C'的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点在同一个球面上，则球的表面积为　　　　.  答案　π 解析　如图，设H'，H分别为上、下底面的中心，则H'H的中点O为外接球的球心.由题意知，在Rt△OAH中，AH=，OH=，则外接球的半径R=OA==，∴S球=4πR2=π. 反思感悟　本题运用公式R2=r2+d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 跟踪训练1　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　.  答案　 解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 则有 ∴ ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=， 球心到底面的距离d=. ∴外接球的半径R==1. ∴V球=. 二、构造法(补形法) 例2　(1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是　　　　.  答案　6π 解析　根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R， 则有(2R)2=12+()2+()2=6. ∴R2=. 故其外接球的表面积S=4πR2=6π. (2)在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.6π D.8π 答案　C 解析　如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点， 设长、宽、高分别为a，b，c， 则 三式相加得a2+b2+c2=6， 因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，所以4R2=a2+b2+c2=6， 所以外接球的表面积S=4πR2=6π. 反思感悟　一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R=. 跟踪训练2　三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且VA-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.  答案　4π 解析　AB⊥BC，BC⊥CD， 故可构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R. ∵VA-BCD=××BC×CD×AB =×2×CD×2=， ∴CD=2， ∴该长方体为正方体， ∴AD=2， ∴R=， 外接球体积为V=πR3=4π. 三、寻求轴截面圆半径法 例3　正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为　　　　.  答案　 解析　如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC中，由SA=SC=，AC=2， 得SA2+SC2=AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴=1是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故V球=. 反思感悟　根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通用解法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 跟踪训练3　求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比. 解　如图，等边三角形ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O. 设球的半径OE=R， OA==2OE=2R. ∴AD=OA+OD=2R+R=3R， BD=AD·tan 30°=R， ∵V球=πR3， V圆锥=π·BD2×AD=π(R)2×3R=3πR3， ∴V球∶V圆锥=4∶9. 四、确定球心位置法 例4　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA=2，AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　　　.  答案　16π 解析　取PC的中点O，连接OA，OB(图略)， ∵△PAC为直角三角形且∠PAC=90°， ∴OA=PC，同理OB=PC， 即OA=OB=OP=OC， 即点O到点P，A，B，C四点的距离相等， ∴O为外接球的球心， PC==4， ∴R=PC=2， ∴S球=4πR2=16π. 反思感悟　找空间图形的外接球球心，即找点O，使点O到空间图形各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 跟踪训练4　在三棱锥A-BCD中，侧棱长为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为　　　　.  答案　π 解析　如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心，令O'A=O'D=R，OD=DE=×2×=2，AD=2， ∴AO==4， ∴OO'=4-R， 又OO'2+OD2=O'D2， ∴(4-R)2+4=R2， 解得R=， ∴V球=πR3=π. 五、利用等体积法求内切球半径 例5　在正三棱锥A-BCD中，底面边长为2，高为1，则该三棱锥的表面积为　　　　，内切球半径为　　　　.  答案　3　 解析　如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的中点， ∵底面边长为2， ∴DE=，OD=，OE=， ∴AE===， S△ABC=×2×=， S△BCD=×2×=， S表=3S△ABC+S△BCD=2+=3， 设内切球半径为r，球心为O'， ∴VA-BCD=VO'-ABC+VO'-ACD+VO'-ABD+VO'-BCD， ∴××1=3×+××r， 解得r=. 反思感悟　内切球问题处理方法 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法. 跟踪训练5　已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为　　　　.  答案　2π 解析　如图，由题意知， AO==2. 设圆锥内半径最大的球O'与底面切于O，与侧面切于B，球O'的半径为r，则AO'=2-r， 又=，即=， ∴r=， ∴S球=4πr2=2π. 课时对点练　[分值：70分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分 1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(　　) A.16π B.20π C.24π D.32π 答案　A 解析　∵正四棱锥的高为3，体积为6， ∴S底=6， ∴底面正方形的边长为，其对角线为2. 设球的半径为R， 则R2=(3-R)2+()2，解得R=2， ∴S球=4πR2=16π. 2.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 答案　B 解析　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为=a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为=a， 则球的半径R==a， 所以球的表面积S=4πR2=6πa2. 3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积为(　　) A.153π B.160π C.169π D.360π 答案　C 解析　由于直三棱柱的底面是直角三角形， 所以可以把此三棱柱补成长方体， 其体对角线就是外接球的直径， 所以球O的半径R=×=， 所以球O的表面积S=4π×=169π. 4.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案　A 解析　作出该球的轴截面图如图所示， 由题意BE=2，AE=CE=4， 设DE=x，故AD=2+x， 因为AD2=AE2+DE2， 则(2+x)2=42+x2，解得x=3， 故该球的半径AD=5， 所以V=πR3=(cm3). 5.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB=. 连接OO1，则OO1⊥平面ABC， OO1===， 所以三棱锥O-ABC的体积 V=S△ABC×OO1=××1×1×=. 6.(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为-1，则(　　) A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为π C.正方体的棱长为2 D.线段MN长度的最大值为2 答案　ABC 解析　设正方体的棱长为a，则正方体的外接球半径为正方体体对角线长的一半，即a，内切球半径为棱长的一半，即a， ∵M，N分别为外接球和内切球上的动点， ∴MN最小值=a-=a=-1， ∴a=2，即正方体的棱长为2， ∴正方体外接球的表面积为4π×()2=12π， 内切球体积为，线段MN长度的最大值为a+=+1，故A，B，C正确，D错误. 7.(5分)若三棱锥P-ABC的各顶点都在球O的表面上，AB=BC=CA=4，PA=PB=PC=4，则球O的表面积为　　　　.  答案　64π 解析　设P在平面ABC中的射影为D， ∵AB=BC=CA=4， ∴AD=××4=4， ∵PA=4， ∴PD==4， 设外接球的半径为R，则R2=42+(4-R)2， ∴R=4， ∴外接球的表面积为4πR2=64π. 8.(5分)在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为　　　　.  答案　π∶2 解析　方法一　作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'=a，OC=. 在Rt△C'CO中，由勾股定理， 得CC'2+OC2=OC'2， 即a2+=R2，∴R=a. 从而V半球=πR3=π×=πa3， V正方体=a3. 因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2. 方法二　将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a，球的半径为R， 则根据长方体的体对角线性质， 得(2R)2=a2+a2+(2a)2， 即4R2=6a2，∴R=a. 从而V半球=πR3=π×=πa3， V正方体=a3. 因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2. 9.(12分)在正四面体A-BCD中，所有棱长为a，求该四面体的外接球和内切球的表面积. 解　如图，取底面中心E， 连接AE， A-BCD为正四面体， ∴AE垂直于底面BCD， ∴外接球球心与内切球球心重合且球心在线段AE上，设球心为O， 连接OB，令外接球半径为R，内切球半径为r， ∵△BCD为等边三角形， ∴BE=a××=a， ∴AE===a， ∴ 解得R=a，r=a， ∴外接球的表面积S外表=4πR2=a2， 内切球的表面积S内表=4πr2=a2. 10.(12分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90°，PD=AD，∠PDC=60°，E为PD的中点. (1)证明：CE⊥平面PAD；(6分) (2)求三棱锥E-ABC外接球的体积.(6分) (1)证明　∵四边形ABCD为正方形， ∴AD⊥CD. ∵∠ADP=90°，即AD⊥DP， 又CD∩DP=D，CD，DP⊂平面CDP， ∴AD⊥平面PCD. ∵CE⊂平面PCD. ∴AD⊥CE. ∵PD=AD，CD=AD，∠PDC=60°， ∴△PCD为等边三角形. ∵E为PD的中点， ∴CE⊥DP. ∵AD∩DP=D，AD，DP⊂平面PAD， ∴CE⊥平面PAD. (2)解　由(1)知，CE⊥平面PAD， 又AE⊂平面PAD，故AE⊥CE， ∴△ABC，△AEC都是以AC为斜边的直角三角形，取AC的中点O，连接OE，OB(图略)， 由直角三角形斜边中点O到三角形三顶点距离相等知：OE=OC=OA=OB， 即O为三棱锥E-ABC外接球的球心， ∴外接球的半径为=， ∴三棱锥E-ABC外接球的体积V=π×()3=. 学科网（北京）股份有限公司 $$