第13章 13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球 [学习目标]　1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其复杂的空间图形的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 导语 你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为底托，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？ 一、旋转体的结构特征 问题　如图，观察实物图. (1)这三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)这三个实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ (3)如何形成这三个几何体的曲面？ 提示　(1)它们不是由平面多边形围成的. (2)可以由某些平面图形旋转而成. (3)上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在的直线为轴旋转而成. 知识梳理 1.圆柱、圆锥、圆台的概念 分类 定义 图形及表示 圆柱 将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱.这条直线叫作轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫作母线 我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，如图可表示为圆柱OO' 圆锥 将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥 我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，如图可表示为圆锥SO 圆台 将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台 我们用表示圆台轴的字母表示圆台，如图可表示为圆台OO' 注意点： (1)它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的. (2)不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不相等的圆面，圆锥只有一个底面. (3)当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥. 2.球 球 定义 相关概念 图形及表示 球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 球心：半圆的圆心； 半径：半圆的半径； 直径：半圆的直径 如图可记作：球O 3.旋转面与旋转体 一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体. 例1　下列命题正确的是　　　　(只填序号).  ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥； ⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. 答案　④⑥ 解析　①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台，故②错误；③它们的底面为圆面，故③错误；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确. 反思感悟　(1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　) A.圆柱的母线与它的轴可以不平行 B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 答案　BD 二、简单的组合体 例2　如图(1)、图(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？ 解　旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的. 反思感悟　判断复杂空间图形构成的方法 (1)判定实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时，首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征；其次要善于将复杂的空间图形“分割”为几个简单的空间图形. (2)复杂的空间图形是由简单空间图形拼接或截去一部分构成的.要仔细观察空间图形的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证. 跟踪训练2　(1)指出图中三个几何体的构成. 解　图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱. 图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱所成的，其中四棱柱内接于圆锥. 图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥所成的，其中三棱锥内接于球. (2)如图所示的空间图形的组成是(　　) A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥 C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱 答案　B (3)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 答案　D 解析　图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为轴旋转一周所得的几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥. 三、旋转体的有关计算 例3　已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径. 解　如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R， 则π=5π，π=8π， ∴=5，=8， 又∵R2=+=+， ∴-=8-5=3， 即(d1-d2)(d1+d2)=3， 又d1-d2=1， ∴解得 ∴R===3， 即球的半径等于3. 反思感悟　(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. (2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键. 跟踪训练3　(1)如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O'O的母线长. 解　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示. 则△SO'A'∽△SOA，SA'=3 cm. 所以=. 所以==. 解得l=9，即圆台的母线长为9 cm. (2)如图所示，圆柱侧面上有两点B，D，在D处有一只蜘蛛，在B处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 解　如图，设圆柱的母线长为l，底面圆半径为r，将圆柱的侧面沿母线AB展开即得矩形AA'B'B，其中D，C分别为AA'，BB'的中点. 在矩形ADCB中，AB=CD=l， AD=BC=×2πr=πr，连接BD， 则BD==. 可知蜘蛛沿着DB爬行时路程最短，最短路程为. 1.知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. (2)简单组合体的结构特征. (3)旋转体的有关计算. 2.方法归纳：分类讨论、转化与化归. 3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的. 1.(多选)下列说法中不正确的是(　　) A.将正方形旋转不可能形成圆柱 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 答案　ABD 解析　将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误. 2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是(　　) 答案　B 解析　由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确. 3.下面空间图形的截面一定是圆面的是(　　) A.圆台 B.球 C.圆柱 D.圆锥 答案　B 解析　截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的空间图形只有球. 4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为　　　　cm2.  答案　16π或9π 解析　当以3 cm长的一边所在的直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2； 当以4 cm长的一边所在的直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.下列几何体中不是旋转体的是(　　) 答案　D 2.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 答案　ACD 解析　母线长相等的不同圆锥其底面圆半径不一定相等，故轴截面的面积不一定相等. 3. 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形形状为(　　) A.一个球体 B.一个球体中间挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个长方体 答案　B 解析　圆面绕着直径所在的轴旋转形成球，矩形绕着轴旋转形成圆柱.故选B. 4.用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面的面积为(　　) A.8 B. C. D. 答案　B 解析　当围成的圆柱底面周长为4，高为2时， 设圆柱底面圆的半径为r，则2πr=4， 所以r=，所以轴截面是长为2，宽为的矩形， 所以轴截面的面积为2×=. 同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，轴截面的面积也为. 5.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　) A.4 B.3 C.2 D.2 答案　D 解析　圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2=h2+(R-r)2， 由题意知l=5，R=7，r=6，求得h=2， 即两底面之间的距离为2. 6.(多选)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是(　　) 答案　ABC 解析　当截面平行于正方体的一个侧面时得C；当截面过正方体的体对角线时得B；当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A；但无论如何都得不出D. 7.(5分)观察下列四个空间图形，其中可看作是由两个棱柱组合而成的是　　　　.(填序号)  答案　①④ 解析　①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成. 8.(5分)已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为　　　　.(用Q表示)  答案　 解析　设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r. ∴4r2=Q，解得r=， ∴此圆柱的底面半径为. 9.(10分)圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径. 解　设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h. 由题意，得2πr=·2πR，即R=3r. ① (2r+2R)·h=392，即(R+r)h=392. ② 又母线与底面的夹角为45°， 则h=R-r=l. ③ 联立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14. 故圆台的高为14，母线长为14，上底面半径为7，下底面半径为21. 10.(10分)已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长. 解　作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线. 设正方体的棱长为x， 则DG=EF=x，DE=GF=x. 依题意，得△ABC∽△ADE， ∴=，∴x=， 即此正方体的棱长为. 11.如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是(　　) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.顶角为30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形 答案　A 解析　因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为，母线长也为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形. 12.(多选)如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是(　　) 答案　AD 解析　一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的空间图形被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分. 13.(5分)有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”这个问题中，葛藤长的最小值为　　　　　　尺.(注：1丈等于10尺)  答案　26 解析　如图，在Rt△ABC中，BC(即圆木的高)长24尺，AB=5×2=10(尺)， 因此葛藤长的最小值为=26(尺). 14.(5分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.则圆台的高为　　　　；截得此圆台的圆锥的母线长为　　　　.  答案　3 cm　20 cm 解析　如图，作圆台的轴截面，则截面为等腰梯形ABCD，O1，O分别为AD，BC的中点，作AM⊥BC于点M.连接O1O. 由已知可得上底半径O1A=2 cm， 下底半径OB=5 cm， 且腰长AB=12 cm， ∴AM==3 (cm)， 即圆台的高为3 cm. 如图，延长BA，OO1交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm， 则由△SAO1∽△SBO， 得=，即=， 解得l=20 cm， ∴截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 15.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对棱的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(　　) 答案　C 解析　易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C. 16.(12分)如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： (1)绳子的最短长度的平方f(x)；(3分) (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(6分) (3)f(x)的最大值.(3分) 解　将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图形为扇形，且弧AA'的长度L就是圆O的周长， ∴L=2πr=2π. ∴∠ASM=·360°=×360°=90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM的长度，其值为AM=(0≤x≤4). f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离， 在△SAM中， ∵S△SAM=SA·SM=AM·SR， ∴SR==(0≤x≤4)即绳子最短时， 顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4). (3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)=32. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 <<< 13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征. 2.认识柱、锥、台、球及其复杂的空间图形的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 学习目标 导 语 你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为底托，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？ 内容索引 一、旋转体的结构特征 二、简单的组合体 课时对点练 三、旋转体的有关计算 随堂演练 旋转体的结构特征 一 提示　它们不是由平面多边形围成的. 如图，观察实物图. 问题 (1)这三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ 提示　可以由某些平面图形旋转而成. (2)这三个实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ 问题 提示　上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在的直线为轴旋转而成. (3)如何形成这三个几何体的曲面？ 问题 分类 定义 图形及表示 圆柱 将 绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱.这条直线叫作轴；______于轴的边旋转而成的圆面叫作底面；_______于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面；无论旋转到什么位置，_______于轴的边都叫作母线   我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，如图可表示为__________ 1.圆柱、圆锥、圆台的概念 矩形 垂直 不垂直 不垂直 圆柱OO' 知识梳理 分类 定义 图形及表示 圆锥 将　　　　　　绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥   我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，如图可表示为________ 直角三角形 圆锥SO 知识梳理 分类 定义 图形及表示 圆台 将　　　　　绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台   我们用表示圆台轴的字母表示圆台，如图可表示为__________ 直角梯形 圆台OO' 知识梳理 (1)它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的. (2)不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不相等的圆面，圆锥只有一个底面. (3)当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥. 注 意 点 <<< 12 2.球 球 定义 相关概念 图形及表示 球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 球心：半圆的　　 ； 半径：半圆的　　 ； 直径：半圆的_____   如图可记作：球O 圆心 半径 直径 知识梳理 3.旋转面与旋转体 一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的　　　　　　旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为　　　　.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体. 一条定直线 旋转体 知识梳理 　　　下列命题正确的是　　　　(只填序号).  ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥； ⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. 例 1 ④⑥ 15 ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误； ②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台，故②错误； ③它们的底面为圆面，故③错误； ④正确； 作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误； 根据球的半径定义，知⑥正确. 16 反 思 感 悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 17 　 (多选)下列说法正确的是 A.圆柱的母线与它的轴可以不平行 B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线 　都可以构成直角三角形 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 跟踪训练 1 √ √ 18 二 简单的组合体 　如图(1)、图(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？ 例 2 20 旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的. 21 反 思 感 悟 (1)判定实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时，首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征；其次要善于将复杂的空间图形“分割”为几个简单的空间图形. (2)复杂的空间图形是由简单空间图形拼接或截去一部分构成的.要仔细观察空间图形的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证. 判断复杂空间图形构成的方法 　 (1)指出图中三个几何体的构成. 跟踪训练 2 23 图①中的几何体由一个圆锥和一 个四棱柱组合而成，其中上面是 圆锥，下面是四棱柱. 图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱所成的，其中四棱柱内接于圆锥. 图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥所成的，其中三棱锥内接于球. 24 (2)如图所示的空间图形的组成是 A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥 C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱 √ 25 (3)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 √ 26 图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为轴旋转一周所得的几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥. 27 旋转体的有关计算 三 　 　　已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径. 例 3 29 如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R， 则π=5π，π=8π， ∴=5，=8， 又∵R2=+=+， ∴-=8-5=3， 即(d1-d2)(d1+d2)=3， 又d1-d2=1， 30 ∴ ∴R===3， 即球的半径等于3. 31 反 思 感 悟 (1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. (2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键. 　(1)如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O'O的母线长. 跟踪训练 3 33 设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示. 则△SO'A'∽△SOA，SA'=3 cm. 所以=. 所以==. 解得l=9，即圆台的母线长为9 cm. 34 (2)如图所示，圆柱侧面上有两点B，D，在D处有一只蜘蛛，在B处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 35 如图，设圆柱的母线长为l，底面圆半径为r，将圆柱的侧面沿母线AB展开即得矩形AA'B'B，其中D，C分别为AA'，BB'的中点. 在矩形ADCB中，AB=CD=l， AD=BC=×2πr=πr，连接BD， 则BD==. 可知蜘蛛沿着DB爬行时路程最短，最短路程为. 36 1.知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. (2)简单组合体的结构特征. (3)旋转体的有关计算. 2.方法归纳：分类讨论、转化与化归. 3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列说法中不正确的是 A.将正方形旋转不可能形成圆柱 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 √ √ √ 1 2 3 4 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误； B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误； 通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误. 2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是 √ 1 2 3 4 由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确. 3.下面空间图形的截面一定是圆面的是 A.圆台 B.球 C.圆柱 D.圆锥 √ 1 2 3 4 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的空间图形只有球. 1 2 3 4 4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为　　　 　cm2.  16π或9π 当以3 cm长的一边所在的直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2； 当以4 cm长的一边所在的直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2. 课时对点练 五 44 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D ACD B B D ABC ①④ 题号 11 12 13 14 15 答案 A AD 26 3 cm　20 cm C 9. 设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h. 由题意，得2πr=·2πR， 即R=3r. ① (2r+2R)·h=392， 即(R+r)h=392. ② 又母线与底面的夹角为45°， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 则h=R-r=l. ③ 联立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14. 故圆台的高为14，母线长为14，上底面半径为7，下底面半径为21. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线. 设正方体的棱长为x， 则DG=EF=x，DE=GF=x. 依题意，得△ABC∽△ADE， ∴， 即此正方体的棱长为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图形为扇形，且弧AA'的长度L就是圆O的周长， ∴L=2πr=2π. ∴∠ASM=×360°=90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM的长度，其值为AM=(0≤x≤4). f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离， 在△SAM中，∵S△SAM=AM·SR， ∴SR=(0≤x≤4)即绳子最短时， 顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)=32. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.下列几何体中不是旋转体的是 √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 2.(多选)下列命题中正确的是 A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 母线长相等的不同圆锥其底面圆半径不一定相等，故轴截面的面积不一定相等. √ √ 3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形形状为 A.一个球体 B.一个球体中间挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个长方体 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 圆面绕着直径所在的轴旋转形成球，矩形绕着轴旋转形成圆柱.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面的面积为 A.8 B. C. D. √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当围成的圆柱底面周长为4，高为2时， 设圆柱底面圆的半径为r，则2πr=4， 所以r=，所以轴截面是长为2，宽为的矩形， 所以轴截面的面积为2×=. 同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，轴截面的面积也为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为 A.4 B.3 C.2 D.2 √ 11 12 13 14 15 16 答案 圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2=h2+(R-r)2， 由题意知l=5，R=7，r=6，求得h=2， 即两底面之间的距离为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是 √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当截面平行于正方体的一个侧面时得C； 当截面过正方体的体对角线时得B； 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A； 但无论如何都得不出D. 7.观察下列四个空间图形，其中可看作是由两个棱柱组合而成的是　 　. (填序号)  ①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ①④ 8.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面 半径为　　　　.(用Q表示)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r. ∴4r2=Q，解得r=， ∴此圆柱的底面半径为. 11 12 13 14 15 16 答案 9.圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h. 由题意，得2πr=·2πR，即R=3r. ① (2r+2R)·h=392，即(R+r)h=392. ② 又母线与底面的夹角为45°， 则h=R-r=l. ③ 联立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14. 故圆台的高为14，母线长为14，上底面半径为7，下底面半径为21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线. 设正方体的棱长为x， 则DG=EF=x，DE=GF=x. 依题意，得△ABC∽△ADE， ∴=，∴x=， 即此正方体的棱长为. 11 12 13 14 15 16 答案 11.如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.顶角为30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.(多选)如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的空间图形被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分. 13.有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”这个问题中，葛藤长的最小值为　 尺. (注：1丈等于10尺)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 26 如图，在Rt△ABC中，BC(即圆木的高)长24尺，AB=5×2=10(尺)， 因此葛藤长的最小值为=26(尺). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.则圆台的高为　 　　　；截得此圆台的圆锥的母线长为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3 cm 20 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，作圆台的轴截面，则截面为等腰梯形ABCD，O1，O分别为AD，BC的中点，作AM⊥BC于点M.连接O1O. 由已知可得上底半径O1A=2 cm， 下底半径OB=5 cm， 且腰长AB=12 cm， ∴AM==3 (cm)， 即圆台的高为3 cm. 如图，延长BA，OO1交于点S， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm， 则由△SAO1∽△SBO， 得==， 解得l=20 cm， ∴截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 15.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对棱的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B； 而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C. 16.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)绳子的最短长度的平方f(x)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图形为扇形，且弧AA'的长度L就是圆O的周长， ∴L=2πr=2π. ∴∠ASM=·360°=×360°=90°. 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM的长度，其值为AM=(0≤x≤4). f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离， 在△SAM中， ∵S△SAM=SA·SM=AM·SR， ∴SR==(0≤x≤4)即绳子最短时， 顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4). (3)f(x)的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)=32. 第一章 <<< $$