13.1.1 棱柱、棱锥和棱台 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

13.1.1　棱柱、棱锥和棱台 A层 基础达标练 1.下列四个空间图形中,是棱台的是(　　) A B C D　 2.一个空间图形由六个面组成,其中两个面是互相平行且相似的四边形,其余各面都是全等的等腰梯形,则这个空间图形可以是(　　) A.三棱柱 B.三棱台 C.四棱柱 D.四棱台 3.如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为(　　) A.三棱锥 B.四棱柱 C.四棱锥 D.四棱台 4.(多选题)如图长方体ABCD-A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体,其中EF∥B1C1∥BC,则(　　) A.几何体ABCD-A1EFD1是一个六面体 B.几何体ABCD-A1EFD1是一个四棱台 C.几何体AA1EB-DD1FC是一个四棱柱 D.几何体BB1E-CC1F是一个三棱柱 5.一个棱台至少有　　　　个面,面数最少的棱台有　　　　个顶点,有　　　　条棱.  6.一个棱柱有10个顶点,所有侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为　　　　cm.  7.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P. (1)折起后形成的空间图形是什么空间图形? (2)若正方形的边长为2a,则每个面的三角形的面积为多少? B层 能力提升练 8.集合M={正四棱柱},P={直四棱柱},N={长方体},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是(　　) A.P⊆N⊆M⊆Q B.P⊆M⊆N⊆Q C.Q⊆M⊆N⊆P D.Q⊆N⊆M⊆P 9.(多选题)下列命题中,不正确的是(　　) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的空间图形是棱柱 B.有一个面是多边形,其余各面是三角形的空间图形是棱锥 C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的空间图形是棱台 D.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的空间图形是棱柱 10.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　) A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1 11.将一个正方体切一刀,可能得到的以下几何体中的种类数为(　　) ①四面体;②四棱锥;③四棱柱;④五棱锥;⑤五棱柱;⑥六棱锥;⑦七面体. A.3种 B.4种 C.5种 D.以上均不正确 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BC的中点,点P在平面BDD1B1内运动,则PE+PC1的最小值为　　　　.  13.在一个棱锥中,用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4,且截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是　　　　cm.  14.给出以下 4 个命题: (1)所有侧面都是全等三角形的棱锥是正棱锥. (2)棱柱至少有 5 个面. (3)棱台至少有 6 个顶点. (4)四棱锥有 5 个面、8 条棱、5 个顶点. 真命题的个数为________. C层 拓展探究练 15.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体的面数及棱长分别为(　　) 图1 图2 A.26,-1 B.24,2- C.26,2- D.24,-1 参考答案 1.C　A中的空间图形是棱柱;B中的空间图形是棱锥;C中的空间图形是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分,符合棱台的定义,是棱台;D中的空间图形的棱AA',BB',CC',DD'延长后没有交于一点,则D中的空间图形不是棱台.故选C. 2.D　不妨假定两个平行的面是上、下底面,并且必须是6个面,显然三棱柱和三棱台的面数不满足要求,四棱柱要求各侧面均为平行四边形,上、下两个平面为全等的四边形,不满足要求,四棱台上、下两个底面互相平行,其余各面可以都是全等的等腰梯形,故满足条件的空间图形可以是四棱台. 3.C　由题图可知,该立体图形由四个三角形面与一个四边形面组成,所以该立体图形为四棱锥. 4.ACD　几何体ABCD-A1EFD1一共六个面,是一个六面体,故A正确;几何体ABCD-A1EFD1一共六个面,侧棱延长后未相交于一个点,所以不是棱台,故B错误;几何体AA1EB-DD1FC的面AA1EB与面DD1FC平行,另外四个面都是平行四边形,所以是四棱柱,故C正确;几何体BB1E-CC1F的面BB1E与面CC1F平行,另外四个面都是平行四边形,所以是三棱柱,故D正确.故选ACD. 5.5　6　9 6.12　由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱.因为棱柱的侧棱长都相等,所以每条侧棱长为60÷5=12(cm). 7.解 (1)如图,折起后形成的空间图形是三棱锥. (2)S△PEF=a2,S△DPF=S△DPE=2a×a=a2, S△DEF=4a2-a2-2a2=a2. 8.C　直四棱柱是底面为四边形,侧棱和底面都垂直的四棱柱,长方体是底面为矩形的直四棱柱,正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱,正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱.故正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱. 综上所述,Q⊆M⊆N⊆P.故选C. 9.ABC　对于A,如图(1)所示,有两个面平行,其余各面都是四边形的空间图形不一定是棱柱,可能是棱台或组合图形,故A错误;对于B,如图(2)所示,有一个面是多边形,其余各面是有公共顶点的三角形的空间图形才是棱锥,故B错误; (1) (2) 对于C,用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的空间图形才是棱台,故C错误;对于D,根据棱柱的定义,有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的空间图形是棱柱,故D正确.故选ABC. 10.C　选项A中,,故A不符合题意; 选项B中,,故B不符合题意; 选项C中,,所以△ABC∽△A1B1C1,且三条棱延长后交于一点,则该几何体是棱台,故C符合题意; 选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱,不可能是三棱台,故D不符合题意. 故选C. 11.B　将一个正方体只切一刀,得到多面体可能为四面体,如图(1)所示, (1) (2) 得到的多面体可能是四棱柱,如图(2)所示, 得到的多面体可能是五棱柱和七面体,如图(3)所示, (3) 故①③⑤⑦正确,故选B. 12.3　取AB的中点F,连接EF,PF,如图所示,因为E为BC的中点,所以点E,F关于平面BDD1B1对称,所以PE+PC1=PF+PC1,最小值为FC1==3. 13.3　由棱锥、棱台的性质可知,棱台的上、下底面相似.因为棱台的上、下底面的面积比为1∶4,所以上、下底面的边长比为1∶2,所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2.又截去的棱锥高是3 cm,所以原大棱锥的高为6 cm,则棱台的高是6-3=3(cm),故答案为3. 14.3　命题 (1)错误.　侧面全等三角形,不能保证底面是正多边形,也不能保证顶点在底面的投影是底面中心.比如底面是菱形（非正方形）,侧棱相等，侧面也能全等，但不是正棱锥. 命题 (2)正确.　棱数最少的棱柱是三棱柱:2 个底面 + 3 个侧面 = 5 个面,所以棱柱最少 5 个面. 命题 (3)正确.　棱台由棱锥截来,最少是三棱台：上底面 3 个顶点 + 下底面 3 个顶点 = 6 个顶点,所以棱台至少 6 个顶点. 命题 (4)正确.　面:1 个底面 + 4 个侧面 = 5 个面;棱:底面 4 条棱 + 侧棱 4 条 = 8 条棱;顶点:底面 4 个 + 锥顶 1 个 = 5 个顶点. 15.A　可以将该多面体分为三层,上层8个面,中层8个面,下层8个面,上下底各1个面,所以共有8+8+8+1+1=26个面.设正多面体的棱长为a,如图(1),正方体被“半正多面体”顶点A,B,C所在平面所截,截面如图(2)所示,截面图为正八边形,由图可得CH=,CD=a,因为△CDH为等腰直角三角形,所以CD=CH,即a=,解得a=-1,所以该多面体的棱长为-1.故选A. (1) (2) 6 学科网（北京）股份有限公司 $