第10章 三角恒等变换 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

章末复习课 第10章 <<< 知识网络 一、三角函数式求值 二、三角函数式的化简与证明 三、三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用 内容索引 四、三角恒等变换的实际应用 三角函数式求值 一 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、和差化积与积化和差公式的正用、逆用以及推论的应用. 2.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 5 　　　 (1)的值为 A.- B. C. D.- 例 1 √ 原式====. 6 (2)已知α，β为锐角，cos α=，tan(α-β)=-，求cos β的值. 7 ∵α是锐角，cos α=， ∴sin α=，tan α=. ∴tan β=tan[α-(α-β)] ==. ∵β是锐角， ∴由得cos β=. 8 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式. (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.要注意角的范围. (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围. 反 思 感 悟 三角函数式求值主要有三种类型 9 (1)设α为钝角，且3sin 2α=cos α，则sin α=　　　.  跟踪训练 1 因为α为钝角， 所以sin α>0，cos α<0， 由3sin 2α=cos α，可得6sin αcos α=cos α， 所以sin α=. 10 (2)已知sinsin=，α∈，求的值. 11 ∵sinsin=， ∴sincos=， ∴sin=，即cos 2α=. 又α∈， ∴2α∈(π，2π)， ∴sin 2α=-=- =-. 12 ∴= ==-. 13 二 三角函数式的化简与证明 1.掌握两角和与差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的应用. 2.通过三角函数式的化简与证明，培养逻辑推理和数学运算素养. 例 2 　　　化简：. 原式= = ==cos 2x. 16 (1)观察三角函数式的特点，已知和所求中包含什么三角函数式，它们可以怎样联系. (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来. (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可以达到统一. 反 思 感 悟 三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路 17 　　　　　求证：=. 跟踪训练 2 18 左边= = === ==右边. 所以原等式成立. 19 三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用 三 1.三角函数与三角恒等变换的综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式、辅助角公式对三角函数式进行化简，最终化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，再研究三角函数的性质.当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换进行求解. 2.通过三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用培养逻辑推理和数学运算素养. 21 　　　 已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=. (1)求cos(α-β)的值； 例 3 因为向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)， |a-b|= ==， 所以2-2cos(α-β)=，所以cos(α-β)=. 22 (2)若-<β<0<α<，且sin β=-，求sin α的值. 23 因为0<α<，-<β<0， 所以0<α-β<π， 因为cos(α-β)=，sin β=-， 所以sin(α-β)=，cos β=， 所以sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =×+×=. 24 反 思 感 悟 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用. 　　　　　 已知函数f(x)=cos+sin2x-cos2x+2sin xcos x. (1)化简f(x)； 跟踪训练 3 f(x)=cos 2x-sin 2x-cos 2x+sin 2x=sin 2x-cos 2x=sin. 26 (2)若f(α)=，2α是第一象限角，求sin 2α. 27 由(1)得f(α)=sin=， ∵2α是第一象限角，即2kπ<2α<+2kπ(k∈Z)， ∴2kπ-<2α-<+2kπ(k∈Z)， ∴cos=， ∴sin 2α=sin =sincos +cossin =×+×=. 28 四 三角恒等变换的实际应用 1.建立关于三角函数的数学模型、利用三角恒等变换化简，运用三角函数的性质进行求解. 2.通过三角恒等变换的实际应用，提升学生数学建模和数学运算的能力. 30 如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问哪种裁法得到的矩形的最大面积最大？请求出这个最大值. 例 4 31 对于题干图①，MN=20sin θ，ON=20cos θ， 所以S1=ON·MN=400sin θcos θ=200sin 2θ. 所以当sin 2θ=1， 即θ=45°时， (S1)max=200(cm2). 对于题干图②，MQ=40sin(60°-α)， MN=20cos(60°-α)-=sin α， 所以S2=MN·MQ=. 32 因为0°<α<60°， 所以-60°<2α-60°<60°. 所以当cos(2α-60°)=1， 即2α-60°=0°， 即α=30°时，(S2)max=(cm2). 因为>200， 所以用题干图②这种裁法得到的矩形的最大面积最大，为 cm2. 33 反 思 感 悟 建立关于三角函数的解析式，通过降幂公式、辅助角公式转化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，利用三角函数的性质求值. 如图所示，如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最长？ 跟踪训练 4 35 如图所示，设∠AOB=α，△OAB的周长为l， 则AB=Rsin α，OB=Rcos α， ∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α =R(sin α+cos α)+R=Rsin+R. ∵0<α<， ∴<α+<， ∴l的最大值为R+R=(+1)R， 36 此时，α+=， 即α=. 故当α=时，△OAB的周长最长. 37 第一章 <<< $$ 一、三角函数式求值 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、和差化积与积化和差公式的正用、逆用以及推论的应用. 2.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　(1)的值为(　　) A.- B. C. D.- 答案　B 解析　原式== ==. (2)已知α，β为锐角，cos α=，tan(α-β)=-，求cos β的值. 解　∵α是锐角，cos α=，∴sin α=，tan α=. ∴tan β=tan[α-(α-β)] ==. ∵β是锐角， ∴由得cos β=. 反思感悟　三角函数式求值主要有三种类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式. (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.要注意角的范围. (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围. 跟踪训练1　(1)设α为钝角，且3sin 2α=cos α，则sin α=　　　　.  答案　 解析　因为α为钝角， 所以sin α>0，cos α<0， 由3sin 2α=cos α，可得6sin αcos α=cos α， 所以sin α=. (2)已知sinsin=，α∈，求的值. 解　∵sinsin=， ∴sincos=， ∴sin=，即cos 2α=. 又α∈， ∴2α∈(π，2π)， ∴sin 2α=-=- =-. ∴= ==-. 二、三角函数式的化简与证明 1.掌握两角和与差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的应用. 2.通过三角函数式的化简与证明，培养逻辑推理和数学运算素养. 例2　化简：. 解　原式= = ==cos 2x. 反思感悟　三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路 (1)观察三角函数式的特点，已知和所求中包含什么三角函数式，它们可以怎样联系. (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来. (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可以达到统一. 跟踪训练2　求证：=. 证明　左边= = === ==右边. 所以原等式成立. 三、三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用 1.三角函数与三角恒等变换的综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式、辅助角公式对三角函数式进行化简，最终化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，再研究三角函数的性质.当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换进行求解. 2.通过三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用培养逻辑推理和数学运算素养. 例3　已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=. (1)求cos(α-β)的值； (2)若-<β<0<α<，且sin β=-，求sin α的值. 解　(1)因为向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)， |a-b|= ==， 所以2-2cos(α-β)=， 所以cos(α-β)=. (2)因为0<α<，-<β<0， 所以0<α-β<π， 因为cos(α-β)=，sin β=-， 所以sin(α-β)=，cos β=， 所以sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =×+×=. 反思感悟　解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用. 跟踪训练3　已知函数f(x)=cos+sin2x-cos2x+2sin xcos x. (1)化简f(x)； (2)若f(α)=，2α是第一象限角，求sin 2α. 解　(1)f(x)=cos 2x-sin 2x-cos 2x+sin 2x=sin 2x-cos 2x=sin. (2)由(1)得f(α)=sin=， ∵2α是第一象限角， 即2kπ<2α<+2kπ(k∈Z)， ∴2kπ-<2α-<+2kπ(k∈Z)， ∴cos=， ∴sin 2α=sin =sincos +cossin =×+×=. 四、三角恒等变换的实际应用 1.建立关于三角函数的数学模型、利用三角恒等变换化简，运用三角函数的性质进行求解. 2.通过三角恒等变换的实际应用，提升学生数学建模和数学运算的能力. 例4　如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问哪种裁法得到的矩形的最大面积最大？请求出这个最大值. 解　对于题干图①，MN=20sin θ，ON=20cos θ， 所以S1=ON·MN=400sin θcos θ=200sin 2θ. 所以当sin 2θ=1， 即θ=45°时， (S1)max=200(cm2). 对于题干图②，MQ=40sin(60°-α)， MN=20cos(60°-α)-=sin α， 所以S2=MN·MQ=. 因为0°<α<60°， 所以-60°<2α-60°<60°. 所以当cos(2α-60°)=1， 即2α-60°=0°， 即α=30°时，(S2)max=(cm2). 因为>200， 所以用题干图②这种裁法得到的矩形的最大面积最大，为 cm2. 反思感悟　建立关于三角函数的解析式，通过降幂公式、辅助角公式转化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，利用三角函数的性质求值. 跟踪训练4　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最长？ 解　如图所示，设∠AOB=α，△OAB的周长为l， 则AB=Rsin α，OB=Rcos α， ∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α =R(sin α+cos α)+R=Rsin+R. ∵0<α<， ∴<α+<， ∴l的最大值为R+R=(+1)R， 此时，α+=， 即α=. 故当α=时，△OAB的周长最长. 学科网（北京）股份有限公司 $$