第10章 10.1.2 第2课时 两角和与差的正弦(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第10章 <<< 第2课时 两角和与差的正弦(二) 1.了解辅助角公式的推导过程. 2.掌握辅助角公式的应用 3.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明. 学习目标 一、辅助角公式的推导 二、辅助角公式的应用 课时对点练 三、利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明 随堂演练 内容索引 辅助角公式的推导 一 提示　逆用两角和与差的正弦、余弦公式， 即sin α+cos α=sin αcos +cos αsin =sin或sin α+cos α =sin sin α+cos cos α=cos αcos +sin αsin =cos. 利用两角和与差的正弦、余弦公式，如何化简三角函数式 sin α+cos α？ 问题1 asin x+bcos x的化简结果是什么？ 问题2 提示　asin x+bcos x =， 若令cos α=，sin α=， 则原式可化为 asin x+bcos x =(cos αsin x+sin αcos x) =sin(x+α). 若令sin θ=，cos θ=， 则原式可化为asin x+bcos x =(sin θsin x+cos θcos x) =cos(x-θ). 辅助角公式： sin(x+α) cos(x-θ) 知识梳理 (1)已知sin=，则cos α+sin α的值为 A.- B. C.2 D.-1 例 1 cos α+sin α=2 =2sin=. √ 10 (2)求值：sin -cos =　　　　.  sin -cos  =2 =2 =2sin=2sin =. 11 反 思 感 悟 辅助角公式的作用就是把两个同角的正弦、余弦三角函数式化为一个角的三角函数的形式，实质上是两角和与差的正弦公式的逆应用. 12 　(1)化简：sin α+cos α； 跟踪训练 1 sin α+cos α=2=2 =2sin. 13 (2)求值：. = = ==-. 14 二 辅助角公式的应用 　已知f(x)=sin 2x-cos 2x. (1)将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式； 例 2 f(x)=sin 2x-cos 2x = = =sin. 16 (2)求f(x)的最小正周期及最大值. 由f(x)=sin得， f(x)的最小正周期T==π， f(x)的最大值为. 17 1.(多选)在本例条件下，f(x)在下列区间上单调递增的是 A. B. C. D. 延伸探究 √ √ 18 由f(x)=sin， 令-+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z， 整理得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.经检验B，C正确. 19 2.在本例条件下，若方程f(x)=m-1有解，求实数m的取值范围. f(x)=m-1，即sin=m-1， 因为sin∈[-1，1]， 所以-≤m-1≤， 所以1-≤m≤1+. 20 反 思 感 悟 要解决形如f(x)=asin x+bcos x的周期、值域、单调区间等问题，一般先要利用辅助角公式把含sin x，cos x的三角式化为一个角的三角函数的形式，再进行求解. 　函数y=cos x+cos的最小值是　 　，最大值是　　.  跟踪训练 2 - y=cos x+cos xcos -sin xsin =cos x-sin x= =cos， 当cos=-1时，ymin=-. 当cos=1时，ymax=. 22 利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明 三 　　　 已知sin(2α+β)+2sin β=0，求证：tan α=3tan(α+β). 例 3 将条件化为sin[(α+β)+α]+2sin[(α+β)-α]=0， 展开得sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α+2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α=0， 即3sin(α+β)cos α=cos(α+β)sin α， 由cos(α+β)cos α≠0， 两边同除以cos(α+β)cos α， 可得tan α=3tan(α+β). 24 反 思 感 悟 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形. (4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“=1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 三角恒等式证明的常用方法 　已知cos(α+β)=1，求证：sin(α+2β)=sin β. 跟踪训练 3 ∵cos(α+β)=1，∴sin(α+β)=0， ∴sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=0+1·sin β=sin β， ∴sin(α+2β)=sin β成立. 26 1.知识清单： (1)掌握辅助角公式. (2)辅助角公式的应用. (3)利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明. 2.方法归纳：构造法、转化化归. 3.常见误区：忽略辅助角的范围. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.化简cos x+sin x等于 A.2cos B.2cos C.2cos D.2cos √ 1 2 3 4 cos x+sin x=2 =2 =2cos. 2.函数f(x)=sin x+cos x的最小正周期为 A.2 B.1 C.2π D.π √ 1 2 3 4 f(x)=sin x+cos x ==sin， ∴T=2π. 3.已知x为锐角，=，则a的取值范围为 A.[-2，2] B.(1，) C.(1，2] D.(1，2) √ 1 2 3 4 由=， 可得a=sin x+cos x=2sin， 因为x∈， 所以x+∈， 则2sin∈(1，2]， 所以a的取值范围为(1，2]. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.函数f(x)=sin x-cos的值域为　 　　.  [-，] f(x)=sin x-cos x+sin x =sin x-cos x ==sin， 因为x∈R，所以x-∈R， 所以f(x)∈[-]. 课时对点练 五 35 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C CD B B BC 题号 11 12 13 14 　15 答案 C ABC B 　2-2 9. sin(α+2β)=sin[(α+β)+β] =sin(α+β)cos β， 因为cos(α+β)=0，所以cos β=cos[(α+β)-α]=sin(α+β)sin α， 又知sin(α+β)=±1，所以sin(α+2β)=sin2(α+β)sin α=sin α， 原式得证. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)f(x)=(1+·cos x =cos x+ =2 =2sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)∵0≤x<， ∴， 由x+. ∴f(x)在上是减函数. ∴当x=时，f(x)有最大值为2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. f(x)=a·b =3sin =6 =6sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)令+2kπ，k∈Z， 解得+kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)∵x∈， ∴2x-， ∴当2x-， 即x=-时，f(x)min=-6. 当2x-时，f(x)max=6sin . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.sin 15°-cos 15°等于 A.- B. C.- D. √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据辅助角公式，化简sin 15°-cos 15° = =sin(15°-60°)=-sin 45° =-. 11 12 13 14 15 16 答案 2.函数y=sin x-cos x(x∈R)的最大值为 A. B.1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y=sin x-cos x=sin(x+φ)=sin(x+φ)， 其中sin φ=-，cos φ=，φ∈. 而-1≤sin(x+φ)≤1， 所以y=sin x-cos x的最大值为. 11 12 13 14 15 16 答案 3.(多选)cos α-sin α化简的结果可以是 A.cos B.sin C.cos D.sin √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原式= = =sin=cos. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.sin θ+sin=1，则sin的值是 A. B. C. D. √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为sin θ+sin=1， 所以sin θ+sin θ+cos θ=1， 即sin θ+cos θ=1， 所以=1，sin=1， 所以sin=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.若函数f(x)=cos x-cos，x∈，则f(x)的最小值为 A.- B.- C.-1 D.0 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x)=cos x-cos x+sin x =cos x+sin x=sin， ∵x∈， ∴x+∈， ∴当x+=-， 即x=-时，f(x)min=-. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)已知α∈，下列各值中，sin α+cos α可能取到的是 A. B. C. D. √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sin α+cos α= =sin， 因为0<α<<α+<， 所以<sin≤1， 所以1<sin. 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知α为锐角，sin α=cos α-，则sin=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由已知α为锐角，sin α=cos α-， 所以cos α-sin α=cos=， 即cos=， 故α+仍为锐角， 因此sin==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 所以sin=sin =sincos +cossin =×+×=. 8.形如的式子叫作行列式，其运算法则为=ad-bc，则行列式的值是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =sin 15°-cos 15° =2 =2sin(15°-45°) =2sin(-30°)=-1. 11 12 13 14 15 16 答案 9.已知cos(α+β)=0，求证：sin(α+2β)=sin α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cos β， 因为cos(α+β)=0， 所以cos β=cos[(α+β)-α]=sin(α+β)sin α， 又知sin(α+β)=±1， 所以sin(α+2β)=sin2(α+β)sin α=sin α， 原式得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.若函数f(x)=(1+tan x)cos x，0≤x<. (1)把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式； 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+··cos x =cos x+sin x=2 =2 =2sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值. 11 12 13 14 15 16 答案 ∵0≤x<， ∴≤x+<， 由x+，得x≤. ∴f(x)在上是减函数. ∴当x=时，f(x)有最大值为2. 11.已知cos+sin α=，则sin的值为 A.- B. C.- D. √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵cos+sin α=， ∴cos αcos +sin αsin +sin α=， ∴cos α+sin α=， 即cos α+sin α=， ∴sin=. ∴sin=-sin=-. 12.(多选)设函数f(x)=cos x-sin x，则下列结论正确的是 A.f(x)的一个周期为2π B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f的一个零点为π D.f(x)在上单调递减 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 f(x)=cos x-sin x=-2sin. 由正弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π，故A正确； 函数f(x)=-2sin的对称轴满足条件x-=kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，所以y=f(x)的图象关于直线x=-对称，故B正确； f=-2sin=-2sin x，-2sin π=0， 所以f的一个零点为π，故C正确； 函数f(x)=-2sin上先减后增，故D错误. 13.已知函数f(x)=sin+cos，则下列结论正确的是 A.f(x)为奇函数 B.f(x)在区间上单调递减 C.f(x)的最大值为2 D.f(x)的最小值为-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ f(x)=sin =sin=cos 2x， 所以f(x)是偶函数，故A错误； 由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z， 得kπ≤x≤kπ+，k∈Z， 当k=0时，f(x)的单调递减区间为，故B正确； f(x)的最大值为，f(x)的最小值为- ，故C，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.若函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象的一条对称轴为x=，则ω的 最小值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin， 因为x=是函数图象的一条对称轴， 则有ω-=+kπ，k∈Z， 解得ω=+3k，k∈Z. 又ω>0，所以ω的最小值为. 15.如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，且△PCQ的周长为2，则线段PQ的长度的最小值是　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设∠CPQ=θ， 则CP=PQcos θ，CQ=PQsin θ， 又△PCQ的周长为2， 即PQ+PQcos θ+PQsin θ=2， 则PQ==， 则当θ+=，即θ=时，PQ取得最小值， 即PQmin==2-2. 16.已知a=，b=，且f(x)=a·b. (1)求f(x)的单调递减区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 f(x)=a·b=3sin-3cos =6 =6sin=6sin. 令+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z， 解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵x∈， ∴2x-∈， ∴当2x-=-， 即x=-时，f(x)min=-6. 当2x-=，即x=时， f(x)max=6sin =3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$ 第2课时　两角和与差的正弦(二) [学习目标]　1.了解辅助角公式的推导过程.2.掌握辅助角公式的应用3.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明. 一、辅助角公式的推导 问题1　利用两角和与差的正弦、余弦公式，如何化简三角函数式sin α+cos α？ 提示　逆用两角和与差的正弦、余弦公式， 即sin α+cos α=sin αcos +cos αsin =sin或sin α+cos α=sin sin α+cos cos α=cos αcos +sin αsin =cos. 问题2　asin x+bcos x的化简结果是什么？ 提示　asin x+bcos x =， 若令cos α=，sin α=， 则原式可化为 asin x+bcos x =(cos αsin x+sin αcos x) =sin(x+α). 若令sin θ=，cos θ=， 则原式可化为asin x+bcos x =(sin θsin x+cos θcos x) =cos(x-θ). 知识梳理 辅助角公式： 例1　(1)已知sin=，则cos α+sin α的值为(　　) A.- B. C.2 D.-1 答案　B 解析　cos α+sin α=2 =2sin=. (2)求值：sin -cos =　　　　.  答案　 解析　sin -cos  =2 =2 =2sin=2sin =. 反思感悟　辅助角公式的作用就是把两个同角的正弦、余弦三角函数式化为一个角的三角函数的形式，实质上是两角和与差的正弦公式的逆应用. 跟踪训练1　(1)化简：sin α+cos α； (2)求值：. 解　(1)sin α+cos α=2=2=2sin. (2)= = ==-. 二、辅助角公式的应用 例2　已知f(x)=sin 2x-cos 2x. (1)将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式； (2)求f(x)的最小正周期及最大值. 解　(1)f(x)=sin 2x-cos 2x = = =sin. (2)由f(x)=sin得， f(x)的最小正周期T==π， f(x)的最大值为. 延伸探究　 1.(多选)在本例条件下，f(x)在下列区间上单调递增的是(　　) A. B. C. D. 答案　BC 解析　由f(x)=sin， 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z， 整理得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.经检验B，C正确. 2.在本例条件下，若方程f(x)=m-1有解，求实数m的取值范围. 解　f(x)=m-1，即sin=m-1， 因为sin∈[-1，1]， 所以-≤m-1≤， 所以1-≤m≤1+. 反思感悟　要解决形如f(x)=asin x+bcos x的周期、值域、单调区间等问题，一般先要利用辅助角公式把含sin x，cos x的三角式化为一个角的三角函数的形式，再进行求解. 跟踪训练2　函数y=cos x+cos的最小值是　　　　，最大值是　　　　.  答案　-　 解析　y=cos x+cos xcos -sin xsin =cos x-sin x= =cos， 当cos=-1时，ymin=-. 当cos=1时，ymax=. 三、利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明 例3　已知sin(2α+β)+2sin β=0，求证：tan α=3tan(α+β). 证明　将条件化为sin[(α+β)+α]+2sin[(α+β)-α]=0， 展开得sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α+2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α=0， 即3sin(α+β)cos α=cos(α+β)sin α， 由cos(α+β)cos α≠0， 两边同除以cos(α+β)cos α， 可得tan α=3tan(α+β). 反思感悟　三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形. (4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“=1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 跟踪训练3　已知cos(α+β)=1，求证：sin(α+2β)=sin β. 证明　∵cos(α+β)=1，∴sin(α+β)=0， ∴sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=0+1·sin β=sin β， ∴sin(α+2β)=sin β成立. 1.知识清单： (1)掌握辅助角公式. (2)辅助角公式的应用. (3)利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明. 2.方法归纳：构造法、转化化归. 3.常见误区：忽略辅助角的范围. 1.化简cos x+sin x等于(　　) A.2cos B.2cos C.2cos D.2cos 答案　B 解析　cos x+sin x=2 =2 =2cos. 2.函数f(x)=sin x+cos x的最小正周期为(　　) A.2 B.1 C.2π D.π 答案　C 解析　f(x)=sin x+cos x ==sin， ∴T=2π. 3.已知x为锐角，=，则a的取值范围为(　　) A.[-2，2] B.(1，) C.(1，2] D.(1，2) 答案　C 解析　由=， 可得a=sin x+cos x=2sin， 因为x∈， 所以x+∈， 则2sin∈(1，2]， 所以a的取值范围为(1，2]. 4.函数f(x)=sin x-cos的值域为　　　.  答案　[-，] 解析　f(x)=sin x-cos x+sin x =sin x-cos x ==sin， 因为x∈R，所以x-∈R， 所以f(x)∈[-，]. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.sin 15°-cos 15°等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　根据辅助角公式，化简sin 15°-cos 15° = =sin(15°-60°)=-sin 45° =-. 2.函数y=sin x-cos x(x∈R)的最大值为(　　) A. B.1 C. D. 答案　C 解析　y=sin x-cos x=sin(x+φ)=sin(x+φ)， 其中sin φ=-，cos φ=，φ∈. 而-1≤sin(x+φ)≤1， 所以y=sin x-cos x的最大值为. 3.(多选)cos α-sin α化简的结果可以是(　　) A.cos B.sin C.cos D.sin 答案　CD 解析　原式= = =sin=cos. 4.sin θ+sin=1，则sin的值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为sin θ+sin=1， 所以sin θ+sin θ+cos θ=1， 即sin θ+cos θ=1， 所以=1，sin=1， 所以sin=. 5.若函数f(x)=cos x-cos，x∈，则f(x)的最小值为(　　) A.- B.- C.-1 D.0 答案　B 解析　f(x)=cos x-cos x+sin x =cos x+sin x=sin， ∵x∈， ∴x+∈， ∴当x+=-， 即x=-时，f(x)min=-. 6.(多选)已知α∈，下列各值中，sin α+cos α可能取到的是(　　) A. B. C. D. 答案　BC 解析　sin α+cos α= =sin， 因为0<α<，所以<α+<， 所以<sin≤1， 所以1<sin≤. 7.(5分)已知α为锐角，sin α=cos α-，则sin=　　　　　　　　.  答案　 解析　由已知α为锐角，sin α=cos α-， 所以cos α-sin α=cos=， 即cos=， 故α+仍为锐角， 因此sin==， 所以sin=sin =sincos+cossin =×+×=. 8.(5分)形如的式子叫作行列式，其运算法则为=ad-bc，则行列式的值是　　　　.  答案　-1 解析　=sin 15°-cos 15° =2 =2sin(15°-45°) =2sin(-30°)=-1. 9.(10分)已知cos(α+β)=0，求证：sin(α+2β)=sin α. 证明　sin(α+2β)=sin[(α+β)+β] =sin(α+β)cos β， 因为cos(α+β)=0， 所以cos β=cos[(α+β)-α]=sin(α+β)sin α， 又知sin(α+β)=±1， 所以sin(α+2β)=sin2(α+β)sin α=sin α， 原式得证. 10.(10分)若函数f(x)=(1+tan x)cos x，0≤x<. (1)把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式；(5分) (2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值.(5分) 解　(1)f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+··cos x =cos x+sin x=2 =2 =2sin. (2)∵0≤x<， ∴≤x+<， 由x+≤，得x≤. ∴f(x)在上是增函数，在上是减函数. ∴当x=时，f(x)有最大值为2. 11.已知cos+sin α=，则sin的值为(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　∵cos+sin α=， ∴cos αcos +sin αsin +sin α=， ∴cos α+sin α=， 即cos α+sin α=， ∴sin=. ∴sin=-sin=-. 12.(多选)设函数f(x)=cos x-sin x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的一个周期为2π B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f的一个零点为π D.f(x)在上单调递减 答案　ABC 解析　f(x)=cos x-sin x=-2sin. 由正弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π，故A正确； 函数f(x)=-2sin的对称轴满足条件x-=kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，所以y=f(x)的图象关于直线x=-对称，故B正确； f=-2sin =-2sin x，-2sin π=0， 所以f的一个零点为π，故C正确； 函数f(x)=-2sin在上先减后增，故D错误. 13.已知函数f(x)=sin+cos，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在区间上单调递减 C.f(x)的最大值为2 D.f(x)的最小值为-2 答案　B 解析　f(x)=sin =sin=cos 2x， 所以f(x)是偶函数，故A错误； 由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z， 得kπ≤x≤kπ+，k∈Z， 当k=0时，f(x)的单调递减区间为，故B正确； f(x)的最大值为，f(x)的最小值为- ，故C，D错误. 14.(5分)若函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象的一条对称轴为x=，则ω的最小值为　　　　　　.  答案　 解析　f(x)=sin ωx-cos ωx =2sin， 因为x=是函数图象的一条对称轴， 则有ω-=+kπ，k∈Z， 解得ω=+3k，k∈Z. 又ω>0，所以ω的最小值为. 15.(5分)如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，且△PCQ的周长为2，则线段PQ的长度的最小值是　　　　.  答案　2-2 解析　设∠CPQ=θ， 则CP=PQcos θ，CQ=PQsin θ， 又△PCQ的周长为2， 即PQ+PQcos θ+PQsin θ=2， 则PQ==， 则当θ+=，即θ=时，PQ取得最小值， 即PQmin==2-2. 16.(12分)已知a=，b=，且f(x)=a·b. (1)求f(x)的单调递减区间；(6分) (2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值.(6分) 解　f(x)=a·b =3sin-3cos =6 =6sin=6sin. (1)令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z， 解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为 (k∈Z). (2)∵x∈， ∴2x-∈， ∴当2x-=-， 即x=-时，f(x)min=-6. 当2x-=，即x=时， f(x)max=6sin =3. 学科网（北京）股份有限公司 $$