第10章 10.1.2 第1课时 两角和与差的正弦(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

10.1.2　两角和与差的正弦 第1课时　两角和与差的正弦(一) [学习目标]　1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简. 导语 变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果.那么在三角函数中，两角和与差的正弦、余弦、正切之间又有怎样的变换呢？ 一、两角和与差的正弦公式 问题1　如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 提示　sin(α+β)=cos =cos =coscos β+sinsin β =sin αcos β+cos αsin β. 问题2　如何由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？ 提示　在两角和的正弦公式中，用-β代替β， 可以得到sin(α-β)=sin =sin αcos(-β)+cos αsin(-β) =sin αcos β-cos αsin β. 知识梳理 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(α+β) sin(α+β)=sin α·cos β+cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α-β) sin(α-β)=sin α·cos β-cos αsin β α，β∈R 注意点： (1)公式中的α，β既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (2)两角和与差的正弦公式可记忆为“正余余正，符号相同”. 例1　(1)化简：sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=　　　　；  (2)求值：sin 15°+sin 75°=　　　　；  (3)已知α，β为锐角，且sin α=，sin β=，则sin(α+β)的值为　　　　，sin(α-β)的值为　　　　.  答案　(1)　(2)　(3)　 解析　(1)原式=sin(20°+40°)=sin 60°=. (2)原式=sin(45°-30°)+sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° =2sin 45°cos 30°=2××=. (3)∵α，β都是锐角，且sin α=，sin β=， ∴cos α===， cos β===. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =×+×=. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=. 反思感悟　探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形. (2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，解题时要逆用或变形用公式. 跟踪训练1　(1)化简：sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=　　　　；  (2)求值：=　　　　.  答案　(1)　(2)2- 解析　(1)原式=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°=. (2)原式= = == ===2-. 二、给值求值 例2　已知α，β都是锐角，且sin α=，sin(α-β)=，求sin β的值. 解　∵α为锐角，且sin α=， ∴cos α==， ∵α，β都是锐角， ∴-<α-β<， 又sin(α-β)=， ∴cos(α-β)==， ∴sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =×-×=. 反思感悟　给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”或特殊角与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 跟踪训练2　已知cos=(α为锐角)，则sin α等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为α∈，cos=>0， 所以α+∈. 所以sin= ==. 所以sin α=sin =sincos -cossin  =×-×=. 三、 给值求角 例3　已知sin=，sin=，且α-∈，β-∈，求的值. 解　方法一　∵α-∈， β-∈， ∴0<<π，cos=， cos=. ∴cos =cos =coscos-sinsin =×-×=， ∴=. 方法二　∵sin=<， sin=<， α-∈，β-∈， ∴α-∈，β-∈， ∴∈， cos=，cos=. ∴sin =sin =sincos+cossin =×+×=， ∴=. 反思感悟　解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 跟踪训练3　已知锐角α，β满足sin α=，cos β=， 求α-β的值. 解　因为α，β均为锐角， 且sin α=，cos β=， 所以cos α=，sin β=， 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. 又因为α，β均为锐角， 所以-<α-β<，故α-β=-. 1.知识清单： (1)两角和与差的正弦公式. (2)给值求值. (3)给值求角. 2.方法归纳：构造法、转化化归. 3.常见误区：求角或求值时易忽视角的范围. 1.sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°的值为(　　) A.- B.- C. D. 答案　B 解析　原式=sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37° =sin(7°-37°)=sin(-30°) =-sin 30°=-. 2.设α∈，若sin α=，则2sin等于(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　因为α∈，sin α=， 所以cos α=， 又根据两角和的正弦公式得 sin=sin αcos +cos αsin =sin α+cos α =×+×=， 所以2sin=. 3.已知cos(α-β)=，sin β=-，且α∈，β∈，则sin α等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　A 解析　∵∴0<α-β<π. 又cos(α-β)=， ∴sin(α-β)==. ∵-<β<0，sin β=-， ∴cos β=， ∴sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =×+×=. 4.已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，那么β等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵0<β<α<，∴0<α-β<， 由cos α=，得sin α=， 由cos(α-β)=，得sin(α-β)=， ∴sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =×-×==， ∴β=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 解析　原式=sin(21°-81°)=sin(-60°) =-sin 60°=-. 2.在△ABC中，A=，cos B=，则sin C等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　因为cos B=且0<B<π， 所以sin B=.又A=， 所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin cos B+cos sin B =×+×=. 3.若锐角α，β满足cos α=，cos(α+β)=，则sin β的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵cos α=，cos(α+β)=， α，β∈，∴0<α+β<， ∴sin α=，sin(α+β)=. ∴sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 4.在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案　D 解析　∵A=180°-(B+C)， ∴sin A=sin(B+C)=2sin Bcos C. 又∵sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C， ∴sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C)=0. 又B，C为三角形内角， ∴B=C，故△ABC为等腰三角形. 5.已知cos=-(α为锐角)，则sin α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵cos=-(α为锐角)， ∴sin=. ∴sin α=sin =sin-cos =×-×=. 6.(多选)下面各式中，正确的是(　　) A.sin=sin cos +cos  B.cos =sin -cos cos  C.cos=cos cos + D.cos =cos cos  答案　ABC 解析　sin=sin cos +cos sin =sin cos +cos ，故A正确； cos =sin =sin=sin cos -cos sin =sin -cos cos ，故B正确； cos=cos=cos cos +sin sin =cos cos +，故C正确； cos =cos=cos cos +sin sin ≠cos cos ，故D不正确. 7.(5分)已知cos αcos β-sin αsin β=0，那么sin αcos β+cos αsin β=　　　　.  答案　±1 解析　由已知得cos(α+β)=0， 所以sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β) =±=±1. 8.(5分)的值是　　　　.  答案　 解析　 = = = ==. 9.(10分)已知α∈. (1)若sin α=，求sin的值；(5分) (2)若cos=，求sin α的值.(5分) 解　(1)因为sin α=，α∈， 所以cos α=， 所以sin=sin α+cos α =+=. (2)因为α∈， 所以α+∈， 又因为cos=， 所以sin=， 所以sin α=sin =sin-cos =-=. 10.(12分)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根. (1)求的值；(7分) (2)若α是第四象限角，sin=，求sin的值.(5分) 解　 (1)因为sin α是方程5x2-7x-6=0的根， 所以sin α=-或sin α=2(舍)， 则原式= =， ==-cos α， 由sin α=-，所以α是第三象限或第四象限角， 若α是第三象限角，则cos α=-， 此时-cos α=； 若α是第四象限角，则cos α=， 此时-cos α=-. 故所求式子的值为或-. (2)由(1)知，当α是第四象限角时，sin α=-，cos α=， 由sin=， 得cos=， 所以sin=sin =sin αcos-cos αsin=-×-×=-. 11.已知α，β∈，sin=，tan α=2tan β，则sin等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由tan α=2tan β，得=， 则sin αcos β=2cos αsin β， ① 由sin(α+β)=，得sin αcos β+cos αsin β=， ② 联立①②解得 ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=. 12.已知-2cos(α+β)=，则(　　) A.sin β=2sin α B.cos β=2cos α C.cos α=2cos β D.sin α=2sin β 答案　D 解析　∵-2cos(α+β)=， ∴sin[α+(α+β)]-2sin αcos(α+β)=sin α， ∴sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)-2sin αcos(α+β)=sin α， ∴sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin α， ∴sin[(α+β)-α]=sin α， ∴sin β=sin α，即sin α=2sin β. 13.(5分)计算：(tan 10°-)·=　　　　.  答案　-2 解析　原式=(tan 10°-tan 60°)· =· =· =-· =- =-2. 14.(5分)已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)=　　　　.  答案　- 解析　∵sin α+cos β=1，cos α+sin β=0， ∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1， ① cos2α+sin2β+2cos αsin β=0， ② ①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1， 即2+2sin(α+β)=1， ∴sin(α+β)=-. 15.(5分)已知cos β-3sin α=2，sin β+3cos α=，则sin(β-α)=　　　　　　.  答案　- 解析　由cos β-3sin α=2得(cos β-3sin α)2=cos2β-6cos βsin α+9sin2α=4， ① 由sin β+3cos α=得(sin β+3cos α)2=sin2β+6sin βcos α+9cos2α=， ② ①+②得10+6(sin βcos α-cos βsin α)=10+6sin(β-α)=， ∴sin(β-α)=-. 16.(12分)已知函数f(x)=Asin，x∈R，且f=. (1)求A的值；(4分) (2)若f(θ)-f(-θ)=，θ∈，求f.(8分) 解　(1)由f=Asin=Asin =A=，得A=3. (2)由(1)得f(x)=3sin， 因为f(θ)-f(-θ)=， 所以3sin-3sin=， 即3-3=， 得sin θ=， 因为θ∈，所以cos θ=， 所以f=3sin =3sin=3cos θ=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 <<< 第1课时 两角和与差的正弦(一) 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简. 学习目标 导 语 变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果.那么在三角函数中，两角和与差的正弦、余弦、正切之间又有怎样的变换呢？ 一、两角和与差的正弦公式 二、给值求值 课时对点练 三、 给值求角 随堂演练 内容索引 两角和与差的正弦公式 一 提示　sin(α+β)=cos =cos =coscos β+sinsin β =sin αcos β+cos αsin β. 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 问题1 提示　在两角和的正弦公式中，用-β代替β， 可以得到sin(α-β)=sin =sin αcos(-β)+cos αsin(-β) =sin αcos β-cos αsin β. 如何由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？ 问题2 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(α+β) sin(α+β)=___________________ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α-β) sin(α-β)=_____________________ α，β∈R sin α·cos β+cos αsin β sin α·cos β-cos αsin β 知识梳理 (1)公式中的α，β既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (2)两角和与差的正弦公式可记忆为“正余余正，符号相同”. 注 意 点 <<< 9 (1)化简：sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=　　　；  例 1 原式=sin(20°+40°)=sin 60°=. 10 (2)求值：sin 15°+sin 75°=　　　　；  原式=sin(45°-30°)+sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° =2sin 45°cos 30°=2××=. 11 (3)已知α，β为锐角，且sin α=，sin β=，则sin(α+β)的值为　　　　， sin(α-β)的值为　　　.  12 ∵α，β都是锐角，且sin α=，sin β=， ∴cos α===， cos β===. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=. 13 反 思 感 悟 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形. (2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，解题时要逆用或变形用公式. 探究解决给角求值问题的策略 14 　(1)化简：sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=　　　；  跟踪训练 1 原式=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°=. 15 (2)求值：=　　　　.  原式= = == ===2-. 2- 16 二 给值求值 　 已知α，β都是锐角，且sin α=，sin(α-β)=，求sin β的值. 例 2 18 ∵α为锐角，且sin α=， ∴cos α==， ∵α，β都是锐角， ∴-<α-β<， 又sin(α-β)=， ∴cos(α-β)==， 19 ∴sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =×-×=. 20 反 思 感 悟 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”或特殊角与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 给值(式)求值的策略 　已知cos=(α为锐角)，则sin α等于 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ 22 因为α∈，cos=>0， 所以α+∈. 所以sin===. 所以sin α=sin =sincos -cossin  =×-×=. 23 给值求角 三 　　　已知，已知sin=，sin=，且α-∈，β- ∈，求的值. 例 3 25 方法一　∵α-∈，β-∈， ∴0<<π，cos=，cos=. ∴cos =cos =coscos-sinsin =×-×=， ∴=. 26 方法二　∵sin=<，sin=<， α-∈，β-∈， ∴α-∈，β-∈， ∴∈， cos=，cos=. 27 ∴sin =sin =sincos+cossin =×+×=， ∴=. 28 反 思 感 悟 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 解决给值求角问题的方法 　已知锐角α，β满足sin α=，cos β=， 求α-β的值. 跟踪训练 3 30 因为α，β均为锐角， 且sin α=，cos β=， 所以cos α=，sin β=， 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. 又因为α，β均为锐角， 所以-<α-β<，故α-β=-. 31 1.知识清单： (1)两角和与差的正弦公式. (2)给值求值. (3)给值求角. 2.方法归纳：构造法、转化化归. 3.常见误区：求角或求值时易忽视角的范围. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°的值为 A.- B.- C. D. √ 原式=sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37° =sin(7°-37°)=sin(-30°) =-sin 30°=-. 2.设α∈，若sin α=，则2sin等于 A. B. C. D.2 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 因为α∈，sin α=， 所以cos α=， 又根据两角和的正弦公式得 sin=sin αcos +cos αsin =sin α+cos α=×+×=， 所以2sin=. 3.已知cos(α-β)=，sin β=-，且α∈，β∈，则sin α等于 A. B. C.- D.- √ 1 2 3 4 ∵∴0<α-β<π. 又cos(α-β)=， ∴sin(α-β)==. ∵-<β<0，sin β=-， ∴cos β=， 1 2 3 4 ∴sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =×+×=. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，那么β等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 ∵0<β<α<，∴0<α-β<， 由cos α=，得sin α=， 由cos(α-β)=，得sin(α-β)=， ∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =×-×==， ∴β=. 课时对点练 五 42 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C D C ABC ±1 题号 11 12 13 14 　15 答案 A D -2 - 　- 9. (1)因为sin α=， 所以cos α=， 所以sincos α =. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)因为α∈， 所以α+， 又因为cos， 所以sin， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 所以sin α=sin = =. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为sin α是方程5x2-7x-6=0的根， 所以sin α=-或sin α=2(舍)， 则原式= =， ==-cos α， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 由sin α=-，所以α是第三象限或第四象限角， 若α是第三象限角，则cos α=-， 此时-cos α=； 若α是第四象限角，则cos α=， 此时-cos α=-. 故所求式子的值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由(1)知，当α是第四象限角时，sin α=-， 由sin， 得cos， 所以sin =sin αcos. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由f =Asin =，得A=3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)由(1)得f(x)=3sin， 因为f(θ)-f(-θ)=， 所以3sin， 即3- 3， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 得sin θ=， 因为θ∈， 所以f =3sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 A.- B.- C. D. √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原式=sin(21°-81°)=sin(-60°) =-sin 60°=-. 11 12 13 14 15 16 答案 2.在△ABC中，A=，cos B=，则sin C等于 A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为cos B=且0<B<π， 所以sin B=. 又A=， 所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin cos B+cos sin B =×+×=. 11 12 13 14 15 16 答案 3.若锐角α，β满足cos α=，cos(α+β)=，则sin β的值是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵cos α=，cos(α+β)=，α，β∈， ∴0<α+β<， ∴sin α=，sin(α+β)=. ∴sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵A=180°-(B+C)， ∴sin A=sin(B+C)=2sin Bcos C. 又∵sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C， ∴sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C)=0. 又B，C为三角形内角， ∴B=C，故△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知cos=-(α为锐角)，则sin α等于 A. B. C. D. √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵cos=-(α为锐角)， ∴sin=. ∴sin α=sin =sin-cos =×-×=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)下面各式中，正确的是 A.sin=sin cos +cos  B.cos =sin -cos cos  C.cos=cos cos + D.cos =cos cos  √ √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sin=sin cos +cos sin =sin cos +cos ，故A正确； cos =sin =sin=sin cos -cos sin =sin -cos cos ，故B正确； cos=cos=cos cos +sin sin =cos cos +，故C正确； cos =cos=cos cos +sin sin ≠cos cos ，故D不正确. 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知cos αcos β-sin αsin β=0，那么sin αcos β+cos αsin β=　　　　.  由已知得cos(α+β)=0， 所以sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β) =±=±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ±1 11 12 13 14 15 16 答案 8.的值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = = = ==. 11 12 13 14 15 16 答案 9.已知α∈. (1)若sin α=，求sin的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为sin α=，α∈， 所以cos α=， 所以sin=sin α+cos α =+=. (2)若cos=，求sin α的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为α∈， 所以α+∈， 又因为cos=， 所以sin=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 所以sin α=sin =sin-cos =-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根. (1)求的值； 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为sin α是方程5x2-7x-6=0的根， 所以sin α=-或sin α=2(舍)， 则原式= =， ==-cos α， 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由sin α=-，所以α是第三象限或第四象限角， 若α是第三象限角，则cos α=-， 此时-cos α=； 若α是第四象限角，则cos α=， 此时-cos α=-. 故所求式子的值为或-. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)若α是第四象限角，sin=，求sin的值. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由(1)知，当α是第四象限角时，sin α=-，cos α=， 由sin=， 得cos=， 所以sin=sin =sin αcos-cos αsin=-×-×=-. 11 12 13 14 15 16 答案 11.已知α，β∈，sin=，tan α=2tan β，则sin等于 A. B. C. D. √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由tan α=2tan β，得=， 则sin αcos β=2cos αsin β， ① 由sin(α+β)=，得sin αcos β+cos αsin β=， ② 联立①②解得 ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=. 12.已知-2cos(α+β)=，则 A.sin β=2sin α B.cos β=2cos α C.cos α=2cos β D.sin α=2sin β √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵-2cos(α+β)=， ∴sin[α+(α+β)]-2sin αcos(α+β)=sin α， ∴sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)-2sin αcos(α+β)=sin α， ∴sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin α， ∴sin[(α+β)-α]=sin α， ∴sin β=sin α，即sin α=2sin β. 13.计算：(tan 10°-)·=　　　.  原式=(tan 10°-tan 60°)· =· =· =-· =-=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 -2 14.已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 - ∵sin α+cos β=1，cos α+sin β=0， ∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1， ① cos2α+sin2β+2cos αsin β=0， ② ①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1， 即2+2sin(α+β)=1， ∴sin(α+β)=-. 15.已知cos β-3sin α=2，sin β+3cos α=，则sin(β-α)=　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 - 由cos β-3sin α=2得(cos β-3sin α)2=cos2β-6cos βsin α+9sin2α=4， ① 由sin β+3cos α=得(sin β+3cos α)2=sin2β+6sin βcos α+9cos2α=， ② ①+②得10+6(sin βcos α-cos βsin α)=10+6sin(β-α)=， ∴sin(β-α)=-. 16.已知函数f(x)=Asin，x∈R，且f=. (1)求A的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由f=Asin=Asin =A=，得A=3. (2)若f(θ)-f(-θ)=，θ∈，求f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由(1)得f(x)=3sin， 因为f(θ)-f(-θ)=， 所以3sin-3sin=， 即3-3=， 得sin θ=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为θ∈，所以cos θ=， 所以f=3sin =3sin=3cos θ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$