8.6.1 直线与直线垂直 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6空间直线、平面的垂直 8.6.1直线与直线垂直 1.借助长方体,了解空间中直线与直线垂直的关系. 2.异面直线所成的角,两条异面直线垂直的定义. 3.理解并掌握异面直线所成的角,会求任意两条直线所成的角. 4.异面直线所成的角与简单角的求法、直线与直线垂直的判定. 学习目标 复习回顾 判断直线与直线平行的方法: ①平行四边形的对边平行、三角形的中位线、棱柱的侧棱互相平行… ②相似线段成比例 ③平行线的传递性 ④直线与平面平行的性质定理 关键点: 1、线面平行与线线平行可以转化 2、寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、 平行线的判定,找平行四边形等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平行”,缺一不可. 复习回顾 空间中直线与直线的位置关系有哪些? 共面直线 异面直线: 平行直线: 相交直线: 在同一平面内,有且只有一个公共点; 在同一平面内,没有公共点; 不同在任何一个平面内,没有公共点. 与平行关系类似,垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系,它在研究空间图形问题中具有重要的作用. 在平面几何中,垂直是如何定义的? 复习回顾 平面中,两条相交直线形成几个角? 两直线夹角的取值范围是多少? 平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90 的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. 图中的角 即为直线a与直线b的夹角. 范围: 规定:如果两条直线平行或重合,它们的夹角为 0. 追问 空间中两条直线所成角又该如何定义?它的范围又是多少? 新知讲解 观察 如图所示, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线,直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗? 如果不同,如何表示这种差异呢? 一条直线相对于另一条直线的倾斜程度不同 用角度来表示这种差异 新知讲解 如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′,b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 追问 直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗? 无关. 异面直线所成的角 为什么? 只与a,b的相互位置有关 空间直线所成角 平面直线所成角 (空间问题 平面问题) 直线所成角的大小与点的位置无关(等角定理). 新知讲解 如果两条异面直线所成的角为直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直,记作a⊥b. 规定 如果两条直线平行或重合,它们的夹角为 0. 两条异面直线所成的角 的取值范围:_. 空间两条直线所成的角 的取值范围:_. 方法归纳 求异面直线所成角的步骤: 异面直线所成角 相交线所成的角 解三角形求角 (取锐角或直角) 平移 构造三角形 简记为:找角、求角 1.异面直线所成角的求法:一作(找)、二证、三求 (1)作:根据异面直线的定义,用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成角。 (2)证:证明作出的角就是要求的角 (3)求:求角度(若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成角)。 求异面直线所成角的方法: 典例分析 例1: A B C D 典例分析 例1: A B C D 巩固练习 P148 T1 不一定 1、判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“ ”. (1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直,那么另一条也与已知直线 垂直.( ) (2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( ) √ 巩固练习 练习:下列说法正确的有( ) A.异面直线a与b所成角可以是0 . B.若a⊥c,b⊥c,则a ∥b. C.若a ∥b,则a,b与c所成的角相等. D.若a,b与c所成的角相等,则a ∥b. E.若a ∥b,a⊥c,则b⊥c. CE 典例分析 例2: 【详解】 A B C D A1 B1 C1 D1 O1 典例分析 变式: 典例分析 变式: 巩固练习 变式 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2 cm, AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值. 解法一(平移法): 解法二(补形法): A B C D A1 B1 C1 D1 O M A B C D A1 B1 C1 D1 E F E1 F1 1 2 2 ∠A1C1E(或补角)是直线A1C1与BD1所成的角 ∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 ∠AOM(或补角)是直线A1C1与BD1所成的角 ∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 巩固练习 P148 T2 8 4 4 A B C D 巩固练习 P148 T3 A B C D 巩固练习 P148 T3 A B C D 巩固练习 P148 T4 B A C D E 课堂总结 异面直线所成的角 异面直线 互相垂直 类比 特殊 定义 范围 步骤 方法 相交直线所成的角 转化 将空间问题转化为平面问题的转化思想 课堂总结 证明空间的两条直线垂直的方法 定义法:利用两条直线所成的角为证明两直线垂直. 平面几何垂直证明方法:勾股定理的逆定理、 菱形的对角线相互垂直、 等腰三角形底边的中线和底边垂直. 【详解】(1)由题意知 面 、 面 , 由线面垂直点的性质定理知与 垂直的直线有: , , , , , , , , (2) 此几何体为正方体, , 与 所成的角等于 与 所成的角,又 , 与 所成的角为 与 所成角等于 . 如图,已知正方体 . (1)哪些棱所在的直线与直线 垂直? (2)求直线 与 所成的角的大小. (3)求直线 与 所成的角的大小. 【详解】(3)连接 与 , 是正方体 , EMBED Equation.DSMT4 为平行四边形 EMBED Equation.DSMT4 为异面直线 与 所成的角, EMBED Equation.DSMT4 为 等边三角形 EMBED Equation.DSMT4 直线 与 所成的角为 如图,已知正方体 . (1)哪些棱所在的直线与直线 垂直? (2)求直线 与 所成的角的大小. (3)求直线 与 所成的角的大小. $$