8.6.1直线与直线垂直 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用. 类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质. 引入 8.6.1 直线与直线垂直 2 学习目标 1.会求给定两条异面直线所成的角的大小. 2.理解异面直线所成的角的概念. 3. 理解异面直线垂直的定义. 4.会证明空间中两条直线垂直． 8.6.1　直线与直线垂直 平行直线：在同一平面内，没有公共点； 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点； 在初中我们已经研究了平行直线和相交直线. 本节我们主要研究异面直线， 首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系. 回顾1：空间两直线的位置关系有哪几种？ 相交、平行、异面. 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 回顾2：在平面内，如何刻画两条相交直线的位置关系？ 在平面内，两条直线相交成四个角，通过两直线的夹角刻画位置关系。 其中不大于90°的角称为它们的夹角。 它刻画了平面中一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. 思考：参照平面直线的夹角的概念，异面直线可能存在类似的概念吗？ “异面直线所成的角” a b 观察 如图示, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗? 如果不同，如何表示这种差异呢? 不同. 可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系. 思考：如何找出异面直线的夹角？它与相交直线的夹角有什么关系？ a b a’ 我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 其中a′//a, b′//b. 空间 平面 a′ O • a′ b′ 思考：直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗？ 异面直线所成的角 知识一 无关 我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 其中a′//a, b′//b. 直线a、b所成角的大小与点O的位置无关。 异面直线所成的角 知识一 思考：异面直线所成角的取值范围是____________. (0°, 90°] 当两条直线a, b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°. 所以空间两条直线所成角α的取值范围是[0°, 90°]. 思考：空间两条直线所成角的取值范围是____________. [0°, 90°] 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b. O • α b a a′ 异面直线垂直 知识二 思考：如果空间两条直线垂直，那么它们一定相交吗？ 不一定，可能是相交垂直，还可能是异面垂直. 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.( ) 2.异面直线a与b所成角可以是0°.( ) 3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.( ) X √ X 注意： 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关. 2.当直线 a与b所成角是0°时，两直线平行，即共面. 巩固 例1.如图，已知正方体. (1)哪些棱所在直线与直线垂直？ 解：(1)棱所在直线与直线垂直. 典例 例1.如图，已知正方体. (2)求直线与所成角的大小. 解：(2)因为是正方体，所以， 因此为直线所成的角. 又因为所以直线所成的角等于45°. 典例 例1.如图，已知正方体. (3)求直线与所成角的大小. 解：(3)如图，连接.因为是正方体， 所以.从而四边形是平行四边形， 所以. 于是为异面直线所成的角. 连接，易知是等边三角形，所以. 从而异面直线与所成的角等于. || || 典例 如图,已知长方体中, (1)求和所成的角是多少度? (2)求和所成的角是多少度? 解：(1)因为是长方体，所以. 于是为异面直线所成的角. 在中，求得 练习 如图,已知长方体中, (1)求和所成的角是多少度? (2)求和所成的角是多少度? 练习 解：(2)因为是长方体，所以. 于是为异面直线所成的角. 在中，求得 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角. (2)证明角：证明找出的角就是异面直线所成的角. (3)计算角：求角度，常利用三角形. (4)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 总结 例2 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证：AO1⊥BD. B D C A1 B1 C1 D1 A O1 • 证明：如图示，连接B1D1. ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴ BB1 DD1. ∴四边形BB1D1D是平行四边形. ∴B1D1//BD . ∴直线AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角. 连接AB1，AD1，易证AB1=AD1. 又O1为底面A1B1C1D1的中心， ∴ O1是B1D1的中点， ∴ AO1⊥B1D1， ∴ AO1⊥BD. 典例 如图，在正方体中，求证：. 证明：如图，连接交于， 取的中点为，连接. ∵为中点，∴. ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证又为的中点， ∴.∴. 练习 在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角 解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB ∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角 MF=ME=2，EF= ∴MF²+ME²=EF² ∴∠EMF=90° ∴异面直线AB和CD的夹角是90°。 典例 证明空间的两条直线垂直的方法 (1)定义法：利用两条直线所成的角为证明两直线垂直. (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等. 总结 例3.如图，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小. 证法一：连接， 并设它们相交于点， 取的中点，连接，，. 典例 则. ∴为异面直线所成的角或其补角. ∵，为的中点，∴. ∴异面直线与所成角为 平移法 例3.如图，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小. 典例 证法二：如图，连接 取的中点，连接， 则且. 于是为异面直线 所成的角或其补角. 连接，设则， 取的中点，连接，则. ∴, ∴异面直线与所成角为 平移法 例3.如图，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小. 典例 证法三：如图， 分别取的中点， 连接， 且. ∴四边形为平行四边形.∴必相交. 设的交点为，因为 ∴四边形为菱形. ∴ 四边形法 例3.如图，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小. 典例 证法四：如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体， 连接，则 于是异面直线与所成的角就是异面直线所成角的角或其补角. 通过计算，不难得到：， 从而异面直线与所成的角为 补型法 构造异面直线所成角的方法有 (1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(空间问题转化为平面问题)； (2)当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点； (3)通过构造辅助平面、辅助几何来平移直线. 常见的平行关系：中位线原理、平行四边形、对应边成比例. 总结 1. 判断下列命题是否正确. (1) 如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. ( ) (2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) √ × 巩固 2.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ). A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 当两个面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面， 当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能平行相交或异面. 3. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中， (1) 与直线AB垂直的直线有_____条； (2) 与直线AB异面且垂直的直线有______条； (3) 与直线AB和A ‘D’都垂直的直线有______条； (4) 与直线AB和A 'D'都垂直且相交的直线是直线________. B D C A' B' C' D' A 8 4 4 AA′ 4.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于( ). A. B. C. D. 如图，取中点，连接、，则. 易知，相等， 则为等边三角形，则与所成的角为， 则与所成的角为. 5. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB=BB′=2. 求证：BD⊥AC′. B D C A′ B′ C′ A E • F • 证明： 如图示，取AC′的中点E，连接DE，取B′B的中点F，连接AF，EF. 6.如图所示，是圆的直径，点是弧的中点，分别是、的中点，求异面直线与所成的角. 解：∵分别是的中点，∴ 因此是异面直线与所成的角， 又因为是圆的直径，点是弧的的中点， 所以是以为直角的等腰直角三角形， 于是，故异面直线与所成的角为. 1.两条异面直线所成的角(或夹角) 异面直线所成的角的定义 已知两条异面直线经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角). 异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线与直线垂直. 记作 范围 两条异面直线所成的角的取值范围是 2.异面直线所成角的求法:一作(找)、二证、三求. 小结 课堂小结 在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°, 90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小． (1) 求异面直线所成角的基本方法： (2) 证明两条异面直线垂直的步骤： ① 恰当选点，用平移法构造出一个相交角． ② 证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． ③ 把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数． ④ 给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证． $