第25讲 与圆有关的计算（讲义）-备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第五单元 圆 第25讲 与圆有关的计算 ( 课标要求 ) 1.理解弧长计算公式的推导过程，掌握弧长公式并能熟练应用于计算； 2.理解扇形面积公式的推导过程，掌握扇形面积计算公式并能熟练应用于计算； 3.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系； 4.能运用图形割补、等积变形等方法将不规则图形转化为规则图形求面积. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 弧长、扇形的面积 ☆☆☆ 从近年各地中考来看，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难度不大。预测2025年中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目. 考点2 圆柱和圆锥 ☆☆ 考点3 正多边形 ☆☆ 考点4不规则图形的面积 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．圆的周长公式：C＝ (半径为R)． 圆的面积公式：S＝ (半径为R)． 2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝ ． 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝ ＝lR. 3．圆柱的侧面展开图是 ，这个 的长和宽分别是底面圆的 和圆柱的 ． 圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝ ；圆柱全面积公式：S圆柱全＝ (其中圆柱的底面半径为r，高为h)． 4．圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l，底面半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr． (1)圆锥的侧面积公式：S圆锥侧＝ ． (2)圆锥的全面积公式：S圆锥全＝ ． (3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝ ． 5．正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多 边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边 形的边心距．作相等的 就可以等分圆周，从而得到相应正多边形． 6．不规则图形面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有: (1)直接用公式求解. (2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解. (3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解. (4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解. ( 深度讲练 ) ■考点一　弧长、扇形的面积► ◇典例1：1．（2024•湖州一模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为π米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则长度为 　　 ． 2．（2024•长沙）半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 　　 （结果保留π）． ◆变式训练 1．（2024•西宁）如图，在△ABC中，∠A＝70°，BC＝12，D是BC的中点，分别以B，C为圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 　　 ． 2．（2025•浙江模拟）如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD（由，，，组成）是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB＝2，则封闭图形ABCD的周长是 　　 ． ■考点二 圆柱和圆锥► ◇典例2：（2024•无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π ◆变式训练 1．（2024•浙江模拟）如图，圆锥的底面半径OB为3，高AO为4，则圆锥侧面积是 　　 ． 2．（2025•裕华区一模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为8πcm，侧面积为72πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° ■考点三 正多边形► ◇典例3：（2024•呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．30° ◆变式训练 1．（2024•镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝　　 ． 2．（2024•青田县校级模拟）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，OH⊥CD于点H．则（　　） A．OH＝OC•sin36° B．OH＝OC•sin35° C．OH＝OC•cos36° D．OH＝OC•cos35° ■考点四 不规则图形的面积► ◇典例4：（2025•湖州一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD的长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． ◆变式训练 1．（2024•资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 2．（2024•钱塘区二模）如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积为 　　 .（结果保留π） ( 真题演练 ) 1．（2024•南京）如图，在正n边形中，∠1＝20°，则n的值是（　　） A．16 B．18 C．20 D．36 2．（2024•绵阳）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 3．（2024•滨江区二模）如图，折扇的骨柄OA长为7，折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•平湖市模拟）如图，矩形ABCD内接于，则弧AB的长为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•玉环市三模）把一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4πcm的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是______cm2．（　　） A．8π B．9π C．19π D．27π 6．（2025•钢城区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 7．（2024•鹿城区校级三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•富阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，连接OD，AD，则图中阴影部分面积为（　　） A．16π﹣32 B．8π﹣16 C．4π﹣8 D．4π﹣4 9．（2024•义乌市模拟）如图，点B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE的长为，∠C＝90°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．（2024•南湖区校级一模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A′B恰好经过点O，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 11．（2024•巧家县二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是11cm，底面圆的直径是8cm，则这个笔筒的侧面积为 　　 cm2（结果保留π）． 12．（2024•通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 　　 cm2（结果用含π的式子表示）． 13．（2025•湖州一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝　　 °． 14．（2024•义乌市二模）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 　　 cm． 15．（2024•鄞州区一模）如图，工人师傅需要按照中心线计算圆弧形弯管的“展直长度”再下料，根据图中的数据可得直管与弯管的总长度是 　 　 .（π取3.14，结果精确到1cm） 16．（2024•东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 　 　 ． 17．（2024•城厢区校级一模）（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若以AB为直径的圆上与AC、BC相交于点E、F，若AD＝2，且∠ACB＝75°，求弧AE的长 　　 ． 18．（2025•钱塘区一模）如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长． 19．（2024•潍坊模拟）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：　 　 ． 20．（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　 ； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 21．（2024•江夏区模拟）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，⊙O交边BC于点D，延长CA交⊙O于点E，连接DE交AB于点F，且DE＝DC． （1）求证：BD＝CD； （2）若EF＝DF＝3，求图中阴影部分的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第五单元 圆 第25讲 与圆有关的计算 ( 课标要求 ) 1.理解弧长计算公式的推导过程，掌握弧长公式并能熟练应用于计算； 2.理解扇形面积公式的推导过程，掌握扇形面积计算公式并能熟练应用于计算； 3.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系； 4.能运用图形割补、等积变形等方法将不规则图形转化为规则图形求面积. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 弧长、扇形的面积 ☆☆☆ 从近年各地中考来看，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难度不大。预测2025年中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目. 考点2 圆柱和圆锥 ☆☆ 考点3 正多边形 ☆☆ 考点4不规则图形的面积 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．圆的周长公式：C＝2πR(半径为R)． 圆的面积公式：S＝πR2(半径为R)． 2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR. 3．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长和宽分别是底面圆的周长和圆柱的高． 圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝2πrh；圆柱全面积公式：S圆柱全＝2πrh＋2πr2(其中圆柱的底面半径为r，高为h)． 4．圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l，底面半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr． (1)圆锥的侧面积公式：S圆锥侧＝πrl． (2)圆锥的全面积公式：S圆锥全＝πr2＋πrl． (3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝·360°． 5．正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多 边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边 形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形． 6．不规则图形面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有: (1)直接用公式求解. (2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解. (3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解. (4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解. ( 深度讲练 ) ■考点一　弧长、扇形的面积► ◇典例1：1．（2024•湖州一模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为π米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则长度为 　π米　 ． 【思路点拨】由弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），即可计算． 【解析】解：∵圆心角∠AOD＝60°， ∴的长＝＝π， ∴OA＝1米， ∴OB＝OA+AB＝1+0.8＝1.8（米）， ∴的长＝＝π（米）， 故答案为：π米． 【点睛】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 2．（2024•长沙）半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 　4π　 （结果保留π）． 【思路点拨】利用扇形面积公式求解． 【解析】解：扇形的面积＝＝4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝． ◆变式训练 1．（2024•西宁）如图，在△ABC中，∠A＝70°，BC＝12，D是BC的中点，分别以B，C为圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 　11π　 ． 【思路点拨】阴影部分的面积等于两个扇形的面积的和，根据扇形的面积公式计算即可． 【解析】解：∵∠A＝70°， ∴∠B+∠C＝110°， ∵BC＝12，D是BC的中点， ∴BD＝CD＝6， ∴图中阴影部分的面积是＝11π． 故答案为：11π． 【点睛】此题主要考查了扇形面积的计算，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 2．（2025•浙江模拟）如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD（由，，，组成）是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB＝2，则封闭图形ABCD的周长是 　π　 ． 【思路点拨】连接AD、CD，如图，先根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，则根据圆心角、弧、弦的关系得到＝＝，再利用画法得到AD＝CD＝AC，所以＝＝，所以封闭图形ABCD的周长＝4×的长，然后根据弧长公式计算即可． 【解析】解：连接AD、CD，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴＝＝， ∵AD＝CD＝AC， ∴＝＝， ∴＝＝＝， ∴封闭图形ABCD的周长＝4×的长＝4×＝π． 故答案为：π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，弧长公式：l＝（其中n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了等边三角形的性质． ■考点二 圆柱和圆锥► ◇典例2：（2024•无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 【思路点拨】根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【解析】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式． ◆变式训练 1．（2024•浙江模拟）如图，圆锥的底面半径OB为3，高AO为4，则圆锥侧面积是 　15π　 ． 【思路点拨】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【解析】解：由勾股定理得：母线l＝＝5， ∴S侧＝•2πr•l＝πrl＝π×3×5＝15π． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 2．（2025•裕华区一模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为8πcm，侧面积为72πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【思路点拨】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【解析】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为8π cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8π cm， 由题意得：， 解得， 扇形的圆心角为80°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，关键是圆锥底面周长和侧面积公式的应用． ■考点三 正多边形► ◇典例3：（2024•呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．30° 【思路点拨】根据正五边形、正方形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【解析】解：如图，连接OG，OF，OD，OE，DF，连接AC，则AC是正五边形CEFGH，正方形ABCD的对称轴， ∴∠AOD＝＝90°，∠FOG＝∠EOF＝＝72°， ∵AC是正五边形CEFGH的对称轴， ∴∠AOG＝∠AOF＝∠FOG＝36°， ∴∠DOF＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DOE＝72°﹣54°＝18°， ∴∠AMF＝∠MFD+∠MDF ＝∠DOE+∠AOF ＝×18°+×36° ＝9°+18° ＝27°． 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正五边形、正方形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． ◆变式训练 1．（2024•镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝　10　 ． 【思路点拨】由圆周角定理得∠AOB＝36°，再根据正n边形的边数n＝360°÷中心角，即可得出结论． 【解析】解：∵∠ACB＝18°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝2×18°＝36°， ∴n＝360°÷36°＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键． 2．（2024•青田县校级模拟）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，OH⊥CD于点H．则（　　） A．OH＝OC•sin36° B．OH＝OC•sin35° C．OH＝OC•cos36° D．OH＝OC•cos35° 【思路点拨】连接OD，则OD＝OC，∠COD＝×360°＝72°，由OH⊥CD于点H，根据等腰三角形的“三线合一”得∠COH＝∠COD＝36°，则＝cos36°，所以OH＝OC•cos36°，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接OD， ∵点O是正五边形ABCDE的中心， ∴OD＝OC，∠COD＝×360°＝72°， ∵OH⊥CD于点H， ∴∠OHC＝90°，∠COH＝∠DOH＝∠COD＝×72°＝36°， ∵＝cos∠COH＝cos36°， ∴OH＝OC•cos36°， 故选：C． 【点睛】此题重点考查正多边形与圆、正多边形的中心角、等腰三角形的“三线合一”、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解是的关键． ■考点四 不规则图形的面积► ◇典例4：（2025•湖州一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD的长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】连接OD、BD，易证得OB＝OD＝BD＝2，即可得到∠BOD＝60°，求得，然后根据S阴影＝S扇形CDE+S△COD﹣S扇形BOD求得即可． 【解析】解：连接OD、BD， ∵过OB的中点C作于点D， ∴OD＝BD， ∵OB＝OD， ∴OB＝OD＝BD＝2， ∴∠BOD＝60°， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，掌握扇形面积的计算是解题的关键． ◆变式训练 1．（2024•资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【思路点拨】如图，连接AF、EF、由题意易知△AEF是等边三角形，根据S阴＝S半圆﹣S扇形AEF﹣S弓形AF计算即可解决问题． 【解析】解：如图，连接AF、EF． 由题意易知△AEF是等边三角形， S阴＝S半圆﹣S扇形AEF﹣S弓形AF ＝2π﹣﹣（﹣） ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型． 2．（2024•钱塘区二模）如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积为 　6﹣π　 .（结果保留π） 【思路点拨】连接OB，根据正方形的性质可得△AOB是等腰直角三角形，根据面积差可得答案． 【解析】解：如图，连接OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝∠ABD＝45°， ∵BC是直径， ∴∠COB＝90°， ∴△COB是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴OB＝OA＝2， ∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE+S扇形CBE﹣S半圆BOC+S弓形OB ＝×4×4﹣﹣×π×22+（×π×22﹣×2×2） ＝×4×4﹣2π+π﹣2 ＝8﹣π﹣2 ＝6﹣π． 故答案为：6﹣π． 【点睛】本题考查的是正方形和扇形面积计算，掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•南京）如图，在正n边形中，∠1＝20°，则n的值是（　　） A．16 B．18 C．20 D．36 【思路点拨】连接OA、OB、OC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系求出∠AOB，再根据正多边形的中心角计算即可． 【解析】解：如图，连接OA、OB、OC， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠1＝40°， ∵AB＝BC， ∴＝， ∴∠AOB＝∠BOC＝20°， 则n＝＝18， 故选：B． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，正确求出正n边形的中心角是解题的关键． 2．（2024•绵阳）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【思路点拨】依据题意，根据弧长公式进行代入计算即可得解． 【解析】解：由题意，∵弧长＝＝，且r＝2， ∴n＝120°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，解题时要能熟练掌握并能准确计算是关键． 3．（2024•滨江区二模）如图，折扇的骨柄OA长为7，折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先求出OB的长，再根据折扇的扇面面积是两个扇形面积的差即可得出结论． 【解析】解：∵折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，骨柄OA长为7， ∴AB＝7×＝4， ∴OB＝7﹣4＝3， ∴S扇面＝﹣＝π， 故选：C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 4．（2024•平湖市模拟）如图，矩形ABCD内接于，则弧AB的长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】连接AC，由∠ABC＝90°，得出AC为⊙O的直径，求出AC长可得出半径的长，最后再结合∠AOB的度数即可解决问题． 【解析】解：连接AC，OB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴AC为⊙O的直径． 在Rt△ABC中， AC＝， ∴⊙O的半径为2． 在Rt△ABC中， tan∠ACB＝， ∴∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∴弧AB的长为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算及矩形的性质，熟知矩形的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 5．（2024•玉环市三模）把一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4πcm的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是______cm2．（　　） A．8π B．9π C．19π D．27π 【思路点拨】先求出围成圆锥的扇形弧长为4πcm，已知扇形的弧长为6πcm，可知粘贴部分的弧长为2πcm，利用扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解析】解：∵圆锥的底面周长为4πcm， ∴围成圆锥的扇形弧长为4π（cm）， ∵已知扇形的弧长为＝6π（cm）， ∴粘贴部分的弧长为6π﹣4π＝2π（cm）， ∴圆锥上粘贴部分的面积是×2π×9＝9π（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥的计算和扇形面积的计算，掌握扇形面积以及弧长的计算方法是正确解答的前提． 6．（2025•钢城区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【思路点拨】连接OA、OE，则∠AOE＝×360°＝72°，由圆周角定理得∠APE＝∠AOE＝36°，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接OA、OE， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠AOE＝×360°＝72°， ∵P为上一点， ∴∠APE＝∠AOE＝×72°＝36°， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得∠AOE＝72°是解题的关键． 7．（2024•鹿城区校级三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据正六边形的性质求出∠A的度数，再由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解析】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠A＝＝120°，AB＝AF＝， ∴S阴影部分＝S扇形BAF＝＝π， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 8．（2024•富阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，连接OD，AD，则图中阴影部分面积为（　　） A．16π﹣32 B．8π﹣16 C．4π﹣8 D．4π﹣4 【思路点拨】根据勾股定理可求出BC的长，由△ABC是等腰直角三角形可得∠ABC＝45°，根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BC，由此可得△ABD是等腰直角三角形，由OA＝OB可得OD⊥AB，然后用扇形OAD的面积减去△OAD的面积即可求出阴影部分面积． 【解析】解：∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝90°， ∴BC＝＝，∠ABC＝45°， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝＝， ∵OA＝OB＝， ∴OD⊥AB，即∠AOD＝90°， ∴图中阴影部分面积为： ﹣ ＝4π﹣ ＝4π﹣8． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 9．（2024•义乌市模拟）如图，点B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE的长为，∠C＝90°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可． 【解析】解：连接BD，BE，BO，EO，设半圆O的半径为R． ∵B，E是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°， ∴∠BAC＝∠EBA＝30°， ∴BE∥AD， ∵弧BE的长为π， ∴， 解得：R＝4， ∴AB＝ADcos30°＝4， ∴BC＝AB＝2， ∴AC＝＝6， ∴S△ABC＝×BC×AC＝×2×6＝6， ∵△BOE和△ABE同底等高， ∴△BOE和△ABE面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝6﹣＝6﹣． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键． 10．（2024•南湖区校级一模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A′B恰好经过点O，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】作点O关于BC的对称点O′，连接CO′，BO′，OO′，BC与OO′交于点D，在Rt△OBD中可得∠OBC＝30°，在Rt△COB中，求得OC的长，最后根据S扇AOB﹣2S△COB进行计算即可． 【解析】解：如图所示，作点O关于BC的对称点O′，连接CO′，BO′，OO′，BC与OO′交于点D， ∵OD＝O′D＝OO′＝OB， ∴∠OBC＝30°， ∴OC＝OB＝1， ∴阴影部分的面积＝S扇AOB﹣2S△COB＝﹣2×××1＝π﹣． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、扇形的面积，将不规则图形面积转化为规则图形的面积进行计算是解题的关键． 11．（2024•巧家县二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是11cm，底面圆的直径是8cm，则这个笔筒的侧面积为 　88π　 cm2（结果保留π）． 【思路点拨】圆柱侧面积＝底面周长×高． 【解析】解：这个笔筒的侧面积为π×8×11＝88π（cm2）． 故答案为：88π． 【点睛】本题主要考查了圆柱体的侧面积的计算，熟知圆柱侧面积＝底面周长×高是解决本题的关键． 12．（2024•通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 　60π　 cm2（结果用含π的式子表示）． 【思路点拨】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2计算即可． 【解析】解：这个扇形纸片的面积是为×2π×5×12＝60π（cm2）． 故答案为：60π． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算和扇形面积的计算，熟练掌握圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2是关键． 13．（2025•湖州一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝　36　 °． 【思路点拨】根据多边形的内角和可以求得∠BAE的度数，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠BAE﹣∠COD的度数． 【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°， ∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角、等腰三角形的性质等知识，根据正多边形的中心角的定义求得∠COD＝72°是解题的关键． 14．（2024•义乌市二模）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 　3　 cm． 【思路点拨】设该圆锥底面圆的半径为r cm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可． 【解析】解：设该圆锥底面圆的半径为r， 根据题意得2πr＝，解得r＝3， 即该圆锥底面圆的半径为3cm． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15．（2024•鄞州区一模）如图，工人师傅需要按照中心线计算圆弧形弯管的“展直长度”再下料，根据图中的数据可得直管与弯管的总长度是 　297cm　 .（π取3.14，结果精确到1cm） 【思路点拨】根据弧长公式进行计算即可． 【解析】解：∴圆弧形弯管的长为＝50π≈157（cm）， ∴直管与弯管的总长度是157+70+70＝297（cm）． 故答案为：297cm． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 16．（2024•东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 　2　 ． 【思路点拨】根据正八边形的性质求出∠AOB＝45°，根据直角三角形的边角关系求出OB边上的高AM，由三角形的面积的计算方法可求出△AOB的面积，进而得到正八边形的面积即可． 【解析】解：如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M， ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB＝＝45°， 在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝45°， ∴AM＝OA＝， ∴正八边形的面积为8S△AOB＝8××1×＝2， 即可估计π的近似值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键． 17．（2024•城厢区校级一模）（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若以AB为直径的圆上与AC、BC相交于点E、F，若AD＝2，且∠ACB＝75°，求弧AE的长 　π　 ． 【思路点拨】（1）先作AB的垂直平分确定AB的中点O，再以O点为圆心，OA为半径作圆，然后作∠DAB＝∠CBA交⊙O于点D； （2）连接OD，如图2，先证明△OAD为等腰直角三角形得到∠OAD＝45°，再由（1）作法得∠ABC＝∠OAD＝45°，利用三角形内角和计算出∠BAC＝60°，则可判断△OAE为等边三角形，所以∠AOE＝60°，然后根据弧长公式计算． 【解析】解：（1）如图1，点D为所作； （2）连接OD，如图2， ∵AD＝2，OA＝OB＝AB＝， ∴OA2+OB2＝AD2， ∴△OAD为等腰直角三角形， ∴∠OAD＝45°， 由（1）作法得∠ABC＝∠OAD＝45°， ∵∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∵OA＝OE， ∴△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴弧AE的长度＝＝π． 故答案为：π． 【点睛】本题考查了弧长的计算：记住弧长公式是解决问题的关键．也考查了基本作图． 18．（2025•钱塘区一模）如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长． 【思路点拨】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到＝，进而得出＝，根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算得到答案． 【解析】（1）证明：∵AC＝BD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， ∴＝， ∴∠A＝∠D； （2）解：连接OC，OD， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠A＝∠ADE＝45°， ∴∠COD＝2∠A＝90°， ∵⊙O的半径为4， ∴的长为＝2π． 【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． 19．（2024•潍坊模拟）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：　n＝　 ． 【思路点拨】（1）先计算出底面半径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面的周长求出侧面展开图的圆心角，再根据比例关系即可求出红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）先计算出底面半径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面的周长即可得出答案． 【解析】解：（1）圆锥的底面半径为＝15（cm）， 设侧面展开图的圆心角为n°， 则＝2π×15， 解得n＝216°， ∴216°×＝24° 答：红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°； （2）∵圆锥的底面半径为， ∴＝2π， ∴n＝． 故答案为：n＝． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长． 20．（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　30°　 ； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，由直角三角形的性质得到∠CAB＝90°﹣∠B＝30°； （2）由AB＝6，得到OA＝3，由直角三角形的性质得到OE＝OA＝； （3）由△OEC≌△FEA（SAS），得到阴影的面积＝扇形OCF的面积，求出扇形OCF的面积即可． 【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠D＝60° ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°． 故答案为：30°． （2）∵AB＝6， ∴OA＝OC＝AB＝3， ∵OF⊥AC， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴OE＝OA＝1.5； （3）∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵OF＝OA， ∴△OAF是等边三角形， ∴OE＝EF，∠AOF＝60°， ∵∠CEO＝∠AEF＝90°， ∴△OEC≌△FEA（SAS）， ∴阴影的面积＝扇形OCF的面积， ∵∠B＝60°，OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝60°， ∴扇形OCF的面积＝＝． ∴阴影的面积＝． 【点睛】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，关键是证明阴影的面积＝扇形OCF的面积． 21．（2024•江夏区模拟）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，⊙O交边BC于点D，延长CA交⊙O于点E，连接DE交AB于点F，且DE＝DC． （1）求证：BD＝CD； （2）若EF＝DF＝3，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）连接AD，由DE＝DC，得∠C＝∠E，而∠B＝∠E，所以∠B＝∠C，则AB＝AC，再证明AD⊥BC，则BD＝DC； （2）连接OD，AD，根据垂径定理得AB⊥DE，则∠OFD＝90°，由△AEF∽△ODF，得＝＝1，则OF＝AF＝OA＝OD，可证明△AOD是等边三角形，则∠AOD＝60°，所以∠BOD＝120°，由FD＝OD＝3，求得OB＝OD＝2，可求得S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×2×3＝4π﹣3． 【解析】（1）证明：如图1，连接AD， ∵DE＝DC， ∴∠C＝∠E， ∵∠B＝∠E， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∴BD＝DC． （2）解：如图2，连接OD，AD，则OD＝OA， ∵AB是⊙O的直径，且EF＝FD＝3． ∴AB⊥DE， ∴∠OFD＝90°， ∴OF⊥DE，BD＝DC＝DE＝6， ∴再Rt△BDF中，sin∠DBF＝＝， ∴∠DBF＝30°＝∠ODB， ∴∠BOD＝120°， 在Rt△ABD中，cos∠ABD＝， ∴AB＝＝＝4， ∴OB＝＝2， ∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×2×3＝4π﹣3， ∴阴影部分的面积是4π﹣3． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$