专题29.1 圆的有关概念（培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦圆的有关概念这一核心知识点，系统梳理圆的基本概念（定义、弦、弧、圆心角、圆周角等）和点与圆的位置关系（点在圆上、内、外及三角形外接圆、外心），通过20个题型构建从基础辨析到综合应用的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 该资料以探究式学习引导学生用数学眼光发现问题（如轨迹探究），通过反证法、尺规作图等题型培养推理意识和几何直观，结合课后检测与复盘笔记，既辅助教师课堂教学，又帮助学生课后查漏补缺，提升应用意识和创新能力。

简一数理 初中专题讲义 专题29.1 圆的有关概念 （新教材人教版） 知识点一、圆的基本概念 2 知识点二、点与圆的位置关系 3 【题型1 圆的基本概念辨析】 4 【题型2 求圆中弦的条数】 5 【题型3 求过圆内一点的最长弦】 6 【题型4 圆的周长和面积问题】 7 【题型5 举反例】 7 【题型6 判断点和圆的位置关系】 8 【题型7 利用点与圆的位置关系求半径】 9 【题型8 已知半径和圆上两点作圆】 9 【题型9 点与圆上一点的最值问题】 11 【题型10 三角形的外接圆概念辨析】 12 【题型11 求三角形外心的坐标】 13 【题型12 求特殊三角形外接圆的半径】 14 【题型13 已知外心的位置判断三角形的形状】 14 【题型14 判断三角形外接圆圆心的位置】 15 【题型15 判断确定圆的条件】 16 【题型16 确定圆心（尺规作图）】 17 【题型17 求能确定圆的个数】 18 【题型18 画圆（尺规作图）】 19 【题型19 反证法证明中的假设】 20 【题型20 用反证法证明命题】 21 【探究式学习】 22 【课后检测】 26 【复盘笔记】 32 知识点一、圆的基本概念 定 义 示例剖析 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 表示为“” 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 表示：劣弧 优弧或 圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 知识点二、点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系有三种： 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外； 点在圆上； 点在圆内. 2．三角形的外接圆 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． （2）外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 注意： （1）外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部． （2）外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 【题型1 圆的基本概念辨析】 【例1】下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 求圆中弦的条数】 【例2】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式2-1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2-3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3 求过圆内一点的最长弦】 【例3】如图，的半径，是半径上一点（不与点重合），过点作弦，沿把翻折得到，连接、，当弦的长是整数时，的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知的半径为，则中弦的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是（    ）    A．6 B．12 C． D． 【题型4 圆的周长和面积问题】 【例4】我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【变式4-2】小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【变式4-3】如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子周长为（   ） A． B． C． D． 【题型5 举反例】 【例5】对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【变式5-2】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【变式5-3】下列命题为真命题的是（     ） ①若，则；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 【题型6 判断点和圆的位置关系】 【例6】在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【变式6-1】点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是的弦，于点C，，，点P为所在平面内一点，且，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【变式6-3】在中，，D为BC边上的中点，以D为圆心，为半径作，则点A与的位置关系为（） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【题型7 利用点与圆的位置关系求半径】 【例7】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【变式7-1】平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式7-2】取一个小球后不再放回，记录标有的数字为x，再从袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，组成点M的坐标，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，2为半径作，则过点能作的切线的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【题型8 已知半径和圆上两点作圆】 【例8】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式8-1】一个不透明布袋中装有3个形状质地相同的小球，分别标有数字0，，2．现从袋中随机抽已知：如图，，B为上的一个定点．若点P在射线上，以P为圆心，为半径的圆与射线的另一个交点为C．请确定的位置，使恰与相切． (1)画出；（不要求尺规作图，不要求写画法） (2)连接、并填空： ①________． ②比较大小：________．（用“>”、“<”或“=”连接） 【变式8-2】如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【变式8-3】点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 【题型9 点与圆上一点的最值问题】 【例9】如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式9-1】如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【变式9-2】如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 【变式9-3】如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【题型10 三角形的外接圆概念辨析】 【例10】如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【变式10-1】如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【变式10-3】以下说法错误的是（   ） A．三角形的外心到三角形各边的距离相等 B．由平行光线形成的投影叫做平行投影 C．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影 D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【题型11 求三角形外心的坐标】 【例11】如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上 【变式11-3】．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【题型12 求特殊三角形外接圆的半径】 【例12】．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【变式12-1】如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【变式12-3】在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型13 已知外心的位置判断三角形的形状】 【例13】已知：如图，在中，边、的垂直平分线交于点．则下列结论一定成立的有（   ）个． ①．②点在的垂直平分线上．③④⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式13-3】如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型14 判断三角形外接圆圆心的位置】 【例14】下列判断正确的是（     ） A．命题“如果，那么”是真命题 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．的立方根是 【变式14-1】如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式14-2】如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分．已知小正方形的边长为1，则图中圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（　　）    A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 【题型15 判断确定圆的条件】 【例15】下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式15-1】在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式15-2】下列说法不正确的是（  ） A．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 【变式15-3】下列命题错误的是（    ） A．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【题型16 确定圆心（尺规作图）】 【例16】如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【变式16-1】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【变式16-2】如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式16-3】大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． (1)在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若已知摩天轮的半径为，拱门下端为．求扇形的面积． 【题型17 求能确定圆的个数】 【例17】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【变式17-2】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【变式17-3】已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【题型18 画圆（尺规作图）】 【例18】某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【变式18-1】如图，已知，请用尺规作图法作，使与直线 相切且圆心在射线上．(保留作图痕迹，不写作法) 【变式18-2】如图，中，，的直径在上，与相切于点． (1)用尺规作图作交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【变式18-3】．如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 【题型19 反证法证明中的假设】 【例19】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，顶点，点在线段上，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式19-1】用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【变式19-2】下列说法中，错误的是（    ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是六边形 C．若，则是直角三角形 D．“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题是假命题 【变式19-3】下列说法不正确的是（     ） A．平行四边形是中心对称图形 B．“直角三角形两个锐角的和等于”的逆命题是真命题 C．等腰三角形两腰上的中线相等 D．用反证法证明“”时，应假设“” 【题型20 用反证法证明命题】 【例20】某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 【变式20-1】用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 【变式20-2】设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【变式20-3】用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．【问题原型】如图①，在中，，，．点是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】 如图②，小明发现点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆的一部分，因为，所以点的变化会导致点的变化，于是将问题进一步转化为探究点的轨迹问题：小明过点作，使点和点在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点和点均为定点，可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 … 又，， ， ． (1)请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】 (2)在图③中，点是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 2．在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 小明将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为__________． (2)深入探究 小明在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若，． 探究一：当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点H，连接，如图③．求线段长度的最大值和最小值． 3．数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ，J ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 【课后检测】 1．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．如图，已知线段，以点为圆心，长为半径作，交线段的延长线于点，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线，交于点、，连结、、、，、若，则四边形的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 3．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（     ） A．三角形中最小的锐角不能大于 B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角和 C．在同圆中任意两条直径都互相平分 D．等圆的半径相等 5．用反证法证明“都是正数，且，那么这五个数中至少有一个大于或等于．”时，应先假设（    ） A．这五个数都小于 B．这五个数中至少有一个小于或等于 C．这五个数都大于 D．这五个数中至少有一个大于或等于 6．下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．在一个圆中，直径大于任意一条不经过圆心的弦 D．在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 7．下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 8．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 9．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆W的面积为__，第n个半圆的面积为________． 10．如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 11．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 12．试着用反证法证明勾股定理的逆定理． 13．如图，点是半圆的圆心，是半圆的直径，请用尺规作图法分别在半圆上取点和点（点在点右侧），连接、、，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 14．[教材呈现] 如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [问题解决] (1)如图1求证：四边形是矩形． [结论应用] (2)如图①，是的两条直径（圆的半径都相等），四边形是矩形吗？（只需要回答“是”或“不是”，不需要证明） [发现结论] (3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为_____； 15．根据题意，完成下列各题 (1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） (2)在中，若，求证：． 16．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【复盘笔记】 第 2 页 共 82 页 第 1 页 共 82 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题29.1 圆的有关概念 （新教材人教版） 知识点一、圆的基本概念 2 知识点二、点与圆的位置关系 3 【题型1 圆的基本概念辨析】 4 【题型2 求圆中弦的条数】 6 【题型3 求过圆内一点的最长弦】 8 【题型4 圆的周长和面积问题】 10 【题型5 举反例】 13 【题型6 判断点和圆的位置关系】 15 【题型7 利用点与圆的位置关系求半径】 17 【题型8 已知半径和圆上两点作圆】 19 【题型9 点与圆上一点的最值问题】 26 【题型10 三角形的外接圆概念辨析】 30 【题型11 求三角形外心的坐标】 33 【题型12 求特殊三角形外接圆的半径】 37 【题型13 已知外心的位置判断三角形的形状】 40 【题型14 判断三角形外接圆圆心的位置】 45 【题型15 判断确定圆的条件】 47 【题型16 确定圆心（尺规作图）】 49 【题型17 求能确定圆的个数】 53 【题型18 画圆（尺规作图）】 55 【题型19 反证法证明中的假设】 58 【题型20 用反证法证明命题】 61 【探究式学习】 62 【课后检测】 70 【复盘笔记】 82 知识点一、圆的基本概念 定 义 示例剖析 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 表示为“” 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 表示：劣弧 优弧或 圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 知识点二、点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系有三种： 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外； 点在圆上； 点在圆内. 2．三角形的外接圆 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． （2）外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 注意： （1）外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部． （2）外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 【题型1 圆的基本概念辨析】 【例1】下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 【变式1-1】如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 【变式1-2】如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由得，由，根据两直线平行，内错角相等得，再由求出，然后根据即可求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 【题型2 求圆中弦的条数】 【例2】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式2-1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【变式2-2】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 【变式2-3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 【题型3 求过圆内一点的最长弦】 【例3】如图，的半径，是半径上一点（不与点重合），过点作弦，沿把翻折得到，连接、，当弦的长是整数时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念，等边三角形的判定和性质，弧长公式，掌握弧长公式是解题关键．根据不过原点的弦小于直径，得到，再根据弦的长是整数，得到，则是等边三角形，得到，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的半径， ， 是半径上一点（不与点重合）， ， 弦的长是整数， 弦， 是等边三角形， ， 的长， 的长为， 故选：B 【变式3-1】已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为， ∴， ∴D不符合题意． 故选：D． 【变式3-2】已知的半径为，则中弦的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据直径是圆的最大的弦解答，即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∴中弦的长度小于等于， 故选：D． 【变式3-3】如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是（    ）    A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，作于H．首先求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题； 【详解】解：连接、、，作于H．    ∵， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点，，P分别是，，的中点． ∴，，， ∴，， 当是直径时，的值最大，最大值为6， ∴的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型4 圆的周长和面积问题】 【例4】我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 【变式4-1】如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 【变式4-2】小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 【变式4-3】如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，设半径为，在中，根据勾股定理，得到，即，解得，则该桨轮船的轮子周长为，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， ∴该桨轮船的轮子周长为． 故选D． 【题型5 举反例】 【例5】对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且． 选项A中，选项B中，均不满足，排除； 选项C中，，满足逆命题结论，不是反例，排除； 选项D中，，不满足逆命题结论，是反例． 【变式5-1】对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心， 不同类型三角形外心的位置规律为：锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心为斜边中点，在三角形的边上， 钝角三角形的外心在三角形外部， 本题选项中只有直角三角形的外心不在三角形内部，可以作为说明原命题是假命题的反例，因此D符合题意． 【变式5-2】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【答案】B 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，且，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，且，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意． 【变式5-3】下列命题为真命题的是（     ） ①若，则；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 【答案】B 【详解】解：逐个判断命题： ①若，则，例如，满足但，①是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题； ③末尾数字是5的整数可表示为 ，其中为整数，该数是5的倍数，能被5整除，③是真命题； ④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题； ⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，⑤是假命题； 综上真命题为③④． 【题型6 判断点和圆的位置关系】 【例6】在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【变式6-1】点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟知当该点在圆内时，半径大于点到圆心的距离是解题的关键．根据点与圆的位置关系即可作答． 【详解】解：点在内，的半径为， ， 只有不符合题意， 故选：B． 【变式6-2】如图，是的弦，于点C，，，点P为所在平面内一点，且，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系；根据垂径定理可得，由含角的直角三角形的性质，可得，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x，进而求出圆的半径，即可求解． 【详解】解：∵于点C，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， 在中， 根据勾股定理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴半径为2， ∵，且， ∴点P在外， 故选：B． 【变式6-3】在中，，D为BC边上的中点，以D为圆心，为半径作，则点A与的位置关系为（） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判断方法，关键在于比较点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系．由于已知中，D是边上的中点，且以D为圆心，为半径作圆，因此需要判断点A到点D的距离与半径的大小关系，从而确定点A在圆内、圆上或圆外． 【详解】是的中点，是以为直径的圆． 当时，即， 点A在以为直径的圆的内部． 故选A 【题型7 利用点与圆的位置关系求半径】 【例7】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 【变式7-1】平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 【变式7-2】取一个小球后不再放回，记录标有的数字为x，再从袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，组成点M的坐标，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，2为半径作，则过点能作的切线的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，切线的定义，列举法求解概率，两点间的距离公式，列举出点M的所有坐标，根据切线的定义可推出点M到原点的距离要大于或等于2，则由两点间的距离公式得到，据此确定符合题意的点M的坐标，最后依据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，点M的坐标有， ∵过点能作的切线， ∴点M一定不能在圆内，即点M要在圆上或圆外， ∴点M到原点的距离要大于或等于2， ∴， ∵，， ∴满足题意的点M的坐标有， ∴过点能作的切线的概率是， 故选：C． 【变式7-3】已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 【题型8 已知半径和圆上两点作圆】 【例8】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 【变式8-1】一个不透明布袋中装有3个形状质地相同的小球，分别标有数字0，，2．现从袋中随机抽已知：如图，，B为上的一个定点．若点P在射线上，以P为圆心，为半径的圆与射线的另一个交点为C．请确定的位置，使恰与相切． (1)画出；（不要求尺规作图，不要求写画法） (2)连接、并填空： ①________． ②比较大小：________．（用“>”、“<”或“=”连接） 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）过点作于点，取的中点，以点为圆心，为半径画圆即可； （2）由，，即可得的度数； 过点作圆的另外一条切线，切点为，根据切线长定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∴． 如图，过点作圆的另外一条切线，切点为， ∵，， ∴． 【变式8-2】如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式8-3】点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 【答案】（1），；（2）；（3）OC的最小值为或，△ABC的周长为 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，从而求得OC的最大值； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证，从而求得OC的最小值； （3）分别以为顶角进行讨论，按照上述方法求证，从而求得OC的最小值，过点作于点，根据勾股定理求得长度，从而求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）根据上下文题意可得： ∴ ∴ （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′ 由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，为等腰直角三角形 ∴ 又∵四边形为正方形 ∴ ∴ 在△OBA和△O′BC中， ∴（SAS） ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 （3）以为顶点，构建等腰三角形，将线段OB绕点B顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，CO′，过点作于点，如下图： 由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，为等腰三角形 在中，，，∴ ∴， ∴ 由（2）可得 ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 又∵，在线段上 ∴ ∴ ∴ 的周长为 以为顶点，构建等腰三角形，将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，如下图： 由旋转的性质得：，，为等腰三角形 ∴ 由（2）可得 ∴ 在中， ∴当点在线段上时，最小 ∴点与点重合， 的周长为 【点睛】此题主要考查了旋转、圆、三角形、正方形等有关性质，充分理解题意并熟练掌握有关性质是解题的关键． 【题型9 点与圆上一点的最值问题】 【例9】如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 【变式9-1】如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 【变式9-2】如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质求出的长；取的中点 ，过点 作 于点 ，设 ，，利用勾股定理推导与的数量关系，从而确定点的轨迹是以为圆心、为半径的圆；最后根据点与圆心的位置关系，求出的最小值. 【详解】解：在 中，，，， . 平分， ∴点到的距离和点到的距离相等，均为的长， ， ， ， 取的中点，连接， ， 过点作于点，设，， 在 和 中， ， ， ， 在 中，， ， ， ，解得. 点在以为圆心，为半径的圆上. ，，且点在上， 点在之间，， ∵点在 内部（）， 当点位于线段的延长线与圆的交点处时， 取得最小值， ∴. 【变式9-3】如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 【题型10 三角形的外接圆概念辨析】 【例10】如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 【变式10-1】如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10-2】下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， 【变式10-3】以下说法错误的是（   ） A．三角形的外心到三角形各边的距离相等 B．由平行光线形成的投影叫做平行投影 C．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影 D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【答案】A 【分析】本题考查三角形外心性质、平行投影与中心投影的定义、切线长定理，需逐一辨析各选项的正误 【详解】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，到各边距离相等的是三角形的内心（角平分线交点），选项A说法错误； B．平行投影的定义是由平行光线形成的投影，选项B说法正确； C．中心投影的定义是由同一点发出的光线形成的投影，选项C说法正确； D．根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，选项D说法正确． 故选A． 【题型11 求三角形外心的坐标】 【例11】如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 【变式11-1】如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可． 【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，垂足分别为，相交于点， 则点为圆弧所在圆的圆心， , ， ， 故选项B正确， 连接， ， 这条圆弧所在圆的半径为， 故选项A正确， 连接， ， 点在这条圆弧所在圆上， 故选项C正确， ， ， ， 点在这条圆弧所在圆外， 故选项D错误， 故选： D． 【变式11-3】．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 【题型12 求特殊三角形外接圆的半径】 【例12】．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 【变式12-1】如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 【变式12-2】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【变式12-3】在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，则为的直径，根据是的外接圆，且点H为中点，证明是等边三角形，求出，设的半径为x，则，，在中，利用勾股定理求出，进而得到，根据三角形三边关系得到当点A，Q重合时，即点重合，有最大值，最大值为的长，即可解答． 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接， 则为的直径， 是的外接圆，且点H为中点， ，， ， 四边形是内接四边形，且， ， 是等边三角形， ， ， 设的半径为x，则，， 在中，，即， 解得：， ， ， ， 当点A，Q重合时，此时点重合，最大，最大值为的长， 此时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，垂径定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用三角形三边关系找到中边上高的最大值是解题的关键． 【题型13 已知外心的位置判断三角形的形状】 【例13】已知：如图，在中，边、的垂直平分线交于点．则下列结论一定成立的有（   ）个． ①．②点在的垂直平分线上．③④⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的判定定理、外心的概念判断即可． 【详解】解：边、的垂直平分线交于点， ，①正确； ， 点在的垂直平分线上，②正确； 边、的垂直平分线交于点， 点是的外心， ，③正确； 不一定等于，④错误； 不一定是的平分线， 不一定等于，⑤错误； 故选：B． 【变式13-1】如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】B 【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积． 【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE， ∵点E是△ABC的外心， ∴AE=BE=CE， ∴△ABE，△ACE是等腰三角形， ∵点P、Q分别是AB、AC的中点， ∴PE⊥AB，QE⊥AC， ∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC， ∴AF=BF=10， AD=CD=8， 在△ADF中，∵， ∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°， ∴S△ABC= ， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形． 【变式13-2】如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据作图得出平分，平分，进而得到平分，根据三角形外心得出，结合等腰三角形性质求出，利用三角形内角和定理即可求出最后结果． 【详解】解：如图，连接，， 根据作图可知，平分，平分， 平分， ， ， 点E是的外心， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 【变式13-3】如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．利用证明，推出，证明是等边三角形；利用三角形的外角性质求得，可证明；利用勾股定理求得，求得；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形且边长为1， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 设的外心为， ∵是等边三角形， ∴点也是的内心，作于点，于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，同理，则， ∴的外心与的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【题型14 判断三角形外接圆圆心的位置】 【例14】下列判断正确的是（     ） A．命题“如果，那么”是真命题 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，用到平方的性质、矩形的判定、三角形外心的性质和立方根的定义，逐一判断各选项即可得出结论； 【详解】解： 可得 或 ，举反例：时，满足 ，但 ，该命题是假命题，A错误； 只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的任意四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形， B错误； 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心， C错误； ， 的立方根是 ，D正确； 【变式14-1】如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 【变式14-2】如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分．已知小正方形的边长为1，则图中圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定圆心O，连接，根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，从而可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：分别作，的垂直平分线相交于点O，则点O是外接圆的圆心，连接． 由题意得：，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴图中圆弧的长度为：． 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算，勾股定理及其逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式14-3】船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（　　）    A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 【答案】B 【分析】先利用格点找出的外接圆的圆心，再判断哪个点在的外接圆上即可． 【详解】解：如图，    由网格可知，点O是和垂直平分线的交点， 即点O是的外接圆的圆心， ， 点M在的外接圆上， ， 船处于位置B时，也一定无触礁危险， 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等． 【题型15 判断确定圆的条件】 【例15】下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及其推论．根据相关性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①过三点不一定可以作圆（三点共线时不能），故说法错误； ②相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，故说法错误； ③垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理），故说法正确； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分但不垂直），故说法错误． ∴ 正确的只有1个． 故选：A． 【变式15-1】在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 【变式15-2】下列说法不正确的是（  ） A．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦心距、确定圆的条件、对称性和垂径定理．根据弧、弦、圆心角、弦心距之间关系，确定圆的条件，圆的轴对称性，垂径定理逐一判断即可． 【详解】解：A．弦心距与圆的大小有关，不同圆中弦长相等时弦心距可能不相等，故原说法正确； B．不共线的三点确定一个圆，故原说法正确； C．圆关于任意直径所在的直线对称，故原说法正确； D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确． 故选：A． 【变式15-3】下列命题错误的是（    ） A．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件、三角形外心的性质、切线的性质、垂径定理的推论逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，命题正确，故选项不符合题意； B. 三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，命题正确，故选项不符合题意； C. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，命题正确，故选项不符合题意； D. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，命题错误，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质，切线的性质，垂径定理的推论等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 【题型16 确定圆心（尺规作图）】 【例16】如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】证明O为的两边中垂线的交点，判断甲，根据的圆周角所对的弦是直径判断乙，从而可得答案． 【详解】解：甲，∵矩形ABCD，E为AB的中点， ∴AE=EB，∠A=∠B=，AD=BC， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴ED=EC， ∴△DEC为等腰三角形， ∵射线L为∠DEC的角平分线， ∴射线L为线段CD的中垂线， ∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心， ∴O为此圆圆心． 乙，∵∠ADC=，∠DCB=， ∴PC、QD为此圆直径， ∴PC与DQ的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的是确定圆的条件，涉及到矩形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键． 【变式16-1】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 【变式16-2】如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 【变式16-3】大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． (1)在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若已知摩天轮的半径为，拱门下端为．求扇形的面积． 【答案】(1)如图，点O即为所求 (2) 【分析】（1）在圆弧上任取一点，作和的垂直平分线，交点即可为圆心O； （2）证明为等边三角形，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接及， ， ， 为等边三角形， ， ． 【题型17 求能确定圆的个数】 【例17】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【变式17-1】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 【变式17-2】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 【变式17-3】已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 【题型18 画圆（尺规作图）】 【例18】某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】 【分析】根据作图步骤可得为直径，由直径所对的圆周角为直角可得，，进而即可得解． 【详解】略 【变式18-1】如图，已知，请用尺规作图法作，使与直线 相切且圆心在射线上．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【分析】根据切线的性质，作点到直线的垂线即可． 【详解】解：如图，为所求．   【变式18-2】如图，中，，的直径在上，与相切于点． (1)用尺规作图作交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）尺规作图，作出，交于点，连接，即可解答； （2）连接，交于点，先推导出，得到，则，，进而推导出，且，可得到，证明四边形是平行四边形，再根据，得到四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，，点E即为所求； 理由如下： ∵， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接，交于点， 与相切于点， ， ， ， ， ∴，， 为的直径， ，且， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【变式18-3】．如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 【答案】(1) 如图所示即为所求. (2) 【分析】（1）先作的垂直平分线，找到圆心，然后画圆即可； （2）连接，根据求解即可. 【详解】（1）解：作 的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆， 如图所示即为所求. （2）解：设与的另一个交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 【题型19 反证法证明中的假设】 【例19】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，顶点，点在线段上，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质，结合，，点在线段上，求出，再根据假设法把分别代入A、B、C、D各选项的解析式验证，看是否满足直线经过点，满足的正确，反之错误. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，点在线段上， ∴，， ∴， A.假设直线的函数表达式是， 当时， ，与直线经过点矛盾，故A错误. B.假设直线的函数表达式是, 当时， ，与直线经过点矛盾，故B错误. C. 假设直线的函数表达式是， 当时， ，与直线经过点相符，故C正确. D.假设直线的函数表达式是， 当时， ，与直线经过点矛盾，故D错误. 【变式19-1】用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 【变式19-2】下列说法中，错误的是（    ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是六边形 C．若，则是直角三角形 D．“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题是假命题 【答案】D 【分析】利用反证法、多边形外角和、三角形内角和以及命题逆命题的相关知识，只需逐个判断选项正误，找出错误说法即可． 【详解】A项：反证法证明命题时，需假设原结论不成立，原结论为，其否定为，A说法正确； B项：任意多边形的外角和为，所以该多边形的边数为，是六边形，B说法正确； C项：中，内角和为，即，由于，则，得，是直角三角形，C说法正确； D项：原命题“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题是“全等三角形的面积相等”，该逆命题是真命题，D说法错误． 【变式19-3】下列说法不正确的是（     ） A．平行四边形是中心对称图形 B．“直角三角形两个锐角的和等于”的逆命题是真命题 C．等腰三角形两腰上的中线相等 D．用反证法证明“”时，应假设“” 【答案】D 【详解】解：选项A：平行四边形绕对角线交点旋转可与自身重合，是中心对称图形，故A说法正确； 选项B：原命题的逆命题为“若一个三角形两个锐角的和等于 则这个三角形是直角三角形”， ∵三角形内角和为， ∴第三个角为，该三角形是直角三角形；逆命题为真命题，故B说法正确； 选项C：等腰三角形两腰相等，则两腰的一半也相等，再结合顶角相等，可通过证明全等，得到两腰上的中线相等，故C说法正确； 选项D：反证法证明时，应假设原结论不成立，的否定是，不是，故D说法不正确. 【题型20 用反证法证明命题】 【例20】某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 【答案】B 【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 【变式20-1】用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反证法先假设原结论不成立，经过推导推出矛盾，即可证明原结论成立． 【详解】解：∵假设，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得， ∴该结论与原命题已知条件相矛盾， 因此矛盾对应的选项为． 【变式20-2】设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 【变式20-3】用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B＜90°”时，应假设若AB=AC，则∠B≥90°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【探究式学习】 1．【问题原型】如图①，在中，，，．点是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】 如图②，小明发现点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆的一部分，因为，所以点的变化会导致点的变化，于是将问题进一步转化为探究点的轨迹问题：小明过点作，使点和点在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点和点均为定点，可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 … 又，， ， ． (1)请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】 (2)在图③中，点是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 【答案】(1)∴； ∵， ∴， ∴； (2)作图如下： 的最小值为 【分析】（1）由证明过程知，只要补充即可；由辅助线作法知，再由已知得，则有，由此即可完成补充证明； （2）以O为圆心，为半径作；连接，则当点D在线段上时，最小，利用勾股定理求出的长，即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． ∴； ∵， ∴， ∴； 又，， ， ． （2）解：以O为圆心，为半径作； 连接，，则， ∴当点D在线段上时，最小，最小值为， ∵在中，， ， ∴ 即的最小值为． 2．在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 小明将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为__________． (2)深入探究 小明在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若，． 探究一：当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点H，连接，如图③．求线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)探究一：10；探究二：线段长度的最大值为，最小值为 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值． 【详解】（1）解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， ，．， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）探究一：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，，     是的中点， ，且， ， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 点在以为直径的圆上， 设的中点为， ， 的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 3．数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ，J ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：在上，证明如下： ∵，为的中点， ∴， ∴在上； 拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆， （2）； （3）； 【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案； 探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案； 拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）结合矩形性质与勾股定理计算即可； （3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可. 【详解】解：探究一： 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边． 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：略 拓展应用：（1）略 （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键. 【课后检测】 1．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】甲的作法：先连接，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断甲的作法正确；乙的作法：先连接，再利用中点的性质和作法得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断乙的作法正确． 【详解】解：甲的作法： 如图，连接， ， ． 点O为中点， ， 点O是的外心， 甲的作法正确； 乙的作法： 如图，连接， 点O为中点， ． 由作法可知，， ， 点O是的外心， 乙的作法正确． 2．如图，已知线段，以点为圆心，长为半径作，交线段的延长线于点，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线，交于点、，连结、、、，、若，则四边形的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知垂直平分，结合圆的性质可知、为互相垂直的直径，利用对角线互相垂直的四边形面积公式求解． 【详解】解：由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线． 点为的圆心，点、在上 为的直径，为中点 直线过点，且 点、在上 为的直径 ． 3．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点与圆位置关系得到，结合数轴距离写出，解不等式得到的取值区间，估算值后求解即可． 【详解】解：∵点B在外， ∴． ∵点A、B在数轴上，分别表示和， ∴． ∴． ∴或． ∵， ∴，， ∴的值可能是． 4．下列说法错误的是（     ） A．三角形中最小的锐角不能大于 B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角和 C．在同圆中任意两条直径都互相平分 D．等圆的半径相等 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质和圆的基础概念逐一判断各选项的正误即可找出错误说法． 【详解】解：A、三角形的内角和为，若最小锐角大于，则三个内角和一定大于，不符合三角形内角和定理，因此A说法正确； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并非等于这个三角形任意两个内角的和，因此B说法错误； C、同圆中所有直径都过圆心，圆心是任意两条直径的公共中点，因此任意两条直径互相平分，C说法正确； D、等圆是能够完全重合的圆，因此等圆的半径相等，D说法正确． 5．用反证法证明“都是正数，且，那么这五个数中至少有一个大于或等于．”时，应先假设（    ） A．这五个数都小于 B．这五个数中至少有一个小于或等于 C．这五个数都大于 D．这五个数中至少有一个大于或等于 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需先假设原结论不成立，找出原结论的反面情况即可得到答案． 【详解】解：∵反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，原结论为“这五个数中至少有一个大于或等于”，“至少有一个满足条件”的反面是“全部都不满足条件”， ∴原结论的反面为“这五个数都小于”． 6．下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．在一个圆中，直径大于任意一条不经过圆心的弦 D．在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 【答案】A 【分析】根据平方的概念，垂径定理，圆的概念，三角形内角和，找出假命题即可． 【详解】解：对于选项A，∵当，时，满足，但，，此时，∴该命题是假命题； 对于选项B，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，同位角均为，同位角相等则两直线平行，该命题是真命题； 对于选项C，圆中直径是最长的弦，因此直径大于任意一条不经过圆心的弦，该命题是真命题； 对于选项D，直角三角形两个锐角和为，若两个锐角都大于，则内角和大于，与直角三角形内角性质矛盾，因此至少有一个锐角不大于，该命题是真命题． 7．下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到使命题不成立的反例即可.当不等式两边同乘负数时，不等号方向改变，因此当时原命题不成立. 【详解】解：对不等式变形，两边同时减去，得：， ∵已知，若，根据不等式的性质，不等号方向改变，可得， ∴此时，原命题不成立. 选项中只有，符合要求，因此选D. 8．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵与有公共边，它们不是对顶角， ∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例； 对于B选项，与是对顶角，不能作为反例； 对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设． 9．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆W的面积为__，第n个半圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个半圆的直径为，再根据圆的面积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，第1个半圆的直径为， 第2个半圆的直径为， 第3个半圆的直径为， 以此类推， 第5个半圆的直径为， 第个半圆的直径为， ∴第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为. 10．如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 【答案】 【分析】根据题意可知为圆心，、为圆上的点，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， ． 11．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，，，先求出的长，再得出点的运动轨迹，利用圆的性质求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵在中，，点为斜边的中点， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点与和线段的交点重合时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出点的运动轨迹． 12．试着用反证法证明勾股定理的逆定理． 【答案】已知：在中，，，，且， 求证：． 证明：假设，即不是直角三角形， 作直角三角形，使，，， 在直角三角形中，由勾股定理得 ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，这与假设矛盾， 假设不成立，即， 故勾股定理的逆定理成立． 【分析】根据勾股定理和全等三角形的判定和性质证明假设不成立，由此得出原命题成立． 【详解】略 13．如图，点是半圆的圆心，是半圆的直径，请用尺规作图法分别在半圆上取点和点（点在点右侧），连接、、，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】根据菱形的四条边都相等，以点和点为圆心，的长为半径画弧，与半圆交于点、，连接即可完成作图． 【详解】解：①以为圆心，为半径作弧，交半圆于点，②以为圆心，为半径作弧，交半圆于点，③连接、、，从而得到菱形． 14．[教材呈现] 如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [问题解决] (1)如图1求证：四边形是矩形． [结论应用] (2)如图①，是的两条直径（圆的半径都相等），四边形是矩形吗？（只需要回答“是”或“不是”，不需要证明） [发现结论] (3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为_____； 【答案】(1)证明：由题意，， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形. (2)是 (3)8 【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形为矩形，即可得证； （2）根据同圆的直径相同，半径相同，结合对角线相等的平行四边形为矩形，即可得出结果； （3）根据勾股定理得到，根据完全平方的非负性，得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵是的两条直径， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：∵以线段为对角线构成矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形面积的最大值为. 15．根据题意，完成下列各题 (1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） (2)在中，若，求证：． 【答案】(1)已知：在中，， 求证：， 证明：过点A作于点D， 则， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明∶假设不成立，则有， (1)假设，则，与矛盾， ∴不成立； (2)假设， 过A作，D在线段内， 则， ∵，， ∴， 这是和矛盾的， ∴不成立， ∴只能． 【分析】（1）根据题意写出已知，求证，然后过点A作于点D，证明，即可得出． （2）利用反证法证明即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 16．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【答案】(1)3.5 (2)；；两点之间，线段最短；；偏大 【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可； （2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，米，米 ∴（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米； （2）解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴． 在中，（两点之间，线段最短）， ． ∴． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 【复盘笔记】 第 2 页 共 82 页 第 1 页 共 82 页 学科网（北京）股份有限公司 $