精品解析：广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高二下学期第一阶段考试数学试题

深圳实验学校高中部2024-2025学年度第二学期第一阶段考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈素玲 审题人：曾嘉诚 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设，若在处的导数，则的值为 A. B. C. 1 D. 2. ，，，，五人并排站成一排，如果，两人必须相邻，那么不同的排法种数有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 3. 如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 若直线与互相垂直，则 D. 若直线与平行，则与的距离为 10. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知为常数，函数有两个极值点，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______________． 13. 已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________________． 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列是等比数列，公比大于0，前项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）求． 16. 如图，在四面体中，，二面角是直二面角，为的中点，点为线段上一点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值. 17. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有三个零点，求的取值范围； （3）如果过可以作曲线的三条切线，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）求的最大值； （2）若恒成立，求实数b的取值范围. 19. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2024-2025学年度第二学期第一阶段考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈素玲 审题人：曾嘉诚 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设，若在处的导数，则的值为 A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接求出原函数的导函数，由列式求解的值． 【详解】由，得． 由，解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题． 2. ，，，，五人并排站成一排，如果，两人必须相邻，那么不同的排法种数有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】由题意，先将，捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有种. 故选：B. 3. 如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，当时，，再结合时，，可知是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式. 【详解】由， 当时，， 所以， 当时，，此时， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，即可求和，即可求得切线方程. 【详解】由，得， 则， 则， 所以切线方程为. 故选：A. 5. 在数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7. 已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知函数恒成立，构造函数令，结合导数计算函数单调性及最值得出参数. 【详解】函数，所以对任意恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 令，所以， 当时，单调递增，且，所以，不成立； 当时，单调递增，单调递减，且 所以当时，成立， 令，， 当单调递减，当单调递增，且 所以当时，满足成立， 则实数的值为. 故选：B. 8. 上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，则由题意可证得在上单调递增，又， ，故可转化为，解得. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 又，所以 故当时，有，即， 由的单调性可知. 故选：D. 【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 若直线与互相垂直，则 D. 若直线与平行，则与的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A由即可求解，对于B将直线整理为即可求解，对于C由得即可求解，对于D先求，再利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】对于A：当时，直线的斜率不存在， 当时，由斜率，，故A正确； 对于B：由直线得， 令有解得，即定点为，故B错误； 对于C：直线与互相垂直， 则解得或，故C错误； 对于D：由有，所以与的距离为，故D正确； 故选：AD. 10. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理依次判断即可. 【详解】对于A选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则， , 则,, 因为，所以， 因为,所以， 所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故A正确； 对于B选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则， , 则,, 因为， ,所以， 所以,但是与都不垂直，所以与面不垂直，故B错误； 对于C选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则， , 则,, 因为，所以， 因为,所以， 所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故C正确； 对于D选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则， , 则,, 因为，所以， 因为,所以， 所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故D正确； 故选：ACD 【点睛】本题考查了空间几何体的线面垂直判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面垂直的判定定理是关键. 11. 已知为常数，函数有两个极值点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由有，令，利用导数研究单调性作出函数图像，逐一验证即可. 【详解】由题意有函数的定义域为， 所以，令有，即，令，所以，令有，当时，，当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，，当时，，当时，，令有， 所以，即，且，故A正确； 当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在单调递减，在上单调递增，在上单调递减； ，故B正确； ，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步计数原理，优先排末位法来进行计算即可. 【详解】第一步：排末位，可以选，共有种； 第二步：排前四位，共有种； 所以组成无重复数字的五位数奇数有种； 故答案为：． 13. 已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据条件判断四边形为矩形.，利用勾股定理和椭圆的定义列出方程组，计算即得四边形的面积. 【详解】 如图，因关于原点对称，则，又， 则四边形为平行四边形，因，故四边形为矩形. 设，则， 于是，解得. 故四边形的面积为. 故答案为：12. 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，由题意即可得解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 则由，，即， 故答案为：2. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列是等比数列，公比大于0，前项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式计算求出通项公式； （2）应用等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 设数列是等比数列的公比为，且 又因为 ，所以，所以， 所以(舍去)或， 所以. 【小问2详解】 . 16. 如图，在四面体中，，二面角是直二面角，为的中点，点为线段上一点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1），为的中点. 又因为直二面角即平面平面，平面平面 平面. 平面. 又因，，平面，平面， 平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质知，，由直二面角，推出平面，从而有，再由线面垂直的判定定理，得证； （2）连接，以为原点建立空间直角坐标系，由（1）可知，为平面的一个法向量，求得平面的一个法向量，由，，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，为的中点， .由(1)平面 可以分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 又 ， . 由（1）可知平面为平面的一个法向量，. 设平面的一个法向量为，则.，可取. 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则 . . 17. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有三个零点，求的取值范围； （3）如果过可以作曲线的三条切线，求的取值范围． 【答案】（1） 时，在和上为增函数，在为减函数， 时，在R上为增函数， 时，在和为增函数，在为减函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，讨论的取值范围，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解； （2）求出，求出极值点，根据函数有三个零点列出不等式即可求解； （3）求出曲线在点处的切线方程，代入点，根据为了三次方程有三个不同的实根，极大值点和极小值点的函数值必须符号相反即可求解. 【小问1详解】 ，时，或时，， 时，， 时，， 时，或是，，时，， 综上：时，在和上为增函数，在为减函数， 时，在R上为增函数， 时，在和为增函数，在为减函数； 【小问2详解】 ， 令， 因此极值点为和， ，，即为函数极小值点，即， 当时，；当时，； 为了函数有三个零点，必须满足， 即， 当时，， 此时函数在处与负半轴相切，只有两个零点， 因此必须严格大于1； 【小问3详解】 设曲线方程为，设切点为， 导数为， 切线方程为， 代入点得， 化简得到，即 三次方程需有三个不同实根， 由（2）可知. 18. 已知函数. （1）求的最大值； （2）若恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，研究单调性，从而得到的最大值； （2）原问题等价于构造新函数求最小值即可. 【详解】(1)，定义域， ， 由，在增，在减， (2) 令， 令，在单调递增，， 在存在零点，即 ， 由于在单调递增，故即 在减，在增， 所以. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立． 19. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）略 （ii）[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】 设，则直线的方程为，联立解得 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程，可得， 则， 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，． [方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】 设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为． 由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，． 又，从而，进而．以下同解法一． 【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键； 方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单. (ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $