山东省淄博市张店区第六中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（五四制）

2023-2024学年山东省淄博市张店六中八年级（下）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1．（4分）“4的算术平方根”用数学式子表示正确的是（　　） A．± B． C．±2 D．2 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）如果关于x的一元二次方程cx2﹣ax﹣b＝0（c≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．b2﹣4ac≥0 B．a2+4bc≥0 C．a2﹣4bc＞0 D．c2﹣4ab＜0 5．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 6．（4分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．36×25﹣36x﹣25x＝840 B．36x+25x＝840 C．（36﹣x）（25﹣x）+x2＝840 D．（36﹣x）（25﹣x）＝840 7．（4分）小学我们就知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（　　） A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，） 8．（4分）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝7，b＝3，则矩形ABCD的面积是（　　） A．42 B． C． D．21 9．（4分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝20cm，则图1中对角线BD的长为（　　） A．10cm B． C． D．20cm 10．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝5，△DOE的面积为，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D． 二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置） 11．（4分）若有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 12．（4分）已知菱形的两条对角线长分别为4cm，8cm，则它的面积是　 　 cm2． 13．（4分）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2﹣4a﹣2β﹣2的值是　 　 ． 14．（4分）如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠BAE的度数为 　 　 °． 15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16．（10分）计算： （1）（65）（）； （2）已知x＝2，y＝2，求的值． 17．（10分）解方程： （1）x2+6x+8＝0； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 18．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 19．（10分）观察下列运算： （1）由（1）（1）＝1，得1； （2）由（2）（2）＝1，得2； （3）由（3）（3）＝1，得3． （1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来，并注明n的取值； （2）利用你发现的规律，计算：． 20．（12分）如图1，平行四边形ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）如图2，当平行四边形ABCD为矩形时． ①求证：四边形EFGH为正方形； ②若AD＝14，四边形EFGH的面积为18，求AB的长． 21．（12分）（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到四边形AEDF（如图②）．小明认为四边形AEDF是菱形，你同意吗？请说明你的理由． （2）实践与运用将矩形纸片ABCD（AB＜BC）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的度数． 22．（13分）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　 ； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值． 23．（13分）如图1，边长为2的正方形ABCD中，点P为边BC上一个动点，连接AP，作MN⊥AP于点E，交边AB于M，交边CD于N． （1）求证：MN＝AP； （2）如图2，连接BD，线段MN交BD于点F，点E为AP的中点． ①当BP＝1时，求EF的长； ②线段EF是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段EF的最小值和最大值，若不存在，请说明理由． 2023-2024学年山东省淄博市张店六中八年级（下）期中数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C D D A C B 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1．（4分）“4的算术平方根”用数学式子表示正确的是（　　） A．± B． C．±2 D．2 【分析】根据算术平方根的表示方法进行表示即可． 【解答】解：4的算术平方根表示为：； 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根，正确进行计算是解题关键． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【解答】解：2不能合并，故选项A错误，不符合题意； 不能合并，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、2，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、2，故C不符合题意； D、是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 4．（4分）如果关于x的一元二次方程cx2﹣ax﹣b＝0（c≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．b2﹣4ac≥0 B．a2+4bc≥0 C．a2﹣4bc＞0 D．c2﹣4ab＜0 【分析】由题意得出Δ≥0，计算即可得解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程cx2﹣ax﹣b＝0（c≠0）能用公式法求解， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4c×（﹣b）＝a2+4bc≥0， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，②Δ＝0，方程有两个相等的实数根，③Δ＜0，方程没有实数根． 5．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 【分析】由题意得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可以化为a（x﹣2）（x+3）＝0，即可得出答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可以化为a（x﹣2）（x+3）＝0， ∴ax2+bx+c＝a（x﹣2）（x+3）， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的性质，掌握因式分解是解题的关键． 6．（4分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．36×25﹣36x﹣25x＝840 B．36x+25x＝840 C．（36﹣x）（25﹣x）+x2＝840 D．（36﹣x）（25﹣x）＝840 【分析】设每条道路的宽为x米，则草坪的部分可以看成长为（36﹣x）米、宽为（25﹣x）米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为840平方米，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设每条道路的宽为x米，则草坪的部分可以看成长为（36﹣x）米、宽为（25﹣x）米的矩形， 根据题意得：（36﹣x）（25﹣x）＝840． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（4分）小学我们就知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（　　） A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，） 【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AOAB＝1，根据勾股定理得到OD′，于是得到结论． 【解答】解：∵AD′＝AD＝2， AOAB＝1， ∴OD′， ∵C′D′＝2，C′D′∥AB， ∴C′（2，）， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 8．（4分）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝7，b＝3，则矩形ABCD的面积是（　　） A．42 B． C． D．21 【分析】设小正方形的边长为x，则矩形的长为（a+x），宽为（b+x），根据图1的面积列出关于a、b、x的关系式，代入a＝7，b＝3求出x2+10x＝21，即可得出矩形的面积． 【解答】解：设小正方形的边长为x，则矩形的长为（a+x），宽为（b+x）， 由图1可得：， 整理得：x2+ax+bx﹣ab＝0， ∵a＝7，b＝3， ∴x2+7x+3x﹣21＝0， ∴x2+10x＝21， ∴矩形的面积为（a+x）（b+x）＝（x+7）（x+3）＝x2+10x+21＝21+21＝42， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方应用，矩形的性质，正方形的性质，关键是根据题意找到等量关系式． 9．（4分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝20cm，则图1中对角线BD的长为（　　） A．10cm B． C． D．20cm 【分析】在正方形中，连接AC，由正方形的性质得出，在菱形中连接AC、BD交于点O，利用菱形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【解答】解：如图，连接AC， ， ∵四边形ABCD为正方形，AC＝20cm， ∴， 如图，连接AC、BD交于点O， ， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，， ∴AC⊥BD，，BO＝DO， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 10．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝5，△DOE的面积为，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D． 【分析】由矩形的性质可求∠BAD＝90°，OB＝OD，由面积的数量关系可求解． 【解答】解：连接BE， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD，S△BOEOB•OEOD•OE＝S△DOE， ∴S△BDE＝S△BOE+S△DOE＝15， ∵AB⊥DE，AB＝5， ∴5DE＝S△BDE＝15， ∴DE＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置） 11．（4分）若有意义，则实数x的取值范围是 　x　 ． 【分析】根据式子有意义得出，然后求解即可． 【解答】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12．（4分）已知菱形的两条对角线长分别为4cm，8cm，则它的面积是　16　 cm2． 【分析】由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出结果． 【解答】解：由菱形的面积公式得： 菱形的面积4×8＝16（cm2）； 故答案为：16． 【点评】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式；熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键． 13．（4分）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2﹣4a﹣2β﹣2的值是　2018　 ． 【分析】利用一元二次方程根的意义和根与系数的关系定理得到α2﹣2α＝2024，α+β＝2，将a2﹣4a﹣2β﹣2变形为α2﹣2α﹣2（α+β）﹣2，整体代入计算即可得出答案． 【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣2024＝0的两个实数根， ∴α2﹣2α﹣2024＝0，α+β＝2， ∴α2﹣2α＝2024， ∴a2﹣4a﹣2β﹣2 ＝a2﹣2a﹣2α﹣2β﹣2 ＝α2﹣2α﹣2（α+β）﹣2 ＝2024﹣2×2﹣2 ＝2018． 故答案为：2018． 【点评】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 14．（4分）如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠BAE的度数为 　67.5　 °． 【分析】由正方形的性质得出∠ACB＝∠CAB＝45°，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质出∠CAE＝∠CEA＝22.5°，最后再由∠BAE＝∠CAE+∠CAB计算即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是一个正方形， ∴∠ACB＝∠CAB＝45°， ∵AC＝EC， ∴∠CAE＝∠CEA， ∵∠CAE+∠CEA＝∠ACB， ∴∠CAE＝∠CEA＝22.5°， ∴∠BAE＝∠CAE+∠CAB＝67.5°， 故答案为：67.5． 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，关键是正方形性质的应用． 15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 　　 ． 【分析】由勾股定理得出BC＝17，连接AP，证明四边形AEPF是矩形，得出EF＝AP，即当AP最小时，EF最小，当AP⊥BC时，AP最小，由三角形面积公式求出AP的长即可得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15， ∴， 如图，连接AP， ∵∠A＝90°，PF⊥AC，PE⊥AB， ∴∠A＝∠PEA＝∠PFA＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， ∴当AP最小时，EF最小， 当AP⊥BC时，AP最小，由三角形面积公式得出， 即， 解得：， ∴AP的最小值为， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是关键． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16．（10分）计算： （1）（65）（）； （2）已知x＝2，y＝2，求的值． 【分析】（1）根据二次根式的性质将括号内化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可得出答案； （2）先求出x+y、xy的值，再将式子变形为，整体代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． 17．（10分）解方程： （1）x2+6x+8＝0； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 【分析】（1）利用十字相乘法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2+6x+8＝0， （x+2）（x+4）＝0， ∴x+2＝0，x+4＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+2＝0， ∴x1＝1，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣因式分解法，利用因式分解法解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 18．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答； （2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键． 19．（10分）观察下列运算： （1）由（1）（1）＝1，得1； （2）由（2）（2）＝1，得2； （3）由（3）（3）＝1，得3． （1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来，并注明n的取值； （2）利用你发现的规律，计算：． 【分析】（1）根据题目中所给式子即可得出答案； （2）由题意得出，进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵①由，得； ②由，得； ③由，得， ∴（n为正整数）； （2）∵由得， 由得， 由得， ∴， ∴ ＝21． 【点评】本题考查了分母有理化、二次根式规律探索，熟练掌握运算法则，得出规律，准确进行计算是解此题的关键． 20．（12分）如图1，平行四边形ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）如图2，当平行四边形ABCD为矩形时． ①求证：四边形EFGH为正方形； ②若AD＝14，四边形EFGH的面积为18，求AB的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AEB＝∠F＝∠H＝90°，即可证明四边形EFGH是矩形； （2）①根据矩形的性质证明△ABE≌△CDG（ASA），△ADF≌△BCH（ASA）即可得AE＝BE＝DG＝CD，AF＝DF＝HB＝HC，从而可得EF＝FG＝GH＝HE，可证明四边形EFGH是菱形，结合（1）中∠AEB＝90°＝∠HEF即可证明； ②根据四边形EFGH为正方形，面积为18，可得出，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵FA平分∠BAD，HB平分∠ABC， ∴，， 在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴，即∠AEB＝90°， 同理可得，∠F＝90°，∠H＝90°， ∴∠AEB＝∠F＝∠H＝90°， ∴四边形EFGH是矩形； （2）①证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°， ∵矩形ABCD的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H， ∴，， ，， ∴△ABE≌△CDG（ASA），△ADF≌△BCH（ASA）， ∴AE＝BE＝DG＝CD，AF＝DF＝HB＝HC， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠AEB＝90°＝∠HEF， ∴四边形EFGH为正方形； ②解：∵四边形EFGH为正方形，四边形EFGH的面积为18， ∴， ∵△ADF是等腰直角三角形，AD＝14， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∵△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝8． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质，证明四边形EFGH为正方形是解题的关键． 21．（12分）（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到四边形AEDF（如图②）．小明认为四边形AEDF是菱形，你同意吗？请说明你的理由． （2）实践与运用将矩形纸片ABCD（AB＜BC）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的度数． 【分析】（1）连接ED，FD，由两次折叠知，证明∴△AED≌△AFD（ASA），即可解答； （2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，再通过角度计算和转换得到∠BGE＝∠BEG，即可解答． 【解答】解：（1）同意． 如图， 由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线， ∴∠1＝∠2， 由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，AE＝ED，AF＝FD， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， 在△AED与△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（ASA）， ∴AE＝AF，DE＝DF， ∴AE＝AF＝DE＝DF， ∴四边形AEDF是菱形； （2）△EBG的形状是等腰三角形． 理由如下：由折叠知，四边形ABFE是正方形， ∴∠AEB＝45°， ∴∠BED＝180°﹣45°＝135°， 由折叠知，， ∵AD∥BC， ∴∠BGE＝∠BEG， ∴BG＝BE，即△EBG为等腰三角形． ∵∠BEF＝45°， ∴∠FEG＝67.5°﹣45°＝22.5°． 【点评】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等． 22．（13分）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　x1，x2，x3，x4　 ； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值． 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题． 【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0， ∴（y﹣2）（y﹣3）＝0， ∴y1＝2，y2＝3， ∴x2＝2或3， ∴x1，x2，x3，x4； 故答案为：x1，x2，x3，x4； （2）∵a≠b， ∴a2≠b2，或a2＝b2， 当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n． ∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根， ∴， 此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn． 当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2，此时a4+b4＝2（a2）2． 综上所述，a4+b4或． （3）令a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0， ∵n＞0， ∴n，即a≠b， ∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根， ∴， 故n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15． 【点评】本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 23．（13分）如图1，边长为2的正方形ABCD中，点P为边BC上一个动点，连接AP，作MN⊥AP于点E，交边AB于M，交边CD于N． （1）求证：MN＝AP； （2）如图2，连接BD，线段MN交BD于点F，点E为AP的中点． ①当BP＝1时，求EF的长； ②线段EF是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段EF的最小值和最大值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过点B作BG∥MN，交AP于点H，交CD于点G，证明△BAP≌△CBG（ASA），由全等三角形的性质得出AP＝BG，则可得出结论； （2）①连接AF，PF，CF，AC，求出∠EAF＝∠EFA＝45°，由直角三角形的性质得出EF＝AEAP，由勾股定理求出AP的长，则可得出答案； ②由①知EFAP，由正方形的性质可得出答案． 【解答】（1）证明：过点B作BG∥MN，交AP于点H，交CD于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BG＝MN，BG⊥AP， ∴∠BAP+∠ABH＝90°， ∵∠CBG+∠ABH＝90°， ∴∠BAP＝∠CBG， 在△BAP和△CBG中， ， ∴△BAP≌△CBG（ASA）， ∴AP＝BG， ∴AP＝MN； （2）解：①连接AF，PF，CF，AC， ∵MN⊥AP，又点E为AP的中点， ∴MN垂直平分AP， ∴AF＝PF， ∵正方形ABCD关于BD对称， ∴AF＝CF， ∴AF＝PF＝CF， ∴点A，P，C在以点F为圆心AF为半径的圆上， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACP＝45°， ∴∠AFP＝2∠ACP＝2×45°＝90°， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°， ∴EF＝AEAP， ∵AP3， ∴EFAP； ②EF存在最小值和最大值，EF的最小值为，最大值为2， 理由：由①知EFAP， ∵AC是正方形的对角线， ∴AC4， 当点P和点B重合时，AP＝AB＝2，此时AP最小， ∴EF最小值AP， 当点P和C重合时，AP＝AC＝4，此时AP最大， ∴EF最大值AP＝2． 【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/8 18:33:03；用户：张春岭；邮箱：15266773637；学号：45449500 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$