精品解析：2025年吉林省长春市绿园区九年级中考一模数学试题

2024-2025学年度第二学期九年级大练习（一） 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟，考试结束后，将答题卡上交． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则“□”中应填写的运算符号是（ ） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算．根据有理数的加减乘除运算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正上方中间位置，即看到的图形如下： 故选：A． 3. 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. =±6 B. 4﹣3=1 C. =6 D. =6 【答案】D 【解析】 【分析】由算术平方根的含义判断A，由合并同类二次根式判断B，由二次根式的除法判断C，由二次根式的乘法判断D． 【详解】解： 故A错误， 故B错误， 故C错误， 故D正确， 故选D． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键． 5. 已知，则一定有，“”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质及解直角三角形，解题的关键是判断出是直角三角形．根据三角形的外角性质求出，然后判断出是直角三角形，利用解直角三角形即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 开挖点离点的距离：， 故选：C． 7. 如图，在矩形中，，先以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E；再以点D为圆心，长为半径画弧交边于点F；最后以点C为圆心，长为半径画弧交边于点G．求的长，只需要知道（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，圆的基本概念，掌握矩形的对边相等，圆的半径相等是解题的关键；由矩形的性质和圆的半径相等，再结合线段的和差关系，可推出，进而即可得到答案 【详解】解：设，由作图可知：，， 四边形矩形， ， ， ， ， ， 求的长，只需要知道线段的长． 故选：C． 8. 如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得， 解得． 故k的值为． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11. 已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m________时，y随x的增大而增大． 【答案】<1 【解析】 【详解】试题解析：当1−m>0时，y随x的增大而增大， 所以m<1. 故答案为<1. 点睛：一次函数， 时，y随x的增大而增大． 时，y随x的增大而减小． 12. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 13. 如图，将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，若∠ABC＝75°，则∠CFE＝_____ 【答案】105°##105度 【解析】 【分析】根据平移的性质可得∠DEF＝∠ABC＝75°和BE∥CF，在根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠EFC. 【详解】解：由平移可知∠DEF＝∠ABC＝75°， ∵BE∥CF， ∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝180﹣75＝105° 故答案是：105°． 【点睛】本题考查平移的性质，同时考查两直线平行同旁内角互补. 14. 如图，点在以为直径的半圆上，，，动点在线段上且不与、重合，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．给出下面四个结论：①的长度为；②；③；④线段的最小值为．上述结论中，正确的结论的序号有_____． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】①连接，根据圆周角定理及弧长公式求解即可判定； ②连接，若，才有；若与不垂直，则，即可判断； ③由点与点关于对称可得，再根据即可证到； ④根据“点到直线之间，垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长度为，故①正确； 连接，如图所示： 点与点关于对称， ， 则， ∵， ∴， ， ∴， 点与点关于对称， ， 则， ∵是半圆的直径， ∴， 在四边形中，， 若，则，此时有， ∴， 若与不垂直，则，故②不正确； 连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④当时，如图所示： ∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ∴，，则由勾股定理可得， ∵，， ∴， 根据“点到直线之间，垂线段最短”可知，点在线段上运动时，垂线段的最小值为， ∵， ∴，即线段的最小值为，故④错误； 综上所述，正确的结论的序号是①③． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意，先化简分式，再计算出的值代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 16. 小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6， 所以小红获胜的概率． 【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 17. 随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？ 【答案】参加比赛的男生有12人，女生有40人． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系是解题关键； 设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人，然后根据“男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人”列方程求解． 【详解】解：设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人， 由题意得，， 解得， ， 答：参加比赛的男生有12人，女生有40人． 18. 平行四边形ABCD，E是CD的中点，是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形. 【答案】 证明： 平行四边形ABCD， E是CD的中点， 是等边三角形， 平行四边形ABCD， 平行四边形ABCD是矩形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质，等边三角形的性质，中点的性质证明得到再利用平行线的性质证明从而可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 19. 为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为体育中考做好准备，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．下面是给出的部分信息： ①随机抽取男同学和女同学各名； ②男同学成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为组：，，，）； ③男同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，，；女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，； ④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表： 性别 平均数 中位数 众数 女 82.1 88 89 男 83.5 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值是_____； （2）下列描述中正确的有_____； ①因为抽取的名女同学的成绩的平均数是分，所以至少有名女同学成绩在分以下． ②抽取的名男同学中，成绩为分的一定少于人． ③在抽取的同学中，女同学超过分的人数比男同学多． （3）成绩不低于分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生人，男学生人，且所有学生都参加了模拟测试，估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数． 【答案】（1）； （2）②③ （3）该校九年级约有人的成绩记为优秀． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较女同学和男同学的中位数即可得出答案； （3）利用样本估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：男同学一共有名同学，在和共有人， 中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据在这一组的第，个数，分别为、 故中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：虽然抽取的名女同学的成绩的平均数是分，但是不一定有名女同学成绩在分以下，故①错误； 抽取的名男同学中，根据众数为84的有3人，所以成绩为分的不可能为人，故②正确； 由女生中位数为及女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，可知，女生超过分的人数有人， 由男生处于的有人，在的有人多于分，可知男生超过分的人数有人， ∴女生女生超过分的人数多于男生，故③正确； 故答案为：②③； 【小问3详解】 解：女同学的中位数为分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，； ∵中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据， ∴第个数据是， ∴女同学的成绩不低于分的人数有人， 男同学的成绩不低于分的人数有人， ∴（人）， 估计该校九年级约有人的成绩记为优秀． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； （2）在图中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为； （3）在图中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（）根据网格可知作等腰直角三角形即可； （）根据勾股定理的逆定理即可画图； （）根据网格可得； 本题考查了作图，勾股定理定理及逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 如图， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴即为所求； 【小问2详解】 如图， 由网格可知：，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴即为所求； 【小问3详解】 如图， 由网格可知：， ∴即为所求． 21. 某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题： （1）求线段所表示的函数关系式； （2）当x的值为多少时，恰好停止注水． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析式，根据图像获得信息是解题的关键． （）把点、代入，即可求出线段所表示的函数关系式； （）当代入解析式，求出的值即可 【小问1详解】 解：设线段所表示的函数关系式为， 则， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为：． 【小问2详解】 当时，， 解得． 答：当时，恰好停止注水． 22. 已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结． （1）如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）． （2）如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整． 证明：延长到点，使，连结，如图③， 为的中点， ， 又，， ， ．．．．．． （3）若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____． 【答案】（1）； （2）（1）中线段和的数量关系仍然成立， 理由如下：延长到，使，连接，如图： 为的中点， ， ， ， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，而，即知； （2）延长到，使，连接，由，可得，即知，由绕点B顺时针旋转得到，有，得，故，即得，故，从而； （3）取的中点，连接，可得，，在中，，故当共线时，最大，最大为，即可得答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ， ∵将绕点顺时针旋转得到， 在上，， ∵， ， ， 为斜边的中点， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取的中点，连接，如图： 为中点， 为的中位线， ， ， ， 在中，， ∴当共线时，最大，最大为，如图： 此时， ∴线段的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判断与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 23. 如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接． （1）求的面积； （2）当时，求线段的长； （3）当时，求线段的长； （4）当是直角三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）或； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得，根据勾股定理得，从而即可得解； （2）分当在上时和当在上时，利用中点定义及解直角三角形求解即可； （3）先解直角三角形得，，证明，利用相似三角形的性质即可得解； （4）分当时，当时两种情况，利用相似三角形的判定及性质求解即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴，， ∴ 【小问2详解】 解：当在上时， ∵，， ∴， ∴； 当在上时，如图，过点作于，过作于N， 由（）得，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 综上，线段的长为或； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴； 【小问4详解】 解：如图，当时， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，三角形的外角性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质时解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值； （3）已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点时，过点作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形． ①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围； ②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）①或；②或或或． 【解析】 【分析】（1）将抛物线化为顶点式即可得解； （2）先求出，进而求得直线为，令得，解得，得，从而求得，从而即可得解； （3）①抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大得，都在对称轴的右侧时，分两种情况列不等式组求解；②当在的左边时，由题意得，，点的纵坐标为，则，，先求出，证明，得，求解即可，当在的左边时，由，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：如图， ∵顶点坐标为， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 设直线为， 把，代入得， 解得， ∴直线为， 令得，解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图， ∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴， 解得； 如图， ∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴， 解得； 综上：或； ②如图，当在的左边时， 由题意得，，点的纵坐标为， ∴，， ∵直线分平行四边形的面积为两部分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴即， 解得 解得或． 如图，当在的右边时， 由题意得，，点的纵坐标为， ∴，， ∵直线分平行四边形的面积为两部分， ∴， ∴， 此时，，抛物线的顶点在同一直线上， ∴， 解得：或． 综上：或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，解不等式组，熟练掌握二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级大练习（一） 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟，考试结束后，将答题卡上交． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则“□”中应填写的运算符号是（ ） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. =±6 B. 4﹣3=1 C. =6 D. =6 5. 已知，则一定有，“”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 6. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，先以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E；再以点D为圆心，长为半径画弧交边于点F；最后以点C为圆心，长为半径画弧交边于点G．求的长，只需要知道（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 8. 如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：___． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 11. 已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m________时，y随x的增大而增大． 12. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为_____． 13. 如图，将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，若∠ABC＝75°，则∠CFE＝_____ 14. 如图，点在以为直径的半圆上，，，动点在线段上且不与 、重合，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．给出下面四个结论：①的长度为；②；③；④线段的最小值为．上述结论中，正确的结论的序号有_____． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率． 17. 随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？ 18. 平行四边形ABCD，E是CD的中点，是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形. 19. 为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为体育中考做好准备，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．下面是给出的部分信息： ①随机抽取男同学和女同学各名； ②男同学成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为组：，，，）； ③男同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，，；女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，； ④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表： 性别 平均数 中位数 众数 女 82.1 88 89 男 83.5 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值是_____； （2）下列描述中正确的有_____； ①因为抽取的名女同学的成绩的平均数是分，所以至少有名女同学成绩在分以下． ②抽取的名男同学中，成绩为分的一定少于人． ③在抽取的同学中，女同学超过分的人数比男同学多． （3）成绩不低于分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生人，男学生人，且所有学生都参加了模拟测试，估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； （2）在图中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为； （3）在图中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为． 21. 某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题： （1）求线段所表示的函数关系式； （2）当x的值为多少时，恰好停止注水． 22. 已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结． （1）如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）． （2）如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整． 证明：延长到点，使，连结，如图③， 为的中点， ， 又，， ， ．．．．．． （3）若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____． 23. 如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点 从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接． （1）求的面积； （2）当时，求线段的长； （3）当时，求线段的长； （4）当是直角三角形时，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点 、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点 恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值； （3）已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点 时，过点 作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形． ①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围； ②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $