信息必刷卷03（湖南长沙专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（长沙专用） 考情速递 中考·新动向：几何直观与应用结合，强调数据分析和实际情境，如轴对称图形、统计题稳定但更重实用。 中考·新考法：创新设问如数字、几何逻辑推理，几何定义新分类，函数存在性问题，考查综合思维与逻辑推理。 中考·新情境：融入玉兔号、新能源销量、奥运湘绣等实时话题，跨学科结合，增强题目开放性和时代性。 命题·大预测：几何与函数综合题占比提升，重视新定义题型；备考需强化实际应用、几何证明及热点背景题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数为无理数的是（    ） A．3 B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，无限不循环小数就是无理数，这是解题的关键． 根据无理数的概念逐一分析判定． 【详解】A．3是整数，属于有理 ，不符合题意； B．3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是分数，属于有理数，不符合题意； 故选：C． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ）       主视图   左视图   俯视图 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的判断，根据图形特点，正确的画出三视图是关键．首先画出各个图形的俯视图，找出正确的答案；或者用排除法． 【详解】 解：A的俯视图， C的俯视图 ， D的俯视图 ， 都与题目给出的三视图矛盾．B的三视图为 , 故图中三视图对应的几何体不是选项A、C、D中图形，选项B的三视图与题目的三视图相一致． 故选B． 3．党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展，截至2021年底，我国高技能人才超过64800000人，将数据64800000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据64800000用科学记数法表示为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方和同底数幂乘法等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：，则这组数据的众数和中位数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数即可解答． 【详解】解：∵随机调查了本班名学生，收集到如下数据：， ∴这组数据从小到大排序为， ∴这组数的众数为，中位数为， 【点睛】本题考查了众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 6．如图，已知直线，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据平行线的性质得到的度数，再根据角的和差解题即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选D． 7．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，于是可得到正确的选项． 【详解】解不等式x-1≤0得x≤1， 解不等式x+3＞0得x＞-3， 所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 8．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，在中，已知坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长．正确理解坡比的意义是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴坡面的长度为． 故选：B． 9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 10．某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队参加比赛，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（    ） A．丙队不可能获得8个积分 B．四支球队的积分不可能是四个连续的奇数 C．四支球队的积分不可能是四个连续的偶数 D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利 【答案】B 【分析】本题考查逻辑推理与论证，先根据赛制得出比赛总场数、单支球队比赛场数，计算出每支球队所有可能的得分情况，再逐项推理论证即可． 【详解】解：根据赛制，一共需要进行6场比赛，每支球队进行3场比赛，3胜得9分，2胜1平得7分，2胜1负得6分， 1胜2平得5分，1胜1平1负得4分，1胜2负得3分，3平得3分，2平1负得2分，1平2负得1分，3负得0分， 一支球队可能获得的积分为：9，7，6，5，4，3，2，1，0， 丙队不可能获得8个积分，故A选项描述正确； 甲队1平2负得1分，乙队1胜2负得3分，丙队1胜2平得5分，丁队2胜1平得7分，上述情况下，四支球队的积分是四个连续的奇数，故B选项描述不正确； 6场比赛均没有平局时，四支球队的积分之和最高，为分，6场比赛均是平局时，四支球队的积分之和最低，为分，每只球队均积3分， 四支球队的积分是四个连续的偶数时，只可能是0，2，4，6，总积分是12，与每只球队均积3分矛盾，因此这种情况不存在，故C选项描述正确； 若四支球队的积分是四个连续的整数，则有可能是3，2，1，0或4，3，2，1或5，4，3，2或6，5，4，3， 当得分为3，2，1，0时，总积分为6，与总积分最低为12矛盾，不合题意， 当得分为4，3，2，1时，总积分为10，与总积分最低为12矛盾，不合题意， 当得分为6，5，4，3时，总积分为18，有平局，与没有平局时总积分最高18分矛盾，不合题意， 得分为5，4，3，2时，四支球队得分情况为：1胜2平得5分，1胜1平1负得4分，3平得3分，2平1负得2分，可知有两支球队没有取得一场胜利，故D选项描述正确； 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解， 本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式． 【详解】解： ． 12．若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形是正 边形． 【答案】六 【分析】本题考查正多边形的内角问题，设多边形有n条边，利用多边形的内角和公式列方程解题即可． 【详解】解：设正多边形有n条边， 则， 解得：； 故答案为：六． 13．抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 14．面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分、分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，根据加权平均数定义计算可得． 【详解】解： 故答案为：． 15．若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）的解是， ∴，即， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 16．如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明是等边三角形，根据求出半径，进而利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，，即， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）。 17．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值、立方根，再进行加减运算． 【详解】解： ． 18．先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把，代入计算． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα＝，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140m （1）求两楼之间的距离CD； （2）求发射塔AB的高度． 【答案】（1）140m；（2）28m． 【分析】（1）过点E作EF⊥AC于点F，由于∠AE=45°，AE=140，所以EF=140，由矩形的性质可知：CD=EF=140． （2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】（1）过点E作EF⊥AC于点F， ∵∠AEF＝45°，AE＝140， ∴EF＝140， 由矩形的性质可知：CD＝EF＝140， 故两楼之间的距离为140m； （2）在Rt△ADC中， tanα＝， ∴AC＝140×＝480， ∴AB＝AC﹣BC＝480﹣452＝28， 故发射塔AB的高度为28m． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 20．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图： (1)该校一共有_____形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是_____； (2)请将条形统计图补充完整； (3)为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率 【答案】(1)20， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求扇形统计图圆心角度数，补全条形统计图，画树状图求概率等．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用有4名学生参加夏令营的班级个数除以其所占比，再利用乘以参加夏令营的学生人数为5名的班级所占比，即可解题； （2）利用总数算出参加夏令营的学生人数为2名的班级个数，根据数据补全条形统计图即可； （3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，根据题意画出树状图，得到共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，最后利用概率公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：该校一共有的班级个数为：（个）， 在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是： ， 故答案为：20，； （2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个）， 将条形统计图补充完整如下： （3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种， 所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为． 21．如图，，，，点D在边上．   (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质： （1）由可得，进而利用即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中 ∴. （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷．”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一．德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲．小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包．阿姨说：“一共34元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧．阿姨说：“可以，但还需补交5元钱．” (1)请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价； (2)如果小何一共有50元，需要买20个包子，他最多可以买几个香姑肉包呢? 【答案】(1)香菇肉包的单价是3元，酸菜包的单价是2元 (2)小何最多可以买10个香菇肉包 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设香菇肉包的单价是元，酸菜包的单价是元，结合列方程再解方程组，即可作答． （2）设可以买个香菇肉包，则可以买个酸菜包，根据题意列不等式求解，即可作答． 【详解】（1）解：设香菇肉包的单价是元，酸菜包的单价是元， 由题意得： 解得： 答：香菇肉包的单价是3元，酸菜包的单价是2元； （2）解：设可以买个香菇肉包，则可以买个酸菜包， 由题意得：， 解得：， 答：小何最多可以买10个香菇肉包． 23．如图，在中，，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是边长为2的等边三角形，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得，再由等角的余角相等得，再由外角定理得，继而可求证； （2）先求出，继而可得,对运用勾股定理求出，再得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 24．我们不妨约定：若点，是同一函数图象上不同的两点，且线段轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”． (1)若点和点为函数图象上的一对“平行点”，求的值； (2)关于的函数(m、n为常数)的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由； (3)若点、、都在关于的函数为常数，且的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足．求直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①当时，函数是上存在无数组“平行点”； ②当时，不存在“平行点”， 理由见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图像与性质，二次函数的图像和性质，一次函数与坐标轴交点． （1）根据线段轴，得到，即，即可解题； （2）根据函数分以下两种情况讨论，①当时，②当时，结合线段轴的坐标特点分析求解即可． （3）由得到，由点P、R为该函数的一组“平行点”，结合抛物线对称性得到进而得到，表示出直线与轴、轴的交点情况，利用三角形面积公式得到，即可得到三角形面积的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，即， ， ， ； （2）解：①当时，， ∴函数图象上任意两点的纵坐标都相等，函数图象是平行轴的直线， ∴函数是上存在无数组“平行点”； ②当时，不存在“平行点”； 理由如下：若存在，设这组“平行点”为、， 则有：，即：， 得：，与矛盾： 当时，函数是上存在无数组“平行点”；当时，不存在“平行点”． （3）解：∵点、都在关于的函数为常数，且的图象上， ∴，， 又∵， ， 解得：，即：， 点P、R为该函数的一组“平行点”，纵坐标相等， 由抛物线对称性可：，即， ∴， ∴，， 令，得与轴交点为：， 令，得直线与轴交点为：， 直线与轴、轴围成的三角形面积，， ∴， 将看成关于的二次函数，开口向上，对称轴为：其上点横坐标都是1的竖线， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，有上限值（不取此值），有下限值（不取此值），即； 当时，有下限值（不取此值），有上限值（不取此值），即； 直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围为：． 25．如图1，在中，是斜边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆A交于点F，设圆A半径为r，若满足，连接并延长交圆A于点E，连接． (1)如图1，若，求半径； (2)如图2，点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)当点D在斜边上运动时，求的取值范围 ． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行的性质及，推得，由勾股定理求得的长，进而求得的长； （2）延长FA交于点N，连接EN，则，由圆内接四边形的性质即可求得两角的关系； （3）延长FA交于点N，连接EN，过点D作于H，易证明，可得；由，得，则可求得、，由可得关于的表达式，根据已知确定的取值范围，最后由二次函数的性质可确定的范围． 【详解】（1）解：如图：    ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， （2），理由如下： 如图，延长FA交于点N，连接EN，    ∴， ∵四边形DENF是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，延长FA交于点N，连接EN，过点D作于H，    由（2）得：，， ∴， ∴，即， ∵圆的半径为r， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，所以在上函数值随r的增大而减小， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，添加适当辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（长沙专用） 考情速递 中考·新动向：几何直观与应用结合，强调数据分析和实际情境，如轴对称图形、统计题稳定但更重实用。 中考·新考法：创新设问如数字、几何逻辑推理，几何定义新分类，函数存在性问题，考查综合思维与逻辑推理。 中考·新情境：融入玉兔号、新能源销量、奥运湘绣等实时话题，跨学科结合，增强题目开放性和时代性。 命题·大预测：几何与函数综合题占比提升，重视新定义题型；备考需强化实际应用、几何证明及热点背景题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数为无理数的是（    ） A．3 B．3.14 C． D． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ）       主视图   左视图   俯视图 A． B． C． D． 3．党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展，截至2021年底，我国高技能人才超过64800000人，将数据64800000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：，则这组数据的众数和中位数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．如图，已知直线，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 8．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（    ） A． B． C． D． 9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 10．某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队参加比赛，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（    ） A．丙队不可能获得8个积分 B．四支球队的积分不可能是四个连续的奇数 C．四支球队的积分不可能是四个连续的偶数 D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．因式分解： ． 12．若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形是正 边形． 13．抛物线的顶点坐标为 ． 14．面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分、分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 分． 15．若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是 ． 16．如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）。 17．计算：． 18．先化简，再求值：．其中，． 19．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα＝，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140m （1）求两楼之间的距离CD； （2）求发射塔AB的高度． 20．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图： (1)该校一共有_____形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是_____； (2)请将条形统计图补充完整； (3)为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率 21．如图，，，，点D在边上．   (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷．”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一．德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲．小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包．阿姨说：“一共34元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧．阿姨说：“可以，但还需补交5元钱．” (1)请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价； (2)如果小何一共有50元，需要买20个包子，他最多可以买几个香姑肉包呢? 23．如图，在中，，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是边长为2的等边三角形，求的长． 24．我们不妨约定：若点，是同一函数图象上不同的两点，且线段轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”． (1)若点和点为函数图象上的一对“平行点”，求的值； (2)关于的函数(m、n为常数)的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由； (3)若点、、都在关于的函数为常数，且的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足．求直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围． 25．如图1，在中，是斜边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆A交于点F，设圆A半径为r，若满足，连接并延长交圆A于点E，连接． (1)如图1，若，求半径； (2)如图2，点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)当点D在斜边上运动时，求的取值范围 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（长沙专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D C D A B D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11． 12．六 13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17.【答案】0 【详解】解： ……2分 ……4分 ． ……6分 18.【答案】， 【详解】解： ， ……4分 当，时， 原式． ……6分 19.【答案】（1）140m；（2）28m． 【详解】（1）过点E作EF⊥AC于点F， ∵∠AEF＝45°，AE＝140， ∴EF＝140， 由矩形的性质可知：CD＝EF＝140， 故两楼之间的距离为140m； ……3分 （2）在Rt△ADC中， tanα＝， ∴AC＝140×＝480， ∴AB＝AC﹣BC＝480﹣452＝28， 故发射塔AB的高度为28m． ……6分 20.【答案】(1)20， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：该校一共有的班级个数为：（个）， 在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是： ， 故答案为：20，； ……2分 （2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个）， 将条形统计图补充完整如下： ……4分 （3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种， 所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为． ……8分 21.【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中 ∴. ……4分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ……8分 22.【答案】(1)香菇肉包的单价是3元，酸菜包的单价是2元 (2)小何最多可以买10个香菇肉包 【详解】（1）解：设香菇肉包的单价是元，酸菜包的单价是元， 由题意得： 解得： 答：香菇肉包的单价是3元，酸菜包的单价是2元； ……4分 （2）解：设可以买个香菇肉包，则可以买个酸菜包， 由题意得：， 解得：， 答：小何最多可以买10个香菇肉包． ……9分 23.【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ……4分 （2）解：∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． ……9分 24.【答案】(1) (2)①当时，函数是上存在无数组“平行点”； ②当时，不存在“平行点”， 理由见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意可知，，即， ， ， ； ……2分 （2）解：①当时，， ∴函数图象上任意两点的纵坐标都相等，函数图象是平行轴的直线， ∴函数是上存在无数组“平行点”； ……4分 ②当时，不存在“平行点”； 理由如下：若存在，设这组“平行点”为、， 则有：，即：， 得：，与矛盾： ……6分 当时，函数是上存在无数组“平行点”；当时，不存在“平行点”． （3）解：∵点、都在关于的函数为常数，且的图象上， ∴，， 又∵， ， 解得：，即：， 点P、R为该函数的一组“平行点”，纵坐标相等， 由抛物线对称性可：，即， ∴， ∴，， 令，得与轴交点为：， 令，得直线与轴交点为：， 直线与轴、轴围成的三角形面积，， ∴， 将看成关于的二次函数，开口向上，对称轴为：其上点横坐标都是1的竖线， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，有上限值（不取此值），有下限值（不取此值），即； 当时，有下限值（不取此值），有上限值（不取此值），即； 直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围为：． ……10分 25.【答案】(1)4 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：如图：    ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ……3分 （2），理由如下： 如图，延长FA交于点N，连接EN，    ∴， ∵四边形DENF是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ……6分 （3）如图，延长FA交于点N，连接EN，过点D作于H，    由（2）得：，， ∴， ∴，即， ∵圆的半径为r， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，所以在上函数值随r的增大而减小， ∴． ……10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$