猜押10 二次函数综合应用解答题压轴（7大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押10 二次函数综合应用解答题压轴 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 二次函数综合应用（解答题压轴） 2024年成都B卷第25题，2023年成都B卷第25题，2022年成都B卷第25题 二次函数是初中数学中非常重要的知识点，属于压轴知识点存在，二次函数的综合性是非常强的，它可以结合几何、相似三角形、圆等进行考查，所以出现在中考试卷中是必然，此题型主要考查学生对相关知识点和题型的熟练应用，并对相应的知识点进行扩展培优。 在近三年的成都数学中考试卷中二次函数的综合考查都出现在成都数学试卷B卷第25题中，属于试卷的压轴题型，所以在2025年的成都数学中考试卷中继续考查的概率还是非常大的，此题型难度较大，综合性极其，需要学生平时多总结题型，熟练的掌握每种题型的解题思路和技巧。 题型一：二次函数综合之面积问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线经过原点，与轴交于另一点，顶点坐标为，过点的直线与抛物线交于点B，C，且点在点的左侧． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，当的面积与的面积之比为时，求直线的函数表达式； (3)若有直线，点到直线的距离为，点到直线的距离为，求证：． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先将代入直线解析式得到，然后与抛物线联立得到，求出和，然后根据题意得到，代入和得到，进而求解即可； （3）由（2）求出，，然后根据题意得到，，然后代入整理求解即可． 【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为 ∴设抛物线解析式为 ∵抛物线经过原点 ∴将代入得， 解得 ∴； （2）∵直线过点 ∴ ∴ ∴直线 联立 整理得， 解得， ∴ ∵的面积与的面积之比为 ∴ ∴ ∴ 整理得 将，代入 整理得 ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴直线的函数表达式为； （3）由（2）得，， ∴， ∵有直线，点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ∴ ． 2．（2023·四川成都·二模）如图1，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点D，P为该直线上一动点，连接，将绕P顺时针旋转一定角度得到． (1)求二次函数与直线的函数表达式． (2)如图1，若点Q恰好落在抛物线位于第四象限的图像上，连接交于点E，连接，，当△CEQ与的面积之比最大时，求点P的坐标． (3)如图2，若，在点P运动过程中，当点Q落在抛物线上时，求点Q的坐标，连接，，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1)，；(2)． (3)Q的坐标为或，周长最小值为． 【分析】（1）首先根据点B的坐标求出直线的函数表达式，进而得到点C坐标，再将A、B、C三点坐标代入二次函数解析式，即可求得抛物线函数表达式； （2）过A作轴交于点M，可以得到M点坐标，求出，过Q作轴交于点N，设，则，再根据直线平行得到三角形相似，两个三角形面积比转换为线段之比，用含有m的代数式表示，根据二次函数的图象和性质求得△CEQ与的面积之比最大时m的值，得到点Q坐标，最后根据，得到P点坐标； （3）①过Q作于点M，得到，进而得到，，，将Q点坐标设出来，得到一元二次方程，求解，即可得到Q点坐标； ②当点P与点D重合时，，此时，点Q位于处，作直线，可得直线为点Q运动的轨迹，易求直线的解析式为，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时周长最小． 【详解】（1）解：对，由于过点，∴．∴． 令，则．∴ ． ∵的图像过，，三点． ，解之得 ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，过A作轴交于点M，则，∴ 过Q作轴交于点N，设，则． ∴． ∵，∴． ∴． ∵，， 当时，∴有最大值．∴． 设，由得，． ∴，∴· （3）①如图，过Q作于点M， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，∴，． ∴． 设， ∴，∴． ∴Q的坐标为或． ②周长最小值为． 理由如下：当点P与点D重合时，，此时，点Q位于处，作直线，可得直线为点Q运动的轨迹，易求直线的解析式为．如图，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时周长最小，为． 3.（2024·四川成都·二模）【阅读理解】对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴交于A，B两点，点C的坐标为，抛物线的图象经过A，B，C三点． (1)求抛物线G的表达式； (2)点为第一象限抛物线上的一点，连接交于点，连接，记△BDE的面积为，的面积为，若，求d（点D，△ABC）的值； (3)已知坐标系中有一直线，若，求t的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先求和的坐标，然后用待定系数法求抛物线的解析式； （2）由和的面积之比得到的比值，设点的坐标，得到点的坐标，再代入抛物线求得点的坐标，然后连接，过点作于点，过点作于点，然后用等面积法求得，即为（点，的值； （3）由得直线与抛物线没有交点，先求得直线与抛物线只有一个交点时，得到直线，与抛物线的交点为，与轴的交点为点，然后向外平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，与轴的交点为，进而利用直线的性质求得点的坐标，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：对，当时，，当时，， ，， 抛物线经过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， ， 抛物线的表达式为． （2）， ， ， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 将点的坐标代入抛物线，得， 解得：， 点，点， 如图1，连接，过点作于点，过点作于点，则轴， 点， ，，， ， ， （点，； （3）， 直线与抛物线没有交点，且最近的距离为2， 如图2，当直线与抛物线只有一个交点时，得到直线， 则方程只有一个实数根， ， ， 记直线与抛物线的交点为，与轴的交点为点，则， 将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线， 此时，， 过点作轴，交直线于点，则， ， 是等腰直角三角形， ， 记直线与轴的交点为，则四边形为平行四边形， ， 点的坐标为， 的取值范围为． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，动直线与反比例函数的图象交于点，与直线交于点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)当为何值时，的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，的顶点在反比例函数的图象上，点为反比例函数图象上一动点，过点作轴交于点，交于点．当点的纵坐标为2，点的横坐标为1且时，求的值． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为；(2)当时，的面积最大，且最大值为； (3) 【分析】（1）将代入直线，求出的值，再将点的坐标代入反比例函数，求出的值，即可得到反比例函数解析式； （2）设，，则，进而表示出，结合二次函数的性质，即可求出最值； （3）先求出、两点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点的坐标，得出的长，然后利用平行四边形的性质，得出的长，即可求出的值． 【详解】（1）解：在直线上， ， ， 在反比例函数上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：动直线与反比例函数的图象交于点，与直线交于点， 设，， ， ， ，且， 当时，的面积最大，且最大值为； （3）解：点和点在反比例函数图象上，且点的纵坐标为2，点的横坐标为1， ，， ，， 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 轴，点在上， 点的纵坐标为， ， ， 四边形时平行四边形，， ， ， ． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)的面积为定值，的面积为4 【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，代入求解即可； （2）根据与的面积之比是，通过线段比例关系和韦达定理求解的值； （3）通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：若与的面积之比是， 则， ∵点在同一直线上， 则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得， ∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：点关于轴的对称点， 直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 将点的坐标代入上式得： ， 整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 同理可得，的表达式为： ， 联立上述两式得： ， 解得：， ， 则， ， ， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为， ∴． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A，． (1)若点A的坐标为，求a，b的值； (2)如图2，在（1）的条件下，若C是直线下方抛物线上一动点，求△ABC的面积最大时点C的坐标； (3)在第二象限内有一点，连接并延长交抛物线于点E，连接并延长交抛物线于点F，连接．若对于任意b值（且），总有，求a的值． 【答案】(1)，(2)面积最大时点(3) 【分析】（1）将点A坐标分别代入直线与抛物线方程求得未知数即可； （2）联立直线方程与抛物线方程，求得点B，当点C到直线度距离最大时，三角形的面积取得最大值，将直线向下平移得到的解析式为，与抛物线方程联立，令，解得，则平移得到的解析式为，即可求得面积最大时点C坐标为； （3）根据题意直接取，此时直线的表达式为：，将直线与抛物线进行联立求得点B坐标，求得直线表达式为：，进一步求得点F坐标为，同理，求得直线表达式为：，），将直线与抛物线联立，求得点E坐标为：，结合题意可得比例系数相等即可求得a． 【详解】（1）解：将点A，代入直线，得， 将点A代入，得， 故，； （2）解：联立直线方程与抛物线方程，即， 解得另一交点B的坐标为：， 当点C到直线度距离最大时，三角形的面积取得最大值， 将直线向下平移得到的解析式为， 与抛物线方程联立得，则， ，解得， 则平移得到的解析式为， 此时，交点C即为面积最大，点C坐标为； （3）解：对于任意b值（且），总有， 则直接取， 此时直线的表达式为：， 将直线与抛物线进行联立，即，设点A在点B左侧， 解得：A点坐标为，点B坐标为， 设直线表达式为：， 将B，D两点分别代入求得，解得 直线表达式为：， 将直线与抛物线联立， 即，解得点F坐标为， 同理，设直线为，将A，D两点分别代入求得， 直线表达式为：，）， 将直线与抛物线联立，即， 可化为：， 由一元二次方程的求根公式可得，该方程组的解为：， 经化简可得点E坐标为：， 设直线方程为：，将E，F两点坐标代入得， 直线的比例系数为：， ， 直线与直线比例系数相等，即，解得；且满足，上述成立． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线的图象与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C，抛物线上有一动点E，连接，过点E作直线轴于点F，交直线于点H． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知直线与抛物线交于点，，且线段，求t的值； (3)连接，交直线于点Q，当点E在直线上方的抛物线上时，是否存在一点E，使?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2) (3)存在点或，使 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）联立，得，设，，则，是关于x的一元二次方程的两根，根据根与系数的关系得出，，根据，利用两点间距离公式得出，得出，求出t的值即可； （3）先求出直线的函数表达式为，根据，得出，证明，得出，求出，设，则，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：联立，得， ∵直线与抛物线交于点，， ， ， 由题意可设，，则，是关于x的一元二次方程的两根， ，， ∵线段， ， ， ， ， 即， 解得：． （3）解：存在点或，使． 理由如下：由题易知，， 设直线的函数表达式为，代入，，得： ， 解得， 直线的函数表达式为， ∵， ， ∵， ， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ∵， 存在点或，使． 8．（2024·四川成都·一模）抛物线与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标； (2)如图1，连接，过点B作，交抛物线于点D，直线交于点P，求的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线上一动点（不含C点），作交抛物线于另一点N，直线交于点E，若，求点E的坐标（用含h的式子表示）． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）当时，，解方程即可； （2）分别求直线的表达式，再求出点P的坐标，过点P作轴于点E，由，即可求解； （3）设，设，可求，联立，求得，求出，同理可求，联立：，求得点，过点E作轴交于点F，则，由，得，即：，解得，则，故． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设，代入A、C， 得：， 解得：， ∴， ∵， ∴设， 代入点B，得：， ∴， ∴， 联立， 解得：或（舍）， ∴， 同理，可求，， 联立， 解得， ∴， 过点P作轴于点E， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：设， ∵，， ∴设， 代入点得，， ∴， ∴， 联立， 得：， 整理得：， ∴， ∴， 设，代入点A、N得， ， 解得：， ∴， 同理可求， 联立：， 解得：， ∴点， 过点E作轴交于点F， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 9．（2023·四川成都·模拟预测）已知抛物线与轴交于、两点（A在B左边），与轴交于点C．直线经过B、C两点． (1)若B点坐标为 ①求此时抛物线的解析式和直线的解析式； ②如图1，点P为上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． (2)如图2，直线沿方向，向左平移3个单位得到直线，将直线上方的抛物线图象沿直线翻折后恰好与直线有且只有一个交点，求此时直线的解析式． 【答案】(1)①抛物线解析式为，直线解析式为；② (2) 【分析】（1）①由，解得，从而得抛物线解析式为，令，得 ，从而得，即可用待定系数法法求解； ②先求出，过点P作轴，交于点Q，设，则点，则，根据，再由，得，求解即可； （2）先求得点，再利用待定系数法求得直线解析式为，根据一次函数平移规律：左加右减，上加下减：求得向右平移3个单位后的直线的解析式为，联立，化简得，，根据直线与抛物线有且只有一个交点，则此方程判别式，解得，又A在B左边，所以∴，即，求得，得出直线的解析式为，然后根据对称性质求出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：①由题意得，解得 ∴抛物线解析式为 令，得 ， ∴， 设直线为， ∴ ，解得， ∴直线解析式为， ②， 过点P作轴，交于点Q， 设，则点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中令得，， ∴点， 设直线解析式为 把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴向右平移3个单位后的直线的解析式为， 联立， 化简得，， ∵直线与抛物线有且只有一个交点， ∴此方程判别式， 解得， ∵A在B左边， ∴ 即 ∴ ∴直线的解析式为， ∴将直线上方的抛物线图象和直线沿直线翻折后，则直线与直线重合， ∴此时的解析式为． 10．（2024·四川成都·二模）抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，直线交抛物线于，两点，为抛物线顶点，连接，，若面积为，求的值； (3)如图2，，是直线上的两个动点，在点左边且，是直线下方抛物线上的点，，，求满足条件的点的横坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于，由顶点坐标为，则坐标为，得出，设，横坐标分别为，，则，联立整理得，根据根与系数的关系得出，即可得出的值； （3）过作直线，垂足为，过作轴交直线于，设，则，求出，得出，，由等面积法得出，求出，得出平移后的解析式为，联立，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 坐标为，坐标为， 将，坐标代入得， 得，， ∴； （2）解：过点作轴交于，   ， ∴顶点坐标为， ∴坐标为， ， 设，横坐标分别为，，则， 联立整理得， ∴，， ∴， ， 解得， ， ； （3）解：过作直线，垂足为，过作轴交直线于，    在中，，，， 设，则， 由得， ，， ∵，即 ∴， 轴得，得为等腰直角三角形， ， 将直线向下平移得， 联立得， 点横坐标为或． 题型二：二次函数综合之定点定值定直线定角问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过定点． 【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解； （2）设，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出； （3）先求出新抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且、，根据，得到，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点． 【详解】（1）解：令，得， ， ， ， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ，， ， ， 解得：或， 点在第一象限， ， ，， ； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线， 新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，， ， ， ， 整理得：， 联立，得， ，， ， ， ， 即， 或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为， 直线恒过定点． 2．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，是抛物线对称轴上一点．    (1)求b，c的值； (2)如图①，连接，，求的值； (3)如图②，一次函数的图象经过点M，且与抛物线交于E，F两点，过E，F作直线的垂线，垂足分别为点G，H，连接，，试判断是否为定角，若是定角，求出其角度；若不是定角，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)是定角，角度为 【分析】（1）根据题意得到抛物线对称轴为直线，以及抛物线过点，建立等式求解，即可解题； （2）根据（1）得到抛物线的解析式，推出点C坐标，从而得到轴，利用平行的性质得到，利用勾股定理算出，最后根据锐角三角函数求解，即可解题； （3）根据题意得到，联立抛物线求解，得到得，设，，则，．设与抛物线对称轴的交点为K，得到，证明，再利用相似三角形性质结合等角转换得到，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线过，且对称轴为直线， ， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为， 将代入得， ． 点M的坐标为， 轴， ． ，M， ， ； （3）解：是定角，角度为， 一次函数的图象过点M， ，即， 一次函数的解析式为． 联立 得， ，． 设，， ，． 如解图，设与抛物线对称轴的交点为K，   ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ． ， ， ． 3．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．      (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值； (3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)定值，，理由见详解 【分析】（1）将、代入解析式即可求解； （2）可求直线过定点，设，则有，，可求或，①当时，过作交于，过作交于，可求，从而可求，求得，接可求解；②当时，由①同理可求，即可求解； （3）分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，可求，从而可得，从而可求，可得，由和可证，从而可得，即可求证． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， 当时， ， ， 故抛物线的函数表达式为，的坐标为． （2）解：由得 ， 当时，， 直线过定点， 设，， 则有，， 线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分， 或， ①当时， 如图，过作交于，过作交于，    ， ， ， 或， 或， ， 整理得：， 解得：或， 此时， （舍去）， 故， 当时，， ， 当时， 解得：； ②当时，如图，    由①同理可求， 当时，， ， 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或． （3）解：定值，； 理由：如图，分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，   ， ， 由（2）得：， 整理得：， ， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 (3)是为定值， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点．设，则．得到．进而得出．由抛物线的对称性可知，得出．表示出，由二次函数的性质即可得出答案； （3）设直线的函数表达式为．，，联立，得．从而得出，．设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为．推出点坐标也可表示为，再分别求出，．即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设抛物线的函数表达式为． 代入点，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：对于，令，则，解得或3． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 如图，过点作轴，交于点． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为． ∴． ∴． ∴． 由抛物线的对称性可知， ∴． ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． （3）解：是定值，．理由如下： ∵直线过点， ∴可设直线的函数表达式为． 设，， 联立， 整理，得． ∴，． ∵直线，均过点， ∴设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为． 又∵点在直线上， ∴点坐标也可表示为． 将代入，可解得． 对于，令，则， ∴． 同理可得，． ∵， ∴，． ∴． 而 ， 又∵，， ∴． ∴． ∴，为定值． 5．（2024·四川成都·二模）如图，抛物线的图象与轴交于点、，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M（与点A不重合）是抛物线上一点，连接、、，若，求点M的坐标； (3)抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G、H两点，直线、分别与x轴交于点M、N，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)是定值， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，直角三角形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点代入可求的值，即可确定函数解析式； （2）过点作轴，过点作交于点，则，设，则，即可求； （3）设直线，，，当时，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，分别求出，，，即可求． 【详解】（1）解： 点， ， ， ，， ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 过点作轴，过点作交于点， ， 设，则， 解得或， ∴； （3）解：是定值，理由如下： ， ，， 设直线，， 当时，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，， 当时，， ，， ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据题意设，，分两种情况进行讨论，当为平行四边形对角线时；以及为平行四边形对角线时，即可得到答案． （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：点为抛物线上一点， 设， 点为轴上一点， 设， 当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ①为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式， ， 解得， ， ②为平行四边形对角线时， ， 解得， ， 此时点和点重合，故该情况不成立， 综上所述，点的坐标； （3）解：设的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 表示为：， 得， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 表示为：， 得， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接并延长至点C，使得，平分，且于点H，连接，当点F在抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)如图3，过点F作，交线段上方的抛物线于点G，过点G作于点E，交于点I，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)的值是定值，定值为 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把A、D的坐标代入求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线．当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为，可求．连接、，利用等腰三角形三线合一的性质以及等边对等角可得出，结合角平分线定义，平行线的判定可得出，则，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点A作于点L，过点F作于点K．根据A、D的坐标可判定出，进而可判定为等腰直角三角形．设，则，由，根据正切的定义可求出，进而求出．又∵中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为． 将，，代入，得，， 解得：， ∴； （2）解∶ ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为，则，即． 如图，连接、， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点F运动至抛物线的对称轴上时，的面积为； （3）解：如图，过点A作于点L，过点F作于点K． 由题意得，， ∴． ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，即为等腰直角三角形． 设，则， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵中，，， ∴， ∴， ∴的值是定值，定值为． 8．（2024·四川成都·三模）已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点． (1)若，，． ①求该抛物线解析式； ②抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若中恰有两个点落在抛物线上，求此时点的坐标；（点不与点重合） (2)如图2，点和点在抛物线上，其中在点左侧抛物线上，点在轴右侧抛物线上，直线交轴于点，直线交轴于点，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 【答案】(1)①；②或(2)为定值1，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，运用待定系数法求函数解析式，以及中心对称等知识： （1）①运用待定系数法求解即可； ②根据中心对称的性质，分在抛物线上，三种情况讨论求解即可； （2）设直线的解析式为，直线的解析式为，则，，由得，联立方程组，由根与系数和关系可得出结论 【详解】（1）解：①将，，代入得： 解得 故抛物线解析式为， ②解：∵，，则 又∵ ∴，即， 依题意，轴，， 当两个点落在抛物线上，如图所示， 设的纵坐标为， 则即的解为的横坐标，设的横坐标为 ∴， ∵ ∴ 即 解得：， 解方程 解得：， ∴ 又∵， 设 ∴ 解得：； ∴； ②如图所示，当在抛物线上时， 依题意，四边形是平行四边形，为对角线交点， ∴， ∵， 设，根据平移的性质可得 又∵，在抛物线上， ∴ ∴ ∵，观察图形，不能同时落在抛物线上， 综上所述，或 （2）解：∵抛物线解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为，直线的解析式为 ∴， ∴   ∵ ∴ ∴   ∴ （即  即点是的中点） ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ，， ∴   ∴ 又∵直线经过抛物线上两点、 ∴ ∴的两个根为和 ∴ ∴而   ∴ ∴ ∴为定值1． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标； (3)请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E． 【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)2 【分析】本题考查了二次函数的性质与一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数求抛物线的解析式即可； （2）连接，过点M作轴交于点H，先求出直线的表达式为，设点，则点，根据四边形的面积求出m的值即可得出点M的坐标； （3）先依题意作图，设点M、N的坐标分别为、， 由点M、N的坐标可得直线的表达式为：，进而得出，再求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于，两点， ，解得， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，过点M作轴交于点H，如图所示： 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则点， 则四边形的面积 ， 解得：， 故点； （3）解：依题意作图如图所示： 设点M、N的坐标分别为、， 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 的表达式为：， 将代入得：， 整理得：， 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，可得， 解得：， 可得：， ， 则 ． 10．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，直线l：（）与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)如图1，若A、B两点的横坐标分别是，2，求直线l的关系式； (2)如图2，若直线l与y轴的交点，且点B是线段中点，求k的值； (3)如图3，若直线l运动过程中，始终有，试探究直线l是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在定点，且为 【分析】（1）把A、B两点的横坐标，2，分别代入解析式，确定，根据直线l的关系式为，代入解答即可； （2）设点，结合点，且点B是线段中点，得到，根据点B在抛物线上，代入计算即可； （3）设，则是方程的两个根，得到，结合始终有，利用勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）把A、B两点的横坐标，2，分别代入解析式， 得， ∴， 解得， 故直线l的解析式为． （2）设点， ∵点，且点B是线段中点， ∴， ∵点B在抛物线上， ∴， 解得（舍去）， 故， ∴， 解得， 故． （3）设，则是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴， 解得， 故直线的解析式为， 故不论直线如何运动，一定都经过点，是定点． 11．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点P的坐标为 (3)点T在定直线上，该直线解析式为 【分析】（1）由题意易得，然后利用待定系数法可求解函数解析式； （2）由（1）可得，则有直线的解析式为，连接，过点P作轴交于点M，设点，则，则，然后根据铅垂法及二次函数的性质可进行求解； （3）由题意可知平移后的二次函数解析式为，则有，根据中点坐标公式可得，设点，然后可得直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，进而可联立函数解析式进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有，即；当时，则有； ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， 当时，则有，解得：， ∴， 由可设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有，即， 连接，过点P作轴交于点M，如图所示： 设点，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：点T在某条定直线上，理由如下： 由题意可知平移后的二次函数解析式为，则联立方程得：， 解得：， ∴， ∵点H是线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：，即， 设点，直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 代入点H得：， ∴， 同理可得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：， ∴代入直线的解析式得， ∴， 设点T在直线，则有： ∴，即， 整理得：， 比较系数得：， ∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件， ∴点T在定直线上． 题型三：二次函数综合之三角形存在性问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为抛物线上异于点的一动点，直线与轴交于点，点关于直线的对称点为．直线与抛物线交于另一点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线的表达式为，试探究k是否为定值．若是，请求出k值；若不是，请说明理由； (3)若为直角三角形，求点A的坐标． 【答案】(1)；(2)为定值，理由见解析 (3)点的坐标为或或或． 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）求点，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到，即，即可求解；当为直角时，过点作轴的平行线，过点作的垂线，垂足分别为点，求得，，，，证明，利用相似三角形的性质列式计算可求解；当为直角时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，则， 将点的坐标代入， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：为定值，理由： 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 令， 解得：，则点， 则点， 由点、的坐标得，的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 即； （3）解：当为直角时， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由（2）知，，， 则，，，， ，， ， ，即， 解得：或， 即点的坐标为：或； 当为直角时， 即， 过点作轴的平行线，过点作的垂线，垂足分别为点，如图， ∵，，， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 则点； 当为直角时， 即， 同理，求得， 则点， 综上，点的坐标为或或或． 2．（2022·四川成都·二模）如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 【答案】(1)，(2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出的值； （2）连接，作轴于，作轴于，证明，可得，，故抛物线的顶点的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于，于，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点的坐标为，再分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； （2）对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于， ∵， ∴， 根据题意，点，关于点成中心对称， ∴过点，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∵抛物线由绕点旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； （3）∵抛物线由绕轴上的点旋转后得到， ∴顶点，关于点成中心对称，由（2）知，点的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于，于， ∵旋转中心在轴上， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，和不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴，∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点的坐标为或或． 3．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若，连接，求的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时，是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)2(3)存在， 【分析】（1）结合抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．得出，，即可作答． （2）根据一次函数的性质，得出，，结合反比例函数的图象性质，得出，证明，因为，则，即，，建立方程组进行计算，然后运用割补法列式的面积，进行作答即可． （3）设的交点为M，过点M作轴，过点A作，联立抛物线和直线得到，然后求出，，，，然后求出，表示出，然后根据等边三角形的性质得到，然后证明出，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点． ∴ ∴ 把代入 ∴ ∴ ∴该抛物线的函数表达式． （2）解：∵直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． ∴当时，则 ∴ ∴当时，则 ∴ 则 设 如图：过点A作轴，连接， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 把代入，解得（正值已舍去） ∴ ∴， ∴ 解出 ∴ ∵，， ∴的面积 ∴； （3）解：如图所示，设的中点为M，过点M作轴，过点A作 ∵抛物线和直线 ∴联立得， 整理得， 解得 ∴， 代入得，， ∴， ∴ ∴ ∵点M为的中点 ∴ ∴， ∵是等边三角形，点M为的中点 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数） 的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，以直线为对称轴的拋物线（a、b、c为常数，且）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（参考公式：在平面直角坐标之中，若，则A，B两点间的距离为） (1)求m的值及抛物线的函数表达式； (2)是否存在抛物线上一动点Q，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出Q点的横坐标；若存在，请说明理由； (3)若P是抛物线对称轴上一动点， 且使周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于两点，试问 是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由． 【答案】(1)，(2)存在，Q点的横坐标为5.2或8.2 (3)为定值 【分析】（1）先把代入一次函数中，解方程即可得m的值，即可得一次函数解析式，进而求出一次函数的图象与y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）分两种情况，利用相似三角形的对应边成比例的性质列出比例方程求解：①若C为直角顶点，作交抛物线于点Q，轴于E，易证；②若A为直角顶点作交抛物线于点，轴于，易证． （3）利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质确定出的周长最小时点P的坐标；从而表示出过点P的直线的表达式；把代入 ，整理得出关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得两点坐标间的关系；利用两点间的距离公式，分别求得线段和的长度，通过计算比较即可得到． 【详解】（1）解：一次函数 (m为常数)的图象与x轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∴C点坐标为， ∵以直线为对称轴的抛物线 (a、b、c为常数，且)经过、， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在，设， ①当点C为直角顶点时，如图，作交抛物线于点Q，轴于E． 在与中， ， ∴， ∴ ，即 ， 解得 (不合题意舍去)； ②当点A为直角顶点时，如图，作交抛物线于点，轴于． 在与中， ， ∴， ∴ ，即 ， 解得 (不合题意舍去)． 综上所述：Q点的横坐标为5.2或8.2； （3）解： ∵ 与x轴交于、B两点，对称轴为直线，   ∴B点坐标为， ∵， ∴设直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设过点P的直线为：， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， 整理得，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ， ∴ ， ∴为定值． 5．（2022·四川成都·三模）【阅读理解】 定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”． 例如，将点（m为任意实数）“去隐”的方法如下： 设，， 由①得 将③代入②得，整理得， 则直线是点M的运动路径． 【迁移应用】在平面直角坐标系中，已知动点（a为任意实数）的运动路径是抛物线． (1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式； (2)记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线始终过点A，点C的对应点为． ⅰ）试确定点运动路径所对应的函数表达式； ⅱ）在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)ⅰ）；ⅱ）或． 【分析】（1）设，，可得； （2）ⅰ）设抛物线的解析式为，由，可得； ⅱ）在上，则C点关于直线的对称点为，此时，为等腰三角形；设，当时，；当时，只能在右侧不符合题意． 【详解】（1）解：设，， 由①得③， 将③代入②得； （2）解：， ， 令，则， 解得或， 点A在B的左侧， ，， ⅰ）设抛物线的解析式为， ， 平移后的抛物线过点， ， 令，， ； ⅱ）存在点，使为等腰三角形，理由如下： 在上， 点关于直线的对称点为， 此时，为等腰三角形； 设， 当时，， 整理得：， 解得或（舍）， ； 当时，只能在右侧，此时不符合题意； 综上所述：点的坐标为或． 题型四：二次函数综合之四边形存在性问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，对称轴为的抛物线与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的表达式； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为9？ (3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．已知为直线上的动点，过点作轴于点，连接，若四边形是以为和谐线的和谐四边形，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或或或或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）分，，，四种情况讨论即可； （3）在直线取点，把点E绕O顺时针旋转，使E和F重合，求出直线解析式，利用韦达定理确定直线与抛物线没有交点，从而得出不可能等于，当M在第三象限时，是钝角，显然该情况不符合题意，则M只能在第一象限，由于与是不平行的，故四边形中，不可能等于，只可能等于，则是y轴负半轴与或y轴正半轴与的平分线，然后分别求出直线解析式，与抛物线解析式联立方程组，求出点P的坐标，再根据把四边形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质和两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为的抛物线与轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵对称轴为的抛物线与轴交于点， ∴A关于对称轴的对称点为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ①当时， ∵y随x的增大而减小， ∴当时，， 当时， ∴ 解得，（不符合题意，舍去） ②当时， ； ③当时， 当时，， 当时， ∴ ④当时， 当时，， 当时， ∴ 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去） 综上，当或时，图象的最大值与最小值的差为9 （3）解：在直线取点，把点E绕O顺时针旋转，使E和F重合， 过E作轴于G，过F作轴于H， 则，，，， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， 设直线解析为， 则，解得， ∴， 联立方程组， 整理得， ∴， ∴直线与抛物线没有交点， ∴不可能等于， 当M在第三象限时， 当点P在直线上方时，四边形不存在， 当点P在直线下方时，四边形不存在， 故此种情况不符合题意； 当M在第一象限时，设， 由于和不平行，则四边形中不可能等于，则， 当P在直线下方时， 在直线取点，在y轴上取点， ∴， 的中点，即， ∴直线的解析式为，平分， 联立方程组 解得，， ∴，， 当时，或， ①，， ∴， ∴， 则， 解得（负值舍去）， ∴， ②∵， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当时，或， ①，， ∴， ∴， 则， 解得（负值舍去）， ∴， ②∵， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当P在直线上方时， 在直线取点，在y轴上取点， ∴， 的中点，即， ∴直线的解析式为，平分， 联立方程组 解得，， ∴，， 当时，或， ①，， ∴， ∴， 则， 解得（负值舍去）， ∴， ②∵， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当时，或， ①，， ∴， ∴， 则， 解得（负值舍去）， ∴， ②∵， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上：M的坐标为或或或或或或或 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2) (3)M的坐标为或或或或 【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点可得、，运用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）根据二次函数图象与轴的交点可求出，如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则，设点的横坐标为，则，根据相似三角形的判定和性质可得，，结合直线可用含的式子表示点，再根据，列式得，由此即可求解； （3）根据题意可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，可知，设，由两点之间距离公式可得，，，根据菱形的性质分类讨论：①当为菱形的边时， ；②当为菱形的边时，；③当为菱形的对角线时，；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴、， ∵抛物线的图象经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，且， 解得， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则， ∵点在直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，则，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 解得，， 当时，；当时，， ∴，； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 在（2）的条件下，点位于对称轴左侧， ∴， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵， ∴，，， ①当为菱形的边时， ，如图所示，即， ∴， ∴， ∴或； ②当为菱形的边时，，如图所示，即， ∴， ∴或， ∴或； ③当为菱形的对角线时，如图所示，，即， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，M的坐标为或或或或． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 【答案】(1)(2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①联立两方程得到，然后设，，得到，然后求得点D的横坐标，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长，然后求出直线，即可求b值； ②分为点P在抛物线上和点Q在抛物线上两种情况，利用全等三角形，结合一次函数的解析式即可解题． 【详解】（1）∵， ∴，，. 设抛物线的表达式为.将代入，得. ∴抛物线的函数表达式为，即. （2）①联立.整理，得. 设，. 由根与系数的关系，得. ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为.将代入，得. ∴点D在直线上运动，且.…… 如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长. 设直线的函数表达式为， 将，代入，得.解得. ∴直线的函数表达式为， 令，得. ∴. 将点代入，得. ②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p. 由①知，， ∴. ∴. 同理可得，即. ∴. ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为， ∴. ∴，即. ∴. ∴. ∴. （ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q. 由①知，，， ∴，. ∴，. 由（ⅰ）得， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴. ∴，. ∴. 综上所述，正方形有三个顶点在抛物线上时，正方形的面积为或. 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，(3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）将A代入即可求解； （2）根据解析式确定抛物线必过定点和，，分为①当时，②当时，两种情况分别画图求解即可； （3）求出直线的解析式，设P，Q，分为①，②，两种情况分别求解即可； 【详解】（1）解：将代入， 解得， ； （2）， 当或者时，， 无论a为何值，抛物线必过定点和， 点M和点C重合， ， ①当时，如图1，为等腰直角三角形， ， ②当时，如图2，为等腰直角三角形， ； 图1                                                  图2 （3）直线的解析式为，过点A，C， 求得直线的解析式为， 设P，Q， M，H1， ①如图3，， ， 解得， P1， 根据菱形性质，可以得出Q1， ②如图4，， ， 解得， P2， 根据菱形性质，可以得出Q2， 综上所述：点Q的坐标为或． 图3                                                        图4 5．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，连接，，的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点，当时，求的值； (3)抛物线与关于轴对称，若点是抛物线上一点，点在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标． 【答案】(1)；(2)或 (3)点横坐标为或或或． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据面积求出，将点代入函数解析式即可求的值，从而确定函数解析式即可； （2）由题可知，再分别求出，，则，，根据，建立方程求出的值即可； （3）由对称性可求，当点在轴下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，可证明，设，则或，将点代入函数解析式求出的值即可求点横坐标；当点在轴上方时，同理可得或，再求点横坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 、的中点为， ， 的面积为， ， 解得， ， 将点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ∵轴， ， ∵轴， ， ，， ， ， 解得或， ， 或； （3）解：抛物线与关于轴对称， ， 当点在轴下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， 设， ，， ， ， 解得（舍）或， 点横坐标为； 同理可得， ， 解得或（舍）， 点横坐标为； 当点在轴上方时，同理可得， ， 解得或（舍， 点横坐标为； 同理可得， ， 解得或（舍， 点横坐标为； 综上所述：点横坐标为或或或． 6．（2023·四川成都·二模）抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点.    (1)求抛物线的表达式； (2)若D是第一象限抛物线上的一个动点，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标，此时四边形的最大面积是多少； (3)点E在直线上，点F在平面内，当以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点F的坐标. 【答案】(1)(2)；四边形的最大面积是 (3) 或 或 或 【分析】（1）抛物线经过点，，代入即可求出解析式； （2）由（1）知，令，可求出点， 连接， 设：，，当时，即时四边形的面积有最大值，同时可求出最大面积． （3）若以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，则为直角三角形，所以分三种情况讨论，当时，；当时，；当时，，分别根据式子即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：由（1）知，令，则， ∴，， ∴， 连接， 设：，   ∴， ， ， ， ， ， ∴当时，即时四边形的面积有最大值． （3）解：设，连接，   ∵，， ∴，，， 若以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，则为直角三角形，设, 当时，， ∴， ∴， 此时与为对角线， ∴，解之得，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 此时与为对角线， ∴，解之得，则， ∴， 当时，， ∴， ∴或， 此时与为对角线， ∴，解之得，则， ∴或， 综上所述：当以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，点F的坐标为 或 或 或 ． 题型五：二次函数综合之相似问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线经过点，交抛物线于另一点．是线段上一点，过点作直线轴交抛物线于点，且，求点的坐标； (3)，是抛物线上的动点（不与点重合），直线，分别交轴于点，，若，求证：直线经过一个定点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）将，代入即可求解； （2）先求出直线解析式，得到点C的坐标，设，则，由，建立关于m的方程求解即可； （3）设，求出直线的解析式，利用，得到，进而得到，代入直线即可得出结论． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得：， 解得：或， ， 设，则， ， ， 整理得：， 即或 解得：或或， 是线段上一点，，， ， ； （3）解：设， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 当时，， 直线经过一个定点． 2．（2024·四川成都·三模）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)A，B是抛物线上的两动点，点A在点B的左侧． ①当点A，B均在对称轴的右侧时，若是以为直角的直角三角形，且，点A和点B的坐标； ②如图2，点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，设l与直线交于点Q，是否存在m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，证明，求出点坐标，根据点都在抛物线上，进行求解即可； ②设直线，将点代入，得到，联立直线和抛物线的解析式，求出，，设直线与对称轴交于点，过点分别作，，得到，，根据，推出，进而得到，推出，根据恒成立，得到，即可得解． 【详解】（1）解：∵是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为 ∴，解得：； ∴； （2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∵是抛物线上的两个动点， ∴，解得：（点左侧的舍去） ∴，； ②设直线，把，代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴，， 设直线与对称轴交于点，过点分别作，， 则：，， ，， ∴，， ∴， 当时，即：，则：， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴． 3．（2024·四川成都·三模）如图，函数 的图象经过点 ，两点，m、n分别是方程 的两个实数根，且m<n． (1)求m，n的值以及函数的解析式； (2)设抛物线 与x轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接． 求证： ； (3)对于（1）中所求的函数 设函数y在内的最大值为p，最小值为q，若，求t的值． 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)或 【分析】（1）解一元二次方程，求得，，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据二次函数的性质得出，勾股定理得出，勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据对应边成比例，且，即可得证 （3）分5种情况：①当函数y在内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当时；③当函数y在内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当时，⑤函数y在内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答． 【详解】（1）解：，分别是方程的两个实数根，且， ∴， ，， ，， ，， 把，代入得， ， 解得， 函数解析式为． （2）证明：令，即， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， ，， ∵ 对称轴为，顶点， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 在和中， ，， ， ； （3）①当函数y在内的抛物线完全在对称轴的左侧，当时取得最小值，最大值， 令，即，解得． ②当时，此时，不合题意，舍去； ③当函数y在内的抛物线分别在对称轴的两侧， 此时，令，即 解得：（舍），（舍）； 或者，即（不合题意，舍去）； ④当时，此时，不合题意，舍去； ⑤当函数y在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时取得最大值，最小值， 令，解得． 综上，或． 4．（2024·四川成都·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求△ABC的面积； (2)点为轴上一点，是否存在点，使得与△ABC相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)6(2)存在，点的坐标为或，理由见详解 (3)点坐标为，或． 【分析】（1）分别确定点的坐标，进而可得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）若与△ABC相似，则进行分类讨论，当或当，由相似三角形的性质可得对应边成比例，再代入数值进行计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：根据题意，点与点不重合，当时；当时，设交轴于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，结合点坐标可得，设，则，，进而解得，即可确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，求解即可确定点坐标；当时，同理可解． 【详解】（1）解：对于抛物线， 当时，可有，即， 当时，可有， 解得，， 即，， ∴，， ∴； （2）解：存在，点的坐标为，或 理由如下： ∵，，， ∴，，， 如下图，当时，    则有，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    则有，即， ∴， ∴ 则， 综上：或 （3）解：根据题意，点与点不重合；且，如图    结合二次函数的对称性，且 ∴ ∴ 则 ∵ ∴对称轴 则 则 ∴的坐标为 当时，如下图，    设交轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线解析式， 可得， 解得（舍去）或， ∴点； 当时，如下图，    设交轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线解析式， 可得， 解得（舍去）或， ∴点． 综上所述，点坐标为，或． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于另一点，交轴于点，且点的横坐标是，点的坐标是．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点作交于点，若点是线段上的一个动点，求出当与相似时点的坐标． (3)设抛物线的顶点为，过点的直线交抛物线于另一点，试探究：是否存在常数，使得以为直径的圆过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，二次函数图象与性质，二次函数与几何综合等知识： （1）分别求出点A和点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）求出点M的坐标，及，过点O作于点R，求出，证明，得出，设点Q的坐标为，得，，因为与相似，故分两种情况讨论求解即可； （3）求出抛物线顶点坐标，由过得，得，求出点,根据圆周角定理得,根据勾股定理可列出关于k的方程，求出k的值即可 【详解】（1）解：对于直线，当时，； 当时，； 所以，，， 把，，代入得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴, 过点O作于点R，如图，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 解得， ∴， 设，则： ， ∴ 因为与相似， 所以，当时，即， ∴ 解得，（舍去） ∴； 当时，即， ∴ 解得，（舍去） ∴； 综上，点Q的坐标为或； （3）解：， ∴抛物线顶点F的坐标为， ∵直线过， ∴ ∴ ∴ 联立方程组得，， 解得，， ∴， 假设是直径，则, 而，, ∵， ∴， 整理得， 解得，或， ∴， ∴    6．（2023·四川成都·三模）如图，直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求a，b的值； (2)将点A绕点C逆时针旋转至点D，试说明点D在抛物线上； (3)在（2）的条件下，平移直线交抛物线于点E，F（点E在F的左边），点G在线段上．（点E，F，G分别与点B，A，D对应），求点G的坐标． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】 （1）直接利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，先求出点的坐标，则，，，，由旋转的性质的，，根据同角的余角相等得，易通过，证明得到，，于是，则，再判断该点是否满足抛物线解析式即可； （3）联立两函数解析式求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，由，可设直线的解析式为，，得到直线的解析式为，再联立两函数解析式求得，延长交于点K，设与y轴交于点L，与y轴交于点Z，由，，不难证得，，于是求得直线的解析式为，直线的解析式为，再联立求得，由点在轴上可求出值，再代入即可求解． 【详解】（1） 解：由题意得：， 解得：； （2） 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， 由（1）可知，直线的解析式为， ，， 的坐标为． ，， ， 点绕点逆时针旋转至点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 当时，， 点在抛物线上； （3） 由， 解得：或， ， 设直线的解析式为， 将点．代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 可设直线的解析式为，， 直线的解析式为， 由， 解得：或， ， 如图，延长交于点K，设与y轴交于点L，与y轴交于点Z， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，设直线的解析式为， 直线过点，直线过点， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由， 解得：， ， 是直线上方的轴上一点， ， 解得：， ． 7．（2024·四川成都·一模）如图，直线 与y轴交于A，与x轴交于B，抛物线 与直线交于A，E两点，与x轴交于C，D两点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上一点，作轴交于于Q，当 时，求点P的坐标； (3)作交x轴于F，点G是第四象限内抛物线上一点，若以C，D，G为顶点的三角形与相似，求出点G的坐标． 【答案】(1)(2)点P的坐标为 (3)当G点坐标为或时，以C，D，G为顶点和三角形与相似 【分析】 （1）由直线的解析式得出点A，点B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先设出点P的坐标，求出点E的坐标，再推导出点Q的坐标，根据列出方程，通过解方程即可确定P的坐标； （3）先根据求出F的坐标，设出点G的坐标，根据相似三角形的性质，进行分类讨论，即可求出点G的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴当时，，则， 当时，，解得，则， 把点，，．代入中， 得：， 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）解：依题意，联立直线和抛物线的解析式， 得， 即 解得或， 把代入， 解得， 故， 设，其中， 则， 如图： ∵， ∴， 解得，（不符合题意，故舍去） ∴ （3）解：过E作 轴于H， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴，， ∴， ∵ ， ∴， 若， 则， 设所在的直线解析式为 ∵ 则所在的直线解析式为 ， 联立 整理得 ， ， 解得， ， 当时， ∴G点坐标为 ， 此时，， ∴，即， ∴， 故当G点坐标为时，， 由抛物线的对称性可知，关于对称轴直线的对称点， 此时， ∴， 综上所述，当G点坐标为或时，以C，D，G为顶点和三角形与相似． 8．（2023·四川成都·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线的对称轴是直线且经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式． (2)如图2，若点P为直线下方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②(2)面积最大为4， (3)存在，或或或 【分析】（1）①求解点坐标，根据二次函数的对称性求解点坐标即可；②待定系数法求解析式即可； （2）如图2，过点P作轴，交直线于点Q，设，则，，，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意得，，，由，可知是直角三角形，且，设，则，，，由题意知，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似，分和两种情况求解：①当时，则，即，整理得或；分别计算求解满足要求的解即可；②当时，则，即，整理得或；分别计算求解满足要求的解即可． 【详解】（1）①解：当，，解得， ∴， ∵，解得， ∴； ②解：∵直线与y轴交于点C， ∴ ∵抛物线过点、、， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图2，过点P作轴，交直线于点Q， 设，则， ∴， ∴，即， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4， ∴； （3）解：存在； ∵、、， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形，且， 设，则，，， 由题意知，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似，分和两种情况求解： ①当时，则，即， 整理得或； 解得，（舍去）或，即； 解得，（舍去）或，即； ∴为或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似； ②当时，则，即， 整理得或； 解得，（舍去）或，即； 解得，（舍去）或，即； ∴为或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似； 综上所述，存在，当为或或或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似． 9．（2023·四川成都·一模）如图，抛物线经过，，D为线段下方抛物线上一动点，过点D做于G． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点D其横坐标为：或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）①当，即时，证明，得到，进而求解；②当，即时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴、， 设抛物线的表达式为：， 则， 即， 解得：， ∴； （2）过点D作轴于点E，交于点F． ∵，， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 设，则， 则， 则， ∴当时，面积的最大值为9； （3）过点A作垂线交延长线于点Q，过点Q作轴于点M． ①当，即时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，   设直线的函数表达式为：， 把代入得： ，解得：， ∴直线的表达式， 联立得： ， 解得：或， ∴； ②当，即时， 由①可知， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： ，解得：， ∴直线的表达式， 联立得： ， 解得：或， ∴， 综上，存在，点D其横坐标为：或． 10．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)见解析(2)①；②或． 【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题； （2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值； ②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可． 【详解】（1）解：令，得， ， 令得， ， ， ，， ， ， ， ， （2）①设直线的解析式为：，代入，得 ， ， ， 设， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 即的最大值为9； ②点是的中点， 在中，， 即为等腰三角形， ， ， ， ， ， 若以点为顶点的三角形与相似， 则①， ， 又， ， ， ，， ， ，， 或， 经检验：不符合题意，舍去， ②， 又， ， ， ， 整理得，， ，， 或， 同理：不合题意，舍去， 综上所述，或． 题型六：二次函数综合之角相等存在性问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标C为，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线相交点D，与x轴相交于点M， (1)求抛物线的函数表达式． (2)连接，求四边形的面积． (3)若点E在直线上，且，求点E的坐标． 【答案】(1)(2)18(3)或 【分析】题目主要考查二次函数与几何问题，解三角形，轴对称的性质，待定系数法等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据抛物线的顶点坐标得出方程组求解即可； （2）设直线与x轴交于点K，交直线于点T，确定，，，得出，，结合图形即可求解； （3）作C关于B的对称点G，连接，过G作于点H，根据勾股定理得出，再由轴对称的性质确定C、B、G三点共线，利用三角形等面积法及正切函数求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标C为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）设直线与x轴交于点K，交直线于点T，如图所示： 联立 解得： 或， ∴， 在中，令得，令， ∴， 在中，令，得， ∴， ∴， ∴， ∵C为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为18； （3）作C关于B的对称点G，连接，过G作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C、G关于点B对称， ，， ∴C、B、G三点共线， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴或 ． 2．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和，与轴正半轴交于点，且，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在线段下方的抛物线上存在点，使，求点坐标． (3)若在抛物线上有一点，使，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式． （2）设，过点作轴交于点，如图1，运用待定系数法求得直线的解析式为，则，进而得出，根据即求解点坐标． （3）如图2，过点作轴于点，连接，则，，，根据等腰直角三角形的性质可得，，，，，，由三角函数定义可得，，过点在轴下方作轴，使，连接交抛物线于另一个点，可推出，求出直线的解析式为，在联立方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）抛物线与轴交于和， 设抛物线的解析式为， ， ， ， 点的坐标为， 将代入中， 解得， 抛物线解析式为， 即． （2）由（1）得， ， 设，过点作轴交于点，如图1，设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 则， ， ， ， ， ， 解得：． （3）， 抛物线的顶点， 如图2，过点作轴于点，连接， 则，，， 是等腰直角三角形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 过点在轴下方作轴，使，连接交抛物线于另一个点， 则，，， ， ， 设直线的解析式为， 则 解得： 直线的解析式为． 联立方程组得 解得，． 3．（2024·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． (1)若，求顶点D的坐标及线段的长； (2)当时，二次函数的最小值为，求m的值； (3)连接，，，若，求点C的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形、一次函数的图象和性质、二次函数的图象与性质： （1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或5，即可求解； （2）当时，函数在时取得最小值，即；当时，同理可解． （3）过C作x轴平行线l，过D作于点M，求出，，，得，证明，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 顶点， 令， 则 解得：或 ，， ； （2）解：二次函数对称轴为直线， ①当时，当时，时函数值最小， ， ， ，所以舍去； ②当时，时函数值最小， ， ， ， ； ③当时，时函数值最小， ， ， ，舍去； 综上所述，； （3）解：由整理得：， ，， ， ， ， 过C作x轴平行线l，过D作于点M， 则， ， ， ， ， ， ，，， ∴ ，解得：（负值舍）， 4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知直线与抛物线交于点、．    (1)若，且点坐标为，求抛物线解析式与点坐标； (2)如图1，若，将直线沿着轴翻折，在第四象限交抛物线于点，若，求的值； (3)如图2，已知抛物线与直线解析式分别为与，若点为抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上（与点、不重合），点是轴正半轴上的动点，记，，，，当满足的点有两个时，求的最小值，并求出此时的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)，， 【分析】（1）把点代入直线即求得直线解析式，把点坐标和代入抛物线解析式即求得的值进而得抛物线解析式，把直线和抛物线解析式联立方程组，解得的一个解为点坐标，另一解即为点坐标； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，设直线沿着轴翻折得到直线解析式为，所以点横纵坐标绝对值相等，由可得点横坐标为点横坐标的倍，所以，把点、坐标代入抛物线解析式，列得关于，，的方程组，运算即可； （3）先求得点，坐标，根据特殊角三角函数值求得，继而可得为等边三角形，进而可得点与点重合，点在轴上，由可得，过点作轴于点，可得，进而可得，代入运算求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，即直线为， ∵点在抛物线上，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 解得：（即点）， ∴点C坐标为； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，    ∴， ∵点在直线上，设， ∴，， ∵点关于轴对称点， ∴直线沿着轴翻折得到直线解析式为，， ∴、都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点、都在抛物线， ∴， 消去后整理得：，即， 消去后整理得：， ∴， ∴； （3）过点作轴于点，   解得：，， ∵点在第一象限， ∴，，， ∴， ∴， 设直线与轴交点为，则为等边三角形， ∴，， 设直线解析式为：， 解得：， ∴直线：， ∴联立可得：解得：（即点）， ∴点与点重合，点在轴上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴，故， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则原式， ∵， ∴当时，的最小值为， 此时，，解得：，， 当或时，均满足， ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上所述，的坐标为：，． 5．（2023·四川成都·模拟预测）定义：将二次函数的图象沿轴向右平移，再沿轴翻折，得到新函数的图象，则称函数是函数的“值衍生抛物线”．已知． (1)当时， ①求衍生抛物线的函数解析式； ②如图1，函数与的图象交于两点，连接．点为抛物线上一点，且位于线段上方，过点作轴，交于点，交抛物线于点，求与存在的数量关系． (2)当时，如图2，函数与轴交于两点，与轴交于点，连接．函数与轴交于两点，与轴交于点．点在抛物线上，且．请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)①；②(2)或 【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义即可得出答案； ②利用待定系数法求得直线的解析式，设，则得到，，利用得代数式分别表示出、的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出答案； （2）利用函数解析式求得点、、、、、的坐标，进而得出线段、、、、、的长，设直线得解析式为，设直线交轴于点，过点作于点，用得代数式表示出线段，，的长，利用，得到，列出关于得方程，解方程求得值，将直线的解析式与衍生抛物线得函数解析式联立即可得出结论． 【详解】（1）① 当时，将二次函数得图象沿轴向右平移个单位得： 此时函数的顶点坐标为 再沿轴翻折，得到新函数的顶点坐标为 沿轴翻折，得到新函数的形状大小不变，开口方向相反 沿轴翻折，得到新函数的解析式为 衍生抛物线得函数解析式为； ②，两点在抛物线上 ， ， 直线得解析式为 如图，设 轴 ， ， 与高相等 与存在的数量关系：； （2）点的横坐标为或，理由如下： 当时，函数得衍生抛物线得函数解析式为 令，则 令，则 解得：或 ， 令，则 令，则 解得：或 设直线交轴于点，过点作于点，如图 设直线得解析式为 令，则 ， ， 解得：或 直线得解析式为或 或 （舍去），或（舍去）， 点得横坐标为或． 6．（2023·四川成都·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴相交于点，且与直线：相交于点、两点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，设直线与轴交于点，若，求点的坐标； (3)如附图，若在轴上存在两个点、，使，且，求的值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为(2)(3)的值为 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）过作轴于，把代入得，知，因，故K为的中点，，可知，由得，从而，可得，； （3）由，知A，，，共圆，设A，，，所在圆的圆心为，过作于，连接，由得，，即得，，根据勾股定理有，即可解得的值为． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）过作轴于，如图：    把代入得：， ， ， 令得， ， ， 为的中点， ， 在中，令得， ， 由得：， 解得或，即， ， 或， ， ， ； （3）， ，，，共圆， 设，，，所在圆的圆心为，过作于，连接，如图：    把代入得：， ， ， 由得：或， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 解得或舍去， 的值为． 7．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的对称轴方程； (2)若点满足，求点的坐标； (3)设是抛物线的对称轴上一点，是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求此正方形的面积． 【答案】(1)(2)(3)正方形的面积为或 【分析】（1）由可知，，进而求得抛物线解析式为，即可得抛物线的对称轴方程； （2）由题意可知，可知，进而值为线段的垂直平分线，设其与交于点，可得，可求得的解析式为，联立求解即可； （3）由四边形是正方形，可知是等腰直角三角形，可得，，设，与轴交于点，分当点在轴上方时和当点在轴下方时分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，，即：，， 把，，代入得：，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴方程为； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为线段的垂直平分线， 设其与交于点，则点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴， 设的解析式为，代入，可得，解得， ∴的解析式为， 联立，解得：或（舍去） ∴    （3）∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设，与轴交于点， 当点在轴上方时，过点作于，此时，    则 ∴，则， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 则，，即：， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得：，（舍去）， ∴，则， ∴正方形的面积为； 当点在轴下方时，过点作于，此时，    则 ∴，则， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 则，， 即：， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得：，（舍去）， ∴，则， ∴正方形的面积为； 综上，正方形的面积为或． 8．（2023·四川成都·一模）如图，已知抛物线L：与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，抛物线与L关于y轴对称．    (1)求抛物线L的函数表达式和点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）将代入，即可得到抛物线L的函数表达式为，令即得； （2）过O作交抛物线于P，作P关于y轴对称点D，直线交抛物线于，根据抛物线与L关于y轴对称，得抛物线为，由、可得直线为，而交抛物线L′于P，知，P是满足条件的点，解析式为，解即得，由P与D关于y轴对称，得，知直线OD与抛物线L′的交点P'是满足条件的点，可得直线OD为，解即得． 【详解】（1）解：将代入 得：，解得， ∴抛物线L的函数表达式为， 令得， ∴； （2）解：存在点P，使得，理由如下： 过O作交抛物线于P，作P关于y轴对称点D，直线OD交抛物线于，如图：      ∵抛物线与L关于y轴对称，且抛物线L为， ∴抛物线为， 设直线解析式为，将、代入得： ，解得， ∴直线AC为， ∵交抛物线于P， ∴，P是满足条件的点，OP解析式为， 由得， 解得（舍去）或， ∴， ∵P与D关于y轴对称， ∴，， ∴， ∴直线与抛物线的交点是满足条件的点， 设直线为，则， ∴， ∴直线为， 解 解得：（舍去）或， ∴ 综上所述，P的坐标是或． 9．（2023·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，点为线段上方的抛物线上的一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点．    (1)求出二次函数的表达式； (2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标； (3)连接，，抛物线上是否存在点，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】（1）由题意得出方程组，即可求出二次函数的解析式为； （2）由待定系数法求出直线的解析式，证，只要，四边形即为平行四边形，由二次函数解析式求出点的坐标，由直线的解析式求出点的坐标，则，设点的横坐标为，则的坐标为：，的坐标为：，由得出方程，解方程进而得出答案； （3）由平行线的性质得出，当时，∽，则，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点， ∴把，，代入得：， 解得， 二次函数的表达式为：； （2）解：设所在直线的表达式为：， 将、代入， 得， 解得， 所在直线的表达式为：； 轴，轴， ∴， 只要，四边形即为平行四边形， ， 点的坐标为：， 将代入，即， 点的坐标为：， ∴， 设点的横坐标为， 则的坐标为：，的坐标为：， ∴， 由得：， 解得：（合不题意舍去），， 当时，， 点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：， ， 又∵与有共同的顶点，且在的内部， ∴， ∴当时，∽， ∴， 、， ∴， 由（2）得：，，的坐标为：， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， 当时，， 点的坐标为：； 题型七：二次函数综合之其他问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为，点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点B在直线上，且，求点C的坐标； (3)设抛物线的对称轴与x轴相交于点Q，过Q作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对称轴左侧抛物线上），求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意得出，，将点坐标代入求得的值； （2）作轴于，作轴于，可求得，进而得出，根据，得出，进一步得出点和点重合； （3）将轴向左平移4个单位，作于，作于，可得出抛物线的解析式为：，设，，可计算得出，，由得到，代入整理得到，然后计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 抛物线的解析式为：， 抛物线过点， ， ， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：如图1， 作轴于，作轴于， 由得， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 点和点重合， ； （3）解：如图2， 将轴向左平移4个单位，的值保持不变，此时原点是点，作于，作于， 抛物线的解析式为：， 设，， ，，，，，， ∵于，作于， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得， ∴， ∴ ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第二象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点． (1)求此抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 设，则，则，结合， 得到， 利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则，则， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当，有最大值，且最大值为． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)直线交抛物线对称轴于点，过点作，交过点且平行于轴的直线于点．试探究：无论取何值，始终成立． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，过作于，求解，证明，，可得，，设，可得，再进一步求解即可； （3）如图，记抛物线的对称轴与轴的交点为，过作轴于，可得，证明，再证明，可得，如图，当在下方时，同理可得：，可得； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：如图，过作于， ∵直线与抛物线交于点，与轴交于点， 当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴，， 设， 由， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴，即， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）； ∴； （3）解：如图，记抛物线的对称轴与轴的交点为，过作轴于， ∵轴， ∴， ∵的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当在下方时， 同理可得：， ∴； 4．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于点B，C（点B在点C的左边）． (1)求点A的坐标； (2)作点B关于x轴的对称点，若以点A，，C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值； (3)我们把平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．若直线）与抛物线所围成的封闭图形内部（不包含边界）的格点数有且只有6个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)(2)a的值为或1(3)或 【分析】此题考查了二次函数图象和性质、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）当时，求A点坐标即可； （2）分别求出、C坐标，可得，再分三种情况，利用勾股定理建立方程求a的值即可； （3）画出图象，结合图象，当直线经过点时，，此时有5个格点；当直线经过点时，，此时有6个格点；当时，此时有6个格点；即可求或，有6个格点． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）当时，解得或， ∴， ∵与B关于x轴对称， ∴， ∴， ①当为斜边时，， 解得或（舍去）； ②当为斜边时，， 解得或（舍）； ③当为斜边时，， 此时a无解； 综上所述：a的值为或1； （3）如图：当直线经过点时，，此时有5个格点； 当直线经过点时，，此时有6个格点； 当时，此时有6个格点； 综上所述：或时，有6个格点． 5．（2024·四川成都·三模）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用交点式求解即可； （2）讨论点在之间时，点与点重合时，点在之间时三种情况即可； （3）先利用构造相似得出，利用一次函数得出，联立一次函数与抛物线解析式得出，，判断出一次函数过定点，即可解决． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得：， 所以抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 代入和， 得， 解得， 所以直线的表达式为：， 由题意得，点，点，点， 则， ①当点在之间时， 存在点是的中点， 则， 化简得：， 解得：（舍去）或， 则； ②当点与点重合时，不存在； ③当点在之间时， 存在点是的中点， 则， 化简得：， 解得：（舍去）或， 则， 综上，或； （3）∵抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，抛物线与正半轴交于点， ∴抛物线向左平移个单位即可得抛物线， ∴抛物线的表达式为， 设点和点，且点在点左侧， 根据，可知图形有两种情况： 当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 化简得：； 当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点，    同理可得； 综上，， 联立与， 得：， 化简得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴直线过定点， ∴原点到距离的最大值即点到点的距离， 即． 6．（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长； (3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)(3)的面积是定值，的面积为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出 ， 即可求解； （3）设点的坐标分别为： ，由点Q的坐标得，直线的表达式中的值为：则 再求出直线的表达式为：的表达式为：，求出 即可求解. 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得： ， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为，代入得： ，解得 则直线的表达式为： 设点 则点 ， 则 ， 由题意知，为等腰直角三角形， ∴，则， 由直线的表达式知，其和轴的夹角为， 则 ， 同理可得：， ， 则 解得： (舍去)或， 当 时，则 ； （3）的面积是定值， 理由： 设点的坐标分别为： ， 由点的坐标得，直线的表达式中的值为： 则 由点的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得，的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得： ， ， 则， 则的面积为定值． 7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接、相交于点G，当时，求点P的坐标． (3)如图2，在（2）的条件下，交y轴于点M，分别交于E，F，当直线l绕点M旋转时，，请求出m和n的值． 【答案】(1) (2)(3)， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，平行线分线段成比例． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，由，可得，设，，分别求出，，根据，建立方程求出的值即可求点坐标； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，则，根据平行线的性质可得，，， ，化简得，，再由，求出，再由，得到，根据平行得到，求出，则，因为，即可求，的值． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 将、代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 设，， 当时，， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，则， ， ， ， ， ，， ，， ， 解得(舍去)或， ； （3）解：过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接， ，， 轴， ， 则， ，，，， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，则， ， 又，， ， ， ， ， 即， ，． 8．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．连接．设点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，轴交于点N． (1)若点A、点B在直线上时， ①求抛物线的表达式； ②求的最大值，并求取最大值时点N的坐标； (2)我们发现：当取最大值时，点N恰好是的中点．请你说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为，(2)取最大值时，点N是的中点．理由见解析 【分析】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，属二次函数与一次函数综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）①由待定系数法即可求解； ②设点，则点，则，即可求解； （2）求出，有最大值，此时，即可求解． 【详解】（1）解：①点、点在直线上时，则点、的坐标分别为：、． 则，解得：， 则抛物线的表达式为：； ②设点，则点， 则， ， 故有最大值， 当时，的最大值为，此时点； （2）解：设直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 故有最大值，此时， 即， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则的中点坐标得横坐标为：， 点恰好是的中点． 9．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点B，过点B作，交y轴于点． (1)求过点A，B，C的抛物线的函数表达式； (2)将绕点B按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点D，另一边与x轴的正半轴交于点E，与（1）中的抛物线交于另一点F．如果，求点F的横坐标； (3)对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有反射对称性，并记m为K的一个反射对称变换．例如，等腰梯形R在r（关于对称轴l所在的直线反射）的作用下仍然与R重合（如图2所示），所以r是R的一个反射对称变换，考虑到变换前后R的四个顶点间的对应关系，可以用符号语言表示．对于（2）中的点E，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点P，使得直线EP与过点B且与x轴平行的直线的交点Q与点A，E构成的具有反射对称性？若存在，请用符号语言表示出该反射对称变换m，并求出对应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2) (3)存在，时，点P的坐标为；时，点P的坐标为；时，点P的坐标为 【分析】本题考查的是二次函数综合题，考查待定系数法求表达式、二次函数图象与性质， （1）将点A，B，C的坐标代入表达式求出即可； （2）先证，设，则，求出直线的表达式为，联立组成方程组解出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，分别列方程解决即可． 【详解】（1）解：由已知，得，， 设过点A，B，C的抛物线的函数表达式为， 将点C的坐标代入，得， 将和点A，B的坐标分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）过点B作轴于点M，作轴于点N， 则， ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， 设直线的表达式为， ， 解得， ∴直线的表达式为， 联立方程， 解得或， ∴点F的横坐标为． （3）存在这样的点P使具有反射对称性，解答如下： ∵点Q在过点B且与x轴平行的直线上， ∴可设点Q的坐标为． 又∵点E的坐标为，点A的坐标为． ∴，，， ①当时，， 此时有，解得， ∴点Q的坐标为， 此时P，Q，B三点重合， ∴点P的坐标为． ②当时，，则， 解得， ∴点Q的坐标为，此时轴， ∴QE与该抛物线在第一象限内的交点P的横坐标为2， ∴点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为． ③当时，，则， 解得， ∴点Q的坐标为，此时，是等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点H，则， 设，则点P的坐标为， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为， 综上所述，时，点P的坐标为；时，点P的坐标为；时，点P的坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押10 二次函数综合应用解答题压轴 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 二次函数综合应用（解答题压轴） 2024年成都B卷第25题，2023年成都B卷第25题，2022年成都B卷第25题 二次函数是初中数学中非常重要的知识点，属于压轴知识点存在，二次函数的综合性是非常强的，它可以结合几何、相似三角形、圆等进行考查，所以出现在中考试卷中是必然，此题型主要考查学生对相关知识点和题型的熟练应用，并对相应的知识点进行扩展培优。 在近三年的成都数学中考试卷中二次函数的综合考查都出现在成都数学试卷B卷第25题中，属于试卷的压轴题型，所以在2025年的成都数学中考试卷中继续考查的概率还是非常大的，此题型难度较大，综合性极其，需要学生平时多总结题型，熟练的掌握每种题型的解题思路和技巧。 题型一：二次函数综合之面积问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线经过原点，与轴交于另一点，顶点坐标为，过点的直线与抛物线交于点B，C，且点在点的左侧． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，当的面积与的面积之比为时，求直线的函数表达式； (3)若有直线，点到直线的距离为，点到直线的距离为，求证：． 2．（2023·四川成都·二模）如图1，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点D，P为该直线上一动点，连接，将绕P顺时针旋转一定角度得到． (1)求二次函数与直线的函数表达式． (2)如图1，若点Q恰好落在抛物线位于第四象限的图像上，连接交于点E，连接，，当△CEQ与的面积之比最大时，求点P的坐标． (3)如图2，若，在点P运动过程中，当点Q落在抛物线上时，求点Q的坐标，连接，，请直接写出周长的最小值． 3.（2024·四川成都·二模）【阅读理解】对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴交于A，B两点，点C的坐标为，抛物线的图象经过A，B，C三点． (1)求抛物线G的表达式； (2)点为第一象限抛物线上的一点，连接交于点，连接，记△BDE的面积为，的面积为，若，求d（点D，△ABC）的值； (3)已知坐标系中有一直线，若，求t的取值范围． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，动直线与反比例函数的图象交于点，与直线交于点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)当为何值时，的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，的顶点在反比例函数的图象上，点为反比例函数图象上一动点，过点作轴交于点，交于点．当点的纵坐标为2，点的横坐标为1且时，求的值． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A，． (1)若点A的坐标为，求a，b的值； (2)如图2，在（1）的条件下，若C是直线下方抛物线上一动点，求△ABC的面积最大时点C的坐标； (3)在第二象限内有一点，连接并延长交抛物线于点E，连接并延长交抛物线于点F，连接．若对于任意b值（且），总有，求a的值． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线的图象与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C，抛物线上有一动点E，连接，过点E作直线轴于点F，交直线于点H． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知直线与抛物线交于点，，且线段，求t的值； (3)连接，交直线于点Q，当点E在直线上方的抛物线上时，是否存在一点E，使?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·四川成都·一模）抛物线与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标； (2)如图1，连接，过点B作，交抛物线于点D，直线交于点P，求的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线上一动点（不含C点），作交抛物线于另一点N，直线交于点E，若，求点E的坐标（用含h的式子表示）． 9．（2023·四川成都·模拟预测）已知抛物线与轴交于、两点（A在B左边），与轴交于点C．直线经过B、C两点． (1)若B点坐标为 ①求此时抛物线的解析式和直线的解析式； ②如图1，点P为上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． (2)如图2，直线沿方向，向左平移3个单位得到直线，将直线上方的抛物线图象沿直线翻折后恰好与直线有且只有一个交点，求此时直线的解析式． 10．（2024·四川成都·二模）抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，直线交抛物线于，两点，为抛物线顶点，连接，，若面积为，求的值； (3)如图2，，是直线上的两个动点，在点左边且，是直线下方抛物线上的点，，，求满足条件的点的横坐标． 题型二：二次函数综合之定点定值定直线定角问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 2．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，是抛物线对称轴上一点．    (1)求b，c的值； (2)如图①，连接，，求的值； (3)如图②，一次函数的图象经过点M，且与抛物线交于E，F两点，过E，F作直线的垂线，垂足分别为点G，H，连接，，试判断是否为定角，若是定角，求出其角度；若不是定角，请说明理由． 3．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．      (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值； (3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 5．（2024·四川成都·二模）如图，抛物线的图象与轴交于点、，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M（与点A不重合）是抛物线上一点，连接、、，若，求点M的坐标； (3)抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G、H两点，直线、分别与x轴交于点M、N，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接并延长至点C，使得，平分，且于点H，连接，当点F在抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)如图3，过点F作，交线段上方的抛物线于点G，过点G作于点E，交于点I，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 8．（2024·四川成都·三模）已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点． (1)若，，． ①求该抛物线解析式； ②抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若中恰有两个点落在抛物线上，求此时点的坐标；（点不与点重合） (2)如图2，点和点在抛物线上，其中在点左侧抛物线上，点在轴右侧抛物线上，直线交轴于点，直线交轴于点，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标； (3)请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E． 【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由． 10．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，直线l：（）与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)如图1，若A、B两点的横坐标分别是，2，求直线l的关系式； (2)如图2，若直线l与y轴的交点，且点B是线段中点，求k的值； (3)如图3，若直线l运动过程中，始终有，试探究直线l是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 11．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 题型三：二次函数综合之三角形存在性问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为抛物线上异于点的一动点，直线与轴交于点，点关于直线的对称点为．直线与抛物线交于另一点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线的表达式为，试探究k是否为定值．若是，请求出k值；若不是，请说明理由； (3)若为直角三角形，求点A的坐标． 2．（2022·四川成都·二模）如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 3．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若，连接，求的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时，是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数） 的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，以直线为对称轴的拋物线（a、b、c为常数，且）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（参考公式：在平面直角坐标之中，若，则A，B两点间的距离为） (1)求m的值及抛物线的函数表达式； (2)是否存在抛物线上一动点Q，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出Q点的横坐标；若存在，请说明理由； (3)若P是抛物线对称轴上一动点， 且使周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于两点，试问 是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由． 5．（2022·四川成都·三模）【阅读理解】 定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”． 例如，将点（m为任意实数）“去隐”的方法如下： 设，， 由①得 将③代入②得，整理得， 则直线是点M的运动路径． 【迁移应用】在平面直角坐标系中，已知动点（a为任意实数）的运动路径是抛物线． (1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式； (2)记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线始终过点A，点C的对应点为． ⅰ）试确定点运动路径所对应的函数表达式； ⅱ）在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四：二次函数综合之四边形存在性问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，对称轴为的抛物线与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的表达式； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为9？ (3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．已知为直线上的动点，过点作轴于点，连接，若四边形是以为和谐线的和谐四边形，求此时点的坐标． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，连接，，的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点，当时，求的值； (3)抛物线与关于轴对称，若点是抛物线上一点，点在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标． 6．（2023·四川成都·二模）抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点.    (1)求抛物线的表达式； (2)若D是第一象限抛物线上的一个动点，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标，此时四边形的最大面积是多少； (3)点E在直线上，点F在平面内，当以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点F的坐标. 题型五：二次函数综合之相似问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线经过点，交抛物线于另一点．是线段上一点，过点作直线轴交抛物线于点，且，求点的坐标； (3)，是抛物线上的动点（不与点重合），直线，分别交轴于点，，若，求证：直线经过一个定点． 2．（2024·四川成都·三模）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)A，B是抛物线上的两动点，点A在点B的左侧． ①当点A，B均在对称轴的右侧时，若是以为直角的直角三角形，且，点A和点B的坐标； ②如图2，点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，设l与直线交于点Q，是否存在m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 3．（2024·四川成都·三模）如图，函数 的图象经过点 ，两点，m、n分别是方程 的两个实数根，且m<n． (1)求m，n的值以及函数的解析式； (2)设抛物线 与x轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接． 求证： ； (3)对于（1）中所求的函数 设函数y在内的最大值为p，最小值为q，若，求t的值． 4．（2024·四川成都·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求△ABC的面积； (2)点为轴上一点，是否存在点，使得与△ABC相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于另一点，交轴于点，且点的横坐标是，点的坐标是．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点作交于点，若点是线段上的一个动点，求出当与相似时点的坐标． (3)设抛物线的顶点为，过点的直线交抛物线于另一点，试探究：是否存在常数，使得以为直径的圆过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．（2023·四川成都·三模）如图，直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求a，b的值； (2)将点A绕点C逆时针旋转至点D，试说明点D在抛物线上； (3)在（2）的条件下，平移直线交抛物线于点E，F（点E在F的左边），点G在线段上．（点E，F，G分别与点B，A，D对应），求点G的坐标． 7．（2024·四川成都·一模）如图，直线 与y轴交于A，与x轴交于B，抛物线 与直线交于A，E两点，与x轴交于C，D两点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上一点，作轴交于于Q，当 时，求点P的坐标； (3)作交x轴于F，点G是第四象限内抛物线上一点，若以C，D，G为顶点的三角形与相似，求出点G的坐标． 8．（2023·四川成都·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线的对称轴是直线且经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式． (2)如图2，若点P为直线下方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023·四川成都·一模）如图，抛物线经过，，D为线段下方抛物线上一动点，过点D做于G． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 题型六：二次函数综合之角相等存在性问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标C为，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线相交点D，与x轴相交于点M， (1)求抛物线的函数表达式． (2)连接，求四边形的面积． (3)若点E在直线上，且，求点E的坐标． 2．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和，与轴正半轴交于点，且，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在线段下方的抛物线上存在点，使，求点坐标． (3)若在抛物线上有一点，使，求点坐标． 3．（2024·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． (1)若，求顶点D的坐标及线段的长； (2)当时，二次函数的最小值为，求m的值； (3)连接，，，若，求点C的坐标． 4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知直线与抛物线交于点、．    (1)若，且点坐标为，求抛物线解析式与点坐标； (2)如图1，若，将直线沿着轴翻折，在第四象限交抛物线于点，若，求的值； (3)如图2，已知抛物线与直线解析式分别为与，若点为抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上（与点、不重合），点是轴正半轴上的动点，记，，，，当满足的点有两个时，求的最小值，并求出此时的坐标． 5．（2023·四川成都·模拟预测）定义：将二次函数的图象沿轴向右平移，再沿轴翻折，得到新函数的图象，则称函数是函数的“值衍生抛物线”．已知． (1)当时， ①求衍生抛物线的函数解析式； ②如图1，函数与的图象交于两点，连接．点为抛物线上一点，且位于线段上方，过点作轴，交于点，交抛物线于点，求与存在的数量关系． (2)当时，如图2，函数与轴交于两点，与轴交于点，连接．函数与轴交于两点，与轴交于点．点在抛物线上，且．请直接写出点的横坐标． 6．（2023·四川成都·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴相交于点，且与直线：相交于点、两点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，设直线与轴交于点，若，求点的坐标； (3)如附图，若在轴上存在两个点、，使，且，求的值． 7．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的对称轴方程； (2)若点满足，求点的坐标； (3)设是抛物线的对称轴上一点，是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求此正方形的面积． 8．（2023·四川成都·一模）如图，已知抛物线L：与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，抛物线与L关于y轴对称．    (1)求抛物线L的函数表达式和点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，点为线段上方的抛物线上的一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点．    (1)求出二次函数的表达式； (2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标； (3)连接，，抛物线上是否存在点，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型七：二次函数综合之其他问题（解答题压轴）★★★★★ 1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为，点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点B在直线上，且，求点C的坐标； (3)设抛物线的对称轴与x轴相交于点Q，过Q作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对称轴左侧抛物线上），求的值． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第二象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点． (1)求此抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)直线交抛物线对称轴于点，过点作，交过点且平行于轴的直线于点．试探究：无论取何值，始终成立． 4．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于点B，C（点B在点C的左边）． (1)求点A的坐标； (2)作点B关于x轴的对称点，若以点A，，C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值； (3)我们把平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．若直线）与抛物线所围成的封闭图形内部（不包含边界）的格点数有且只有6个，请直接写出a的取值范围． 5．（2024·四川成都·三模）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值． 6．（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长； (3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接、相交于点G，当时，求点P的坐标． (3)如图2，在（2）的条件下，交y轴于点M，分别交于E，F，当直线l绕点M旋转时，，请求出m和n的值． 8．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．连接．设点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，轴交于点N． (1)若点A、点B在直线上时， ①求抛物线的表达式； ②求的最大值，并求取最大值时点N的坐标； (2)我们发现：当取最大值时，点N恰好是的中点．请你说明理由． 9．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点B，过点B作，交y轴于点． (1)求过点A，B，C的抛物线的函数表达式； (2)将绕点B按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点D，另一边与x轴的正半轴交于点E，与（1）中的抛物线交于另一点F．如果，求点F的横坐标； (3)对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有反射对称性，并记m为K的一个反射对称变换．例如，等腰梯形R在r（关于对称轴l所在的直线反射）的作用下仍然与R重合（如图2所示），所以r是R的一个反射对称变换，考虑到变换前后R的四个顶点间的对应关系，可以用符号语言表示．对于（2）中的点E，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点P，使得直线EP与过点B且与x轴平行的直线的交点Q与点A，E构成的具有反射对称性？若存在，请用符号语言表示出该反射对称变换m，并求出对应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$