重难点专题训练 特殊平行四边形（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

重难点专题训练 特殊平行四边形思维导图 专题训练01菱形与函数图象结合 1．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时，点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动时间为(s)，的面积为()，与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为 ． 3．如图，在菱形中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线运动（含端点），到达点停止运动，过点作交的一边于点，并过点作交直线于点，设点的运动时间为秒，，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合所画函数图象，直接写出时，的取值范围． 专题训练02矩形与函数图象结合 1．如图，矩形中，，，P为矩形边上的一个动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是 ． 3．如图，矩形中，，，点E是中点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿折线方向运动，到达点C时停止运动（点M不与点A、点C重合），设点M的运动时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 专题训练03正方形与函数图象结合 1．如图1，正方形的边长为2，E为的中点，动点P从点A出发，沿匀速运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图1，点E 在正方形 的边上，且 ，点 P 沿 从点 B 运动的到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点 P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点 N的纵坐标a的值为 ． 3．如图1，正方形的边长为，对角线交于点O，点P从点A出发，沿线段运动，点P到达点B时停止运动． 若点P运动的路程为x，的面积为y，探究y与x的函数关系． (1)x与y的两组对应值如下表，则______________； x 0 … m y n … n (2)当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为． 当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________； (3)① 在图2中画出函数图象； ② 若直线与此函数图象只有一个公共点，则的取值范围是_________________． 专题训练04菱形的最值 1．如图，菱形中，，，，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 2．如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 3．在菱形中，，点是线段上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随着点的位置变化而变化． (1)如图，当点在菱形内部或边上时，连接， 判断：与的数量关系是__________请写出证明过程． 与的位置关系是___________请写出证明过程． (2)若，点为的中点，则线段的长最小值为_______最大值为________． (3)如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出四边形的面积________． 专题训练05矩形的最值 1．如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．4 2．如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为 ． 3．【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 专题训练06正方形的最值 1．如图，在边长为6的正方形中，点分别在边上，与交于点，，，，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 3．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 专题训练07矩形、菱形、正方形的平移 1．如图，的边的长为．将向上平移得到，且，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 3．在图到图中，点是正方形对角线的中点，为直角三角形，．正方形保持不动，沿射线向右平移，平移过程中点始终在射线上，且保持垂直于直线于点，垂直于直线于点． (1)如图，当点与点重合时，与的数量关系为______； (2)如图，当在线段上时，猜想与有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明； (3)如图，当点在的延长线上时，与的数量关系为______；位置关系为______． 专题训练08矩形、菱形、正方形的折叠 1．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有(   ) A． B． C． D． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长为 cm． 3．综合与实践 在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接． (1)数学思考： 如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______． (2)拓展再探： 如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)迁移应用： 在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？ 专题训练09矩形、菱形、正方形的旋转 1．如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 ． 3．如图1，在正方形的边的延长线上取点，以为边作正方形，连接，取的中点，连接，． (1)请说明线段，的关系，不必说理； (2)如如图2，把正方形绕点顺时针旋转，当点在上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由； (3)在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若，，请直接写出的长． 专题训练10一次函数中的矩形 1．如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 3．如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 专题训练11一次函数中的菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①求证：四边形是菱形； ②当是等腰三角形时，直接写出的长度． (3)在（2）的条件下，设，四边形的面积为，求关于的函数关系式． 专题训练12一次函数中的正方形 1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点在轴的负半轴上，，将线段绕点逆时针旋转变为线段，以，为邻边作，射线交轴于点，是点到轴的垂线段．则下列结论中：①；②四边形是正方形；③；④存在最小值，且其最小值是；⑤若连接，则值从小变大时，的值先增大再减小，错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，当点的对应点落在直线上时，的值为 ，当点的对应点落在直线上时，的值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，轴，顶点的坐标为． (1)求正方形的面积； (2)直线将正方形分成两个部分，设的面积为，四边形的面积为，则的值为__________． 专题训练13矩形、菱形、正方形的动点求t 1．如图，在矩形中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当（　　）s时，四边形是矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在矩形中，，点从开始沿边以的速度向终点移动，点从开始沿边以的速度向终点移动，如果点分别从同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．则 时，四边形为矩形． 3．如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 专题训练14矩形、菱形、正方形的新定义 1．定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 2．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 3．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点，． (1)当时， ①点C的坐标是 ； ②在，，三个点中， 是正方形的“3倍距离点”； (2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围； (3)点，．线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围． 专题训练15正方形半角模型 1．如图，在正方形中，，E是边上的一点，将正方形沿折叠，点D的对应点为点F，点G为的中点，当点F恰好落在线段上时．求证： (1)； (2)． 2．在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1 的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是 ． 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H，图3中哪条线段与相等？ （在横线上写出该线段），并给出证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段的长 ． 3．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，点是边长为12的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点．根据以上操作，图1中与的数量关系是：_________； (2)在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，点的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度；如果不确定，说明理由． 专题训练16无刻度尺作图 1．如图，的顶点均为格点，与网格线交于点．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)如图1，画出的角平分线； (2)如图1，平移至，使点的对应点为点； (3)如图2，在上找一点，使最小； (4)如图3，与网格线交于点，过点作于． 2．已知：矩形，点是的中点，点在上，请用无刻度尺画图： （1）在图甲中，在边上找一点，使； （2）在图乙中：在边上找一点，使． 3．仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，在菱形中，分别是上的点，且，以为边作一个矩形； (2)图②是由小正方形组成的的网格，为内一点，画格点，连接，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平分四边形的面积． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练 特殊平行四边形思维导图 专题训练01菱形与函数图象结合 1．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时，点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动时间为(s)，的面积为()，与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，找出面积最大时点M和点N的位置是解题的关键．过点A作交的延长线于点E，利用菱形的性质得，，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理解，，得出点与点N的速度比等于，推出点M运动到点A时，点N运动到点D，此时的面积取最大值．即可求解． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点E， 在菱形中，， ，，， 设， 在中，， ， ， 在中，， ， 点与点N的速度比为，， 点M运动到点A时，点N运动到点D，此时的面积取最大值， ， ， 解得（负值舍去）， 菱形的边长为， 故选B． 2．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为 ． 【答案】或 【分析】结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到或时，函数图象位于低点，利用面积法求出的长，从而可求出点的运动路程． 【详解】解：由图象可得：当时，， 当点运动到点时，， 菱形， ， ， ， 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， ∵ ∴ 解得：， ∴； 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， 同理可得， ∴， ∴． 综上，函数图象位于低点时，对应的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，动点函数的图象，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，从函数的图象获取信息是解题的关键． 3．如图，在菱形中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线运动（含端点），到达点停止运动，过点作交的一边于点，并过点作交直线于点，设点的运动时间为秒，，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合所画函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)画图见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (3)或． 【分析】（）由菱形的性质可得到，进而得到，，再分两种情况解答即可求解； （）根据函数解析式利用两点法画出函数图象，并根据图象写出的一条性质即可； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数与不等式，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，即时，， ∴； 当点在上运动时，即时，， ∴； 综上，； （2）解：画图如下，由图象可得，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （3）解：由函数图象可得，当或时，． 专题训练02矩形与函数图象结合 1．如图，矩形中，，，P为矩形边上的一个动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以明确各段对应的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：由题意可得： 点到的过程中，、、三点不能够组成三角形，所以； 点到的过程中，； 点到的过程中，； 点到的过程中，， 由以上各段函数解析式可知，选项B正确， 故选：B． 2．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出的长度是解决问题的关键，根据函数的图象、结合图形求出的值，即可得出矩形的周长． 【详解】解：动点从点出发，沿运动至点停止，而当点运动到点之间时，的面积不变，函数图象上横轴表示点运动的路程，时，开始不变，说明时，接着变化，说明， 矩形的周长． 故答案为：18． 3．如图，矩形中，，，点E是中点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿折线方向运动，到达点C时停止运动（点M不与点A、点C重合），设点M的运动时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了四边形的综合运用，涉及一次函数的图象与性质，矩形的性质，解题的关键是分类讨论，数形结合． （1）当时，点在上，根据题意得，根据求解；当时，点在上，，，根据求解； （2）当时，；当时，；当时，；描点即可画出图象，根据图象即可写出函数的性质； （3）分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴， 当时，点在上，如图： 根据题意得，点到的距离为的长为， ∴； 当时，点在上，如图： 根据题意得，， ∴ ； 综上，； （2）解：当时，；当时，；当时，； 画出的图象如下： 由图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：令， 解得：； 令， 解得：， ∴时x的取值范围为． 专题训练03正方形与函数图象结合 1．如图1，正方形的边长为2，E为的中点，动点P从点A出发，沿匀速运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点的坐标与正方形的边之间的关系． 根据图2确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可． 【详解】解：由题意可知，当点P在边上时，y的值先减小后增大，当点P在边上时，y的值逐渐减小， 点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度， 四边形是正方形， ， ，E为的中点，， ， 在中 ， ， 故选：C． 2．如图1，点E 在正方形 的边上，且 ，点 P 沿 从点 B 运动的到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点 P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点 N的纵坐标a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系． 根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴， 又， ∴， ∴， ， 连接交于点， （三角形两边之和大于第三边）． 当点P运动到时， ， 解得， ． 连接，则． 在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，， 故答案为：． 3．如图1，正方形的边长为，对角线交于点O，点P从点A出发，沿线段运动，点P到达点B时停止运动． 若点P运动的路程为x，的面积为y，探究y与x的函数关系． (1)x与y的两组对应值如下表，则______________； x 0 … m y n … n (2)当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为． 当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________； (3)① 在图2中画出函数图象； ② 若直线与此函数图象只有一个公共点，则的取值范围是_________________． 【答案】(1)4 (2)， (3)①图见解析② 或 【分析】本题考查动点的函数图象，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，得到到点运动到点时，与点在点时，的面积相同，进行求解即可； （2）求出时的函数值，根据点在上运动时的函数为一次函数，且过两点，待定系数法求出函数解析式，进而表示出的取值范围即可； （3）描点法画出函数图象，数形结合求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，点与点重合，随着的增大，先减小，后增大，当点与点重合时，与点在点时，的面积相同， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴当时，， 当点在上运动时：， 设当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为， 由题意，图象经过点， ∴，解得：， ∴； 故答案为：，； （3）①∵， ∴当时，，当时，， ∵经过点， ∴画图如下： ②如图，当直线经过点时，则：，解得， 当直线经过点时，则：，解得， 当直线经过点时，则：， ∵直线与此函数图象只有一个公共点， ∴或． 专题训练04菱形的最值 1．如图，菱形中，，，，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，过点作于，证明，可得，当，，三点共线时，最短，再进一步求解可得答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于， 由菱形的对称性可得：， ， 当，，三点共线时，最短（根据两点之间线段最短）， 菱形中，，， ，为等边三角形， ，， ， ， ， 的最小值为：； 故选：C． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，设交于点，根据菱形的性质得，证明为等边三角形，得，继而得到，，进一步得，则当点、、三点共线且垂直时，的值最小，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，设交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当点、、三点共线且垂直时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是解题的关键． 3．在菱形中，，点是线段上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随着点的位置变化而变化． (1)如图，当点在菱形内部或边上时，连接， 判断：与的数量关系是__________请写出证明过程． 与的位置关系是___________请写出证明过程． (2)若，点为的中点，则线段的长最小值为_______最大值为________． (3)如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出四边形的面积________． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】（）连接，交于点，根据题意可得和为等边三角形, 从而，又有为等边三角形，可得，，可证得到，，再根据等边三角形的性质，菱形的性质，平行线的性质可得，即可解答； （）由（）知，由此可以判断点轨迹为射线，当时，最小，当点运动当点时，此时最大，过作，分别求解即可； （）连接，，设与交于点，与交于点，由（）可得，根据勾股定理，然后分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和为等边三角形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，，， 即， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，点为的中点， ∴， 由（）知，由此可以判断点轨迹为射线， ∴当时，最小， ∵，是等边三角形， ∴， ∴， 即的最小值为， 当点运动当点时，此时最大，过作， ∵为等边三角形，此时， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 由此可知， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴的最大值为， 故答案为：，； （3）解：如图，连接，，设与交于点，与交于点， 由（）可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴的高为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，垂线段中点，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用解题的关键． 专题训练05矩形的最值 1．如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键．连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接，   ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵，，， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故选：B． 2．如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1和2，作点关于的对称点，连接，，先根据轴对称的性质可得，将求的最小值转化为求点到折线的最短距离，从而可得在图2中，当时，点到的距离最短，再设交于点，交于点，利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，最后利用的面积求解即可得． 【详解】解：如图1和2，作点关于的对称点，连接，， 由轴对称的性质得：， ∴求的最小值可转化为求点到折线的最短距离， 如图1，当点在上运动时，点到的最短距离为的长， 如图2，当点在上运动时，则时，点到的距离最短， ∵如图2，在中，， ∴当点在折线上运动时，点到折线的最短距离为图2中的长， 在图2中，设交于点，交于点， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、垂线段最短等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 3．【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展] 【分析】[问题原型]过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再结合等面积法即可求解； [问题延伸]连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再结合等面积法即可求解； [问题拓展]过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解． 【详解】解：[问题原型]∶如图，过点作于，过点作于． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴点到的距离为． [问题延伸]∶如图，连接，过点作于，过点作于． ∵， ∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长， ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． 即的最小值为； 故答案为：； [问题拓展]∶如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即的最小值等于． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 专题训练06正方形的最值 1．如图，在边长为6的正方形中，点分别在边上，与交于点，，，，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理 ，正方形的性质 ，三角形全等的判定和性质；过点作于点，取的中点，连接，根据正方形的性质证出 ，再根据直角三角形的性质得出，得到当共线时，有最小值，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选：C． 2．已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，根据题意得出是解题的关键． 连接，，根据三角形的面积公式得出，根据，推出，当时，有最小值． 【详解】如图，连接，， ∵正方形的边长为1， 由勾股定理得： ∵和的边上的高， ， ， 当时，有最小值， 故答案为：． 3．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 专题训练07矩形、菱形、正方形的平移 1．如图，的边的长为．将向上平移得到，且，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据阴影部分的面积矩形的面积求解即可． 【详解】解：由平移变换的性质可知，阴影部分的面积矩形的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在边长为1的菱形中，， ，， 将沿射线的方向平移得到， ，， 四边形是菱形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 的最小值的最小值， 点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值， 在中，，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，求得的最小值的最小值是解题的关键． 3．在图到图中，点是正方形对角线的中点，为直角三角形，．正方形保持不动，沿射线向右平移，平移过程中点始终在射线上，且保持垂直于直线于点，垂直于直线于点． (1)如图，当点与点重合时，与的数量关系为______； (2)如图，当在线段上时，猜想与有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明； (3)如图，当点在的延长线上时，与的数量关系为______；位置关系为______． 【答案】(1)； (2)，，证明见解析； (3)， 【分析】（）根据利用正方形的性质及三角形全等的判定证明，从而得到结论； （）当移动到点的位置时，可以通过证明四边形为矩形来得到，进而证明，即可得解； （）通过证明四边形为矩形来得到，进而证明，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，． 证明：如图，连接， ∵在正方形中，为中点， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：如图，连接， ∵在正方形中，为中点， ∴， ，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形，，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等角对等边，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 专题训练08矩形、菱形、正方形的折叠 1．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．求出，根据翻折的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据翻折的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，判断①；进而根据判断②；求出，，然后求出，判断③；求出，然后得到是等边三角形，故④正确． 【详解】解：， ， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②错误； 由翻折可知， ， ，， ，故③错误； 由翻折的性质，， ， ， ， 是等边三角形，故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选：D． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长为 cm． 【答案】 【分析】连接，，根据折叠性质可求出，设，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，判定出四边形为菱形，根据菱形面积的求解可求出最后结果． 【详解】解：如图，连接，， ∵折叠，点D与点B重合， ， 设， ，， 在中， ， 解得：， ， ， ∵四边形是矩形，， ，， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 3．综合与实践 在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接． (1)数学思考： 如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______． (2)拓展再探： 如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)迁移应用： 在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？ 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析； (3)当的周长最小时，的长为 【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）由折叠得，证明，得到，再根据平角定义和三角形内角和定理可得结论； （2）方法同（1）； （3）的周长表示为，，当取最小值时，的周长最小，设，则，由勾股定理列方程求解即可 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：成立， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：由折叠得，， ∴的周长为， 当取最小值时，的周长最小， ∵点的轨迹是以点为圆心，的长为半径的圆弧； 以点为圆心，的长为半径画圆，当点D，M，B共线时，最小， 设，则， 由折叠得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 专题训练09矩形、菱形、正方形的旋转 1．如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，则，同时由旋转得到，，先证明，得到，再证明，得到∴，进而利用勾股定理得到的长度． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴，， 由旋转可知，，，， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴，， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D ． 2．如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标与图形变化-旋转，菱形的性质，解题关键在于利用旋转的性质进行解答.根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标． 【详解】∵菱形的顶点， ∴D点坐标为. ∵每秒旋转，则第100秒时，得周， ∴旋转了周，即旋转12周后，又逆时针旋转了， 即此时的点D和起始位置的点D关于原点中心对称， ∴第100秒时菱形的对角线交点D的坐标为：， 故答案为： 3．如图1，在正方形的边的延长线上取点，以为边作正方形，连接，取的中点，连接，． (1)请说明线段，的关系，不必说理； (2)如如图2，把正方形绕点顺时针旋转，当点在上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由； (3)在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)结论：，．理由见解析； (2)结论不变，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）作出辅助线，根据题意可证，证得是等腰直角三角形，即可得出结论． （2）作出辅助线，根据题意可证，再证得是等腰直角三角形，即可得出结论． （3）作出辅助线，分两种情况讨论，即在左右两侧的情况，即可求解． 【详解】（1）结论：，． 理由：如图中，延长交于． 四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，． （2）（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，延长，交于点， ， ，， 是的中点， ， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， 而， ，． （3）连接，过点作于点，延长至，使，连接，， 当在右侧时，如图， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ，，， ， ， 在中，； 当在左侧时，如图， 同法可得，， ， 在中，， 综上，的长为或． 答：的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理以及正方形的性质的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题． 专题训练10一次函数中的矩形 1．如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接相交于点E，根据四边形是矩形，可得点E是的中点，即可求出，再将代入即可求出b的值． 【详解】解：连接相交于点E，如下图所示，    ∵， ∴轴， ∵四边形是矩形，相交于点E， ∴，点E是的中点， ∴，即， ∵直线平分矩形的周长， ∴直线经过点， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数，求出点E的坐标是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出反比例函数解析式，利用解析式得到，，再根据即可求解，熟练掌握反比例函数值几何意义是解题的关键． 【详解】∵对角线的中点，且点， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 3．如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用矩形的性质和得到，，再由折叠的性质，，过点作于，可求得、，进而可求得点坐标； （2）过点作并延长交于点，连接，交于点，利用全等三角形的判定与性质得到点与点关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点在点的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点在点的上方时，此种情况不存在；当点在点的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点， ， ， ，，， 长方形沿折叠，使得点落在点处， ，， ， 如图1，过点作于， ，， ，， ， 点坐标； （2）在直线上存在点，使得的周长最小． 过点作并延长交于点，连接，交于点，如图2， 将长方形沿折叠，使得点落在点处， ， 在和中， ， ，， 点与点关于对称， ． 此时的周长最小．最小值为． 点为的中点， ， ， 折叠， ， 在中，， ， ，， ， 的周长最小值为； （3）存在点使得为等腰三角形， ， ， ①若，如图3， ，， ， ， ②若时，如图4， ， ， ； ③若，当点在点的下方时如图5， ， ，且， 不存在这样的点， 当点在点的上方时，如图6， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点使得为等腰三角形，的度数为或． 综上，满足条件的点存在，并且或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，对称性求最值、勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 专题训练11一次函数中的菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系的特点，掌握菱形的性质，勾股定理是关键． 根据点的坐标得到，由勾股定理得到，结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：顶点的坐标分别为， ∴，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：B ． 2．如图，四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点C的坐标是解题的关键． 根据菱形的面积为20，，可求出，再结合菱形的性质得出点，利用勾股定理求得，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，菱形的面积为20，， ， ， 点C的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， 故答案为： 3．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①求证：四边形是菱形； ②当是等腰三角形时，直接写出的长度． (3)在（2）的条件下，设，四边形的面积为，求关于的函数关系式． 【答案】(1)， (2)①见解析；②或或 (3) 【分析】（1）利用勾股定理，可求得，从而知道菱形的边长，从而求得点，借助求得，从而算得； （2）①连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得到，从而推出，接着证明，得到，，接着证明 ，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，得证；②分成，，三种情况分类讨论，利用等腰三线合一，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半计算即可得出答案； （3）作，作，先利用勾股定理，得出，得到，在中利用勾股定理求得，从而表示出，得出，从而得到函数关系式． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是和， ，， ， ，， ， ， ， 以线段为边向右侧作菱形， ，， ， 故答案为：，； （2）①证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， 四边形是菱形，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； ②解：或或，理由如下： 当时，点在上时，作交于，如图， 由①可知，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ； 当，点在的延长线上时，作，如图， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ； 当时， ， ， ， 、、都在轴上， 和重合，或者和重合， ， ， ， 只能是和重合，如图所示： 此时不存在，故矛盾； 当，如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长度为或或． （3）解：作，作，如图所示： 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． 专题训练12一次函数中的正方形 1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点在轴的负半轴上，，将线段绕点逆时针旋转变为线段，以，为邻边作，射线交轴于点，是点到轴的垂线段．则下列结论中：①；②四边形是正方形；③；④存在最小值，且其最小值是；⑤若连接，则值从小变大时，的值先增大再减小，错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据四边形是平行四边形，，即可判断①正确；设，由，易知，通过四边形是平行四边形，，，由平移坐标规律，易得，则轴，且四边形是正方形，进而得，，，，故②③正确；点在直线上，最小值是点到直线的距离，即，故④正确；当值从小变大时，一直变小，故⑤是错误的． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故①正确； 设，其中， 由，且， 易知，点在第二象限角平分线上， 又四边形是平行四边形，，， 由平移坐标规律，易得， 则轴，且四边形是正方形， 是点到轴的垂线段 ， ，， ， 故②③正确； 点在直线上，四边形是平行四边形， ， 最小值是点到直线的距离，即， 故④正确； 当值从小变大时，，一直变大，则一直变小， 故⑤是错误的； 综上所述，只有⑤是错误的，结论中，错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的性质，旋转的性质，直角坐标系中坐标平移、旋转变换的规律等，灵活运用以上知识点、设关键点的坐标是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，当点的对应点落在直线上时，的值为 ，当点的对应点落在直线上时，的值为 ． 【答案】 【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点B作于点F，通过证明，，得出点C和点B的坐标，再求出直线的解析式为，设点C平移后的点为，点B平移后的点为，根据平移的性质可知，点C和点纵坐标相等，点B和点纵坐标相等，求出点和的坐标，即可解答． 【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点B作于点F， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C平移后的点为，点B平移后的点为， ①当在l上时，， 解得：， ∴， ∴， ②当在l上时，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，轴，顶点的坐标为． (1)求正方形的面积； (2)直线将正方形分成两个部分，设的面积为，四边形的面积为，则的值为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象和性质、正方形的性质、平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，求得点和点的坐标是解题的关键． （1）将代入，可求得，从而可求得，于是可求得正方形的面积； （2）由正方形的边长为可求得点的坐标为，从而可求得直线的解析式，可求得点坐标，从而可求得被分割的两部分的面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为，轴， ∴点横坐标为， ∵顶点在直线上， ∴当时，，即， ∴， ∴正方形的面积为． （2）解：∵，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，，即， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 专题训练13矩形、菱形、正方形的动点求t 1．如图，在矩形中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当（　　）s时，四边形是矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点B运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点D运动，此时得到，继而得到，根据矩形的对边平行且相等，列出方程解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点B运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点D运动， 得到， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 当四边形是矩形时，， ∴， 解得， 故选：C． 2．如图，在矩形中，，点从开始沿边以的速度向终点移动，点从开始沿边以的速度向终点移动，如果点分别从同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．则 时，四边形为矩形． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．求出，，，由已知推出，，推出时，四边形是矩形，得出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∵四边形是矩形， ∴，， 即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 故答案为：4． 3．如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 【答案】(1)①，；②4 (2)或 【分析】（1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案； （2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， 由题意得，，， 故答案为：，； ②当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由题意知不可能为直角， 当为直角时，四边形是矩形， ∴，如图1， 则， ∴； 当为直角时，如图，过点P作于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上，或时，为直角三角形， 故答案为：或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键． 专题训练14矩形、菱形、正方形的新定义 1．定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①；②详见解析 (3)为或 【分析】（1）根据“奋进四边形”定义即可得解； （2）①先证明四边形为正方形，得出，，再根据勾股定理求出即可； ②连接、，根据，，得出，证明垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据“和谐奋进四边形”的定义即可得出结论； （3）根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”，先证明四边形为矩形，再由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：正方形有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角， 所以正方形是“奋进四边形”； （2）①解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， ，， ； ②证明：连接、，如图： ，， ， 垂直平分， ； “奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； （3）解：，， 根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”； 当时，连接，过点作于点，如图： ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ； 当时，连接，过点作于点，如图： 则， ， ， 四边形矩形， ，， ， ； 综上分析可知，为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，并注意进行分类讨论． 2．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【答案】（1）  （2）证明见解析  （3） 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， 根据四边形内角和定理得，； （2） 在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 如图 3 ，过点作于，于， ，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 3．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点，． (1)当时， ①点C的坐标是 ； ②在，，三个点中， 是正方形的“3倍距离点”； (2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围； (3)点，．线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)或或． 【分析】（1）①当时，可得点．根据四边形是正方形，可得，所以点C的坐标是； ②分别求出三个点到正方形的边所在直线的最大距离和最小距离，再根据“3倍距离点”的定义判断即可； （2）当时，点，然后讨论点n的取值，确定点P到正方形的边所在直线的最大距离和最小距离，再根据“2倍距离点”的定义求解即可； （3）求出直线的解析式为，设线段上一点，则，分两种情况讨论：当P在正方形内时，当P在正方形外时，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：①当时，如图1，点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即点C在y轴上，   ∴点C的坐标是， 故答案为：）； ②如图所示，当正方形的边所在的直线的距离最大值为，最小值为， ∴是正方形的“3倍距离点”； 同理可知是正方形的“1倍距离点”； 是正方形的“3倍距离点”； ∴是正方形的“3倍距离点”， 故答案为：； （2）解：当时，如图2，点 ， ∵， ∴当时，到的距离倍的到的距离，此时不符合题意； 当时，到的距离倍的到的距离，此时符合题意； 当时，到的距离倍的到的距离，此时不符合题意； 当，且到的距离倍的到的距离时， ∴， ∴， 经检验是原方程的解； 当，且点P到直线的距离等于2倍的点P到的距离时， ∴，即（舍去） 综上所述：点（其中）是正方形的“2倍距离点”时，n的取值范围是或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设线段上一点， 则， 当P在正方形内时， ①， ∴， ∴； ②， ∴， ∴； 当P在正方形外时， ， ∴， ∴； 此时不存在的情况， ∴线段上存在正方形的“2倍距离点”，a的取值范围是或或． 【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置． 专题训练15正方形半角模型 1．如图，在正方形中，，E是边上的一点，将正方形沿折叠，点D的对应点为点F，点G为的中点，当点F恰好落在线段上时．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据证，再根据折叠的性质即可得出； （2）根据（1）知，即，再利用外角的性质可得出即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠知：，， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． （2）证明：由（1）知， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1 的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是 ． 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H，图3中哪条线段与相等？ （在横线上写出该线段），并给出证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段的长 ． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）12或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】解：（1）由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴， 故答案为：； （2）解：线段与相等，理由如下： 证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示． ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图2所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 3．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，点是边长为12的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点．根据以上操作，图1中与的数量关系是：_________； (2)在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，点的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度；如果不确定，说明理由． 【答案】(1) (2)点的位置确定，，理由见解析 【分析】（1）可证明，从而得出，进而得出； （2）连接，可证明，从而，设，则，在中，根据勾股定理可得，进一步求解即可得出结果． 【详解】（1）解：设，交于点，如图1， 由轴对称性质可得，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：点的位置确定，， 理由如下：连接，如图2， 由折叠可知，，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中，，，，则由勾股定理可得，解得， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，中点定义，勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 专题训练16无刻度尺作图 1．如图，的顶点均为格点，与网格线交于点．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)如图1，画出的角平分线； (2)如图1，平移至，使点的对应点为点； (3)如图2，在上找一点，使最小； (4)如图3，与网格线交于点，过点作于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）如图1中，取格点，构造菱形，连接交于点，线段即为所求作． （2）如图1中，取格点，构造平行四边形，取的中点，连接，线段即为所求作． （3）如图2中，作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求作． （4）如图3中，取格点，，连接，取的中点，连接交于点，直线即为所求作． 【详解】（1）解：如图中，线段即为所求作．    （2）如图中，线段即为所求作．    （3）如图2中，点即为所求作．    （4）如图3中，直线即为所求作．    【点睛】本题考查作图-平移变换，菱形的性质，三角形的中线，高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．已知：矩形，点是的中点，点在上，请用无刻度尺画图： （1）在图甲中，在边上找一点，使； （2）在图乙中：在边上找一点，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接交于点，连接并延长交于点，利用矩形的性质可得，即可求解； （2）连接交于点，连接并延长、交于点，连接交于点，连接交于点，即可求解． 【详解】解：（1）连接交于点，连接并延长交于点 由矩形的性质可得， ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）连接交于点，连接并延长、交于点，连接交于点 连接交于点，如下图： 由题意可得：， 又∵点是的中点 ∴为的中位线， ∴ ∴， 又∵ ∴平分 ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 由（1）的方法，可得 ∴ 【点睛】此题考查了矩形的性质，涉及了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并应用矩形的性质． 3．仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，在菱形中，分别是上的点，且，以为边作一个矩形； (2)图②是由小正方形组成的的网格，为内一点，画格点，连接，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平分四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的性质等： （1）连接和，得到一交点，将E，F分别与该交点连接并延长，交于点G，交于点H，连接，，即可； （2）将点C向左平移4个单位长度，得到点D，连接，则得四边形为平行四边形；连接，与相交，得到一交点，将P与该交点连接并延长，交于点Q即可． 【详解】（1）解：矩形如答图①所示． （2）解：如答图②，点和点即为所求． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$