精品解析：广东省湛江市雷州市第八中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

雷州八中2024年秋九年级期中考试（数学试卷） 满分120分，考试用时120分钟． 姓名：____________班级：____________考号：____________座位号：______ 一、单选题 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 我国第一艘航母辽宁舰最大排水量为67500吨，用科学记数法（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：67500用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数． 【详解】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3， ∴这组数据的中位数是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了求中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项正确，符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故B符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故D不符合题意． 故选：B． 6. 如图，街道与平行，拐角，则拐角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 8. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 故选：B． 9. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为； 故选B． 10. 如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项正确； 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为，则坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是可以直接写出答案． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称的点的坐标变化规律． 【详解】解：∵点关于原点对称的点坐标为， ∴坐标为是， 故答案为：． 13. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 【答案】5 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 14. 若是方程的一个根，则______． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，将代入得出，再作为整体代入即可． 【详解】解： a是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2021． 15. 从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算： （2）解方程：； 【答案】（1）8（2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根、乘方、化简绝对值，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，立方根、乘方、再运算加法，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）， 则， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；4 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果即可． 【详解】解：原式 当时，原式 18. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移 到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出； （2）关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见详解 （2）见详解， （3）4 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，割补法求面积，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据点的对应点的坐标为，且结合平移的性质，即可作答． （2）先找出关于原点对称得到的三个顶点，然后依次连接，即可作答． （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 坐标为； 【小问3详解】 解：， ∴的面积为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 【答案】每天要想获得504元的利润，每件应降价3元 【解析】 【分析】设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．本题考查一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． 【详解】解：设每件应降价x元． 根据题意列方程，， 解得，，， ∵尽快减少库存， ∴舍去， 故， 答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系： （1）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此求解即可． （2）一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 经检验，是方程的解，且 ∴． 21. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，，再由，得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式． （2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： （3）在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）点的坐标为 （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为， 即抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下： ∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雷州八中2024年秋九年级期中考试（数学试卷） 满分120分，考试用时120分钟． 姓名：____________班级：____________考号：____________座位号：______ 一、单选题 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 我国第一艘航母辽宁舰最大排水量为67500吨，用科学记数法（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，街道与平行，拐角，则拐角（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 10. 如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为，则坐标为______． 13. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 14. 若是方程的一个根，则______． 15. 从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算： （2）解方程：； 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移 到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出； （2）关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； （3）求的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值． 21. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式． （2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： （3）在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $