第19章 矩形、菱形与正方形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第19章 矩形、菱形与正方形 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③ 2．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3．如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 4．菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（   ） A． B． C．12 D．13 5．某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：（1）以点B为圆心、以边长为半径画弧交于点E；（2）分别以点C，E为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点F；（3）作射线分别交边，边的延长线于点G，H． 若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．小明用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图（1）所示的菱形，其中，然后调整为图（2）所示的正方形，此时对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 7．如图，在矩形中，点E、F分别为边的中点，点G、H均在边上，点G在点H的左侧，连接，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 9．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接，，设为，为，且关于的函数图象如图所示，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．如图，在菱形中，，连接，则 度． 12．菱形的对角线长分别为和，则菱形的面积为 ． 13．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，矩形中，若，则 ． 15．如图，∠B=90°，长为，长为，正方形的周长为 ． 16．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 17．在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形，正方形…，正方形，使得点、、、…、在直线上，点、、、…、在轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 18．已知点、为直线上方一点，过作于，过作于，点C为线段上的一动点，连接．若，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 20．如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．      21．如图，在中，点是的中点，连接，、的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请直接写出四边形的形状是　　　　． 22．如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 在和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 23．综合与实践 问题情境：如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 24．【操作思考】 （1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上． 【联系应用】 （2）如图2，在中，，，，是边的三等分点，连接，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知正方形的边长为3，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，求的长． 25．（1）如图1，点为矩形对角线的中点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则________； （2）如图2，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，求的值． （3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）．    2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 矩形、菱形与正方形 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质是解题的关键；因此此题可根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线互相平分相等且垂直；所以对角线一定相等的是②③； 故选D． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 3．如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等进行解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 4．菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（   ） A． B． C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：（1）以点B为圆心、以边长为半径画弧交于点E；（2）分别以点C，E为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点F；（3）作射线分别交边，边的延长线于点G，H． 若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了矩形的性质和尺规作角平分线，根据矩形的性质得出，再根据尺规作图得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据作图可得， ∴， 故选：C． 6．小明用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图（1）所示的菱形，其中，然后调整为图（2）所示的正方形，此时对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．如图1中，连接，，交点为．在图2中，理由勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1中，连接，，交点为， 在图2中，∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在图1中，∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，在矩形中，点E、F分别为边的中点，点G、H均在边上，点G在点H的左侧，连接，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质得，根据中点定义得，再根据“斜边，直角边”得，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. ∵点E，F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 8．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，先求得，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 是四个全等的直角三角形，， ，， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 9．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是． 故选：A． 10．如图，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接，，设为，为，且关于的函数图象如图所示，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是从函数的图象获取信息、矩形性质、勾股定理，解题关键是正确从函数的图象中获取信息． 先从函数图象中得到当时，；点运动到点时，，再结合矩形性质、勾股定理即可得解． 【详解】解：结合图和函数图象可得， 当时，；点运动到点时，， 即点和点重合时，；点运动到点时，， 矩形中，点为的中点， ， 点运动到点时，是直角三角形， ， 由图可知，当点运动到点时，取最大值， 最大值为． 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．如图，在菱形中，，连接，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、等边对等角，解题的关键是熟练掌握菱形的四条边都相等，对角相等． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．菱形的对角线长分别为和，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，据此即可求解． 【详解】解：由题意知，菱形面积为：； 故答案为：． 13．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 14．如图，矩形中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；由矩形的性质可得，，再证是等边三角形，得，然后由勾股定理可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，，长为，长为，正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出的长，然后根据正方形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，长为，长为， ∴， ∴正方形的周长为． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 17．在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形，正方形…，正方形，使得点、、、…、在直线上，点、、、…、在轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，正方形的性质，点坐标规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先找到直线与轴的交点，然后根据正方形的性质确定后续点的坐标，最后总结出的坐标规律，即可解答． 【详解】解：令，解得， ， 四边形是正方形， ； 当时，， ， 当时，， ， ， 观察规律发现，，，，， 的横坐标是， 故答案为：． 18．已知点、为直线上方一点，过作于，过作于，点C为线段上的一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，对称的性质，最短路径，矩形的判定与性质，作点B关于的对称点，连接交于点P，当两点重合时，有最小值，过点作交延长线于点，易证是矩形，得到，求出，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作点B关于的对称点，连接交于点P，则， 当两点重合时，有最小值，即最小值为的长， 过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC＝AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝DF 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠EAG＝∠FCG， 在△AEG和△CFG中， ， ∴△AEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG， 在△DGE和△DGF中， ， ∴△DGE≌△DGF（SSS）， ∴∠DGE＝∠DGF． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．      【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质可证得 ，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形， ∴AC＝CM， NC ＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∠MCN＝∠NCM ∠ACN＝∠BCM ， ∴ ∴AN＝BM 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理． 21．如图，在中，点是的中点，连接，、的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请直接写出四边形的形状是　　　　． 【答案】(1)证明见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证，得，再由平行四边形的性质得，，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22．如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 在和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定，掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）根据菱形的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：如图所示，图形即为所求： （2）证明：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④． 23．综合与实践 问题情境：如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)2 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由矩形的判定可得四边形是矩形，由旋转可知，四边形是正方形； （2）由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， 理由如下：∵是由绕点B按顺时针方向旋转得到的， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由旋转可知， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于H， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴2． 24．【操作思考】 （1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上． 【联系应用】 （2）如图2，在中，，，，是边的三等分点，连接，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知正方形的边长为3，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）或 【分析】（1）可通过勾股定理确定直角边长度及利用网格构造直角即可求解； （2）过点作，使，连接构造等腰，再证，得出问题即可求解； （3）由是的三等分点，分两种情况：当时，由翻折和全等三角形的判定和性质可证得，，在中，由勾股定理可求解：当时，同理可求解． 【详解】解：（1）所画三角形如图所示： （2）过点作，使，连接， ，，是边的三等分点， ， ，， ， ， ， 设，则，, ， ，， ， 在中，， ， ， ， 在正方形中，， ． （3）正方形的边长为3，是的三等分点，分两种情况： 当时，由翻折得，， ， ， ， ． 设，则， 在中，根据勾股定理， 即，解得． 当时，同理，设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，网格中作图，图形的翻折，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形，分类讨论是解题的关键． 25．（1）如图1，点为矩形对角线的中点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则________； （2）如图2，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，求的值． （3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件． （1）过点作，根据从而得到，进而得到与的关系，从而求出结果； （2）同（1）的方法进行求解即可； （3）根据平行四边形的性质得出，，可得，再由的关系，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，    依题意，四边形都是矩形； ∵ 又∵ ∴ ∴； （2）如图，过点作，    ∵ 又∵ ∴ ∴； （3）解：点为平行四边形内一点，，， 四边形，四边形都是平行四边形， ，． ∵四边形的面积为，四边形的面积为（其中）， ， ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$