第9章 轴对称、平移与旋转 （单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第9章 轴对称、平移与旋转 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．我国杨乘烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 2．如图，沿向下翻折得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，沿方向平移得到，已知，则平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，，交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列结论中，不一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．如图，将沿方向平移一定的距离得到，下列结论中，不正确的是（   ）． A．B． C． D． 6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将正五边形沿 折叠，若，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将纸片沿折叠，使得点A落在点M处，使得点B落在点N处，若，则的度数是（   ）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 9．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在中，，若将向下平移得到，则 ， ， ． 12．如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 13．如图，所给图形的周长 ． 14．如图，经过平移得到，连接，若，则点与点之间的距离为 ． 15．计划在学校新操场旁新建一长方形绿化带，如图所示，想在绿化带地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为 ． 16．将长方形纸片按如图方式折叠，使得，其中为折痕，则的度数为 ． 17．如图，在中，，D是上任意一点，M和N分别是点D关于和的对称点．连接和，则的度数为 ． 18．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，在中，．将的一角折叠，使两点重合，得到折痕，再将沿折叠，点恰好落到点上．求的周长． 20．如图，在的正方形网格中有三角形，点、、均在格点上． (1)在图①中过点作出的平行线； (2)经过平移，三角形的顶点平移到了点，在图②中作出平移后的三角形（其中点分别是三角形的顶点的对应点）． 21．如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 22．如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： (1)根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） (2)若，点B到边的距离是，求的面积． 23．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 24．嘉嘉通过以下的折纸方式探究过直线外一点作已知直线的平行线．如图-1，在一张正方形纸片的两边上分别有两点，连接是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下： 第一步：如图-2，过点进行第一次折叠，使点的对称点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图-3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图-4所示）． （提示：正方形纸片的两条相对的边平行，且四个角都是直角） (1)嘉嘉说只要按照上述步骤操作即可得，你认为嘉嘉的说法正确吗？请判断并说明理由． (2)①如图-4，设直线与正方形上下两边交于点，，直接写出与的数量关系； ②若，求的度数． 25．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 轴对称、平移与旋转 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．我国杨乘烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，沿向下翻折得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．由翻折的性质得，结合利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得，， 又， ． 故选：B． 3．如图，沿方向平移得到，已知，则平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握平移的性质是关键． 根据平移的性质得到线段就是平移距离，由，即可求解． 【详解】解：点平移后对应点是点， ∴线段就是平移距离， ∵已知， ∴． 故选：C． 4．如图，，交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列结论中，不一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可判断A、B选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项C，而选项不一定成立． 【详解】解：如图，连接，， 由轴对称图形的性质得到，，， ∴， ∴A、B、C选项正确，不符合题意， 而不一定与垂直， 故选：D． 5．如图，将沿方向平移一定的距离得到，下列结论中，不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟记平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：将沿方向平移一定的距离得到， ∴，，， 故选：A． 6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应角相等是解题的关键．根据旋转可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴ ∵， ∴ 故选：B． 7．如图，将正五边形沿 折叠，若，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和以及折叠的性质，根据多边形内角和可得，根据折叠的性质得出，进而根据四边形内角和为，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴ 由折叠的性质得， ∵， ∴ 在四边形中， 故选：D． 8．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将纸片沿折叠，使得点A落在点M处，使得点B落在点N处，若，则的度数是（   ）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，折叠的性质，列代数式，掌握角的和差计算，折叠性质是解题的关键． 根据折叠性质可得：即，由平角定义可得：，结合，即可得出，进而得出的度数，再根据即可求解． 【详解】解：根据题意，由折叠性质可得： 即， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：B． 9．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，由三角形内角和定理可得，再由全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ，，， ， 、、共线， 根据对称的性质可知，， ， ， 当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小， 由对称性可知， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 当时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在中，，若将向下平移得到，则 ， ， ． 【答案】 5 7 72 【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移后所得图形与原图形全等进行解答即可． 【详解】解：∵由平移而成， ∴， ∴，，． 故答案为：5，7，72． 12．如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 【答案】 5 3 【分析】本题主要考查了图形的平移，根据点A与点的位置即可得到对应的平移方式． 【详解】解：∵从点看，向右移动格，向上移动格即可得到， ∴将向右平移格，再向上平移格得到． 故答案为： 13．如图，所给图形的周长 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．经过平移，图形可以变为长方形，再进行计算周长即可． 【详解】解：通过平移，图形可以变为长方形， 则周长为， 故答案为：． 14．如图，经过平移得到，连接，若，则点与点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的平移的性质，根据平移的性质，即可求解． 【详解】解：经过平移得到， ∴． 故答案为：． 15．计划在学校新操场旁新建一长方形绿化带，如图所示，想在绿化带地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为 ． 【答案】540 【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个长方形，是解决本题的关键．根据把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，然后利用长方形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形， ，， 长方形的面积． 答：绿化的面积为． 故答案为：540． 16．将长方形纸片按如图方式折叠，使得，其中为折痕，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠的性质，结合平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 17．如图，在中，，D是上任意一点，M和N分别是点D关于和的对称点．连接和，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键，利用轴对称的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点和点分别是点关于和的对称点， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则 ． 【答案】/124度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．由折叠的性质及平角等于可求出的度数，由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质，可知：． ，， ， ， ． ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，在中，．将的一角折叠，使两点重合，得到折痕，再将沿折叠，点恰好落到点上．求的周长． 【答案】9 【分析】本题考查了折叠问题，轴对称图形的性质，解题的关键是掌握轴对称图形对应边相等，将的周长转化为进行求解． 【详解】因为将折叠后，两点重合，所以． 因为，所以． 因为沿折叠，点恰好落到点上，所以． 又因为， 所以的周长． 20．如图，在的正方形网格中有三角形，点、、均在格点上． (1)在图①中过点作出的平行线； (2)经过平移，三角形的顶点平移到了点，在图②中作出平移后的三角形（其中点分别是三角形的顶点的对应点）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】 本题考查了作平行线和作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的步骤：要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用格点作平行线即可； （3）利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点，再作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，三角形即为所求作． 21．如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：； （3）解：如图所示，点P即为所求． 22．如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： (1)根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） (2)若，点B到边的距离是，求的面积． 【答案】(1)中线 (2) 【分析】本题考查了尺规作图——垂线，三角形的中线，点到直线的距离，根据作图的痕迹得出所作线段垂直平分是解题关键． （1）根据尺规作图求解即可； （2）过B作，垂足为H，先求出，再根据三角形的中线求解即可． 【详解】（1）解：由作图的痕迹可知，所作线段垂直平分， 则点是的中点， 是的中线， 故答案为：中线 （2）解：如图，过B作，垂足为H， 点B到边的距离是， ， ， 是边上的中线， ． 23．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由题意得度，度 度，再列等式求解即可； （2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得度，度 度， 即， 解得； （2）解：因为将沿边折叠到处， 所以度， 所以， 因为， 所以，即， 由（1）得，代入得 解得， 所以 24．嘉嘉通过以下的折纸方式探究过直线外一点作已知直线的平行线．如图-1，在一张正方形纸片的两边上分别有两点，连接是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下： 第一步：如图-2，过点进行第一次折叠，使点的对称点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图-3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图-4所示）． （提示：正方形纸片的两条相对的边平行，且四个角都是直角） (1)嘉嘉说只要按照上述步骤操作即可得，你认为嘉嘉的说法正确吗？请判断并说明理由． (2)①如图-4，设直线与正方形上下两边交于点，，直接写出与的数量关系； ②若，求的度数． 【答案】(1)嘉嘉的说法正确，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，等角的余角相等， 对于（1），根据“同垂直于一条直线的两条直线平行”可得答案； 对于（2），①根据“等角的余角相等”得出答案； ②作的平行线，与交于点，根据平行线的性质和已知条件得，再根据“两直线平行同旁内角互补”得，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：嘉嘉的说法正确． 理由：过点进行第一次折叠，使点的对称点落在上， ． ， ； （2）解：①． ∵正方形纸片可知， ∴． ∵， ∴； ②如图，过点作的平行线，与交于点， 则． ， ， ， ， ． 25．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①3 ②（3）或 【分析】（1）由计算即可得到答案； （2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此； ②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解； （3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：①由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒， ， 故答案为：3； ②当平分时，图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， ①边与边相遇前，可得：， 解得：； ②边与边相遇后，可得：， 解得：， 为或秒时，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$