第9章 轴对称、平移与旋转（题型清单）（二十类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第9章 轴对称、平移与旋转（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：轴对称 1 轴对称图形：把图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，即为轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 2 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形的对应点叫做对称点。 3 轴对称的性质：轴对称（或成轴对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。 4 对称轴的画法：先连结一对对称点，再作出所连线段的垂直平分线，即为该图形的对称轴。 要点二：平移 1 平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。它由移动的方向和距离决定。 2 平移的性质：平移后的图形与原来图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小不变。 要点三：旋转 1 旋转的定义：把一个图形绕某一个点沿某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2 旋转的性质：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样的角度；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；图形的形状与大小不变。 3 旋转对称图形：图形旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形。 要点四：中心对称 中心对称图形：把一个图形绕着中心点旋转180度后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够和另一个图形重合，就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 识别中心对称图形：关键是看它绕着其中心旋转180度后能否与自身重合。 确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：连结任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心；或者任意连结两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心。 画一个图形关于某点成中心对称的图形的方法：关键是找出这个图形上的各关键点关于这一点的对称点，再按原图的顺序连结各点即可。 要点五：全等图形 1 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2 图形变换与全等：一个图形经过翻折、平移、旋转变换所得到的新图形与原图形全等；全等的两个图形经过上述变换后一定能够重合。 03 题型归纳 题型一　生活中的平移、旋转现象 例题：2025蛇年春晚的主题LOGO，源自甲骨文的“巳”字，字形像蛇，还有生长繁衍的意思，象征“巳巳如意，生生不息”．下列四个图形中，能由甲骨文“”字经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答． 【详解】解：观察各选项图形可知，C选项的图案可以通过平移得到， 故选：C． 巩固训练 1．下列生活中的现象是平移的是（   ） A．商场内直梯的上下移动 B．电风扇中扇叶的运动 C．摩天轮的转动 D．飞机螺旋桨的运动 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而选择错误．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、商场内直梯的上下移动符合平移的定义，属于平移，故本选项正确； B、电风扇中扇叶的运动，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； C、摩天轮的转动，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； D、飞机螺旋桨的运动，不属于平移，故本选项错误． 故选：A． 2．下列现象属于旋转的是（） A．摩托车在急刹车中向前滑动 B．摩天轮转动 C．雪橇在雪地里滑动 D．物体在空中下落 【答案】B 【分析】本题考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A．摩托车在急刹车中向前滑动不是旋转，故此选项错误；     B．摩天轮转动属于旋转，故此选项正确； C．雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误； D．物体在空中下落不是旋转，故此选项错误； 故选：B． 3．“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（    ） A．平移、对称 B．对称、旋转 C．平移、旋转 D．旋转、对称 【答案】C 【分析】本题考查学生对平移和旋转的理解能力．要理解：“飞流直下三千尺”是指水的平移关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转．根据平移和旋转定义来判断． 【详解】解：根据平移和旋转定义可知：“飞流直下三千尺”是平移，“坐地日行八万里”是旋转． 故本题选：C． 题型二　轴对称、中心对称、旋转对称、全等图形 例题：书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为无言的诗、无形的舞、无图的画、无声的乐．下列是用小篆书写的“天道酬勤”四个字，其中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 巩固训练 1．下列图形中既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要是轴对称图形与旋转对称图形的判定问题，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重叠，旋转对称图形关键是寻找旋转中心，旋转固定角后两部分重合；运用上述的结论，结合选项中所给的图形即可求解． 【详解】解：①是旋转对称图形，不是轴对称图形； ②③④既是旋转对称图形，也是轴对称图形； 故选C． 2．剪纸是一项传统的民间文化艺术，也是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸图案中不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，求解判断即可． 【详解】解：A选项：把该图形绕中间的点旋转后，能与原来的图形重合，该图形是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：把该图形绕中间的点旋转后，不能与原来的图形重合，该图形不是中心对称图形，故B选项符合题意； C选项：把该图形绕中间的点旋转后，能与原来的图形重合，该图形是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形绕中间的点旋转后，能与原来的图形重合，该图形是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，熟记定义是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，不符合题意． 故选：C． 题型三　成轴对称、中心对称 例题：下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 【详解】解：图②、③成轴对称． 故选B． 2．如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 3．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 题型四　轴对称的性质求解 例题：如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，垂直平分， 综上可知：正确，共个． 故选：D． 巩固训练 1．如图，与关于直线对称，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用轴对称的性质求出，再利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：与关于直线对称，， ， ， 故选：B． 2．如图，，，与关于直线l对称，则 ． 【答案】/89度 【分析】本题考查轴对称图形的性质，三角形内角和，解题的关键是掌握轴对称图形的性质． 根据轴对称的性质得到的度数，再根据三角形内角和算出度数． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， ∵， ∴． 故答案是：． 3．如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，多边形内角和定理，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质，多边形内角和定理判断即可 【详解】解：由轴对称的性质可得，， 直线，， ∴①③④正确，故符合要求；②错误，故不符合要求； 故答案为：①③④． 题型五　平移的性质求解 例题：如图，中，，把沿方向平移到的位置，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵把沿方向平移到的位置， ∴，， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴； 故选A． 巩固训练 1．如图，将三角形沿方向向右平移得到，若，且点E是的中点，则平移的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查平移的知识，熟练掌握平移的定义是关键； 本题根据点E是的中点，求得，然后根据平移的定义即可求解； 【详解】解：∵，且点E是的中点， ∴， ∵三角形沿方向向右平移得到， ∴点和对应，点和点对应，点和点对应， ∴平移的距离为：； 故选：A； 2．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，连接，若三角形的周长是，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再代入数据计算即可得解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴，， ∵三角形的周长为， ∴， ∴四边形的周长为：． 故答案为：． 3．如图，直角的直角边，将沿边的方向平移到的位置，交于点，，， 则四边形的面积 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质可得，，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵直角的直角边，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形的面积， 故答案为：． 题型六　旋转的性质求解 例题：如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质得到，再根据角的和差关系进行计算，则可求出答案．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴． 故选：C． 巩固训练 1．如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项分析即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，，故正确； 而与不一定平行，故D不一定正确， 故选：D． 2．如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点D落在上，与相交于点F，若，，则的大小为 ．    【答案】/25度 【分析】本题考查了图形的旋转性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转性质得到对应角相等，并结合直角三角形的性质求解． 【详解】由旋转的性质可得，、，再根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，然后根据等腰三角形的性质进而得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．如图，已知直角三角形的周长为3.14．将的斜边放在直线上，然后将顺时针在直线上转动两次到的位置，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的性质可得出，，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】解∶由旋转可知， ∴，， ∴， 故答案为：3.14． 题型七　中心对称的性质求解 例题：如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等”，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； B、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； C、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； D、由中心对称的基本性质得：， ∴，， ∴，即，则此项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；根据中心对称的性质判断即可，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 【详解】解：、关于点O成中心对称，A，B，C关于O的对称点分别为，则； 故选项A、B正确； 而是对顶角， 则， 故选项C正确； 的对应角是，不是， 故选项D错误； 故选：D． 2．如图所示的图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，根据中心对称图形的一组对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是：， 故答案为：． 3．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型八　全等的性质求解 例题：如图，，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，结合，，即可求解． 【详解】解：， ， ，即， ，， ， 故选：A． 巩固训练 1．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知，，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理， 要求的大小，利用，得到对应角相等，然后在中依据三角形内角和定理，求出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，，点D、E、M在同一直线上，且，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．利用全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：12． 题型九　设计轴对称、中心对称图形图案 例题：在正方形中有一条线段，请设计2种方案添加一条线段，使得添加后图形是一个轴对称图形，并标出对称轴．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法，可作必要文字说明） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了尺规作图，设计轴对称图形，根据尺规作图添加一条线段，根据轴对称的性质画出对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示，在正方形的一边，截取，连接，直线为对称轴， 如图所示，在正方形的一边，截取，连接，直线为对称轴； 巩固训练 1．观察图①～④中阴影部分构成的图案： (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征：___________； (2)在图⑤，图⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④的共同特征． 【答案】(1)都是轴对称图形； (2)见解析． 【分析】（1）本问主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． （2）根据轴对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）根据观察，①～④图都是轴对称图形． （2） 解： 2．如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：    (1)在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得 (2)在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平移作图和中心对称作图，熟练掌握平行的性质和对称的性质是解答本题的关键． （1）先按题意画出线段，过点C作的平行线即可作出点M； （2）根据中心对称作图即可． 【详解】（1）解：如图，线段和点即为所作；    （2）解：如图，线段和点即为所作．    3．画图题        (1)在图①补充2个黑色小方块（可以涂阴影），使得阴影部分只是轴对称图形． (2)在图②中补充2个黑色小方块（可以涂阴影），使得阴影部分只是中心对称图形 ． (3)在图③中补充2个黑色小方块（可以涂阴影），使得阴影部分既是中心对称图形又是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）补充成一个正方形即可． 【详解】（1）如图①所示（答案不唯一）． （2）如图②所示（答案不唯一）． （3）如图③所示（答案不唯一）． 题型十　画轴对称图形、中心对称图形 例题：如图，的顶点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长为1，利用网格线按下列要求画图． (1)画出，使它与关于直线成轴对称． (2)求出的面积． (3)在直线上找一点，使点到点的距离之和最短．（不需计算） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点、、即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）连接交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P为所作． 巩固训练 1．如图，在方格纸中，的顶点都在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：点A与，点B与，点C与相对应） (2)在第（1）题的基础上，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】此题主要考查了作轴对称变换，求四边形面积， （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图得四边形是等腰梯形，，高是4，然后利用梯形的面积 求解即可． 【详解】（1）如图，是关于直线l的对称图形． （2）由图得四边形是等腰梯形，，高是4． 2．作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向下平移个单位后的． (2)画出关于点的中心对称图形． (3)画出与的对称中心（黑点标记）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查作图—平移作图、画中心对称图形， （1）根据平移的性质确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （2）根据中心对称图形的定义确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （3）连接、，交于点即可； 掌握平移的性质，中心对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）如图，点即为所作． 3．如图，在小正方形组成的网格中（每一小格为1个单位长度）， 和 的顶点都在格点上．根据图形解答下列问题： (1)将 向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的 (2)将 绕点 D 逆时针旋转 ，画出旋转后的 (3)判定 与 是否关于某点成中心对称？若是，画出对称中心点 M． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)是，图见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据旋转的性质即可得到结论； （3）连接，交于一点，于是得到结论． 本题考查作图旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：如图所示， 即为所求； （3）解：与成中心对称，如图所示，点即为对称中心． 题型十一　平移与旋转作图 例题：正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连接、，则线段与线段的关系是_______． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查了作图—平移变换，平移的性质，利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行的性质作图即可得解； （2）根据平移的性质，对应点的连线平行且相等解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可得解． 【详解】（1）解：如图：即为所求， （2）解：线段与线段的关系是平行且相等； （3）解：的面积为． 巩固训练 1．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点． (1)补全，利用网格点和三角板画图； (2)的面积为______； (3)求线段平移过程中扫过的面积S． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图的应用和设计，掌握三角形的面积公式面积是解题的关键． （1）根据平移的意义作图； （2）根据三角形的面积公式计算； （3）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：即为所作： （2）解：， 故答案为：； （3）解：线段平移过程中扫过的面积． 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到，请画出； (2)以边AC的中点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平移的方式确定出点的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据旋转可得出确定出点的位置，再顺次连接即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ； （2）解：如图，即为所作； 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)画出向左平移3个单位所得到的； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转后所得的； (3)画出关于直线成轴对称的图形； (4)观察所有的三角形，除了（3）中的两个三角形成轴对称外，是否还有其他成轴对称的图形？若有，请画出它们的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要涉及平移、旋转和轴对称的概念，通过在方格纸上操作图形，理解并应用这些几何变换是解题的关键． （1）根据平移的定义，将的每个顶点A、B、C向左移动3个单位，即在方格纸上向左移动3个小方格，得到； （2）根据旋转的定义，将绕点按顺时针方向旋转，即在方格纸上找到每个顶点点点顺时针旋转后的位置，得到； （3）根据轴对称的定义，找到关于直线的对称点、、，即在方格纸上找到每个顶点关于直线的对称位置，得到； （4）观察 与，以及与，发现它们分别关于直线和直线l对称．与关于直线对称； 与关于直线l对称． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如上图，即为所求． （3）解：如上图，即为所求． （4）解：与关于直线l对称． 题型十二　画垂线 例题：如图，已知，利用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查垂线的尺规作图，熟练掌握垂线的尺规作图是解题的关键；过点A作于点，点即为所求； 【详解】解：所作点D如图所示： 理由：∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．如图，已知，求作：边上的高； 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的高，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．根据三角形的高的定义作出图形即可． 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 2．如图，已知，点在上，点在上，连接，请用尺规作图法在上求作一点，连接交于点，使得与互余．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余等知识，过点P作的垂线，交于点H，则点H即为所作． 【详解】解：如图，点H即为所作， 3．如图，已知，点在上．若，请用尺规作图法，在射线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】该题主要考查了尺规作垂线，解题的关键是掌握尺规作垂线的方法． 过点C作的垂线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 由作图可得， ∵， ∴， ∴． 题型十三　画垂直平分线 例题：如图，已知，利用尺规作图法作线段，使得将的面积平分，且点D在线段上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图垂直平分线，分别以点，C为圆心，大于的长的一半为半径画弧，连接该两个交点，与交于一点，即为点D即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 巩固训练 1．已知，用直尺和圆规作边、、的垂直平分线．你有什么发现？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握五种基本尺规作图．根据要求作出图形，由作图结果可以发现三角形三条边上的垂直平分线相交于一点． 【详解】边、、的垂直平分线作图如下： 由作图发现：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点． 2．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求， 3．（1）如图1，有分别过A、B两个加油站的公路a、b相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P到A、B两加油站的距离相等，而且P到两条公路a、b的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，此图形为轴对称图形，请用无刻度的直尺，准确地画出它的对称轴（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查的是尺规作图的应用，包括作角的平分线、作线段的垂直平分线，以及轴对称图形的性质． （1）连接，作的垂直平分线，再作的平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为油库的所在地． （2）根据轴对称图形的性质，利用对应点连线一定交在对称轴上，进而得出两点，画出对称轴即可． 【详解】解：（1）如图，点即为油库应该修建的位置． （2）如图，直线就是它的对称轴， 题型十四　画角平分线 例题：如图，． (1)请用圆规和直尺或量角器作出的角平分线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是正确作图，灵活运用平行线的性质． （1）根据题意作出的平分线即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵，， ∴， ， ∵平分， ∴． 巩固训练 1．如图，请用尺规作图法，求作的平分线． 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于角内部的点，连接，即可所求． 【详解】解：如图，即为所求； 2．如图，中，，垂足为．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）； (1)作的平分线，交于点 (2)为上的动点，在上确定一点，使的最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的作图、轴对称的性质等知识． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）以点D为圆心，长为半径画弧，交于点，连接交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）如图，点P即为所求， 3．如图，在菱形中，为对角线．利用尺规作的平分线交边于点E，交的延长线于点F．（要求：保留作图痕迹．不写作法，标明字母） 【答案】见解析 【分析】根据角的平分线的基本作图，解答即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： 则点F即为所求． 题型十五　全等图形分割 例题：请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示： 巩固训练 1．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】    【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 2．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．     【答案】见解析 【分析】根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示（任意两种方法，正确即可）：       【点睛】本题考查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 3．方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【答案】见解析 【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同． 【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键． 题型十六　平移的实际应用 例题：综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键． （1）结合图形，利用面积公式求解即可； （2）结合图形，利用平移的性质求解； （3）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)； 故答案为：； （2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：(平方米)； （3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线(图中虚线)长为：(米)． 故答案为：． 巩固训练 1．如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少． 【答案】种植花草的面积是 【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积， 本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，如图所示： 所以种植花草的面积为：， 故答案为：种植花草的面积是． 2．星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示， 爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？” 爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？” 小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．” 你认为小刚的方法可以吗？说明理由． 【答案】可以，理由见详解； 【分析】本题主要考查了平移的应用，根据题意可知地毯的宽度是确定的，求出长即可，根据平移的性质得到量出楼梯的总高和总长度相加得出答案； 【详解】解：可以，理由如下， 由图可得， 地毯的总长为：，刚好是总长与总高的和， ∴小刚的方法可以． 3．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 题型十七　折叠问题 例题：【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的性质，角平分线的性质，平行线的判定及性质． （1）根据折叠的性质得，，，进而得，由平角的性质即可得解； （2）先由平行线的性质得，再由角平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理可得答案； （3）过点作平分，过点作平分，先由角平分线的性质和平角的性质得出，，进而得，过点作，得，根据两直线平行内错角相等得，，再结合角平线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）根据折叠的性质得，，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：， ， ，分别平分和， ，， ． ， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作平分，过点作平分， 平分，平分， ，， ， ， 同理可得：， ， 过点作， ， ，， ， 平分，平分， ，， ． 巩固训练 1．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． （1）①若，则______； ②用含的代数式表示． （2）如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若，用含的式子表示． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平角的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由矩形的性质得出，则； ②由折叠的性质得，再由平角的定义求出的度数，再由矩形的性质得出，则，即可得出结果； （2）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由平行线的性质得出，由折叠的性质得，最后由平行线的性质得出，即可得出答案； ②由平行线的性质得出，再由折叠的性质得，即可得出结果． 【详解】（1）解：①由折叠的性质得： ， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； ②由折叠的性质得： ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：①由折叠的性质得：， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 即， 解得：； ②， ， 由折叠的性质得：， ． 2．若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．    (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②或 【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用， （1）先求出，由折叠，则即可得出结论； （2）①设，得出，根据定义得出或，列方程解决即可； ②设，得出，分两种情况：当与无重叠时，或当与有重叠时分别列方程解决． 【详解】（1）解： 与是一组“奇妙角”，理由如下： ， ，由折叠可知：，    与是一组“奇妙角”； （2）解：①设， 由对折可得：， ， ，     与是一组“奇妙角”， 或， 或， 或，即或， ②设， 由对折可得： 与是一组“奇妙角”，且 ， 当与无重叠时，如图：   ， ， ， ， ， 当与有重叠时，如图：     ， ， ， ， 综上所述，或． 3．综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，如图，M，N分别在边，，点A落在点F处；将沿折叠，均是折痕． (1)如图1，若，；求的度数 (2)如图2，若点E，F，G在同一直线上；求的度数 (3)如图3，若射线在的内部，图中的3个角：，和，其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“幸运线”．设，射线是的“幸运线”，求的度数（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的定义、角的和差等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠可得到，，进而利用平角的定义求解即可； （2）由折叠易知，，进而推出即可； （3）由“幸运线”定义分类讨论，分别计算求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， ∴，， ∴； （2）解： 由折叠可得， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴； （3）解：依题意：①当 时，如图， ∴； ②当时，如图， ∴ ， ∴， ③当 时，如图， ∴ ， ∴； ∴综上所述： 的度数是或或． 题型十八　三角板旋转求t 例题：【探究与实践】 如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ； ② ． 【问题探究】 （2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合； ②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）①设旋转时间为秒，则，，当与相遇时，，再求解即可；②设运动时间为秒，，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇时，，再画出图形求解即可； （3）设绕点逆时针旋转，再分①①时，如图；②时，如图，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）①， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）①设旋转时间为秒，则，， 当与相遇时，， 解得：； ②如图， 因为， ， 所以； （3）设绕点逆时针旋转， 时，如图， ，， ， 平分， ， ，平分， ， ， ； ②时，如图， ，， ， 平分， ， ，平分， ， . 综上，或. 巩固训练 1．将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒． (1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分； (2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动． ①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由； ②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？ 【答案】(1) (2)①不是的平分线，理由见解析；②或或 【分析】（1）旋转后，旋转角等于，根据平分求出，然后根据平角定义列方程求解即可； （2）①求出旋转后的度数，即可判断； ②分平分，平分，平分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵平分， ∴， ∵旋转， ∴， 根据题意，得， 解得， 即三角板旋转秒时，平分， 故答案为：； （2）解：①不是的平分线， 理由：当时，如图， 此时，， ∴， ∴不是的平分线； ②当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 综上，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，明确题意，合理分类讨论，画出旋转后的图形是解题的关键． 2．如图1，为直线上一点，过点在直线上方作射线，．将直角三角板的直角顶点放在点处，一条边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．    (1)如图2，当时，________，________，________； (2)当三角板旋转至边与射线相交时（如图3），请直接写出与的数量关系________． (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或或时，射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线，理由见详解 【分析】本题主要考查几何中交点的计算，角平分线的定义，旋转的性质，掌握角平分线的定义，角的和差计算，图形中角的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，，，当时，，根据，，由此即可求解； （2）根据图示可得，，，当与相交时，，则有，由此即可求解； （3）根据角平分线的定义，分类讨论：第一种情况，当平分时；第二种情况，当平分时；第三种情况，如图所示，当平分时；数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，， ∴，， ∵将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒， ∴， 如图2所示，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图3所示，，， ∵三角板在旋转过程中，的度数逐渐减小， ∴当与重合时，旋转的时间为， ∴当与相交时，， 当与重合时，旋转的时间为， ∴当与相交时，， ∴当与相交时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：存在，理由如下， 根据题意，可得， 第一种情况，当平分时， ∵，， ∴， ∴， 解得，； 第二种情况，当平分时， ∴， ∴，即， 解得，； 第三种情况，如图所示，当平分时，    ∴，则， 解得，， ∵将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周的时间为，， ∴符合题意； 综上所示，当或或时，射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线． 3．如图，有一副直角三角板如图1所示放置，其中，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)在图1中，______． (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，？ ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，当转到与原位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，旋转的时间是多少？ 【答案】(1) (2)①旋转时间为或时，；②当时，旋转的时间是 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键． （1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论； ②设旋转的时间为秒，分两种情况：当时，当时，由题知，，根据周角得到或，再列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）①如图1，此时，成立， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒； 如图2，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角板绕点逆时针旋转的角度为， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒， 综上所述，当旋转时间为或秒时，成立； ②设旋转的时间为t秒，当时， 由题知，， ∴， ∴ ， 当，即， 解得：， 如图，当时， 同理可得：，，，， ∴， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； ∴当，旋转的时间是秒． 题型十九　新定义问题 例题：某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线， (1)如图2，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为α，则“对角旋转角”的度数_____（用含有α的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，则_____．； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面为130，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)240 【分析】此题考查了旋转的性质和定义以及三角形的面积公式． （1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出与的关系，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， 故答案为：； （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴． 巩固训练 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角 【分析】（1）由内半角的定义得，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：，是的内半角， ， ； 故答案：； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角； 理由如下： 由旋转得：， ， ， 是的内半角， ， ， 解得：； （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角. 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键． 2．我们定义：如图1，直线a，b被直线c所战（a，b，c不交于同一点），若直线a，c所成的四个角中有一个角与直线b，c所成的四个角中的一个角相等，如，则称直线c是直线a，b的等角线． 【初步感知】 （1）如图2，在图①，②，③中，直线c是直线a，b的等角线的是___________（填序号）； 【探究应用】 （2）如图3，点E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC的点，且点E不与点A，D重合，点F不与点B，C重合，将长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点的位置，的延长线交直线BC于点G． 图3               备用图 ①直线AB，EF，中，直线___________是直线与直线BC的等角线，并请说明理由； ②直线与直线BC交于点G，随着折痕EF的变动，当直线EG是直线AB，BC的等角线时，求的度数（提示：三角形的内角和为）． 【答案】（1）①③；（2）①EF，理由见解析；②， 【分析】此题考查了平行线和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握平行线和折叠的性质及其应用． （1）根据题中a与c的夹角b与c的夹角度数，结合所给的定义逐一判断即可； （2）①由折叠性质可知，再根据平行线的性质求出角度相等，判断即可； ②当直线是直线、的等角线分情况画出图形即可求解． 【详解】解：（1）图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，则或， ∴直线是直线、的等角线， 图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，没有角相等， ∴直线不是直线、的等角线， 图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，，则或， ∴直线是直线、的等角线， 故答案为：； （2）①，理由： 由折叠性质可：， 四边形是长方形． ， 直线是直线与的等角线． ②如图， 设直线与的延长线得交点为H， 当直线是直线、的等角线时， 山折叠性质可知：， 四边形是长方形， ． ， 直线是直线、的等角线， ． ． 如图， 设直线与的延长线得交点为H． 当直线是直线、的等角线时． 由折叠性质可知：， 四边形是长方形． ， ， 直线是直线、的等角线， ， ． 的度数为：，． 3．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2)4 (3)8 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； （2）如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）∵， ∴将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， 当时，的面积最大，为， 则四边形面积的最大值为8． 题型二十　平行线中的射线光线旋转问题 例题：在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)10或85或130；55或或145 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 【详解】（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． 巩固训练 1．如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则______； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行性的性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解； （2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解； （3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）落在射线上的时间为：， 如图，当第一次时， ， 由旋转知，， ， 解得：； 如图，当时， 由（2）知，，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当时，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当第二次时，旋转角， 又， ， 解得：； 综上所述，或或或． 2．【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点 【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，． （2）若平分，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3），， 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，根据三角形的外角的性质可得，等量代换，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，以及，得出，则，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）设旋转后的三角形为，的对应点为，分三种情况讨论，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， 是 的外角， ， ， （2）， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 是 的外角， ； （3）由（2）可得，， 设旋转后的三角形为，的对应点为 ①当时，延长交于点， 如图所示， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴ ③当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，，， 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，旋转的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 3．如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：                  (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2，的度数为______° ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，绕着点旋转，点始终在和之间（不含，上），和与直线分别交于D，K．设，， ③根据题意，结合图形的变化规律，可知的取值范围为______ ④结合所学知识点，、间的数量关系为______ 【答案】(1)（1）①；②或 (2)③；④ 【分析】（1）①由平行线的性质结合直角三角形的性质和外角性质可求解； ②分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解； （2）③画出图形，由直角三角形的性质与平行线的性质可得答案，④ 由平行线的性质和四边形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由题意可知，或， 如图2-1，当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2-2，当时，   ， ∴度数为或； （2）③如图，当在上时，， 当在上时，，    ∵点始终在和之间（不含，上）， ∴，即， ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，多边形的内角和定理的应用，等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 轴对称、平移与旋转（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：轴对称 1 轴对称图形：把图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，即为轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 2 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形的对应点叫做对称点。 3 轴对称的性质：轴对称（或成轴对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。 4 对称轴的画法：先连结一对对称点，再作出所连线段的垂直平分线，即为该图形的对称轴。 要点二：平移 1 平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。它由移动的方向和距离决定。 2 平移的性质：平移后的图形与原来图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小不变。 要点三：旋转 1 旋转的定义：把一个图形绕某一个点沿某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2 旋转的性质：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样的角度；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；图形的形状与大小不变。 3 旋转对称图形：图形旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形。 要点四：中心对称 中心对称图形：把一个图形绕着中心点旋转180度后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够和另一个图形重合，就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 识别中心对称图形：关键是看它绕着其中心旋转180度后能否与自身重合。 确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：连结任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心；或者任意连结两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心。 画一个图形关于某点成中心对称的图形的方法：关键是找出这个图形上的各关键点关于这一点的对称点，再按原图的顺序连结各点即可。 要点五：全等图形 1 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2 图形变换与全等：一个图形经过翻折、平移、旋转变换所得到的新图形与原图形全等；全等的两个图形经过上述变换后一定能够重合。 03 题型归纳 题型一　生活中的平移、旋转现象 例题：2025蛇年春晚的主题LOGO，源自甲骨文的“巳”字，字形像蛇，还有生长繁衍的意思，象征“巳巳如意，生生不息”．下列四个图形中，能由甲骨文“”字经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列生活中的现象是平移的是（   ） A．商场内直梯的上下移动 B．电风扇中扇叶的运动 C．摩天轮的转动 D．飞机螺旋桨的运动 2．下列现象属于旋转的是（） A．摩托车在急刹车中向前滑动 B．摩天轮转动 C．雪橇在雪地里滑动 D．物体在空中下落 3．“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（    ） A．平移、对称 B．对称、旋转 C．平移、旋转 D．旋转、对称 题型二　轴对称、中心对称、旋转对称、全等图形 例题：书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为无言的诗、无形的舞、无图的画、无声的乐．下列是用小篆书写的“天道酬勤”四个字，其中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列图形中既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 2．剪纸是一项传统的民间文化艺术，也是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸图案中不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 题型三　成轴对称、中心对称 例题：下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 题型四　轴对称的性质求解 例题：如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 巩固训练 1．如图，与关于直线对称，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，与关于直线l对称，则 ． 3．如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）． 题型五　平移的性质求解 例题：如图，中，，把沿方向平移到的位置，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．36 B．38 C．40 D．42 巩固训练 1．如图，将三角形沿方向向右平移得到，若，且点E是的中点，则平移的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，连接，若三角形的周长是，则四边形的周长是 ． 3．如图，直角的直角边，将沿边的方向平移到的位置，交于点，，， 则四边形的面积 题型六　旋转的性质求解 例题：如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点D落在上，与相交于点F，若，，则的大小为 ．    3．如图，已知直角三角形的周长为3.14．将的斜边放在直线上，然后将顺时针在直线上转动两次到的位置，则的长度为 ． 题型七　中心对称的性质求解 例题：如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 2．如图所示的图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是： （填“”、“”或“”）． 3．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 题型八　全等的性质求解 例题：如图，，，，则为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的度数为 ． 3．如图，，点D、E、M在同一直线上，且，，则的长为 ． 题型九　设计轴对称、中心对称图形图案 例题：在正方形中有一条线段，请设计2种方案添加一条线段，使得添加后图形是一个轴对称图形，并标出对称轴．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法，可作必要文字说明） 巩固训练 1．观察图①～④中阴影部分构成的图案： (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征：___________； (2)在图⑤，图⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④的共同特征． 2．如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：    (1)在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得 (2)在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得． 3．画图题        (1)在图①补充2个黑色小方块（可以涂阴影），使得阴影部分只是轴对称图形． (2)在图②中补充2个黑色小方块（可以涂阴影），使得阴影部分只是中心对称图形 ． (3)在图③中补充2个黑色小方块（可以涂阴影），使得阴影部分既是中心对称图形又是轴对称图形． 题型十　画轴对称图形、中心对称图形 例题：如图，的顶点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长为1，利用网格线按下列要求画图． (1)画出，使它与关于直线成轴对称． (2)求出的面积． (3)在直线上找一点，使点到点的距离之和最短．（不需计算） 巩固训练 1．如图，在方格纸中，的顶点都在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：点A与，点B与，点C与相对应） (2)在第（1）题的基础上，连接，求四边形的面积． 2．作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向下平移个单位后的． (2)画出关于点的中心对称图形． (3)画出与的对称中心（黑点标记）． 3．如图，在小正方形组成的网格中（每一小格为1个单位长度）， 和 的顶点都在格点上．根据图形解答下列问题： (1)将 向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的 (2)将 绕点 D 逆时针旋转 ，画出旋转后的 (3)判定 与 是否关于某点成中心对称？若是，画出对称中心点 M． 题型十一　平移与旋转作图 例题：正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连接、，则线段与线段的关系是_______． (3)求的面积． 巩固训练 1．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点． (1)补全，利用网格点和三角板画图； (2)的面积为______； (3)求线段平移过程中扫过的面积S． 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到，请画出； (2)以边AC的中点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)画出向左平移3个单位所得到的； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转后所得的； (3)画出关于直线成轴对称的图形； (4)观察所有的三角形，除了（3）中的两个三角形成轴对称外，是否还有其他成轴对称的图形？若有，请画出它们的对称轴． 题型十二　画垂线 例题：如图，已知，利用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 巩固训练 1．如图，已知，求作：边上的高； 2．如图，已知，点在上，点在上，连接，请用尺规作图法在上求作一点，连接交于点，使得与互余．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，已知，点在上．若，请用尺规作图法，在射线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 题型十三　画垂直平分线 例题：如图，已知，利用尺规作图法作线段，使得将的面积平分，且点D在线段上．（不写作法，保留作图痕迹） 巩固训练 1．已知，用直尺和圆规作边、、的垂直平分线．你有什么发现？（不写作法，保留作图痕迹） 2．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 3．（1）如图1，有分别过A、B两个加油站的公路a、b相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P到A、B两加油站的距离相等，而且P到两条公路a、b的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，此图形为轴对称图形，请用无刻度的直尺，准确地画出它的对称轴（保留作图痕迹）． 题型十四　画角平分线 例题：如图，． (1)请用圆规和直尺或量角器作出的角平分线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若，求的度数． 巩固训练 1．如图，请用尺规作图法，求作的平分线． 2．如图，中，，垂足为．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）； (1)作的平分线，交于点 (2)为上的动点，在上确定一点，使的最短． 3．如图，在菱形中，为对角线．利用尺规作的平分线交边于点E，交的延长线于点F．（要求：保留作图痕迹．不写作法，标明字母） 题型十五　全等图形分割 例题：请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 巩固训练 1．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    2．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．     3．方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 题型十六　平移的实际应用 例题：综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    巩固训练 1．如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少． 2．星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示， 爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？” 爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？” 小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．” 你认为小刚的方法可以吗？说明理由． 3．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 题型十七　折叠问题 例题：【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 巩固训练 1．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． （1）①若，则______； ②用含的代数式表示． （2）如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若，用含的式子表示． 2．若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．    (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数． 3．综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，如图，M，N分别在边，，点A落在点F处；将沿折叠，均是折痕． (1)如图1，若，；求的度数 (2)如图2，若点E，F，G在同一直线上；求的度数 (3)如图3，若射线在的内部，图中的3个角：，和，其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“幸运线”．设，射线是的“幸运线”，求的度数（用含x的代数式表示）． 题型十八　三角板旋转求t 例题：【探究与实践】 如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ； ② ． 【问题探究】 （2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合； ②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 巩固训练 1．将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒． (1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分； (2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动． ①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由； ②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？ 2．如图1，为直线上一点，过点在直线上方作射线，．将直角三角板的直角顶点放在点处，一条边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．    (1)如图2，当时，________，________，________； (2)当三角板旋转至边与射线相交时（如图3），请直接写出与的数量关系________． (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出的取值，若不存在，请说明理由． 3．如图，有一副直角三角板如图1所示放置，其中，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)在图1中，______． (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，？ ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，当转到与原位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，旋转的时间是多少？ 题型十九　新定义问题 例题：某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线， (1)如图2，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为α，则“对角旋转角”的度数_____（用含有α的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，则_____．； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面为130，请求出此时长方形的面积． 巩固训练 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 2．我们定义：如图1，直线a，b被直线c所战（a，b，c不交于同一点），若直线a，c所成的四个角中有一个角与直线b，c所成的四个角中的一个角相等，如，则称直线c是直线a，b的等角线． 【初步感知】 （1）如图2，在图①，②，③中，直线c是直线a，b的等角线的是___________（填序号）； 【探究应用】 （2）如图3，点E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC的点，且点E不与点A，D重合，点F不与点B，C重合，将长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点的位置，的延长线交直线BC于点G． 图3               备用图 ①直线AB，EF，中，直线___________是直线与直线BC的等角线，并请说明理由； ②直线与直线BC交于点G，随着折痕EF的变动，当直线EG是直线AB，BC的等角线时，求的度数（提示：三角形的内角和为）． 3．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 题型二十　平行线中的射线光线旋转问题 例题：在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 巩固训练 1．如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则______； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值． 2．【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点 【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，． （2）若平分，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 3．如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：                  (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2，的度数为______° ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，绕着点旋转，点始终在和之间（不含，上），和与直线分别交于D，K．设，， ③根据题意，结合图形的变化规律，可知的取值范围为______ ④结合所学知识点，、间的数量关系为______ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$