数学（山西卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（山西卷） 数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（　　） A．2 B． C． D． 2．中华美学文化熠熠生辉、璀璨夺目，其中或左右对映，或上下相称的对称美传承了几千年．下列四把不同形状的团扇中，其外围扇骨的形状既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（   ） A． B． C． D． 5．自行车后面有尾灯，虽然这些尾灯自身并不发光，但在夜间骑行时，后方车辆的强光照射到尾灯上时，光线会被强烈地反射回去，从而提醒汽车驾驶员注意前面有自行车．这一效果正是利用了角反射器的原理最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 如图，自行车的尾部安装的反光镜，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．2025年山西省初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率是（   ） A． B． C． D． 7．如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（   ） A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B．图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 8．如图所示，取一张菱形的纸片，先沿对折，再沿对折，最后沿中点F与顶点D的连线剪开，将阴影部分展开，平铺后是一个边长为2的正方形，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数表达式为，则光线所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，阴影部分是由直径为的半圆、扇形、两腰长为4的等腰直角围成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    12．中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案： （两人座和三人座各几排） 13．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）． 14．问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区　域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更加斑斓绚丽．如图，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．那么，当正五边形内有 个点时，可分得77个三角形． 15．已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算：； （2）下面是小亮进行分式化简的过程，若正确，就从“”中选一个合适的值代入求解；若错误，就写出正确的化简过程． 17．（7分）如图，在中，，，直线过点A，．过点作于D．在的延长线上取点，使得，连接，． (1)依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； (2)用等式表示，，之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）． 思路： ①在的延长线上取点F，使得，连接． ②由垂直平分，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得； ③设，可以用含的代数式表示出___________，___________，从而证明出； ④于是可证（___________），从而得到_________（用含，的代数式表示）． 18．（8分）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 19．（9分）为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的理论知识成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：理论知识成绩在C组的数据为：81，81，82，82，83，84，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．89 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请通过计算补全频数分布直方图； (2)求所抽取学生理论知识成绩的中位数； (3)请估计全校500名学生的理论知识成绩高于80分的人数； (4)某班甲、乙两位学生的理论知识成绩与实践操作成绩如表，学校规定将每位学生的理论知识和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，请通过计算说明甲、乙两位学生谁的总成绩更高？ 学生 理论知识成绩/分 实践操作成绩/分 甲 92 82 乙 85 90 20．（7分）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角为，然后沿方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角为，用皮尺测得测角仪的高，点B与点C之间的距离为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计算桥头堡顶端到桥面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 21．（9分）阅读与理解 【问题情境】 创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题． 【问题探究】比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 【方案设计】如图①，在直线上任取两点，，分别过点，作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点，位于直线的同侧，连接，，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 【猜想验证】证明：，， ， 又， ∽（依据1）， （依据2）． 同理可得：， ， ， ， 即：． 【问题解决】任务： (1)上面证明过程中的“依据”和“依据”分别是谁： 依据1：______； 依据2：______． (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长． (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 22．（12分）项目化学习： 项目主题：拱桥水位研究 项目背景：人通过拱桥方便快捷，同时安全 驱动问题：人如何通过拱桥时安全、便捷。 建立模型： 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为． (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 问题解决：(2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，请问当水位处于正常水位（即水面为）时，游船是否能够通过？并说明理由； (3)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 23．（13分）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，点是边上一点，连接的平分线与的延长线相交于点，过点作于点． (1)【问题发现】判断的形状，并说明理由： (2)【问题探究】 过点作交的延长线于点，根据题意在如图②中补全图形，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考第三次模拟考试（山西卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 11． _____ ____________ 12 ． ___________________ 12． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 17 ． （7分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ． （8分） 19 ． （9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 7 分） 21 ． （9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 22．（12分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 23．（13分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第三次模拟考试（山西卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10 分） 17．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（7 分） 21．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（13 分） 2025年中考第三次模拟考试（山西卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，即可作答． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C 2．中华美学文化熠熠生辉、璀璨夺目，其中或左右对映，或上下相称的对称美传承了几千年．下列四把不同形状的团扇中，其外围扇骨的形状既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、扇骨的形状是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、扇骨的形状既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、扇骨的形状是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、扇骨的形状是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的定义，根据主视图是从前面看到的图形求解即可． 【详解】根据题意得，其主视图为： ． 故选：A． 4．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘除运算，熟练掌握多项式乘单项式乘法运算法则，是解题的关键．根据被除式除式商，求出结果即可． 【详解】解：被除式应该为： ． 故选：B． 5．自行车后面有尾灯，虽然这些尾灯自身并不发光，但在夜间骑行时，后方车辆的强光照射到尾灯上时，光线会被强烈地反射回去，从而提醒汽车驾驶员注意前面有自行车．这一效果正是利用了角反射器的原理最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 如图，自行车的尾部安装的反光镜，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．2025年山西省初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得小明和小颖分别随机选择一个项目的所有等可能的结果，再找出他们选择同一个项目的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将足球、篮球、排球考试项目分别记为，画出树状图如下： 由图可知，小明和小颖分别随机选择一个项目共有9种等可能的结果，其中，他们选择同一个项目的结果有3种， 则他们选择同一个项目的概率为， 故选：C． 7．如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（   ） A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B．图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，压力于质量成正比例，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图可得：人对木板的压力随人的质量的增大而增大，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故正确，不符合题意； 小明和小亮的质量分别为和，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：压强结合图可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，正确，不符合题意； 设 ∵经过点, ， 解得：， ， 当时，， 当时，， ∵木板面积为， ∴小明对木板的压强， 小亮对木板的压强， ， ∴当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大， ∴正确，不符合题意； 由题意得：小明对木板的压强，小亮对木板的压强，则四边形的面积，也说明小明对木板的压力为，小亮对木板的压力，那么小明、小亮两人对木板的压力相差，故错误，符合题意； 故选: D． 8．如图所示，取一张菱形的纸片，先沿对折，再沿对折，最后沿中点F与顶点D的连线剪开，将阴影部分展开，平铺后是一个边长为2的正方形，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确理解题意，知道裁剪后的图形是解题的关键． 确定为等腰直角三角形，，继而由勾股定理可得，再在中，由勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵平铺后是一个边长为2的正方形， 由折叠可知：为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数表达式为，则光线所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，延长交轴于点，把点代入，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，证明，进而求出点坐标，根据两直线平行，值相等，结合点坐标，求出的解析式即可． 【详解】解：延长交轴于点，如图， 把代入，得：，解得：， ∴， ∴， 由光的反射可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； ∴； 故选D． 10．如图，阴影部分是由直径为的半圆、扇形、两腰长为4的等腰直角围成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的面积，求不规则图形的面积，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线，分割法求阴影部分的面积是解题的关键；根据阴影部分的面积求解即可； 【详解】连接点B和与圆的交点D， 是直径， ， 是等腰直角三角形， ，， 阴影部分的面积， 故选：． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【详解】解：由题意得： 大正方形的边长为， ∴阴影部分面积 故答案为： 12．中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案： （两人座和三人座各几排） 【答案】两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排） 【分析】本题主要考查二元一次方程可能的整数解，根据题意列出二元一次方程并对可能得解进行求解即可． 【详解】解：设两人座有x排，三人座有y排，则 ， 那么，可能解或． 故答案为：两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排）． 13．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】 【分析】本题考查了数据的处理和应用，涉及反比例，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键． 根据和，列出方程，求出k即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． 14．问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区　域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更加斑斓绚丽．如图，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．那么，当正五边形内有 个点时，可分得77个三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意先确定正五边形内点的个数与被分割成的三角形的个数之间的关系，即可得出规律解答． 【详解】解：正五边形有1个点时，三角形个数为（个）； 正五边形内有2个点时，三角形个数为（个）； 如图， 正五边形内有3个点时，三角形个数为（个）； 以后每增加一个点，必然在某一个三角形内部，图形增加2个三角形， 以此类推有正五边形内有n个点时，可分成的三角形的个数为个， 令， 解得：， 故答案为：37． 15．已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点N，先根据证明，得到，设，则，根据平行线的性质可证明，得到得到，解出，从而得出，进而得出结果即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点N， ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 或（小于零舍掉）， ，即， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算：； （2）下面是小亮进行分式化简的过程，若正确，就从“”中选一个合适的值代入求解；若错误，就写出正确的化简过程． 【答案】（1）7；（2）错误，见解析 【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的化简． （1）先计算零指数幂，求立方根，最后再计算加减法即可． （2）先通分，然后再计算，最后约分即可． 【详解】解：（1）原式； （2）错误，正确化简过程为： ． 17．（8分）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 【答案】(1)一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩 (2)王伯伯至少还需要27个人同时打药 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩． （2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得： ， 解得：； 答：王伯伯至少还需要27个人同时打药． 18．（9分）为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的理论知识成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：理论知识成绩在C组的数据为：81，81，82，82，83，84，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．89 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请通过计算补全频数分布直方图； (2)求所抽取学生理论知识成绩的中位数； (3)请估计全校500名学生的理论知识成绩高于80分的人数； (4)某班甲、乙两位学生的理论知识成绩与实践操作成绩如表，学校规定将每位学生的理论知识和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，请通过计算说明甲、乙两位学生谁的总成绩更高？ 学生 理论知识成绩/分 实践操作成绩/分 甲 92 82 乙 85 90 【答案】(1)见解析 (2) (3)300名 (4)甲学生的总成绩高 【分析】本题主要查了频数分布直方图，中位数，加权平均数等： （1）先求出抽取的学生的总人数，可求出B组的频数，即可求解； （2）根据题意可得位于正中间的两个数分别为83，84，即可求解； （3）用500乘以成绩高于80分的人数的频率，即可求解； （4）分别求出甲、乙两位学生的总成绩，再比较，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：抽取的学生的总人数为名， ∴B组的频数为， 补全频数分布直方图，如下： （2）解：根据题意得：位于正中间的两个数分别为83，84， ∴所抽取学生理论知识成绩的中位数为； （3）解：名 即理论知识成绩高于80分的人数为300名； （4）解：甲学生的总成绩为分， 乙学生的总成绩为分， ∵， ∴甲学生的总成绩高． 19．（7分）如图，在中，，，直线过点A，．过点作于D．在的延长线上取点，使得，连接，． (1)依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； (2)用等式表示，，之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）． 思路： ①在的延长线上取点F，使得，连接． ②由垂直平分，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得； ③设，可以用含的代数式表示出___________，___________，从而证明出； ④于是可证（___________），从而得到_________（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)作图见解析 (2)；；；； 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）①根据题意画出图形即可； ②依据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的“三线合一”即可求解； ③证出，由直角三角形的性质即可求解； ④根据全等三角形的性质与判定即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①在的延长线上取点F，使得，连接． ②由作图知垂直平分， ∴，， ∵， ∴，； ③设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ④∴， ∴， 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（7分）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角为，然后沿方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角为，用皮尺测得测角仪的高，点B与点C之间的距离为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计算桥头堡顶端到桥面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】桥头堡顶端到桥面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，连接，并延长交于点，先证出，，，再设，解直角三角形可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，最后根据求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：桥头堡顶端到桥面的距离约为． 21．（9分）阅读与理解 【问题情境】 创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题． 【问题探究】比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 【方案设计】如图①，在直线上任取两点，，分别过点，作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点，位于直线的同侧，连接，，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 【猜想验证】证明：，， ， 又， ∽（依据1）， （依据2）． 同理可得：， ， ， ， 即：． 【问题解决】任务： (1)上面证明过程中的“依据”和“依据”分别是谁： 依据1：______； 依据2：______． (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长． (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)依据1：两组角对应相等的两个三角形相似；依据2：相似三角形的对应边成比例 (2)见解析 (3)小明的方法正确，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由相似三角形的判定与性质可得出答案； 在上取点，使，在上取点使，连接，交于点，过点作于点，则可得出答案； 证明，得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 又， （两组角对应相等的两个三角形相似， （相似三角形的对应边成比例． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； （2）解：如图，线段表示的长． 在上取点，使，在上取点，使，连接，交于点，过点作于点， 则线段为所求线段； （3）解：小明的方法正确． 理由：， ， ， ， ， ， 由题意可知，，， ， ， ， ， ． 22． （12分）项目化学习： 项目主题：拱桥水位研究 项目背景：人通过拱桥方便快捷，同时安全 驱动问题：人如何通过拱桥时安全、便捷。 建立模型： 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为． (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 问题解决：(2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，请问当水位处于正常水位（即水面为）时，游船是否能够通过？并说明理由； (3)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】(1)坐标见解析， (2)游船能够通过，见解析 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的的值，比较即可得解； （3）设彩灯的长度为w，求出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：游船能够通过． 理由：由（1）得：抛物线解析式为：； 当时，， ， ∴游船能够通过； （3）解：如图： 设此时彩灯右边与抛物线交于点， ， ∵彩灯两端的最低点到水面的距离为米，秋季水位会下降约米， ∴彩灯的最低点Q在直线上， ∴点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，． 答：这串彩灯的最大长度为米． 23．（13分）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，点是边上一点，连接的平分线与的延长线相交于点，过点作于点． (1)【问题发现】判断的形状，并说明理由： (2)【问题探究】 过点作交的延长线于点，根据题意在如图②中补全图形，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)等腰直角三角形，见解析 (2)补充图形见解析，，见解析 (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由，，再根据平分，得到，根据，，即可得出结论； （2）过点作交延长线于点，证明，即可得证； （3）当，过点作于点，连接，证明，进而证明，得出，即可求解．当时，设，，，则，进而解直角三角形得出即：，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形； 理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：补全图形如图， ，理由如下， 过点作交延长线于点， 由（1）知：中， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当，过点作于点， ∵， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ； ∴； 当时，则，如图， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①②得：， 解得：， 将代入①得，， 整理得，，即：， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 28 / 29 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 2025年中考第三次模拟考试(山西卷) 数学·参考答案 第I卷 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑) s 2 0 6 5 10 C B B D 1 D A C 第I卷 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 11. 6V10m2 12. 两人座1排和三人座3排(或两人座4排和三人座1排 13.127 14.37 15.6+6v2 三、解答题(本大题共8个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(10分)解:(1)原式-3+1+3 -7: 4分 (2)错误, 正确化简过程为: 2 2 1 (x+1)(x-1)x-1 2 r1 =(x+1)(x-1)(x+1)(x-1) ..7分 -(+1)(x-1 2--1 1-x (x+1)(x-1) 1 ___ x+1 1/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 17.(7分)【详解】(1)解:如图所示, (2)解:①在AD的延长线上取点F,使得DF=AD,连接BF. ②由作图知BD垂直平分AF, *.FB=AB,AD=FD. ....分. .AB-BC. .'.BC=BF, ABD= FBD; ③设乙ABE=a. “ BDE=90*,DE=BD, . EBD= BED=45*. ./ABC=90*. '. EBC= ABC- ABE=90*- '$ ABD= $FBD= EBD-$ ABE=45$-$$$$ ' EBF=乙ABD+ FBD+ ABE=90*- .5分 ../FBC=/EBF: ④.&EBCEBF[SAS), .FC=FF=DE+FD=DE+AD. .....7分 故答案为:FB=AB;90*-a;45*-a;SAS;DE+AD. 18.(8分)【详解】(1)解:设一个人打药的面积为x亩,则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为8x亩 由题意得: 600 200 -25. 8xx 解得:r=5, 经检验:r三5是原方程的解 .8x=40, 答:一个人打药的面积为5亩,则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩. ........4 2/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 (2)解:设王伯伯还需要v个人同时打药,由题意得: 220-5(y+1) 40 <2. 解得:y>27; 答:王伯伯至少还需要27个人同时打药 19.(9分)【详解】(1)解:根据题意得:抽取的学生的总人数为5+10%=50名 ..B组的频数为50-5-20-10=15. 补全频数分布直方图,如下 理论知识成绩的频数分布直方图 人数(频数) 25 )三) 20 15 10 5 0 60 70 80 90 100成绩/分 图1 (2)解:根据题意得:位于正中间的两个数分别为83,84, .所抽取学生理论知识成绩的中位数为83+84 -83.5 20+10 (3)解:500x- -300名 50 即理论知识成绩高于80分的人数为300名; 3 (4)解:甲学生的总成绩为92x一 3+2 3+2 3 2 乙学生的总成绩为85x- -+90x- 3+2 --87分, 32 ..88>87, .甲学生的总成绩高. 20.(7分)【详解】解:如图,过点A作AF1MN于点F,连接ED,并延长交AF于点G, 3/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 M C B ..EC I MN,DBI MN. '.FC//BD. .'BD=CF. ·.四边形EDBC是平行四边形, 又.FCMN. &.平行四边形EDBC是矩形, .'.DE=BC=7.92m, BDIEG, 又.DB1MN,AF1 MN. '.四边形DGFB是矩形, $'$FG=BD=1.50m,EG AF,$ 2分 由题意得:$ ADG=45^{$*, AEG=37^$}, 设AG=m x>0). AG 在RtADG中,DG=- -=xm. tan乙ADG 在Rt△AEG中,EG-AG tan乙AEGtan37*' 'EG-DG=DE. n376-1=7.92 .5分 7.92 tan37。 解得x= 1-tan370. 7.92tan37* '$AF=AG+FG= 1-tan370+1.50~25.3(m), 答:桥头堡项端A到桥面MN的距离约为25.3m 21.(9分)【详解】(1)证明::EF1/,CA11, EFB= CAB=90*.$$$$$ V.'/FBF=/CBA AEBF△CA(两组角对应相等的两个三角形相似) 4/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 BF EF 。 AB AC (相似三角形的对应边成比例). 故答案为:两组角对应相等的两个三角形相似,相似三角形的对应边成比例 ........分. (2)解:如图,线段表示R的长 At #2 ③ 在AB上取点M,使BM=3,在CD上取点N,使CN=6,连接CM,BN交于点E,过点E作EF1BC于 点F, 则线段EF为所求线段; (3)解:小明的方法正确。 理由:C=90. :CA1BC. ..BDIBC. . BD/AC. .△DBE”△ACE. DBBE ACCE' 由题意可知DB=R,AC=R,CE=R.+BE, R BE R_R :BE二. R-B' .111 ,_ RR R=- -R' :BE-R. .9分 22.(12分)【详解】(1)解:设抛物线的解析式为: y=axka:0). 由题意得:拱项的坐标为(0.1.8),点D的坐标为(2,-0.2). 5/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 [k=1.8 $${x $+k=-0.2' [=1.8 解得: #a, 2 '.抛物线的解析式为: y=- (2)解:游船能够通过. -1+18: 理由:由(1)得:抛物线解析式为: y- 当x=0.8时,y-- .5分 -1.48>1.3+0.1. .游船能够通过; (3)解:如图: J& M 1-1.2- 0 N :PM=2, ..彩灯两端的最低点到水面CD的距离为14米,秋季水位会下降约02来 .彩灯的最低点O在直线y=1.2上. .点N为(n.1.2). .MV=- 设彩灯的长度为w w=PM+2MN=2m-m}+1.2=-m}+2m+1.2, :-10. .m=1时,w最大,w+=-1+2+1.2=2.2. ....分. 答:这串彩灯的最大长度为2.2米 6/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 23.(13分)【详解】(1)解:△MCF是等腰直角三角形 理由如下, ·四边形ABCD是矩形. .ZBCD=90*. .'CB=CE,CMIBF. ..ZBCM=ZECM; .CF是之ECD的角平分线. './DCF=/ECF. 2 .△MCF是等腰直角三角形 (2)解:补全图形如图 17 D BG=BC. B C 理由如下, 过点B作BH1BF交FC延长线于点H H 由(1)知:Rt△CMF中ZMCF=45* ..ZMFC=45*; ..MC|IBH, . H= MCF=45* 7/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 '.。BHF是等腰直角三角形, '.BF=BH; .FG1FC, '. BHC= $BFG$=45$^$*;$ ·' $GBF+ $FBC= $HBC+$ $FBC=9 $$ ..ZGBF= CBH. ..GBF。CBHASA). .BG=BC; .9分 (3)解:当 EGF=90$,过点G作GN1BF于点M, N # B C .乙ABE= BCM.BG=BC BMC= BNG=90*$ :BGN;CBMAAS), . BM=GN. :△GEF是等腰直角三角形 : GN=EN=FN. " BM-EM. $ FN=EN=EM=BM=GN 设GN=$,则BV=3x.BE=2$x BG=GN{}+BV{}=10$ :BC=AD=10. BNG$= BAE-90*$ ABE= $GB$$ : △ABEoNBG. 8/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 AB BE N BG 3V AB-3 5 -x. 3V10 r 3. AD= 10x 5 30 .AB-3 , 一: 当 GFF=90{*时,则 2+ 3=90^{*},如图 E D M C ·四边形ABCD为矩形. $ BAD=90*=$ 1+ 2,AD//B$C$$ '/1=/3. .'.tanz1=tan/3. .AE4G ABAE' $$B$C=B$G$=$a A B=$,$ E=$,则$A G$=$-$$ .-6 'r2=ab-b①. .AD/BC. .乙2=乙4: ..cos/2=cos/4. .__x b+x{ a '.=2ax-b②. 9/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 由①②得:$ax-b^$}=a b--}$ 解得:x-6, 2 将x-代入①得, ##b^=ab-b2, 2 b4 AB 4 整理得, “,即: AD=5' .AB-4V10 5 ; 310 0.或4VT0 综上所述,AB= 5 .13分 5 10/10 2025年中考第三次模拟考试（山西卷） 数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（　　） A．2 B． C． D． 2．中华美学文化熠熠生辉、璀璨夺目，其中或左右对映，或上下相称的对称美传承了几千年．下列四把不同形状的团扇中，其外围扇骨的形状既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（   ） A． B． C． D． 5．自行车后面有尾灯，虽然这些尾灯自身并不发光，但在夜间骑行时，后方车辆的强光照射到尾灯上时，光线会被强烈地反射回去，从而提醒汽车驾驶员注意前面有自行车．这一效果正是利用了角反射器的原理最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 如图，自行车的尾部安装的反光镜，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．2025年山西省初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率是（   ） A． B． C． D． 7．如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（   ） A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B．图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 8．如图所示，取一张菱形的纸片，先沿对折，再沿对折，最后沿中点F与顶点D的连线剪开，将阴影部分展开，平铺后是一个边长为2的正方形，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数表达式为，则光线所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，阴影部分是由直径为的半圆、扇形、两腰长为4的等腰直角围成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    12．中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案： （两人座和三人座各几排） 13．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）． 14．问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区　域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更加斑斓绚丽．如图，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．那么，当正五边形内有 个点时，可分得77个三角形． 15．已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算：； （2）下面是小亮进行分式化简的过程，若正确，就从“”中选一个合适的值代入求解；若错误，就写出正确的化简过程． 17．（7分）如图，在中，，，直线过点A，．过点作于D．在的延长线上取点，使得，连接，． (1)依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； (2)用等式表示，，之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）． 思路： ①在的延长线上取点F，使得，连接． ②由垂直平分，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得； ③设，可以用含的代数式表示出___________，___________，从而证明出； ④于是可证（___________），从而得到_________（用含，的代数式表示）． 18．（8分）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 19．（9分）为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的理论知识成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：理论知识成绩在C组的数据为：81，81，82，82，83，84，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．89 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请通过计算补全频数分布直方图； (2)求所抽取学生理论知识成绩的中位数； (3)请估计全校500名学生的理论知识成绩高于80分的人数； (4)某班甲、乙两位学生的理论知识成绩与实践操作成绩如表，学校规定将每位学生的理论知识和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，请通过计算说明甲、乙两位学生谁的总成绩更高？ 学生 理论知识成绩/分 实践操作成绩/分 甲 92 82 乙 85 90 20．（7分）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角为，然后沿方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角为，用皮尺测得测角仪的高，点B与点C之间的距离为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计算桥头堡顶端到桥面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 21．（9分）阅读与理解 【问题情境】 创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题． 【问题探究】比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 【方案设计】如图①，在直线上任取两点，，分别过点，作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点，位于直线的同侧，连接，，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 【猜想验证】证明：，， ， 又， ∽（依据1）， （依据2）． 同理可得：， ， ， ， 即：． 【问题解决】任务： (1)上面证明过程中的“依据”和“依据”分别是谁： 依据1：______； 依据2：______． (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长． (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 22．（12分）项目化学习： 项目主题：拱桥水位研究 项目背景：人通过拱桥方便快捷，同时安全 驱动问题：人如何通过拱桥时安全、便捷。 建立模型： 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为． (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 问题解决：(2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，请问当水位处于正常水位（即水面为）时，游船是否能够通过？并说明理由； (3)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 23．（13分）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，点是边上一点，连接的平分线与的延长线相交于点，过点作于点． (1)【问题发现】判断的形状，并说明理由： (2)【问题探究】 过点作交的延长线于点，根据题意在如图②中补全图形，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值． 10 / 11 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$