猜押11 几何综合解答题压轴（四大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押11 几何综合解答题压轴 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 几何综合 （解答题压轴） 2024年成都卷B卷第26题，2023年成都卷B卷第26题，2022年成都卷B卷第26题。 几何知识点以及题型在初中数学中占了半壁江山，可见它的重要性，其中包括三角形、四边形、圆以及解直角三角形，所涉及的知识点非常广，综合性也是很强的，此题型主要考查学生对几何知识点的综合应用，难度较大。 在近三年的成都数学中考试卷中，几何综合大题是近三年每年必考的题型，位于成都卷B卷第26题，属于压轴题位置，可见在2025年成都中考试卷中，几何综合题仍然会继续考查，并且会变得更加灵活，开放性强。考生可根据以往题型进行分类总结，加以练习。 题型一：几何压轴综合之三角形综合★★★★★ 1．（2025·四川成都·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）   （2）  （3）或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 2．（2024·四川成都·一模）在△ABC中，，，，分别是边，上的点，连接，． (1)如图，若，，且，求的度数； (2)如图，若，，且，求的长； (3)如图，若，当最大时，求的值． 【答案】(1)；(2)的长为或；(3) 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质和已知条件推出判定的条件，然后根据相似三角形的性质推出，代入已知边长求出的长，在中根据的正切值即可求出其度数； （）过作于，推出条件判定，得到，判定是等腰直角三角形，用含的式子分别表示出，，代入比例式后整理得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的长； （）过作，截取，连接，推出判定和的条件，判定全等后得到，，取中点，连接，取中点，连接，设，则，，，当，，三点共线时，是的最大值，此时最大，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：如图，过作于， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或， 即的长为或； （3）∵，， ∴， 即， 如图，过作，截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点，连接，取中点，连接， 设，则， ∴， 当，，三点共线时， ∵， ∴的最大值为，此时最大， ∴． 3．（2024·四川成都·二模）在锐角三角形中，于点D，，，E是边上一点，且，连接，F，G分别是的中点． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，连接，求证：； (3)延长交边于点H，若，求的长度． 【答案】(1)的长为(2)证明详见解答(3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）先利用勾股定理求出和的长度，再证即可得解； （2）连接，取中点，连接，根据中位线定理，，则，推出，则，因为，等量代换即可作答． （3）设，则，根据，求出，由中位线定理，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：连接，取中点，连接， ∵分别是中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：设， 则， ∵， 即， ， 则， 由中位线定理， ， 在中，， 即， 解得或(舍去)， ． 4．（2024·四川成都·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 5．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，，是的中点，点是边上一点，连接，在线段的左侧作，射线与边交于点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图，过点作于点，与线段交于点，当点与点重合时，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)． 【分析】（）证明即可求证； （）过点作交于点，可得，得到，，进而得，，又由是的中点得到，可得，利用勾股定理得到，得到，即得，即可得到； （）由是的中点得，设，则，由勾股定理的，由得，根据，得到，即得，可得，再证明，得到，又证明，得到，可得，在中，利用三角函数得，再代入计算即可求解； 【详解】（1）证明：，，           ， ， ； （2）解：过点作交于点， ∴， ，， ， ，， ∵是的中点， ， ，                                         在中，由勾股定理得：， ， ， ； （3）解：，是的中点， ， 设，则，， ∴ ∵， ， ∵点与点重合， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，，                           ， ， ， ， 在中，于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ∴． 6．（2024·四川成都·一模）如图，△ABC中，，点D是射线上的动点，点E是边上的动点，连接，将△ADE沿翻折到△ABC所在平面得△FDE，点F恰好落在直线上．    (1)如图1，当点F与点C重合时，若，求长； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，设直线与直线交于点M，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）折叠得到垂直平分，勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）过点作，交于点，根据折叠的性质，得到，，结合已知条件推出，，根据三角形的外角的性质，得到，进而得到，设，证明，分别求出的长，再用正切的定义，求解即可； （3）过点作，根据折叠的性质，得到，根据斜边比直角边长，得到，进而得到时，最小，过点作，证明，利用（2）中的结论求出的长，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分， 又点与点重合， ∴； （2）∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 过点作，交于点，则：，    ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作，    ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即：当时，，此时最小， 过点作，则：，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，由（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2023·四川成都·三模）如图，在△ABC和中，其中，，将绕点C旋转，连接，． (1)求证：； (2)设与交于点F，与交于点G，若四边形为平行四边形，求的值； (3)连接，，若，，当点D在射线上时，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)或 【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）分别求出，与的关系，可得结论； （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，过点作与点．如图中，当点在的延长线上时，分别利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：，， ，，， ，， ； （2）解：①连接，如图2所示： 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ，，， ，即， ； （3）如图中，当点在线段上时，过点作与点． 在中，，， 在中，，， ，， ，， 在中，，， 在中，， ． 如图中，当点在的延长线上时，同法可得． 综上所述，的长为或． 8．（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．    (1)求的长度； (2)如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形． ①当时，试求的长度； ②如图3，点为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）取的中点，连接，证明，得出则，进而根据，即可求解； （2）①如图所示，过点作于点，过点作于点，证明得出，即可得出，证明，进而证明在上，根据已知条件证明在上，然后解直角三角形，即可求解； ②如图所示，过点作于点，连接，由①可得在上运动，当时，取得最小值，即重合时，的长即为的最小值，由①可得，求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，取的中点，连接，    ∵，， ∴，， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）①如图所示，过点作于点，过点作于点，    由（1）可得 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在上， ∵， ∴ ∵ ∴在上， ∵， ∴，则 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ②如图所示，过点作于点，连接，    由①可得在上运动， ∴当时，取得最小值，即重合时，的长即为的最小值， 设交于点，即与①中点重合，由①可得 ∵ ∴， ∴ 设 则， 在中，． 9．（2024·四川成都·三模）△ABC的所对边分别是a，b，c，若满足，则称△ABC为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边． 【特例感知】如图1，若△ABC是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长； 【深入探究】如图2，是的中线，若△ABC是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证 ②试判断与的数量关系并证明； 【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长． 【答案】【特例感知】CM的长为6；【深入探究】①证明见解析；②AB与CM相等，理由见解析；【结论应用】MN的长为5． 【分析】（1）根据是类勾股三角形，为勾股边，有，得到，根据，是中线，可得，即可求解； （2）①根据，得到，再根据即可求证；②根据，可得，，再根据，可得，进而得到，最后根据，，可得； （3）连接，由【深入探究】可得：，进而得到，根据为的中点，可得，进而求解. 【详解】（1）解：是类勾股三角形，为勾股边， ， ， ， ， ，是中线， ，                                       （2）①证明：， ， ， ．                                        ②与相等，理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，                                （3）解：连接， 与都是以为勾股边的类勾股三角形， 为的中点， 由【深入探究】可得：， ， 为的中点， ， ， 10．（2023·四川成都·一模）已知四边形的一组对边、的延长线交于点E． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，，，，，求四边形的面积． (3)如图3，另一组对边、的延长线相交于点F．若，，，直接写出的长（用含n的式子表示）． 【答案】(1)详见解析(2)44(3) 【分析】（1）证明，即可得解； （2）过点C作于点G，过点A作于点H，在中利用已知条件可求出、的长，在中可求出 、长，利用（1）可知，从而可求出的长，利用四边形的面积的面积的面积的面积即可得解； （3）如图中，作于H，则，，作于点G，设，则，，根据正切可得，求出a即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作于F，过点A作交延长线于G， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴四边形的面积的面积的面积的面积 ； （3）过点C作于H，过点A作于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， 由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 11．（2023·四川成都·二模）在△ABC中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论； （3）先证明当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； （2）证明：如图2，过点D作交于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值， 如图4， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2024·四川成都·二模）如图1，在直角三角形纸片中，将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． [观察思考] （1）折痕的长为______； [深入探究] （2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ① 如图2，当直线经过点B时，求的值； ② 如图3，当直线时，求的长． [拓展延伸] （3）在绕点D旋转的过程中，连接，求的最小值． 【答案】（1）3（2）①；②（3）2 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； ②过作于，交于．则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论； （3）连接，则，当、、三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，， 则 ， ， ， 是的中位线， ， 故答案为：3； （2）①由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ， ∴ ②如图3，过作于，交于． ∵折叠 ∴ ∵旋转 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； （3）如图4，连接， 则， 当、、三点共线时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 故答案为：2． 题型二：几何压轴综合之矩形综合★★★★★ 1．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． (1)如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； (3)如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． 【答案】(1)点F的坐标为；，(2)存在，理由见解析(3) 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，得到分别为、的中点，进而求解； （2）求出点的坐标为，得到，则，得到，即可求解； （3）当在轴上时，推出，求出的表达式，又由平分，，联立两条直线，得到的中点的坐标，再求出的表达式，求得的表达式，进而求解． 【详解】（1）解：点为中点， 由中点坐标公式得：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 、分别为、的中点， ，； （2）解：，理由如下： 将代入，得， 点的坐标为， ， 将代入，得， 点的坐标为， ， ， 又， ， ∴, ； （3）当在轴上时，如图： 沿着折叠至， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得， 的表达式为：， 如图，当平分时，， ， 与轴的交点坐标为：， 表达式为：， 联立， 解得， 点坐标为， 的中点的坐标为， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得：， 故直线表达式为：， 设直线表达式为：，代入， 的表达式为：， 当时，， 点坐标为， ， 此时反比例函数的表达式为． 2．（2024·四川成都·二模）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸． 【实践操作】 操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处． （1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）； 【迁移探究】 如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点． （2）连接，判断和的位置，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值． 【答案】（1），，，（写出一个即可）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质可得，，根据特殊角的三角函数值的计算可得，再根据折叠的性质，平行线的性质可得，由此即可求解； （2）根据矩形的性质和折叠可证，，，再根据三角形的外角和定理可得，结合平行线的判定和性质即可求解； （3）设，根据矩形的性质，中点的性质可得，根据题意可得是等腰三角形，根据平行线的性质，对顶角的性质可得是等腰三角形，由此可得，根据折叠的性质可得，，根据三角形内角和定理可得，所以，即，可求出（负值舍去），由此即可求解． 【详解】解：（1）∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， ∵沿折叠，使点落在上的点处， ，， ， 在中，，， ∴； ， ， ∴； 故答案为：，，，（写出一个即可）； （2）如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， 在中， ， ∴ ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 3．（2024·四川成都·二模）已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 【答案】（1），，见解析；（2）2或5；（3） 【分析】（1）根据“衍生矩形”的定义，可知矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上（顶点不重合），得出两组全等三角形，分别证明即可； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，可证，得出，根据，求出，，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）当Q落在边上时，最小，当Q落在矩形内部，且时，最大，即可得出答案． 【详解】（1），． 在矩形和矩形中， ，， ， ， 同理可得：， ， 在和中，， ， 同理可证：； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，四边形为矩形，则矩形为矩形的“衍生矩形”， 由（1）可知：， ， ， ， ， 由（1）可知：， 又， ， ， 设，则， ， 解得或5， 或5； （3）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，连接， 四边形为矩形，过点O， 由（1）知：， ， 为中点，， 四边形为矩形， ， 延长交于点F，则，，， 当最小时，最小；当最大时，最大， 即：当最大时，最小；当最小时，最大， 当Q在上时，，， ， 点Q落在矩形内（不含边界）， ， 在矩形中，， 当最小时，最小，最大， 时，， 此时， ， ， 综上，． 4．（2024·四川成都·二模）在矩形中，，，点E从点A出发，沿边，向点C运动，点A，D关于直线的对称点分别为点，，连接，，． (1)【初步感知】如图1，当点落在的延长线上时，求的长； (2)【深入探究】当点E运动到中点时，连接，求的长； (3)【拓展运用】当直线恰好经过点C时，求的长． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）连接，设，则，由对称性得，由勾股定理求出，列出方程，可得出答案； （2）连接，交于点，由对称性得，证明，得出，求出的长，由三角形中位线定理可得出答案； （3）分两种情况，由矩形的性质，相似三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接， 设，则，由对称性得， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 由对称性得， ， 在中，， ， 解得， 即； （2）解：如图1，连接，交于点，由对称性得， 点是中点， ， 在中，， 在中，，， ，， ， ， ， 由对称性得， ， ， ， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ； （3）解：分以下两种情况讨论： ①如图，当点在边上时，恰好经过点， 由对称性得，， ， 在中，， 在矩形中，，， ，， 在和中， ， ， ； ②如图3，当点在边上时，恰好经过点， 由对称性得，，，， ， 在中，， ， 恰好经过点， ， 在矩形中，， ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， 解得， 即， 综上所述，的长为或． 5．（2024·四川成都·三模）如图，矩形中，，，点，分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．    (1)求的度数： (2)若，求的值； (3)连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)(2)(3)的最大值为；此时 【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作，于点，延长至点，使得，连接，得出，证明，，进而证明，得出，连接，证明，得出，进而根据，即可求解； （3）作与点，则点为的，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，证明，，，四点共圆，进而证明，得出，得出，求得，设则，根据表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴是等边三角形， ∴， （2）如图所示，过点作，于点，延长至点，使得，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ， ， 又， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，    由（1）可得是等边三角形， ∴点为的中点， ，， ， ， ∴四点共圆， ，， ， ， ∵ ∴ ∴，又 ∴ ∴ 又，则 ∴点在上， ∵ ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设则， ， ， ， ， ， ∴当时，取的最大值，最大值为，此时． 6．（2023·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，交射线于点． (1)如图，当点在边上时（点与点、不重合），延长交延长线于． ①当平分时，求的长； ②设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当点在射线上时（点与点、不重合），射线交射线于点，当时，求的长． 【答案】(1)①；②(2)的长为或 【分析】（1）①证明，可得，，利用勾股定理求出，则，再用勾股定理即可求解；②先证明，得出，再证明，从而求得关于的函数关系式； （2）根据，得出，求得，然后再分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）①四边形是矩形， ，，， ， ， 平分， ， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ②四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，，，， ， 解得：， ， ∴ ， 即， 解得：， 即关于的函数关系式为； （2）①当点在线段上时，在线段上， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， 解得：； ②当在的延长线上时，如图：   ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 解得：． 综上所述，的长为或． 7．（2024·四川成都·一模）如图①，点D为上方一动点，且． (1)在左侧构造，连接，请证明△BAE∽△BCD； (2)如图②，在左侧构造，在右侧构造，连接求证：四边形是平行四边形； (3)如图③，当满足，，．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形； （Ⅰ）求证：四边形是矩形； （Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段的最大值． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【分析】（1）根据题意得，，进而可得，即可求证； （2）分别证、，即可求证； （3）（Ⅰ）由（1）（2）可得，即可推出，即可求证；（Ⅱ）作的外接圆，圆心为O，可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， （2）证明：由（1） ∵， ∴，， ∴， 由（1）同理可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：（Ⅰ）由（1）（2）可得 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形 （Ⅱ），理由如下： 由（Ⅰ）得 作的外接圆，圆心为O ∵ ∴ ∴圆心O为定点，且半径 ∴ 求得 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 8．（2023·四川成都·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时，______°； ②如图2，当点M在EF上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），当时，直接写出的长． 【答案】(1)∠EMB、∠PBM、∠PBA、∠MBC（任填其一即可） (2)①15；② (3)或3 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）①根据折叠的性质，可证，即可求解；②解，求得；解，求得，然后根据三角形面积公式计算即可． （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， ， ， （2）解：①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ； ，， ， ； ， ②在中， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ 由折叠性质得：，，， ∴ ∴ ∴ （3）解：当点在点的下方时，如图3，   ，，， ，， 由（2）可知，，， 即平分，，， ∴， ∴， 设，， ， 即， 解得：， ； 当点在点的上方时，如图4，   ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ． 综上所述，或． 9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知矩形中，E是边上一点，将沿折叠得到，连接． (1)如图1，落在直线上时，求证； (2)如图2，当时，与边相交时，在上取一点，使与交于点． ①求的值； ②当是的中点时，若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，根据折叠性质得到，得到直线是的垂直平分线，得到，结合矩形的性质，得到得证． （2）①延长交于点T，证明，结合，可证，根据相似三角形的性质即可得出答案． ②先证明，得出，证明四边形是矩形，得出，，，，证明，得出，设，则，得出，，求出，求出，根据，得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点G， 根据折叠性质得到， ∴直线是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①延长交于点T， 根据折叠性质得到， ∴直线是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②根据解析①可知：直线是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去） 故． 10．（2024·四川成都·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 如图，在矩形中，，将矩形绕点C旋转，得到矩形．    【初步感知】 （1）如图1，将矩形绕点C顺时针旋转，当时，连接，． ①求证：， ②求出，，的数量关系（直接写出结论，不必证明）； 【深入探究】 （2）将矩形绕点C旋转，当且点E落在直线上时，试探究线段，，的数量关系，并写出证明过程； 【拓展运用】 （3）如图2，将矩形绕点C旋转顺时针旋转，点G落在上，与，分别交于点Q，P，当F，D，Q三点共线时，直接写出的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）点E落在直线上时，，点E落在线段上时，，证明见解析；（3） 【分析】（1）①由，，得到，结合，，即可求解，②由，，，通过等量代换，即可求解， （2）①点E落在直线上时，连接，交于点H，在与中，由，，得到，点A，D，F三点共线，设，在中，得出，在中，，即可求解，②点E落在线段上时，连接，在与中，由，，得到，点A，B，F三点共线，在中，，，设，，即可求解， （3）作，延长交于点， 由，得到，，由，得到，由，得到，设，，则， ，，由，得，解得：，由，，，得到，由，得到，将，，代入，即可求解， 本题考查了，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：找到等量关系，列出等量关系式． 【详解】解：（1）①证明：， ， ， ， ， ， ， ， ②∵，，， ∴， ∴（等价结果也正确）；     （2）结论①：（等价结果也正确），理由如下： 当，点E落在直线上时，连接，交于点H， 在中， ， 在与中， ， ， ， 点A，D，F三点共线， ， 设， 在中， ， 由，得出， 在中， ， （等价结果也正确）， 结论②：（等价结果也正确），理由如下： 当，点E落在线段上时，连接， 在中， ， 在与中， ， ， ， 点A，B，F三点共线，                                         在中，，， 设，， （等价结果也正确）， 综上所述：点E落在直线上时，， 点E落在线段上时，； （3）过点，作，交于点，延长交于点，连接、， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴,即：，解得：，（舍）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 11．（2023·四川成都·二模）如图1，矩形和矩形共顶点，且绕着点顺时针旋转，满足．    (1)的比值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并说明理由； (2)如图2，若点为的中点，且，，连接，求的面积． (3)如图3，若、、三点共线，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)不发生变化，，理由见解析(2)(3) 【分析】 （1）结论：．证明，再证明，可得结论； （2）如图2中，连接，，过点作交的延长线于点．利用相似三角形的性质求出，解直角三角形求出，可得结论； （3）如图3中，连接，，，过点作 于点，设交于点．利用（1）中结论求出，利用相似三角形的性质求出，，可得结论． 【详解】（1） 解：（1）的比值不发生变化．理由如下： 如图1中，连接，．    四边形是矩形， ，，． ， ， 设，，则， ；， 同法可证， ， ，， ，， ， ； （2） 如图2中，连接，，过点作交的延长线于点．    四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ， 的面积； （3） 如图3中，连接，，，过点作于点，设交于点．    ，， ， ， ， ， ， ， ； ， ，， ， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ， ． 题型三：几何压轴综合之菱形综合★★★★★ 1．（2024·四川成都·三模）如图，在菱形中，，点E为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长交于点F，交于点G． (1)设，探究的大小是否为定值，请说明理由； (2)在上截取，连接，求证：； (3)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)的大小为定值，理由见解析(2)见解析(3)15 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据折叠得出，，根据等腰三角形的性质得出，求出，，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）连接，，证明为等边三角形，得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）由可设，则，，证明，则，解得，则，，由，可得，则，可证明，则，则，故可得，则，则可求菱形边长为15． 【详解】（1）解：的大小为定值，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）证明：连接，，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图： 由，可设， 则，， ∵为等边三角形， ∴， ∴ 由（2）， 得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即菱形边长为15． 2．（2024·四川成都·二模）如图，菱形中，于点E，点F在上，于点H，分别交、于点G、点P．    (1)求证：； (2)若．求证：； (3)若，且，，求菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（1）根据菱形的性质得出，进而利用余角的性质解答即可； （2）作于M，先证明，再证明，可得，进而可证结论成立； （3）作于N，证明得，，设，，证明得，．证明得，由求出，根据勾股定理求出，连接交于点O，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴； （2）作于M，则．    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）作于N． ∵，，， ∴， ∴，． 设，，则，． 由， 得，而． ∵，，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∴，， ∴ 连接交于点O，则，， ∴， ∴，即， ∴菱形边长． 3．（2024·四川成都·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点为上一点，连结，，，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析（2）32（3） 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ； （2）解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， ； （3）解：如图，延长，交于点 ， 设则 ∵四边形是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形的边长为 ． 4．（2024·四川成都·二模）如图1，△ABC与均为等边三角形，将绕点逆时针旋转，旋转角为（其中），连接，，是的中点，． (1)求证：； (2)如图2，连接，当的延长线经过点时，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，连接，若，在绕点旋转的过程中，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析(3) 【分析】本题考查几何变换综合题、等边三角形性质、菱形的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． （1）根据等边三角形性质和旋转性质可得，，证明和全等，即可得证； （2）过点作，利用直角三角形求出的长，由勾股定理可求，可得，再利用同旁内角互补证明，即可得证； （3）取中点，连接，利用三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）解：与为等边三角形， ， 绕点逆时针旋转， ， 在和中 ， ； （2）四边形为菱形，理由如下： 过点作，垂足为， 为等边三角形， ，， ， ， 的延长线经过点，， 由勾股定理得，， ， ， 由（1）得，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； （3）取中点，连接， 为等边三角形，为中点， ， ， ， 为中点，为中点， 为的中位线， ， 在中， 最大为． 5．（2023·四川成都·一模）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师给出这样一个问题：如图①，矩形纸片的边，，沿对角线剪开，得到两个直角三角形纸片，分别为和．将△ABC固定不动，平移． 操作探究： （1）如图②，把沿射线平移得到△，当，请直接写出平移的距离； 探究发现： （2）如图③，把射线平移得到△，连接，判断四边形的形状，并证明；    探究拓展： （3）记为△，将其拼接到如图④的位置，并使与A重合，与C重合，然后把△沿射线方向平移，平移的距离是，使点，D，中的某一点与点B和C构成的三角形是等腰三角形，在图⑤中补全图形，求出你探究的等腰三角形和平移的距离l（写出一种即可）    【答案】（1）或；（2）四边形是菱形，证明见解析；（3）作图见解析，、、或 【分析】（1）先证明，，结合平移的性质分两种情况讨论：当点A在边上时，，，当点A在线段的延长线上时， ，从而可得答案； （2）如图，连接交于点O．先证明四边形是平行四边形．再证明，可得，从而可得结论； （3）如图②，当△是等腰三角形，．如图④，当是等腰三角形，．如图⑥，当是等腰三角形，， 当如图⑦，是等腰三角形，，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵矩形纸片的边，， ∴，， 当点A在边上时，，， ∴，即平移的距离为； 当点A在线段的延长线上时， ， ∴，即平移的距离为． 故平移的距离为或． （2）四边形是菱形． 证明：如图，连接交于点O．    ∵四边形是矩形， ∴， ． 由平移的性质可知，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． 在中，由勾股定理可得 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）补全图形如图②，△是等腰三角形，．    如图③，过点B作于点H，    ∴，． ∵， ， ∴HC＝ ∴＝ ∴． 情况二：补全图形如图④，是等腰三角形，．    如图⑤，过点D作于点E，交于点O，过点D作于点F．    ∵由图③可得，， ∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴点O为的中点， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 情况三：补全图形如图⑥，是等腰三角形，，    ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点是的中点 ∴＝5，即． 情况四：补全图形如图⑦，是等腰三角形，，    ∴． 6．（2023·四川成都·一模）如图1，在矩形中，，是边边上一动点，把沿直线折叠，顶点C的对应点是点G，交于点F，交于点E，连结交于点M，且． (1)求证：； (2)如图1，当，且时，求的值； (3)如图2，当时，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)432 【分析】（1）由折叠可知：，由可得，，则，由矩形的性质可得，则，，进而结论得证； （2）设，则，由，可知，即，解得：，，由，可得，，在、中，由勾股定理求得，，证明，则，即，，设，则，，，由，可得，解得，则，在中，根据，计算求解即可； （3）如图，连结，证明四边形是菱形，则，，证明，则，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得：，， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 在中，， 在中，， 由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，解得， ∴， 在中，， ∴的值为； （3）解：如图，连结， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的值为432． 7．（2024·四川成都·二模）在菱形中，对角线与相交于，为边上的动点，过点作射线，使，交射线于． (1)如图1，为上一点，且为重心，求的值； (2)如图2，当运动到中点时，射线恰好过的重心． ①求的值； ②若，过作交射线于，连接，，在点从运动到的过程中，求折线段扫过的图形面积． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）取中点，并连接，，由为重心可知过点，得到为的中位线，证明，利用相似三角形性质和中位线求解，即可解题； （2）①过作于，利用平行四边形的性质，证明，由（1）知且为中点，设，则，，进而得到，证明，得到，设，则，，利用相似三角形性质得到，设，则，利用勾股定理得到，，据此建立方程求得，再根据余弦定义求解，即可解题； ②交射线于，连接，过作交延长线于，过作于，证明，，得到点的运动轨迹是过点且垂直于的线段，利用相似三角形性质和得到，利勾股定理得到，进而得到，再利用解直角三角形相关运算得到，即可得到折线段扫过的图形面积． 【详解】（1）解：取中点，并连接，，由为重心可知过点， 为中点，为的中位线， 且， ， ； （2）解：①过作于， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知且为中点， 为中点，设，， ，， ， 由可得， ， 设，则，由为中点得，， ， 即得， 设，则， 在中，， 在Rt中，， 得， ； ②如图，交射线于，连接，过作交延长线于，过作于， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 点的运动轨迹是过点且垂直于的线段， ， 在Rt中，，且， ， ， ， 当点从运动到时的运动轨迹长为， ， 点运动轨迹， 在中，， 在点从点运动到点的过程中，折线扫过的图形为四边形， ． 8．（2024·四川成都·一模）如图，四边形是菱形，，点E是边上一动点，连接，在右侧作菱形使得菱形菱形，连接交于点R，连接． 【尝试初探】 （1）求证：； 【深入探究】 （2）若R为中点，求的值； 【拓展延伸】 （3）①若，是等腰三角形，求的值； ②若D，F，G三点共线，连接，求的值． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）①当是等腰三角形，或1；② 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，则有，然后可得，则设，即，过点R作于点H，进而根据勾股定理及三角函数可进行求解； （3）①由题意可分当时，当时，当时，然后分类进行求解即可；②由题意易得点B、G、C、D四点共圆，则有，然后可得，过点B作于点N，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形，都是菱形， ∴， ∵菱形菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∵菱形菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵R为中点， ∴， 设， ∴，即， ∴过点R作于点H，如图所示： 设，则有， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴当时，则有， 当时，则有，不符合题意； ∴， ∴； （3）解：①由题意可分：当时，则有，由点D、E重合时，，此时，所以当时，不符合点E在边上； 当时，是等腰三角形，则有，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D、E重合，点F、R重合， ∴， ∴，， 过点R作于点M，如图所示， ∴， 设，则有， ∴, 解得：， ∴， ∴； 综上所述：当是等腰三角形，或1； ②设菱形的边长为m，则线段的长就为定值，由题意可知， ∴根据同弧所对圆周角相等可知点B、G、C、D四点共圆，如图所示： ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点N，如图， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2024·四川成都·一模）（1）如图1，在直角△ABC中，，过作交于点，求证：； （2）如图2，在菱形中，过作交的延长线于点，过作交边于点．①若，求的值；②若，直接写出的值（用含的式子表示）； （3）如图3，在菱形中，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交于点，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）①设,，则，得，进而求得，即可求解； ②根据①的方法进行求解即可； （3）如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而根据，建立方解方程即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）∵菱形， ∴， ∵ ∴，又 由（1）可得 ①∵， 设,，则， ∴ ∴， ∴ ∵，则 ∴ ∴ ∴； ②∵ 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴，则 俗 ∴ ∴ （3）如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，    ∵菱形中，且 ∴，， ∴，, ∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ 在中，， 则，， ∴ ∴， ∵， 由（1）可得 ∴ 设，则，，， ∴ 解得：或， 即或 10．（2024·四川成都·一模）在菱形中，，，动点在射线上运动．    (1)如图1，将点绕着点顺时针旋转，得到对应点连接，．求证：； (2)如图2，在（1）条件下，若射线经过边中点，求的值； (3)连接，将线段绕着点逆时针旋转一个固定角，，点落在点处，射线交射线于点，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质可证，易知，由旋转可知，，结合勾股定理即可证明结论； （2）连接，交于点，作于点，结合菱形的性质易得，，，可知，得，为的中位线，则，设，则，再证，得，据此列方程求解即可； （3）分三种情况：（Ⅰ）当点在上，且时，（Ⅱ）当时，作于点，（Ⅲ）当点M在的延长线上时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）证明：在菱形中， ，， ， ， ， 由旋转可知，， ； （2）解：如图，      连接，交于点，作于点， 四边形是菱形，是的中点， ，，，，，， ，， ，为的中位线，则， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（舍去）， ， ； （3）（Ⅰ）当点在上，且时，如图，     ，， ， ， ， 设， 作于，作于点，由（2）可知，， 由得， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）当时，作于点，如图，    由上知：， ， 设， ，， ， ， ， ， 此时 所以点M在的延长线上． （Ⅲ）当点M在的延长线上时， ， ， ， 综上所述：或． 题型四：几何压轴综合之正方形综合★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图1，在△ABC中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，解答下列问题： (1)如果，． ①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段之间的位置关系为 ，数量关系为 ； ②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？ (2)如果，点在线段上运动（如图4）当 时，（点重合除外）？ (3)若，．在（2）的条件下，设正方形的边与线段相交于点，求线段长的最大值． 【答案】(1)①；②成立，理由见解析(2)(3)1 【分析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①证明，得出，求得，即可得出；②证明得出，求得，即可得出； （2）过点作的垂线与所在直线交于，得出等腰直角三角形，证明得出，从而得出，即可得解； （3）过点作交的延长线于点，利用勾股定理得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：； ②当点在的延长线上时，①的结论仍成立．如图， 由正方形得：， ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴； （2）解：当时，；理由如下： 如图，过点作的垂线与所在直线交于， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵与交于点时，此时点位于线段上， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 设，则， ∵，且， ∴， 又∵在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 解得：． ， ∴当时，有最大值1， 即线段长的最大值为1． 2．（2023·四川成都·一模）如图1，已知正方形的边长为4，点E是射线上一动点，连接，将绕点B顺时针旋转得，将沿翻折得，连接． (1)求证：； (2)在点E运动过程中，的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； (3)如图2，点M，N分别为，的中点，连接，，．当时，求的面积． 【答案】(1)证明见详解(2)的面积不变，面积为8(3)或； 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质： （1）根据正方形的性质得到，从而得到，根据旋转得到，结合折叠得到，即可得到证明； （2）作于，证明，即可得到答案； （3）作于F，作交的延长线于G，作于H，可求得和的长，从而得出的面积，可求得和的面积，从而求得四边形的面积，根据是的中位线，可求得的的面积，从而求得四边形的面积，可求得的长，进而求得的面积，结合面积加减即可得到 ； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针旋转得， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴； （2）解：的面积不变，理由如下， 作于， ∵沿翻折得， ∴，， ， ∵绕点B顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于F，作交的延长线于G，作于H， 由（2）得， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在上时，如图所示，作于F，作交的延长线于G，作于H， 同理可得，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵点N分别为的中点， ∴点H分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， 综上所述：面积为或． 3．（2023·四川成都·二模）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图①，在正方形纸片中，点E是边的中点，将沿所在的直线折叠，得到，延长交于点P，连接 猜想证明： （1）求证：； 拓展探究： 如图②，延长交于点F． （2）求证：； （3）求的值． 【答案】（1）证明见解析、（2）证明见解析、（3） 【分析】 （1）根据正方形的性质和折叠的性质可得，，进而即可得到结论； （2）结合（1）中的结论可得四边形是平行四边形，进而即可得到结论； （3）连接交于点O，先证明，设，则，结合勾股定理列出方程即可求解 【详解】 （1）证明：∵四边形为正方形， ∴ 由折叠的性质知， ∴， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 解法二：如图①，分别延长交于点Q， 在正方形中，，， ∴ 由（1）得， 又∵， ∴， ∴ 由折叠的性质可知， ∴ 又∵， ∴， ∴； 解法三：如图②，连接 由（1）得EA＝EB＝EB′， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ （3）解：如图②，连接交于点O. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 设，则 在中，， 即，解得. ∵， ∴AF＝， ∴， ∴ 4．（2024·四川成都·二模）如1，在正方形中，，P是边上的一点，连接，过点D作于点H，在边上有一点E，连接，过点H作，交边于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，交线段于点G，当为等边三角形时，求的长； (3)如图3，设M是的中点，连接，分别交线段，于点K，N，当P是的中点时，在边上是否存在点E，使得？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，证得，可得，即可得证； （2）设，则，根据等边三角形的性质可得，即，由（1）可知，，可得，即可求解； （3）连接，，由（1）可知，，可得，根据正方形的性质得，设，则，利用锐角三角函数可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质和锐角三角函数值可得，即H，E，M，N四点共圆，证得，可得，利用勾股定理求得，再利用锐角三角函数求得，，证明，可得，即，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，连接，， 由（1）可知，， ∴， ∵P是的中点，且在正方形中，， ∴， ∴， 设，则， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴H，E，M，N四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵H，E，M，N四点共圆， ∴同理可得， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 若，则， ∴，即， ∴， ∵（已证）， ∴，即， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∴， 由，得， 整理，得， 解得，（舍去）， ∴存在点E，使得，此时． 5．（2024·四川成都·一模）如图1，在正方形中，，P是边上的一点，连接，过点D作于点H，在边上有一点E，连接，过点H作，交边于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，交线段于点G，当为等边三角形时，求的长； (3)如图3，设M是的中点，连接，分别交线段，于点K，N，当P是的中点时，在边上是否存在点E，使得？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，证得，可得，即可得证； （2）设，则，根据等边三角形的性质可得，即，由（1）可知，，可得，即可求解； （3）连接，，由（1）可知，，可得，根据正方形的性质得，设，则，利用锐角三角函数可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质和锐角三角函数值可得，即H，E，M，N四点共圆，证得，可得，利用勾股定理求得，再利用锐角三角函数求得，，证明，可得，即，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在等边三角形FGC中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，连接，， 由（1）可知，， ∴， ∵P是的中点，且在正方形ABCD中，， ∴， ∴， 设，则， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴H，E，M，N四点共圆， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵H，E，M，N四点共圆， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 若，则， ∴，即， ∴， ∵（已证）， ∴，即， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∴， 由，得， 整理，得， 解得，（舍去）， ∴存在点E，使得，此时． 6．（2024·四川成都·三模）【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1！）见解析；（2）11；（3） 【分析】（1）首先证明，再根据证明即可得出结论； （2）作交于点，交于点，证明得出再分别证明，是等边三角形，得到 由求出，从而得出结论； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，求出，证明求得，证明四边形是平行四边形，得出进一步得出 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点，交于点，如图， ∵， 又 ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 7．（2024·四川成都·二模）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：． (2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． ①求证：； ②若，求的值．（用含α的式子表示）． (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．已知：，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②(3) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）①证明，得出，求出，得出即可； ②过B作于M，得出，根据，得出即可； （3）连接，，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出（负值已舍去），求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ②过B作于M， ∵，， ∴， 由①可知：， ∴； （3）解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵Q为正方形中心， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：（负值已舍去）， 即， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押11 几何综合解答题压轴 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 几何综合 （解答题压轴） 2024年成都卷B卷第26题，2023年成都卷B卷第26题，2022年成都卷B卷第26题。 几何知识点以及题型在初中数学中占了半壁江山，可见它的重要性，其中包括三角形、四边形、圆以及解直角三角形，所涉及的知识点非常广，综合性也是很强的，此题型主要考查学生对几何知识点的综合应用，难度较大。 在近三年的成都数学中考试卷中，几何综合大题是近三年每年必考的题型，位于成都卷B卷第26题，属于压轴题位置，可见在2025年成都中考试卷中，几何综合题仍然会继续考查，并且会变得更加灵活，开放性强。考生可根据以往题型进行分类总结，加以练习。 题型一：几何压轴综合之三角形综合★★★★★ 1．（2025·四川成都·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 2．（2024·四川成都·一模）在△ABC中，，，，分别是边，上的点，连接，． (1)如图，若，，且，求的度数； (2)如图，若，，且，求的长； (3)如图，若，当最大时，求的值． 3．（2024·四川成都·二模）在锐角三角形中，于点D，，，E是边上一点，且，连接，F，G分别是的中点． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，连接，求证：； (3)延长交边于点H，若，求的长度． 4．（2024·四川成都·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 5．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，，是的中点，点是边上一点，连接，在线段的左侧作，射线与边交于点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图，过点作于点，与线段交于点，当点与点重合时，求的值． 6．（2024·四川成都·一模）如图，△ABC中，，点D是射线上的动点，点E是边上的动点，连接，将△ADE沿翻折到△ABC所在平面得△FDE，点F恰好落在直线上．    (1)如图1，当点F与点C重合时，若，求长； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，设直线与直线交于点M，当最小时，求的值． 7．（2023·四川成都·三模）如图，在△ABC和中，其中，，将绕点C旋转，连接，． (1)求证：； (2)设与交于点F，与交于点G，若四边形为平行四边形，求的值； (3)连接，，若，，当点D在射线上时，求的长． 8．（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．    (1)求的长度； (2)如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形． ①当时，试求的长度； ②如图3，点为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 9．（2024·四川成都·三模）△ABC的所对边分别是a，b，c，若满足，则称△ABC为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边． 【特例感知】如图1，若△ABC是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长； 【深入探究】如图2，是△ABC的中线，若△ABC是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证 ②试判断与的数量关系并证明； 【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长． 10．（2023·四川成都·一模）已知四边形的一组对边、的延长线交于点E． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，，，，，求四边形的面积． (3)如图3，另一组对边、的延长线相交于点F．若，，，直接写出的长（用含n的式子表示）． 11．（2023·四川成都·二模）在△ABC中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 12．（2024·四川成都·二模）如图1，在直角三角形纸片中，将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． [观察思考] （1）折痕的长为______； [深入探究] （2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ① 如图2，当直线经过点B时，求的值； ② 如图3，当直线时，求的长． [拓展延伸] （3）在绕点D旋转的过程中，连接，求的最小值． 题型二：几何压轴综合之矩形综合★★★★★ 1．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． (1)如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； (3)如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． 2．（2024·四川成都·二模）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸． 【实践操作】 操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处． （1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）； 【迁移探究】 如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点． （2）连接，判断和的位置，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值． 3．（2024·四川成都·二模）已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 4．（2024·四川成都·二模）在矩形中，，，点E从点A出发，沿边，向点C运动，点A，D关于直线的对称点分别为点，，连接，，． (1)【初步感知】如图1，当点落在的延长线上时，求的长； (2)【深入探究】当点E运动到中点时，连接，求的长； (3)【拓展运用】当直线恰好经过点C时，求的长． 5．（2024·四川成都·三模）如图，矩形中，，，点，分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．    (1)求的度数： (2)若，求的值； (3)连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值及此时的长． 6．（2023·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，交射线于点． (1)如图，当点在边上时（点与点、不重合），延长交延长线于． ①当平分时，求的长； ②设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当点在射线上时（点与点、不重合），射线交射线于点，当时，求的长． 7．（2024·四川成都·一模）如图①，点D为上方一动点，且． (1)在左侧构造，连接，请证明△BAE∽△BCD； (2)如图②，在左侧构造，在右侧构造，连接求证：四边形是平行四边形； (3)如图③，当满足，，．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形； （Ⅰ）求证：四边形是矩形； （Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段的最大值． 8．（2023·四川成都·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时，______°； ②如图2，当点M在EF上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），当时，直接写出的长． 9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知矩形中，E是边上一点，将沿折叠得到，连接． (1)如图1，落在直线上时，求证； (2)如图2，当时，与边相交时，在上取一点，使与交于点． ①求的值； ②当是的中点时，若，求的长． 10．（2024·四川成都·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 如图，在矩形中，，将矩形绕点C旋转，得到矩形．    【初步感知】 （1）如图1，将矩形绕点C顺时针旋转，当时，连接，． ①求证：， ②求出，，的数量关系（直接写出结论，不必证明）； 【深入探究】 （2）将矩形绕点C旋转，当且点E落在直线上时，试探究线段，，的数量关系，并写出证明过程； 【拓展运用】 （3）如图2，将矩形绕点C旋转顺时针旋转，点G落在上，与，分别交于点Q，P，当F，D，Q三点共线时，直接写出的值． 11．（2023·四川成都·二模）如图1，矩形和矩形共顶点，且绕着点顺时针旋转，满足．    (1)的比值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并说明理由； (2)如图2，若点为的中点，且，，连接，求的面积． (3)如图3，若、、三点共线，延长交于点，若，，求的长． 题型三：几何压轴综合之菱形综合★★★★★ 1．（2024·四川成都·三模）如图，在菱形中，，点E为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长交于点F，交于点G． (1)设，探究的大小是否为定值，请说明理由； (2)在上截取，连接，求证：； (3)若，，求菱形的边长． 2．（2024·四川成都·二模）如图，菱形中，于点E，点F在上，于点H，分别交、于点G、点P．    (1)求证：； (2)若．求证：； (3)若，且，，求菱形的边长． 3．（2024·四川成都·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点为上一点，连结，，，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长． 4．（2024·四川成都·二模）如图1，△ABC与均为等边三角形，将绕点逆时针旋转，旋转角为（其中），连接，，是的中点，． (1)求证：； (2)如图2，连接，当的延长线经过点时，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，连接，若，在绕点旋转的过程中，求的最大值． 5．（2023·四川成都·一模）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师给出这样一个问题：如图①，矩形纸片的边，，沿对角线剪开，得到两个直角三角形纸片，分别为和．将△ABC固定不动，平移． 操作探究： （1）如图②，把沿射线平移得到△，当，请直接写出平移的距离； 探究发现： （2）如图③，把射线平移得到△，连接，判断四边形的形状，并证明；    探究拓展： （3）记为△，将其拼接到如图④的位置，并使与A重合，与C重合，然后把△沿射线方向平移，平移的距离是，使点，D，中的某一点与点B和C构成的三角形是等腰三角形，在图⑤中补全图形，求出你探究的等腰三角形和平移的距离l（写出一种即可）    6．（2023·四川成都·一模）如图1，在矩形中，，是边边上一动点，把沿直线折叠，顶点C的对应点是点G，交于点F，交于点E，连结交于点M，且． (1)求证：； (2)如图1，当，且时，求的值； (3)如图2，当时，求的值． 7．（2024·四川成都·二模）在菱形中，对角线与相交于，为边上的动点，过点作射线，使，交射线于． (1)如图1，为上一点，且为重心，求的值； (2)如图2，当运动到中点时，射线恰好过的重心． ①求的值； ②若，过作交射线于，连接，，在点从运动到的过程中，求折线段扫过的图形面积． 8．（2024·四川成都·一模）如图，四边形是菱形，，点E是边上一动点，连接，在右侧作菱形使得菱形菱形，连接交于点R，连接． 【尝试初探】 （1）求证：； 【深入探究】 （2）若R为中点，求的值； 【拓展延伸】 （3）①若，是等腰三角形，求的值； ②若D，F，G三点共线，连接，求的值． 9．（2024·四川成都·一模）（1）如图1，在直角△ABC中，，过作交于点，求证：； （2）如图2，在菱形中，过作交的延长线于点，过作交边于点．①若，求的值；②若，直接写出的值（用含的式子表示）； （3）如图3，在菱形中，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交于点，求的值（用含的式子表示）． 10．（2024·四川成都·一模）在菱形中，，，动点在射线上运动．    (1)如图1，将点绕着点顺时针旋转，得到对应点连接，．求证：； (2)如图2，在（1）条件下，若射线经过边中点，求的值； (3)连接，将线段绕着点逆时针旋转一个固定角，，点落在点处，射线交射线于点，若是等腰三角形，求的值． 题型四：几何压轴综合之正方形综合★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图1，在△ABC中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，解答下列问题： (1)如果，． ①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段之间的位置关系为 ，数量关系为 ； ②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？ (2)如果，点在线段上运动（如图4）当 时，（点重合除外）？ (3)若，．在（2）的条件下，设正方形的边与线段相交于点，求线段长的最大值． 2．（2023·四川成都·一模）如图1，已知正方形的边长为4，点E是射线上一动点，连接，将绕点B顺时针旋转得，将沿翻折得，连接． (1)求证：； (2)在点E运动过程中，的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； (3)如图2，点M，N分别为，的中点，连接，，．当时，求的面积． 3．（2023·四川成都·二模）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图①，在正方形纸片中，点E是边的中点，将沿所在的直线折叠，得到，延长交于点P，连接 猜想证明： （1）求证：； 拓展探究： 如图②，延长交于点F． （2）求证：； （3）求的值． 4．（2024·四川成都·二模）如1，在正方形中，，P是边上的一点，连接，过点D作于点H，在边上有一点E，连接，过点H作，交边于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，交线段于点G，当为等边三角形时，求的长； (3)如图3，设M是的中点，连接，分别交线段，于点K，N，当P是的中点时，在边上是否存在点E，使得？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 5．（2024·四川成都·一模）如图1，在正方形中，，P是边上的一点，连接，过点D作于点H，在边上有一点E，连接，过点H作，交边于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，交线段于点G，当为等边三角形时，求的长； (3)如图3，设M是的中点，连接，分别交线段，于点K，N，当P是的中点时，在边上是否存在点E，使得？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 6．（2024·四川成都·三模）【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）． 7．（2024·四川成都·二模）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：． (2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． ①求证：； ②若，求的值．（用含α的式子表示）． (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．已知：，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$