专题14 二次函数与四边形存在性三种常考模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题14 二次函数与四边形存在性三种常考模型 目录 1 模型1.二次函数中的平行四边形的存在性问题 1 模型2.二次函数中的矩形的存在性问题 7 模型3.二次函数中的菱形的存在性问题 15 22 模型1.二次函数中的平行四边形的存在性问题 顶点确定法 1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点: 如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点; (2)两定顶点、两动顶点: ①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置: ②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置. 2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法: 如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理); (2)平行四边形顶点坐标公式法 设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则 1．（2024·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标； (3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，设点E的横坐标为t，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的所有可能取值． 【答案】(1) (2) (3)，，，， 【知识点】解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式； （2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标； （3）分，为对角线；，为对角线；，为对角线；三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得 ， 把代入，得 ，解得， 抛物线得解析式为； （2）解：由（1）得：， 如图，过点作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为G，   轴， ， ， ， 即， ， ， 设D点的坐标为 ，则 ，， ， ∴ 解得（舍去），， 当时，， 点D的坐标为； （3）解：设，， 以，为对角线时， ， 整理得， 解得； 以，为对角线时， ， 整理得， 解得； 以，为对角线时， ， 整理得， 解得； 综上，，，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到对角线互相平分是（3）问题的解题关键， 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 (3) 【知识点】由平行判断成比例的线段、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养． （1）由待定系数法即可求解； （2）作交轴于点，证明，由，得到，则，进而求解； （3）证明四边形为平行四边形，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：作交轴于点，则， 又， ， ， 由，得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得：， 解得：（舍去）或， 点的坐标为； （3）解：作轴交于点， 由平行四边形可得，， 四边形为平行四边形， ， ， ，即， ， 设直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得：， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为． 当直线与抛物线只有一个公共点时到的距离最大． 此时，方程有相等的实数根， 整理得：， 则， 解得：． 模型2.二次函数中的矩形的存在性问题 顶点确定法 确定矩形的顶点位置 A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形 (1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D (2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D. 1．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，，或，或或， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据，由二次函数的性质即可得出答案； （3）分三种情况：当四边形为矩形时；当四边形为矩形时；当为对角线时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于，    设点，则， ， ， ， ， 当时，最大，为； （3）解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到， 点由点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，即； 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到， 点由点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，即； 当为对角线时，设，， 四边形是矩形， ， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，，或，或或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 2．（2023·山西晋中·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H． (1)直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线的表达式； (2)连接、，求面积的最大值； (3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2) (3)存在，Q的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别令，，求出对应的x、y的值，即可求出A、B、C的坐标，然后根据待定系数法求出直线的表达式即可； （2）过点H作轴，交直线于点M，设点H的坐标为，则点M的坐标为，可求，，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）分或两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得 ； （2）解：过点H作轴，交直线于点M， ， 设点H的坐标为， 则点M的坐标为， ， ， 当时，． （3）解：以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，存在或两种情况，设 （1）当，延长，交轴一点， ， ， ，即为等腰直角三角形，即：， ，则， 为等腰直角三角形，则，则， 设PC解析式为，代入，， 得，解得， ， 令，解得（舍去），， ， ，， ； ②当交x轴于点N， ， ，即为等腰直角三角形，即：， ，则， 为等腰直角三角形，则，则， 同理可得解析式为：， 令，解得（舍去）， ， ， ， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与面积问题、特殊四边形问题等，涉及到的知识有待定系数法，二次函数的性质，矩形的性质等，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 模型3.二次函数中的菱形的存在性问题 确定菱形的顶点位置 A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形 (1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D; (2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D. 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，，， 【知识点】用勾股定理解三角形、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，而，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 又过， 则， 则． 即， 即； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、， 、， 则，， 由点、的坐标得，直线解析式为， ，， ． ， 又， ． ， 则， 当 时，； （3）解：存在，理由： 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：； 当或为对角线，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：，或； 综上，或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键． 2．（2023·广东河源·三模）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； (3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①当点N运动到秒时，四边形NBFG是菱形；②点F的坐标为或． 【知识点】解直角三角形的相关计算、由平行截线求相关线段的长或比值、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法将B、C两点坐标代入抛物线求解即可； （2）当时求得长度，并且利用平行线分线段成比例求得E点横坐标，代入抛物线解析式即可求得E点纵坐标，再根据求解即可； （3）①根据题意可求出，．再根据旋转的性质易证四边形是平行四边形，则四边形是菱形，只需即可，又可求出，，则，解出t的值即可；②当四边形是矩形时，只需．由，得出，利用平行线分线段成比例，求得；将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即，再代入解析式即可求得点F的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象过两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：    ∵， ∴，， ∴． 当时，． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 在中，令，得：， ∴； ∴； （3）解：①如图：    根据题意得：，． ∵将绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是菱形，只需，即， 此时． 在中，， ∴， 解得：， 答：当点N运动到秒时，四边形是菱形； ②如图：    由①得四边形是平行四边形． 当四边形NBFG是矩形时，只需． ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴当点N运动1秒时，四边形是矩形． ∴， ∴． 将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即． 当时，即， 解得：，， ∴点F的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查求函数解析式，勾股定理，平行线分线段成比例，特殊四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，属于中考压轴题．利用数形结合的思想是解题关键． 一、解答题 1．（2023·海南海口·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】角平分线的性质定理、求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）当时，，即，则，由题意知，以，，，为顶点的四边形是矩形，分①当为边，②当为对角线两种情况求解；①当为边时，连接，作的平分线，连接，使轴，作交于，作轴于，证明，则，，设，则，，，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，当时，，即，由矩形的性质可求点的坐标；②当为对角线时，作的平分线，连接，使于，作矩形，连接，交于，则，设，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，即，设，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，，即， ∴， 由题意知，以，，，为顶点的四边形是矩形，分①当为边，②当为对角线两种情况求解； ①当为边时，如图，连接，作的平分线，连接，使轴，作交于，作轴于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵以，，，为顶点的四边形是矩形， ∴点的坐标为； ②当为对角线时，如图，作的平分线，连接，使于，作矩形，连接，交于，则， 由①可知，直线的解析式为， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合，一次函数解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合，一次函数解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，已知抛物线，y的最大值为． (1)求抛物线的表达式． (2)点Q和点P是直线上方抛物线上一动点（点Q在点P的左侧），分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M，连接．若四边形是平行四边形，试求平行四边形周长的最大值以及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)12， 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）一般式化为顶点式，根据最值求出的值即可； （2）求出两点坐标，进而求出直线的解析式，根据平行四边形的性质，得到，进而设出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，求出两点的横坐标之间的关系，进而设出两点坐标，得到两点的坐标，将平行四边形周长转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵，且y的最大值为， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴设直线的解析式为：， 令，整理，得：， ∴， 设，则：，， ∴， ∵分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 ， ∴当时，四边形的周长最大为12， 当时，， 此时， ∴． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)求面积的最大值； (3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式； (2)面积的最大值为； (3)点的坐标为或． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可； （）过点作轴，交于点，设，求出直线解析式为，则，然后求出，再通过面积为，最后二次函数的性质即可求解； （）分以，，，为顶点的四边形是正方形，当时和以，，，为顶点的四边形是正方形，当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设， ∴点的横坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上， ∴， ∴面积为 ， ∴当时，面积有最大值为； （3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴点， ∵点在直线：上， ∴， 解得：（舍去），， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， 同上理得：，，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)存在，点的坐标为或或． 【知识点】求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在点，理由如下， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵点为直线右侧抛物线上一点， 设， 由抛物线的函数表达式为， ∴， ∴当时，， ∴， 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点，此时与点重合； 综上可知：点的坐标为或或． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． 6．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标； (3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为 【知识点】利用菱形的性质求线段长、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、已知正切值求边长 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （）分两种情况进行讨论：当点位于直线下方时，当点位于直线上方时，分别画出图形求出结果即可； （）在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于，过点作轴，垂足为，设点，则，，求出直线的解析式为，得出，根据，得出，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图， ①当点位于直线下方时，过点作，垂足为，设满足条件的点在抛物线上，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； ②当点位于直线上方时，过点作直线，垂足为，设，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在． 如图，在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 过点作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∴，设点， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，三角函数，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 7．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点 (3)或或或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）设，利用表示出的长，即可求解； （3）当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线可得， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 在中，， ， 如图， 轴， ， 设点，则点， 则， 则， ， ，故当时，有最大值，为，此时点； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位， 则新抛物线的对称轴为直线，设点， 如图，当为对角线时，存在两种情况，可得， ， 解得， 则， 的中点为，即， 设，则可得，解得， 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时， 当时，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 如图，当为边时，当在上方时， 可得， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 综上，或或或． 8．（2024·四川泸州·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点D的坐标及直线的函数表达式． (2)点P为抛物线上一动点． ①当点P关于直线的对称点恰好落在直线上时，求点P的坐标； ②若点Q为平面直角坐标系内一点P，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1)，， (2)①；②点P的横坐标为或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为，将点代入即可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式； （2）①作直线，点P关于直线的对称点恰好落在直线上、直线、关于直线对称，设直线交x轴于F，作点F关于直线的对称点，则在直线上，连接，可得，利用待定系数法可得直线的函数表达式，联立抛物线的函数表达式，解方程组即可求解；②分两种情况∶当点P在上方时；当点P在下方时．根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入 得：， 解得： ∴抛物线的函数表达式为， 将点代入得， ， ∴， 另，则 ∴， 设直线的函数表达式为，将D代入得： ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）①如图，作直线， ∵点P关于直线的对称点恰好落在直线上， ∴直线、关于直线对称， 设直线交x轴于F，作点F关于直线的对称点，则在直线上，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵直线的函数表达式为，令，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得 ∴直线的函数表达式为； 解 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； ②设， 当点P在上方时，分别过点P、D作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴（不合题意，舍去）或； 当点P在下方时，过点D作直线轴，分别过点P、D作的垂线，垂足分别为G、H， ∴，，，， 同理可得， ∴，即 ∴（不合题意，舍去）或． 综上，点P的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，矩形的性质等相关知识，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用和正确计算． 9．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点， ①求点的坐标； ②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，或或或 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点作轴交于，设，则，求出，再根据并结合二次函数的性质求解即可； （3）①由平移的性质得出平移后的抛物线的解析式为，联立得出，求解即可；②设，，再分三种情况：当为边，点在点的上方时；当为边，点在点的上下方时；当为对角线时；分别利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，为； （3）解：①∵， ∴将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线为， 令， 解得， ∴； ②存在； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设，， ∵以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∴当为边，点在点的上方时， ， 解得：， 此时； 当为边，点在点的上下方时， ， 解得：或， 此时或； 当为对角线时， ， 解得：， 此时； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数的平移、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊的四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 10．（2023·辽宁锦州·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，直线经过点B和点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线于点D，连接． ①如图1，若动点P在直线上方运动时，过点P作于点F，试求三角形的周长的最大值． ②如图2，当点P在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据一次函数解析式，确定，然后利用待定系数法代入求解计算即可； （2）①设，的周长为，则，，证明，得到，再利用勾股定理，求得，得到的周长为，进而得出，然后利用二次函数的性质，即可得到答案； ②根据菱形的性质可知，，且，即点落在轴上．过点作轴于点，设，则、，得到，，再利用勾股定理得到，然后利用列等式求解的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点B， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2） 令，则， 、，， ①设，的周长为， 则，， 轴， ， ， ， ， ， 由题意可知，，， ， 的周长为， ， ， 当时，， 即的周长的最大值为； ②将沿直线翻折后，以、、、为顶点的四边形能成为菱形， ，且， 点落在轴上， 如图2，过点作轴于点，    设，则、， ，， 在中，， ， 或， 解方程①得：或（不符合题意，舍去）， 解方程②得：或（不符合题意，舍去）． 当时，， 当时，． 故以、、、为顶点的四边形能成为菱形的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握利用解析式表示出线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程式解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数与四边形存在性三种常考模型 目录 1 模型1.二次函数中的平行四边形的存在性问题 1 模型2.二次函数中的矩形的存在性问题 7 模型3.二次函数中的菱形的存在性问题 15 22 模型1.二次函数中的平行四边形的存在性问题 顶点确定法 1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点: 如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点; (2)两定顶点、两动顶点: ①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置: ②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置. 2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法: 如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理); (2)平行四边形顶点坐标公式法 设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则 1．（2024·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标； (3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，设点E的横坐标为t，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的所有可能取值． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 模型2.二次函数中的矩形的存在性问题 顶点确定法 确定矩形的顶点位置 A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形 (1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D (2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D. 1．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2023·山西晋中·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H． (1)直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线的表达式； (2)连接、，求面积的最大值； (3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 模型3.二次函数中的菱形的存在性问题 确定菱形的顶点位置 A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形 (1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D; (2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D. 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 2．（2023·广东河源·三模）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； (3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 一、解答题 1．（2023·海南海口·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，已知抛物线，y的最大值为． (1)求抛物线的表达式． (2)点Q和点P是直线上方抛物线上一动点（点Q在点P的左侧），分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M，连接．若四边形是平行四边形，试求平行四边形周长的最大值以及此时P点的坐标． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)求面积的最大值； (3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 4．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标； (3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 7．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 8．（2024·四川泸州·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点D的坐标及直线的函数表达式． (2)点P为抛物线上一动点． ①当点P关于直线的对称点恰好落在直线上时，求点P的坐标； ②若点Q为平面直角坐标系内一点P，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形时，请直接写出点P的横坐标． 9．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点， ①求点的坐标； ②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023·辽宁锦州·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，直线经过点B和点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线于点D，连接． ①如图1，若动点P在直线上方运动时，过点P作于点F，试求三角形的周长的最大值． ②如图2，当点P在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$