专题13 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题13 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型 目录 1 模型一：等腰三角形的存在性问题 1 模型二：直角三角形的存在性问题 5 模型三：相似三角形的存在性问题 12 20 模型一：等腰三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法 已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形 （1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求; （2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标: (2)几何法 作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系 1．（23-24九年级上·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 2．（2023·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴交于点． (1)则抛物线的解析式为______； (2)如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，连接，，设点P的横坐标为m， ①当时，求点坐标； ②当点在抛物线上运动的过程中，存在点使得以点，，为顶点的等腰三角形，请求出此时的值． 模型二：直角三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形 (1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求; (2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求. 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法 分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²; ②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可; (2)几何法 过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 2．（2023·广东阳江·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．    (1)填空：_________，_________，_________； (2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值． 模型三：相似三角形的存在性问题 相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式 1．（2023·湖北黄冈·二模）已知抛物线交x轴于、，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P是第四象限内抛物线上的一点，交y轴于点D，连接，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接（如图②），在线段上是否存在点Q，使与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在（2）的条件下，如图②，在y轴上有一点R，当时，请直接写出点R的坐标． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由． 一、解答题 1．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 2．（2025·广东清远·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物与x轴交于两点和点，与y轴交于点C，连接．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当以点B，D，E为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． 3．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 4．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）已知：如图，抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式． (2)连接、，当的面积最大时，求点的坐标． (3)当为何值时，是等腰三角形． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·山东济南·一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 8．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图1，连结，，求的面积的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 10．（2024·山西朔州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是线段上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m． ①求线段的最大长度； ②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型 目录 1 模型一：等腰三角形的存在性问题 1 模型二：直角三角形的存在性问题 5 模型三：相似三角形的存在性问题 12 20 模型一：等腰三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法 已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形 （1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求; （2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标: (2)几何法 作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系 1．（23-24九年级上·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案； （2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可； 本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的判定、分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，两点在抛物线上， ∴ 解得，， ∴抛物线的解析式为：， （2）解：令， ∴， 由为等腰三角形，如图甲，    当以点为顶点时，，点与原点重合， ∴， 当以点为顶点时，，是等腰中线， ∴， ∴， 当以点为顶点时， ∴点D的纵坐标为或， ∴综上所述，点D的坐标为或或或． 2．（2023·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴交于点． (1)则抛物线的解析式为______； (2)如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，连接，，设点P的横坐标为m， ①当时，求点坐标； ②当点在抛物线上运动的过程中，存在点使得以点，，为顶点的等腰三角形，请求出此时的值． 【答案】(1) (2)①点坐标为或；②存在，的值为或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式： （2）①可得出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标； ②由，，三点坐标可表示出，和的长，由等腰三角形的性质可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把，，，代入抛物线解析式得： ，解得 ， ∴抛物线解析式为； （2）①∵点的横坐标为， ∴，则，， 则，， ∵， ∴， 当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去， ∴； 当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去， ∴； 综上可知P点坐标为或； ②∵，，，， ∴， ， ， 当为等腰三角形时，则有、或三种情况， 当时，则， 解得； 当时，则，解得或； 当时，则， 解得或（舍去）： 综上可知，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，此时m的值为或或或． 【点睛】本题为二次函数的综合题，考查了待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识，合理分类讨论是解题的关键． 模型二：直角三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形 (1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求; (2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求. 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法 分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²; ②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可; (2)几何法 过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 2．（2023·广东阳江·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．    (1)填空：_________，_________，_________； (2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值． 【答案】(1)，，3； (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解； （2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解； （3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故答案为：，，3； （2）如图，作轴于点，    对于，令x=0，则y=-6， ∴点，即， ∵， ∴， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． （3）如图，作轴交于点，过点作轴于点，    ∵， ∴点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 模型三：相似三角形的存在性问题 相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式 1．（2023·湖北黄冈·二模）已知抛物线交x轴于、，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P是第四象限内抛物线上的一点，交y轴于点D，连接，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接（如图②），在线段上是否存在点Q，使与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在（2）的条件下，如图②，在y轴上有一点R，当时，请直接写出点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、三线合一、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出的长，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立求解即可得； （3）先利用两点之间的距离公式求出，利用待定系数法可得直线的解析式为，从而可设点的坐标为，可得的长，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （4）分两种情况：①点在轴正半轴上和②点在轴负半轴上，利用等腰三角形的三线合一、一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：、， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点）， 所以点的坐标为． （3）解：， ，，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ①当时， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 所以此时点的坐标为； ②当时， ，即， 整理得：，此方程没有实数根， 综上，在线段上存在点，使与相似，此时点的坐标为． （4）解：①如图，当点在轴正半轴上时，    ， ， 又， ， ； ②如图，当点在轴负半轴上时， 设与直线交于点，延长与直线交于点，    设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ， ，， ， 又，即， ，即点是的中点， 设点的坐标为， ，解得， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰三角形的三线合一等知识点，较难的是题（4），正确分两种情况讨论是解题关键． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点或 (3)为定点 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）分为①若时，和时，根据相似三角形的性质可解； （3）设点的坐标分别为：， 求出直线的解析式，和直线的解析式，直线的解析式，从而表示出 ，，根据即可得出，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，函数经过两点， 故抛物线的表达式为：， 即，， 则抛物线的表达式为：； （2）令得， 即点， ∴把坐标代入中得直线解析式是、且， ∵， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得， 解得， ∴点， ∴， 若时，， ∴，即点， 若时，， ∴， 即点， 综上，点或． （3）是定点，理由如下： 由题意，的坐标为， 设点的坐标分别为：(假设点在点左侧)， ∴把的坐标代入中得， 直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， 则， 同理可得，， ∴， ∴， 即， ∴直线的解析式为：与无关， ∴， 即为定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中． 一、解答题 1．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，由点)在函数图象上，对称轴为直线，列方程组即可求得解析式； （2）根据平移后的图象过原点，所以设，使抛物线第二象限上的点P与组成的是等腰直角三角形，所以分三种情况来讨论，分别求出三种情况的解析式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：当时，， ∴，则， ∵， ∴， 由平移后抛物线过原点，可设表达式是，分三种情况： ①当为等腰直角三角形的斜边，如解图①所示，作轴于点Q， ， ，， ． 又， ， ， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ②当为等腰直角三角形的斜边，如解图②所示，过作轴于H， 同上可得， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ③当为等腰直角三角形的斜边，如解图③所示， 此时是的中点， ， ， 把代入得，． ∴平移后抛物线表达式为． 综上所述，平移后抛物线表达式为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识，要注意数形结合和分类讨论思想方法的运用． 2．（2025·广东清远·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物与x轴交于两点和点，与y轴交于点C，连接．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当以点B，D，E为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数综合．主要考查待定系数法求函数解析式，相似三角形等知识点．能正确理清题意，分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可知两个三角形有一组相等的直角，所以只需要根据两边成比例且夹角相等的三角形相似即可得出D点的坐标． 【详解】（1）解：∵点，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵对称轴与x轴交于点E，与交于点F， ∴， ∴点E的坐标为， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 根据题意可知：， 若， 则，即，解得， ∴或， 若， 则，即，解得：， ∴或， 综上所述：点D的坐标为或或或． 3．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 4．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）已知：如图，抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式． (2)连接、，当的面积最大时，求点的坐标． (3)当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意解得点、，设抛物线的交点式解析式，代入点利用待定系数法解题即可； （2）先解得抛物线与轴的交点，再利用待定系数法求解直线的解析式，设直线上的，抛物线上的点，解得，用配方法解得最值即可解题； （3）分三种情况讨论：① 当点E为顶点时，②当点C为顶点时，③当点D为顶点时，根据等腰三角形的性质解题． 【详解】（1）解：∵， ∴ 设抛物线关系式为，代入 得：， ， ∴抛物线的解析式为； （2）令，解得抛物线与轴的交点， 设直线为，把， 代入得， 解得， ∴， 设 ∴当时，S取得最大值 此时； （3）∵点，，即， ∴， ∵轴， ∴， ① 当点为等腰三角形的顶点时，如解图1， ，则， ∴轴， 又∵， ∴； ② 当点为等腰三角形的顶点时，，如解图2，则，过点作，垂足为， ∴，， ∵， ∴，代入解析式得， （不合题意舍去）； ③当点为等腰三角形的顶点时，，如解图3， 如图，∵， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不合题意舍去）； 综上：或或. 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； （3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用， 6．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，点的坐标为 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）根据对称轴直线得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）（i）根据题意，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，根据等腰三角形的定义得到，如图，过点作，则，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（ii）由（i）可知，，可得直线的解析式，设，若四边形为矩形，，根据点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， ， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得， 直线的解析式为， 设，则， ， 由题意知， 如图，过点作，则， ， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ； （ii）由（i）可知，， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 设， 若以为顶点的四边形是矩形，如图所示， ∴四边形为矩形， ， 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， 将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为矩形，满足题意， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的判定方法和性质，平移的规律等知识，数形结合分析是解题的关键． 7．（2025·山东济南·一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②点E的坐标为或． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、二次根式的混合运算、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作于点，设，求得，推出，在中，求得，，再求得，利用待定系数法求解即可； ②分两种情况讨论，当点在的上方时，作于点，设，求得，，利用待定系数法求得；当点在的下方时，点在的垂直平分线上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴，令，则， 解得或， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入得， 整理得， 解得或， ∴； ②当点在的上方时，，且，如图，作于点， ∴，，，设， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，代入得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴； 当点在的下方时，，且，如图， ∴点在的垂直平分线上， ∴， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． 8．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为； (2)或 (3)在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为； （2）根据，，可得，设点的坐标为，根据三角形的面积为60列出方程，即可求解； （3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标． 【详解】（1）令，则， 解得，． 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为． 令，得． 点的坐标为； （2），， ， 设点的坐标为， ． ，． 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （3）在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．点的坐标为或或．理由如下： ，， ． ， 是等腰直角三角形． 抛物线的对称轴为直线． 设直线的表达式为． 将，代入， 得 解得． 直线的表达式为． 将代入，得． ． 点在射线上， 点的横坐标为3． 设，． 分三种情况： ①当，时，，如图2． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②当，时，，如图3，过点作于点． 由①得点的坐标为， ， ． ，， ． 点的坐标为． ③当，时，，如图4． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 9．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图1，连结，，求的面积的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，表示出，利用二次函数的最值解答即可． （3）根据点，点，得到，继而得到，分和两种情况解答，设，则列出比例式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：过点P作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则，则， ∴， ∴当，的面积最大，且最大值为． 故当，的面积取得最大值，且最大值为． （3）点、、为顶点的三角形与相似，且或． 理由如下： 当时， 得， ∴， ∵点，， ∴点是抛物线上的一对对称点， 设，则， 解得， 此时； 当时， ∵点，点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去），或（舍去），（舍去）， 此时； 综上所述，点、、为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数，配方法求最值；两点间距离公式；三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值，准确解方程是解题的关键． 10．（2024·山西朔州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是线段上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m． ①求线段的最大长度； ②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，点P的坐标为：或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①先求出的函数表达式为：，设点P的坐标为，点M的坐标为，则然后利用二次函数的性质求解即可； ②先求出，然后分①当和②当两种情况求解即可． 【详解】（1）抛物线过点 解得 抛物线方程为：； （2）①设线段的函数表达式为： 将带入 解得： ∴的函数表达式为： 由题意，点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点M的坐标为． 线段的长度为：， 当时，取得最大长度为： 因此，线段的最大长度为． ②， ， ， ， ． ∵点P的坐标为， ， ∵， ， 若和相似，分两种情况： ①当， ，即， 解得：或0（不合题意，舍去）， ； ②当， ，即， 解得：或0（不合题意，舍去）， ； 综上所述，点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，二次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答（2）的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$