专题12 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题12 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型 目录 1 模型一：二次函数与线段问题 1 模型二：二次函数与面积问题 9 模型三：二次函数与角度问题 16 23 模型一：二次函数与线段问题 一、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 二、抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 1．（2024·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为M． (1)直接写出b，c的值； (2)若，求k的值； (3)若D为上的点，F为上的点，，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接，，如图2，当取得最小值时，求点F的坐标． 【答案】(1)（1），； (2)； (3)当取得最小值时，F的坐标为． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，求出点A的坐标，然后求出与y轴的交点Q的坐标，然后代入求出k的值即可； （3）作，在上截取.连接. 与轴交于点，过点作轴，垂足为.则，得到，即， 当点在点的位置时， 取等号.可得的最少值等于.然后根据，再根据勾股定理即可解题． 【详解】（1）解：∵点C在x轴上， ∴令，则，解得， ∴点C的坐标为， 把和代入得： ，解得：， ∴函数解析式为， （2）令，则， 解得：，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为或， 把代入得，解得； 把代入得，解得； ∴； （3）如图所示， 作，在上截取.连接. 与轴交于点，过点作轴，垂足为. 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点的位置时， 取等号. 即的最少值等于. 过作轴的平行线交抛物线于点， ∴， ∴，即 . ∵， ， ， 设， 则， 在中， ， 解这个方程得，(负值不符合题意，舍去)， ∴点的坐标为 ， ∴直线 的函数表达式为：， 当时，，解得， ， 即当取得最小值时，的坐标为 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2025·湖北·一模）如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； (3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②周长l的最大值为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象的平移 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式即可求解； （2）①对于抛物线，令，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，进而得到，，从而表示出，，矩形的周长为，分两种情况：点P在点M的左侧，即；点P在点M的右侧，即，进行化简即可． ②根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点G在内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t， ∴， ∵轴， ∴点M的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得， ∴， ∴， ∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为， ∴若点P在点M的左侧，即当时， ， 若点P在点M的右侧，即当时， 综上所述，l关于t的函数关系式为． ②当时，， ∴当时，l随着t的增大而减小， 当时，，当时，， ∴； 当时，， ∴当时，l有最大值，为， 当时，，当时，， ∴； 综上所述，周长l的最大值为． （3）解：∵抛物线，顶点坐标为， ∴将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，新抛物线的顶点G为， 由点，可得直线的解析式为， 对于直线，令，则， 解得． 对于直线，令，则， 解得． ∵点G在内（不含边界）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 模型二：二次函数与面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 三、抛物线中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 1．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接，点F为的中点，求出和线段的长． 【答案】(1) (2)4； 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法和定理是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据解析式，确定顶点坐标，利用勾股定理计算，结合点F为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算线段的长． 【详解】（1）解：由抛物线经过，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式． （2）解：抛物线的解析式， ∴． 对称轴所在的直线交x轴于点E， ∴轴，且， ∴，， ∴； ∵，点F为的中点， ∴． 2．（2024·湖北·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． (1)直接写出点和点的坐标； (2)如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）联立两个函数表达式得：，解得：即由抛物线的表达式知，其对称轴为直线当时，即可求解； （2）①当点P在线段的右侧时，轴，则；②当点P在线段左侧时，设直线与y轴交于点G，则是等腰三角形，进而求解； （3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线于点N，K，则，，由点Q的坐横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论． 【详解】（1）解：联立两个函数表达式得：， 解得：，或 ∴当时， ∴； ∵，且D为顶点， ∴； （2）解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点P在线段的右侧时，轴，如图， ∴； ②当点P在线段左侧时，设直线与y轴交于点G，则是等腰三角形， ∴ 设则 在中，， 解得 ∴ 设直线的解析式为 把，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴， 综上，点P的坐标为或 （3）解：∵点与点M关于对称轴对称， ∴， 如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线于点N，K， ∴, ∵点Q的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∵, ∴当时，的最大值为 模型三：二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为直角三角形时，求线段的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用分类讨论的方法分两种情况点为直角顶点，点为直角顶点讨论解答，设，则点，用的代数式表示出的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论； （3）在抛物线上存在点，使得，延长交轴于点，利用∽求得线段的长，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于和， ， 解得：． 抛物线的解析式为． （2）令，则， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． 点为线段上一点， 设，则点， ． ，， ． ． ∵轴， ， 点不可能是直角的顶点． ①当点为直角的顶点时，设交轴于点，   ，， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 解得：或不合题意，舍去． ． ． ②当点为直角顶点时，此时边在轴上，点与点重合， ． ． 综上，当为直角三角形时，线段的长度为． （3）在抛物线上存在点，使得，理由： ， ． ． ． 延长交轴于点，如图，    由知：， ． ， ． ． ， ∽． ． ． ． ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． ， 解得：，． 点的坐标为． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点在轴上，且点在的下方，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求当取最大值时，点围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，证明，设，进而求出点坐标，求出直线的解析式，把点坐标代入，进而求出的值，即可； （3）过点作轴交于，连接，证明，得到，进而推出当最大时，取最大，设，则，利用二次函数的性质求出的值最大时，的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，点在抛物线上， ，解得， 所求的抛物线解析式为． （2）如图，过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，则：， ∴， 为等腰直角三角形 ， ∴， 点在轴上，在的下方 设 点 又 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴ 把代入：，解得， ； （3）过点作轴交于，连接 轴 同（2）法可求直线的解析式为：， ∴当时，， ∴ 要使取最大，则取最大 可设，则 当时，有最大值 ． 一、解答题 1．（24-25九年级上·江西上饶·期末）如图，抛物线的顶点A的坐标为，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，在抛物线的对称轴上存在一点G，使得的值最小，求出点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、线段周长问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数的综合，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象的对称性求出点对称点，可求得的解析式，即可求得G点坐标. 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点A的坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，作E关于对称轴的对称点，连接交对称轴于G， ∵， ∴， 此时的值最小， ∵，抛物线图象的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴的解析式为：， 当时，， ． 2．（2025·陕西西安·二模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先将代入，求出点B的坐标，根据，得到点A的坐标，利用待定系数法将点A坐标代入即可求解； （2）先求出点C的坐标，由，可得是等腰直角三角形，得到，根据，则，可得点P在y轴右侧，分点P在x轴上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入，则， ∴， ∵， ∴， 将点A坐标代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在y轴右侧， 当点P在x轴下方时，设延长线交x轴于点E， 则，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 当点P在x轴上方时，设与x轴交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数与几何综合、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．（2025·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于A、两点，其中，，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过点A、，连接． (1)求抛物线和直线的解析式： (2)若抛物线上存在一点，使的面积是面积的2倍，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转，与抛物线交于点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与相似三角形的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）将点A、B坐标代入抛物线解析式求得b、c得值即可确定抛物线的解析式，然后确定点C的坐标，最后运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）利用抛物线的对称性得出，进而可得，此时点P与点B重合；过点作交抛物线于点P，将直线的解析式与抛物线的解析式联立即可得出点P的坐标； （3）根据已知条件易得，，；如图：当顺时针旋转时，，易证可得、，过F作轴于G，则，即点F的纵坐标为，进而确定点，然后运用待定系数法求的直线的解析式，并与抛物线的解析式联立即可解答；如图：当顺时针旋转时，，易得，再构造全等三角形求得，然后运用待定系数法求的直线的解析式并与抛物线的解析式联立即可解答； 【详解】（1）解：把点A、点B的坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，，即点C的坐标为． 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为． （2）解：如图1，连接， ∵点D是抛物线的对称轴与x轴的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， 此时，点P与点B重合，即； 过点作交抛物线于点P， 设直线的解析式为， 将点代入可得：，即， ∴直线的解析式为， 由题意可得：，解得：或 ∴， ∴即点P的坐标为或； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，即点D的坐标为， ∴ ∵，，， ∴， ∴，，， 如图：当顺时针旋转时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 过F作轴于G，则，即点F的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴设直线的解析式为， 联立， 解得：或 所以点E的坐标为或； 如图：当顺时针旋转时，， ∴， ∵， ∴， ∴, 在x轴截取，过M作轴交直线与K， ∵， ∴,， ∴， ∴, ∴,, ∴， ∴, 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴设直线的解析式为， 解：， 解得：或， ∴点E的坐标为：或． 综上，点E的坐标为或或或． 4．（22-23九年级上·山东青岛·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则； （3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴； （3）解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则 ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 5．（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【知识点】角度问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据点坐标可以求出，根据对称轴直线可以求出； （2）①过作于，根据三角形内角和定理，可以得出，所以可以得出，设直线的表达式，从而得出和的坐标，再根据两点距离公式求解即可； ②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答． 【详解】（1）解：令，， ， 抛物线的对称轴直线为：， ， ； （2）解：令，则或， ，， 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， ， 联立直线和的表达式： ， ， ①过作于，如图： ， 又， ， 又， ， 为等腰三角形， ， 即， 解得：，（不符合题意的已舍） ； ②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，   ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，即点D的横坐标为， ， 设的解析式为，将，， 代入得， 解得， 的解析式为， ，即， ， 四边形是矩形， ， ，即， 将代入， 得， 解得，（舍去）， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．    (1)求该拋物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，若平分，求点的坐标； (3)如图，若点是抛物线上位于第一象限的一动点，连接，直线交轴于点，过点作直线交轴于点，连接，在点的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，求其值；若改变，求出它的变化范围． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积不会改变，四边形的面积为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，再将代入求出的值即可求解； （2）记与轴的交点为点，过点作于点，在中，由勾股定理可得的长，即可求出点的坐标，求出直线的解析式与二次函数解析式联立，即可求出点的坐标； （3）设，求出直线的解析式，可得点的坐标，同理可得直线的解析式，根据，求出直线的解析式，从而可得点的坐标，求出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 把代入上式得，得， ； （2）解： 记与轴的交点为点，过点作于点，如图所示：    又平分， ，， 由（1）得，当时，， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得：， ， 联立， 解得：或（舍去）， 将代入中，得， ； （3）解：设点， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 同理可得：直线的解析式为：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 线段的长度为， ， 四边形的面积不会改变，四边形的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，角平分线的性质定理，勾股定理，一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 7．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标； (3)以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 8．（2025·安徽蚌埠·一模）点 、、 的坐标为分别，抛物线经过这三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，是抛物线上的两个动点，且点 在直线 下方． ①如图1，过 点作轴的垂线，垂足为，交直线 于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图2，点 在直线 上，且横坐标为，过点 作轴于点 ，求线段 长度的最大值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得直线的解析式为，进而表示出，根据点的坐标求得到的距离，进而根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求得直线的解析式，进而求得的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为代入得， 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）①，理由如下： 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 ∵，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴点到的距离为， ∵，，， ∴到的距离为， ∴，， ∴； ②∵，，则， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴ ∵的横坐标为 ∴ ∵ ∴当时的最大值为 9．（2025·重庆开州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． (3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点K的横坐标为或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）中的解析式可得点在直线上，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，，表示出三角形的面积结合二次函数的性质得出当时，的面积有最大值，为，此时，作交于，交对称轴于，交轴于，由直线的解析式得出，从而可得，，当、、、四点共线时，的值最小，用面积法求出，即可得解； （3）求出新的抛物线，，再分两种情况：当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是（1）中抛物线对称轴上的动点， ∴点在直线上， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为，此时， 作交于，交对称轴于，交轴于， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当、、、四点共线时，的值最小， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵，直线的解析式为， ∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到新的抛物线， 在中，当时，，即， 当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于， ， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，满足题意， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点K的横坐标为或； 如图，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于， ， 由轴对称的性质可得，，， 此时，满足题意， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点的横坐标为或； 综上所述，点K的横坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 10．（2025·辽宁辽阳·二模）综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为（并写出自变量的取值范围）． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 【答案】（1）①；②；（2），9；（3）①，② 【知识点】动点问题的函数图象、面积问题(二次函数综合)、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①先求出，，再利用勾股定理求出，最后根据等边三角形的面积公式求解即可；②仿照①先求出，进而求出，再利用面积公式列关系式即可； （2）根据图象设二次函数为：，代入，即可得到函数关系式，再进一步求解即可； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，可得，结合以及对称性可得答案；②由的对称轴为直线：；可得，结合，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， 如图，过作于，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵此时最大面积为：， ∴， 解得：（舍去）， ∴； （2）由图象可得：二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数为：，代入， ∴， 解得：， ∴二次函数为：；即； 当时，， 解得：，（舍去）， ∴； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等， ∴， ∵， ∴； ②∵的对称轴为直线：； ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是动态几何的函数图象，等边三角形的性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解图象的含义是解本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型 目录 1 模型一：二次函数与线段问题 1 模型二：二次函数与面积问题 9 模型三：二次函数与角度问题 16 23 模型一：二次函数与线段问题 一、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 二、抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 1．（2024·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为M． (1)直接写出b，c的值； (2)若，求k的值； (3)若D为上的点，F为上的点，，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接，，如图2，当取得最小值时，求点F的坐标． 2．（2025·湖北·一模）如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； (3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围． 模型二：二次函数与面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 三、抛物线中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 1．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接，点F为的中点，求出和线段的长． 2．（2024·湖北·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． (1)直接写出点和点的坐标； (2)如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值． 模型三：二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为直角三角形时，求线段的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点在轴上，且点在的下方，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求当取最大值时，点围成的三角形的面积． 一、解答题 1．（24-25九年级上·江西上饶·期末）如图，抛物线的顶点A的坐标为，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，在抛物线的对称轴上存在一点G，使得的值最小，求出点G的坐标． 2．（2025·陕西西安·二模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 3．（2025·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于A、两点，其中，，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过点A、，连接． (1)求抛物线和直线的解析式： (2)若抛物线上存在一点，使的面积是面积的2倍，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转，与抛物线交于点，请直接写出点的坐标． 4．（22-23九年级上·山东青岛·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，且满足，求点的坐标． 6．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．    (1)求该拋物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，若平分，求点的坐标； (3)如图，若点是抛物线上位于第一象限的一动点，连接，直线交轴于点，过点作直线交轴于点，连接，在点的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，求其值；若改变，求出它的变化范围． 7．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标； (3)以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值． 8．（2025·安徽蚌埠·一模）点 、、 的坐标为分别，抛物线经过这三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，是抛物线上的两个动点，且点 在直线 下方． ①如图1，过 点作轴的垂线，垂足为，交直线 于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图2，点 在直线 上，且横坐标为，过点 作轴于点 ，求线段 长度的最大值． 9．（2025·重庆开州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． (3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 10．（2025·辽宁辽阳·二模）综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为（并写出自变量的取值范围）． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$