专题11 线段最值模型七种常考模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题11 线段最值模型七种常考模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 5 模型3.最值模型之将军遛马模型 8 模型4.最值模型之将军造桥（过桥）模型 12 模型5.最值模型之胡不归模型 15 模型6.最值模型之阿氏圆模型 18 模型7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 21 模型8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 25 30 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．    例2．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 模型2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 模型3.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 模型4.最值模型之将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 模型5.最值模型之胡不归模型 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 模型6.最值模型之阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例2．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 模型7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 例1．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 . 例2．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    模型8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 例2．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 2．（2024·山东聊城·三模）如图，四边形是矩形，点是边上任意一点（不与点A，D重合），连接，．点E，F分别是，的中点，连接，，，过点F作，交于点H．若，，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 3．（2023·山东聊城·二模）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ）    A． B． C．8 D．12 二、填空题 4．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 5．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，，点，在上，连接，．若，则的最小值为 ．    6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为 ． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点E，P是边的中点，O，G是上的两动点，以点O为圆心，长为半径作交于点F，连接交于点H，连接．若，则的最小值是 ． 三、解答题 8．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线对称轴上一动点，是平面内任意一点，当四边形是菱形时，求点的坐标； (3)已知是该抛物线上的一点，点分别为轴，轴上的点，且使得四边形的周长最小，求四边形周长的最小值及点的坐标． 9．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当时，求m的值； (3)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值 10．（2025·湖南娄底·一模）如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段的长． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为_______； 问题探究 （2）如图2，在平行四边形中，，是边上的动点，且，则的最小值是多少？ 问题解决 （3）如图3是夹角为的港湾，岸上有一个码头，湾内有个小岛，小岛与的距离为，与的距离为．现拟在岸上设置三处游客接驳点，点在上，点在上，且为了游客方便及安全，之间的距离为，客船从码头出发，沿前行，最终到达小岛，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由． 12．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 线段最值模型七种常考模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 5 模型3.最值模型之将军遛马模型 8 模型4.最值模型之将军造桥（过桥）模型 12 模型5.最值模型之胡不归模型 15 模型6.最值模型之阿氏圆模型 18 模型7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 21 模型8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 25 30 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．    【答案】10 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出最小时，点的位置． 连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图，   四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 例2．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法确定二次函数解析式、将军饮马最值问题、面积问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题． （1）把、两点坐标代入二次函数，解方程组即可解决； （2）利用轴对称找到点，用勾股定理即可解决； （3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，，， 、关于抛物线的对称轴为直线对称， ， 当、、共线时，最小， 连接与对称轴的交点就是点， 此时， 的最小值为； （3）解：设点坐标， 令，， 解得：或1， 点坐标， ， ， ， ， 或， 或或或， 点的坐标为或或或． 模型2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】5 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小，分别作、，由对称及等边易知和均为等边三角形，由此可求解出的长度，进而求解四边形的周长． 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形， ∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点， ∴ ∴， ∴和时等边三角形， 分别作、， ∵、， ∴， ∴四边形时矩形 ∴ ∴， 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称最小距离问题，解题的关键是作出最短距离点． 例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点， ∴当时，∴点的坐标是，当时，则，∴， 设抛物线与轴的另外一个交点为M，∴∴对称轴；则 过点M作轴，且， ∵轴，线段CD在对称轴上，∴ ∵∴四边形是平行四边形∴ 连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接 ∵对称轴，线段CD在对称轴上， ∴∴ 此时四边形周长有最小值 即 ∵∴则则 ∴四边形周长的最小值为故答案为： 模型3.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了建桥选址问题，利用平移，将两条线段和转化为折线段的长是解题的关键． 连接交于，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示，连接交于，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 即的最小值为． 故选：D． 例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，，，，， 作点关于直线的对称点，，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：． 模型4.最值模型之将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    【答案】见解析． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题． 证明四边形为平行四边形得，可得，进而可说明方案可行． 【详解】解：，， ． ， ， 四边形为平行四边形， ． 根据两点之间线段最短可知， ． 与河岸垂直，为定值， 当时，路径最短． 例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）； (3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3． 【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）； （2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3）， 又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1， 则，解得：，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3-， 　　 ∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3， 即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去）， 当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）； （3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ， 则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：， ∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=， 此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3， ∴M′N=，  ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置． 模型5.最值模型之胡不归模型 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ，，，， ∴，的最小值为的长， ∵， ，在中，，， 的最小值为．故选：C． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P作，连接，由菱形的性质可得，则由勾股定理可得，解直角三角形得到，则，进而得到当三点共线，且时，最小，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作，连接， ∵在菱形中，对角线相交于点，，， ∴，∴，∴， ∴在中，，∴， ∴当三点共线，且时，最小，最小值为的长， ∴此时有，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 模型6.最值模型之阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值． 例2．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ； （2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值． 【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴． 又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ； （2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ． ∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)． ∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小． ∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10． （3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ， ∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大． ∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2． 【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决． 模型7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 例1．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 . 【答案】// 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 例2．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立；（2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故；（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 则，那么，，故答案为：； （2）判断：，理由如下：∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，，∴ ∴，∴，∴；故答案为：； （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L， 则，∵四边形是矩形，∴，，，    ∵，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，由（2）得 ，∴， ∴，∴的最小值为的最小值，即， ∵，，∴， ∴∴，∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 模型8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，，∴C点的运动轨迹为阿氏圆，∴， ∴，∴当最小时，的值最大， ，∴，故选：D． 例2．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：连接，∵正方形，∴，，       ∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴， ∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，，∴， 即长度的最大值为，故答案为：． 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点D作交于M，过点A作，使，连接，可得是平行四边形，则：，当N、E、C三点共线时，的值最小，即为的长度，求出的长度即可得解． 【详解】    过点D作交于M，过点A作，使，连接， 四边形是平行四边形， ， ∴ 当N、E、C三点共线时，最小， 四边形是矩形，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即：的最小值为； 故选：B． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·山东聊城·三模）如图，四边形是矩形，点是边上任意一点（不与点A，D重合），连接，．点E，F分别是，的中点，连接，，，过点F作，交于点H．若，，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，轴对称的性质．先求得矩形的边长，根据三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质求得，延长到，使，连接交于点，得到有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 延长到，使，连接交于点， 此时有最小值， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 3．（2023·山东聊城·二模）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ）    A． B． C．8 D．12 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、根据矩形的性质求线段长、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，    ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为8， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键． 二、填空题 4．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、线段问题(轴对称综合题)、等边三角形的判定和性质、圆周角定理 【分析】作A关于的对称点Q，连接交于P，则根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，先求出，再求出，进而由圆周角定理得到，则．证明是等边三角形，即可得到，据此可得答案． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时， 根据两点之间线段最短，的最小值为的长度， 连接， ∵点B为弧的中点， ∴， ∵A、Q关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 5．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，，点，在上，连接，．若，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．通过添加辅助线构造平行四边形是解题的关键． 作，，构造平行四边形，推出，，可得，当点G，F，C共线时等号成立，的最小值等于，结合菱形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作，，菱形的对角线交于点O，   菱形中，，， ，， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点G，F，C共线时等号成立，的最小值等于， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，连接，，过H作于K，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当三点共线时，最小，最小值为，证明，根据相似的性质求出，，然后在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，，过H作于K， ∵矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，最小值为， 在中，，，， ∴， ∵点H是点A关于点D的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点E，P是边的中点，O，G是上的两动点，以点O为圆心，长为半径作交于点F，连接交于点H，连接．若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】利用菱形的性质求线段长、90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，勾股定理，轴对称的性质等知识，判断出点H在以为直径的上是解答本题的关键． 连接，可得，则点H在以为直径的上，由菱形的性质得，当点G，H落在上时，的值最小，由勾股定理求出，进而求出，在中，求出即可求解． 【详解】解：连接，如下图． 是的直径， ， 点H在以为直径的上． 作的中点，连接，由菱形的性质得．连接，当点G，H落在上时，的值最小，此时．过点作于点 ∵四边形是菱形， ， ，． ∵ ∴在中， 的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 8．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线对称轴上一动点，是平面内任意一点，当四边形是菱形时，求点的坐标； (3)已知是该抛物线上的一点，点分别为轴，轴上的点，且使得四边形的周长最小，求四边形周长的最小值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形的周长的最小值为，， 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、最短路径问题 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当四边形是菱形时，则，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设点， 当四边形是菱形时，则， 即， 解得：， 即点； （3）解：由（1）得抛物线解析式为 当时， ∴ 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小， 理由：四边形的周长为最小， 则， 即四边形的周长的最小值为， 设直线的表达式为， 把、代入，得 ，解得： ∴直线的表达式为：， 令，则， 解得： ∴， 令，则 ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，轴对称求最短路径问题，勾股定理，菱形的判定与性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 9．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当时，求m的值； (3)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）求出、、的坐标，利用两根式求出抛物线的解析式即可； （2）求出直线的解析式，根据方程即可解决问题； （3）首先求出的半径，在上取一点，使得，此时，由，可得，推出，可得，推出，可得当、、共线时，的值最小，由此求出点坐标，点坐标即可解决问题； 【详解】（1）解：由题意，，， 设抛物线的解析式为， 把代入 ∴ 得到． ∴ 则 故抛物线的解析式为． （2）解：在中，， ， 平分， ， ， ， 设直线的解析式为 把和代入 得 直线的解析式为， 由题意，，， ， 解得或（舍弃）， 当时，的值为． （3）解：如图，是对称轴，， ∴ 依题意点在轴上 ， 依题意 ∵点在直线的解析式为 把代入 得 ∴， ∵过点且垂直于的直线交轴于点， ， 由（2）得 ， ， ， ， ，， ， 在上取一点，使得， 设 ∵ 则 解得（点K在第三象限，正值舍去） 把代入，得出 此时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 10．（2025·湖南娄底·一模）如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2)①的最小值为5 ②当取最小值时，线段的长为1 【知识点】用勾股定理解三角形、解分式方程、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明 【分析】（1）证明出即可求解； （2）①连接，先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出，则问题得解． ②过点M作交于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出． 【详解】（1）证明：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：如图2-1，连接AM． ∵， ∴是直角二角形． ∵点是线段的中点， ∴． 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：， 当A，G，M三点共线时，． 此时，取最小值．在中，． ∴的最小值为5． ②如图2-2，过点M作交于点N， ∴． ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， 由①知的最小值为5、即， 又∵， ∴． ∴，解得， 经检验，是分式方程的解， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及分式方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为_______； 问题探究 （2）如图2，在平行四边形中，，是边上的动点，且，则的最小值是多少？ 问题解决 （3）如图3是夹角为的港湾，岸上有一个码头，湾内有个小岛，小岛与的距离为，与的距离为．现拟在岸上设置三处游客接驳点，点在上，点在上，且为了游客方便及安全，之间的距离为，客船从码头出发，沿前行，最终到达小岛，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的最小值是；（3）存在最短的运输路线，最短运输路线长 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查线段和差的最值问题，涉及对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点； （1）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，，则，，得到，当三点共线时，最小，在中利用勾股定理求解即可； （2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，，先证明四边形是平行四边形，得到，根据点关于的对称点，得到， ，则，当、、三点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可； （3）过作，，连接，得到四边形是平行四边形，，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，，得到，当、、、四点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长至，使，连接，，，则， ∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，， ∵在平行四边形中，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴， ∵点关于的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线时，最小， 中，，，则， ∴，， 中，，， ∴， ∴的最小值是； （3）存在最短的运输路线； 过作，，连接，如图 ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 过作于，于，交于，过作于，于，则四边形、都是矩形， ∴，，，， ∵小岛与的距离为，与的距离为， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即在上， ∵，点关于的对称点， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 中，，， ∴，， ∴， ∵中，，， ∴， ∴最小值为， 即最短运输路线长为. 12．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，最小值为 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）①根据已知条件得到，推出，根据相似三角形的性质得到；②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论； （2）作直径，连接、．则，推出，得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据两点之间线段最短，即可得到结论． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ； ②作直径，连接，    则， ， ，， ， 经过直径的一端点， 直线是的切线； （2）解：作直径，连接、．    则， ， ， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ； （3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点， 连接、，   ， ， 的半径， ， ， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短， 此时最小， 最小值为． ∴存在，最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，线段最短，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$