精品解析：2025年湖北省武汉市经开区中考数学模拟试卷（三）

2025年武汉中考模拟试题数学试卷（三） 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共8页，24题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡的指定位置上，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 每 B. 天 C. 开 D. 心 2. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张黑桃，张红桃，从中随机抽取张是黑桃，这个事件是（ ） A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 确实性事件 3. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 神舟十九号载人飞船是我国首款垂直转运火箭，配备了四个直径米的助推器，总起飞重量约为千克．将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 长江是中华民族母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 7 小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图（1），底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度与注水时间t（s）之间的关系如图（2），若“几何体”的下方圆柱的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的高是（ ） A. B. C. D. 9. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动半径为的筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与水面交于M，N，与直线交于B，C，连接．若筒车在旋转过程中的某一时刻，，A，O，M三点恰好在一条直线上，则此时筒车在水面下的最大深度是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，Q在直线上，则最小值是3 C. 若，满足的所有点M组成的图形面积是2 D. 若，，且，则点M横坐标是1 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置） 11. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在秦汉时期的《九章算术》就引入了负数．如果将“向东走2米”记为“米”，那么“向西走8米”记为______米． 12. 在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积 的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为________． 13. 分式方程的解是______． 14. 武汉龟山电视塔是中国第一座电视塔，是武汉著名的旅游景点及城市地标，曾有“亚洲桅杆”之美称．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔底端的俯角为，顶端的仰角为，则测得龟山电视塔的高度是______．（参考数据：） 15. 如图，在中，，点O是的内心，点D是中点，延长交于M，若，则______． 16. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，下列四个结论： ①； ②若，则关于x的一元二次方程没有实数解； ③点，在抛物线上上，若，，总有； ④若抛物线的顶点的轨迹上有两点，，则关于x的方程的两根之和大于1． 其中正确的是______（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分，下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 求不等式组的整数解． 18. 如图，在平行四边形中，，，垂足分别E，F． （1）求证：； （2）连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 19. 为提高学生环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，满分100分．随机抽取m名学生的成绩组成一个样本，按成绩划分为A等级：分，B等级：分，C等级：分，D等级：分，并绘制成如下的统计图表． 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出m，p的值以及成绩的中位数落在的等级； （2）成绩分以上（含分）为优秀，该校有2000名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩优秀． 20. 如图，是半圆O的直径，，是切线，切点分别是A，D；延长，交于点E，连接，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画直线交于F，使得直线平分四边形的面积； （2）在（1）基础上，在上画点G，使得； （3）在图（2）中，点E是格点，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接交于I； （4）在（3）基础上，在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 22. 如图（1）是某公园的一种水上滑道娱乐项目，某数学兴趣小组利用计算机模拟该项目游玩过程．如图（2）是小组绘制的水滑道截面图，游玩者从起点A处沿滑道下滑至腾空点B处，飞出后落入水面上的点C处，滑道和游玩者腾空飞出后经过的路径都近似看作抛物线的一部分（将游玩者看作一个点）．以水面所在的水平线为x轴，过腾空点B与水面垂直的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，O为坐标原点．滑道的解析式为，点O与对面水池边缘点D的水平距离是14米．某游玩者腾空后形成的抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称． （1）若点B与水面的垂直距离为2米， ①直接写出a值； ②从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等，求这两个点之间的水平距离． （2）直接写出a满足什么条件时，游玩者腾空后的落点C与水池边缘D的距离不少于2米，不超过6.5米． 23. 操作与思考 在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，； （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，，，求值． 迁移与应用 如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值． 24. 抛物线与x轴交于点A，B（点A在B左边），与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C坐标； （2）如图（1），连接，过抛物线第四象限上一点D作交延长线于E，若直线平分线段，求点D坐标； （3）如图（2），将抛物线向左平移使其顶点在y轴上，得到新抛物线L；过原点的直线交新抛物线L于点M，N，点P是y轴上一点，连接，当时，，求P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年武汉中考模拟试题数学试卷（三） 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共8页，24题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡的指定位置上，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 每 B. 天 C. 开 D. 心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：选项A、C、D中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项B中的汉字能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 2. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张黑桃，张红桃，从中随机抽取张是黑桃，这个事件是（ ） A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 确实性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：∵桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张黑桃，张红桃， ∴从中随机抽取张是黑桃，这个事件是随机事件， 故选：． 3. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，即可判断． 【详解】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是明确左视图是从物体的左边观察得到的图形． 4. 神舟十九号载人飞船是我国首款垂直转运火箭，配备了四个直径米的助推器，总起飞重量约为千克．将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率． 画出树状图，用题意的情况数除以总的情况数即可． 【详解】解：树状图如下： 设巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化分别为A，B，C， 共有 9 中等可能情况，其中两人恰好都选择B “荆楚文化”的情况有 1 种， 故两人都选B “荆楚文化”的概率为． 故选：A． 7. 小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、勾股定理等知识． 利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， ∵四边形是矩形， ∴ 在中，， 解得， 即， 同理可得， 四边形周长为． 故选：D． 8. 如图（1），底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度与注水时间t（s）之间的关系如图（2），若“几何体”的下方圆柱的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 故选：A． 9. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动半径为的筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与水面交于M，N，与直线交于B，C，连接．若筒车在旋转过程中的某一时刻，，A，O，M三点恰好在一条直线上，则此时筒车在水面下的最大深度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，过点作交于点，证明，即可求得，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ， ，， A，O，M三点恰好在一条直线上， ， ， 根据题意可得， ， ， ， 则此时筒车在水面下的最大深度是， 故选：C． 10. 定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，Q在直线上，则最小值是3 C. 若，满足的所有点M组成的图形面积是2 D. 若，，且，则点M横坐标是1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质等知识，直接根据“曼哈顿距离”的定义判断选项A；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，，三种情况讨论即可判断选项B；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，；，；，；，；；讨论，判断出符合题意的点M围成的图形，即可判断选项C；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分；；三种情况讨论，即可判断选项D． 【详解】解：∵，， ∴， 故选项A正确，但不符合题意； ∵Q在直线上， ∴设， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，， ∴最小值是3， 故选项B正确，但不符合题意； 设， ∵，， ∴， 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合题意的点M组成的图形如图， ∴所有点M组成的图形的面积为， 故选项C正确，但不符合题意； 设， ∵，，且， ∴， ∴， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，解得； 当时，，恒成立， 综上，当时，， 故选项D，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置） 11. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在秦汉时期的《九章算术》就引入了负数．如果将“向东走2米”记为“米”，那么“向西走8米”记为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负是解题的关键． 根据向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：根据题意，“向东走2米”记为“米” 那么“向西走8米” 记为． 故答案为：． 12. 在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积 的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 当时，． 故答案为： 13. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键． 根据解分式方程的方法计算解答即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 化简，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 14. 武汉龟山电视塔是中国第一座电视塔，是武汉著名的旅游景点及城市地标，曾有“亚洲桅杆”之美称．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔底端的俯角为，顶端的仰角为，则测得龟山电视塔的高度是______．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于点，由题意得四边形为矩形，根据矩形的性质以及等腰直角三角形的性质得，再根据解直角三角形求出的长度，最后根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 由题意得四边形为矩形，， ，， ， ， ， ， ， 顶端的仰角为， ， ， ， ， 所以龟山电视塔的高度是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点O是的内心，点D是中点，延长交于M，若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作交延长线于点，连接并延长交于点，连接，可得，则为等腰直角三角形，由平行线分线段成比例定理得到，则，可得，设，由勾股定理得，解得：，则，由，得到，即可求解． 【详解】解：过点A作交延长线于点，连接并延长交于点，连接， ∵点O是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴ ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，点D是中点， ∴， ∴， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 设， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 16. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，下列四个结论： ①； ②若，则关于x的一元二次方程没有实数解； ③点，在抛物线上上，若，，总有； ④若抛物线的顶点的轨迹上有两点，，则关于x的方程的两根之和大于1． 其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，得出抛物线的对称轴为直线：，根据，得出即可判断①根据抛物线（a，b，c是常数，）经过，得出，根据，，得出，求出，得出，说明关于x的一元二次方程没有实数解，可判断②，根据抛物线的对称轴为：直线，设抛物线的对称轴为直线，得出，根据点，在抛物线上上，，，，分三种情况：当点，都在对称轴右侧时，当点，在对称轴两侧时，点在对称轴的左侧，即可判断③；先求出抛物线的顶点坐标在函数的图象上，根据，得出，根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得出在对称轴的右侧y随x的增大而减小，根据根与系数的关系即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ∴，即， ∵， ∴，故①正确； ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，一元二次方程为， 整理得：， ∵， ∴关于x的一元二次方程没有实数解，故②正确； 抛物线的对称轴为： 直线， ∵， ∴， 设抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵点，在抛物线上上，，，， ∴当点，都在对称轴右侧时，， 当点，在对称轴两侧时，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点不可能都在对称轴的左侧， 综上分析可知：点，在抛物线上上，，时，，故③错误； ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点， ∴顶点坐标横坐标为，， 顶点坐标的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴顶点坐标的横坐标， 把代入顶点坐标的纵坐标， ∵顶点坐标的横坐标为， ∴， 把代入得：， ∴抛物线的顶点坐标在函数的图象上， ∵， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵抛物线的顶点的轨迹上有两点，， ∴，，， ∴， ∴关于x的方程的两根之和，故④正确． 综上所述，①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 三、解答题（共8小题，共72分，下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 求不等式组的整数解． 【答案】x的取值是，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集，进而可得不等式组的整数解． 【详解】解：解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集是． ∵x整数， ∴x的取值是，0，1，2． 18. 如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F． （1）求证：； （2）连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图所示，连接， 添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 19. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，满分100分．随机抽取m名学生的成绩组成一个样本，按成绩划分为A等级：分，B等级：分，C等级：分，D等级：分，并绘制成如下的统计图表． 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出m，p的值以及成绩的中位数落在的等级； （2）成绩分以上（含分）为优秀，该校有2000名学生参加这次测试，请估计有多少名学生成绩优秀． 【答案】（1）200，45，中位线落在C等级 （2）1100名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、中位数、用样本估计总体，读懂题意，能从统计图中准确获取信息是解答的关键． （1）先根据A等级的人数和其所占百分比求得抽查总人数m值，再求得B、C等级人数，进而可求得p值；再根据中位数的求解方法求得中位数落在的等级； （2）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，， B等级人数为（名）， C等级人数为（名）， ∴，即， ∵A、B等级的人数和为，C等级人数为90， ∴第100、101个数据在C等级， ∴中位线落在C等级． 【小问2详解】 解：2000×＝1100(人)． 答：估计该校成绩优秀的学生大约有1100人． 20. 如图，是半圆O的直径，，是切线，切点分别是A，D；延长，交于点E，连接，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角函数和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，先证明，然后等量变换得到，然后即可求解； （2）设，则，然后在中，根据勾股定理求得，然后即可求解AB的长； 【小问1详解】 解：证明：连接，如图： ∵，是半圆O的切线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴， ∴； 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画直线交于F，使得直线平分四边形的面积； （2）在（1）基础上，在上画点G，使得； （3）在图（2）中，点E是格点，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接交于I； （4）在（3）基础上，在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析； （4）作图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，熟练掌握平行四边形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． （1）连接、，设交点为，利用网格找到中点，连接并延长交于点，直线即为所求； （2）在上截取线段，连接，即可得到是等腰直角三角形，即，点即为所求； （3）连接，将绕点E逆时针旋转得，连接交于； （4）作的平行线交于，在上截取，连接、，四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，连接、，设交点为，利用网格找到中点，连接并延长交于点，直线即为所求， 【小问2详解】 解：在上截取线段，连接，即可得到是等腰直角三角形，即，点即为所求，如图所示， 【小问3详解】 解：连接，将绕点E逆时针旋转得，连接交于，如图所示， 【小问4详解】 解：过作的平行线交于，在上截取，连接、，四边形即为所求，如图所示， 22. 如图（1）是某公园的一种水上滑道娱乐项目，某数学兴趣小组利用计算机模拟该项目游玩过程．如图（2）是小组绘制的水滑道截面图，游玩者从起点A处沿滑道下滑至腾空点B处，飞出后落入水面上的点C处，滑道和游玩者腾空飞出后经过的路径都近似看作抛物线的一部分（将游玩者看作一个点）．以水面所在的水平线为x轴，过腾空点B与水面垂直的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，O为坐标原点．滑道的解析式为，点O与对面水池边缘点D的水平距离是14米．某游玩者腾空后形成的抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称． （1）若点B与水面的垂直距离为2米， ①直接写出a值； ②从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等，求这两个点之间的水平距离． （2）直接写出a满足什么条件时，游玩者腾空后的落点C与水池边缘D的距离不少于2米，不超过6.5米． 【答案】（1）①；②米 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）①由题意得，利用待定系数法求解即可； ②利用中心对称的性质求得抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求得抛物线的解析式，根据题意这两点分别在两条抛物线上，且必经过一条抛物线的顶点，据此分两种情况讨论，即可求解； （2）由题意求得抛物线的解析式为，，求得落点C的横坐标在之间，再分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：①由题意得， 将代入得，，解得； ②由①知，滑道的解析式为，顶点坐标为， ∵抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称， ∴抛物线的顶点与关于点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等， ∴这两点分别在两条抛物线上，且必经过一条抛物线的顶点， 当经过点时， 将代入，得， 解得（舍去负值）， ∴这两个点之间的水平距离为； 当经过点时， 将代入，得， 解得（舍去正值）， ∴这两个点之间的水平距离为； 综上，这两个点之间的水平距离为米； 【小问2详解】 解：∵滑道的解析式为， 同理知，抛物线的解析式为， 由题意得落点C的横坐标在之间， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴． 23. 操作与思考 在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，； （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，，，求值． 迁移与应用 如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值． 【答案】（1）见解析；（2）；迁移与应用： 【解析】 【分析】由翻折可知：，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 过作于，交于，由（1）可知：，，根据全等三角形的性质可证，，根据平行线的性质可得，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据可证，根据相似三角形的性质可得； 迁移与应用：连接，，延长交于，过作于，设，，根据，可知点、、、在以为直径的圆上，从而可得，可证，根据相似三角形的性质可得，可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，利用相似可得，从而可求． 【详解】证明：由翻折可知：， ， 是中点， ， ， ， 点是中点， 在和中， ， ， ； 解：如图所示，过作于，交于， 由（1）可知：，， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 迁移与应用：， 理由如下： 如图所示，连接，，延长交于，过作于， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， 设，， 根据折叠的性质可得：， 又点是中点， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ，， ， ， ， ， ，， 根据折叠的性质可知， 在和中， ， ， 于， ， ∴ ∴ ， ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、锐角三角函数，本题的综合性较强，难度较大，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形． 24. 抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左边），与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C坐标； （2）如图（1），连接，过抛物线第四象限上一点D作交延长线于E，若直线平分线段，求点D坐标； （3）如图（2），将抛物线向左平移使其顶点在y轴上，得到新抛物线L；过原点的直线交新抛物线L于点M，N，点P是y轴上一点，连接，当时，，求P点坐标． 【答案】（1）A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3) （2） （3）P点坐标为． 【解析】 【分析】（1）令和，分别求得或，，即可求解； （2）过E作轴于F，证明，求得，再利用待定系数法求得直线解析式，联立解方程组即可求解； （3）利用平移的性质求得平移后的解析式，设，，联立，求得，，在中，由勾股定理得到，在和中，利用勾股定理列式得到，再结合已知求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，； 【小问2详解】 解：如图（1），过E作轴于F，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵直线平分线段， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将点代入得， 解得， 故直线解析式为； 联立得 解得，（舍）， 故D； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴新抛物线L顶点为，其解析式为， 如图（2），设，，直线解析式为， 联立，消元得， ∴，， 分别过M，N分别作x轴，y轴的垂线交于点Q，轴于T，交y轴于K， 设，则，， ∵在中，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴P点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$