信息必刷卷01（江苏镇江专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（镇江专用） 考情速递 中考·新动向：命题趋势变化：镇江市中考数学命题愈发侧重对学生数学思维与实际运用能力的考查。在代数领域，函数相关命题不再局限于常规运算，开始向函数性质在实际场景中的应用拓展，像用二次函数解决利润最大化等商业问题，要求学生具备函数建模思维。几何方面，对空间想象和逻辑推理要求提升，例如通过立体图形的展开与折叠，考查学生对图形关系的理解和转换能力（第27题）。 中考·新考法：镇江市中考数学开始探索对非常规考点的创新考查。例如将概率与算法初步相结合，让学生根据随机事件设计算法流程；或者把数据分析与数学文化相融合，通过解读古代数学文献中的数据，进行统计分析，拓宽学生数学视野的同时，考查综合运用能力（第22题）。 命题·大预测：针对新动向和新考法，加强思维训练（第28题）。多做综合性练习题，特别是涉及知识融合、新情境的题目，锻炼分析问题和解决问题的能力。定期进行模拟考试，适应考试节奏和题型变化，提升解题速度和准确率。 留意生活中的数学元素以及社会热点中的数学问题（第13题），像学生上下学时间、学生课外阅读量分析等（第8题，第17题）。尝试用所学数学知识去分析和解决这些实际问题，增强数学应用意识，提高在新情境下运用数学知识解题的能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．填空题：本大题共12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在横线上 1．若|x+1|＝6，则x＝　 　 ． 2．已知式子有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 3．数据8，8，9，10，10，10的众数是 　 　 ． 4．因式分解2m2﹣4m+2＝　 　 ． 5．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为 　 　 ． 6．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　 　 cm． 7．已知直线y＝2x+1经过P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）两点，则y1　 　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 8．如图是某班今年1～8月学生课外阅读数量折线统计图，课外阅读数量的中位数是 　 　 本． 9．如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为 　 　 ． 10．已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有两个不相等的实根，则m的取值范围是　 　 ． 11．如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为 　 　 ．（计算结果保留π） 12．已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2，1），B（4，3），C（4，﹣1）三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y＝x﹣1上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 　 　 ． 二．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到2月16日，累计票房已达115亿元，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次用科学记数法表示约为（　　） A．1.15×1010 B．115×108 C．2.3×108 D．2.3亿 14．下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝2a5 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a4＝a8 D．（﹣a2）3＝﹣a6 15．下列调查中，适合用普查方式的是（　　） A．检测某城市空气质量 B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况 C．检测一批节能灯的使用寿命 D．检测某批次汽车的抗撞能力 16．如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　） A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m 17．罗外部分同学骑自行车上下学，骑行安全成为安全教育常规，若骑行速度超过300米/分钟，就超越了安全限度．周六刘明骑自行车到学校踢球，当他骑了一段时间后，发现没带水，于是折回刚经过的小卖部，买完水后继续骑行到学校，如图是他本次骑行所用时间与离家距离关系示意图．下列判断不正确的是（　　） A．刘明家到学校的路程是1500米 B．刘明在小卖部停留了4分钟 C．刘明在三段骑行中，平均速度都低于骑行的安全限度值 D．刘明用了14分钟，骑行2700米到达学校 18．如图，已知直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于点E，F两点，若AB＝2EF，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 三、解答题:本大题有10个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分）（1）计算：2×sin30°﹣20240+|﹣5|； （2）化简：． 20．（10分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 21．（6分）已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN． （1）求证：△BDN≌△CDM； （2）若∠AMC＝80°，则∠N＝ 　 　 °． 22．（6分）如图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2、C1、C2、C3分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内． （1）小球经过B2通道的概率是 　 　 ； （2）如果向A1放入大量同样的小球，三个小槽中，小球会一样多吗？用画树状图的方法进行说明． 23．（6分）为了解冬训效果，某足球运动基地对参训队员进行一次体质检测，已知本次检测满分为100分，测试成绩取整数，测试结束后将测试成绩制成尚不完整的频数分布表和频数分布直方图．从测试结果来看，每名队员的成绩均超过50分． 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 a c 70.5～80.5 16 0.32 80.5～90.5 b 90.5～100.5 16 0.32 合计 1.00 请解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）补全频数分布直方图． （3）若成绩在70分以上为冬训效果显著，同时冬训效果显著的人数占总人数的70%以上，就表示该基地冬训方案科学，请根据上述数据分析该基地冬训方案是否科学，并说明理由． 24．（6分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么多少秒钟后⊙P与直线CD相切？ 25．（6分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（n为常数且n≠0）的图象都经过A（﹣2，﹣4），B（4，m）两点． （1）求一次函数的表达式； （2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积． 26．（8分）如图1，在直角坐标系中，点A（2，0），点C（0，2），点D，点E分别为OA，OC的中点，△ODE绕原点O顺时针旋转α角（0°≤α≤60°）得△OD1E1，射线CD1，AE1相交于点F． （1）当△ODE旋转至如图2的位置时，求证：△OCD1≌△OAE1； （2）如图2，在△ODE旋转过程中，当点D1恰好落在线段CE上时，求AF的长； （5）如图3，在旋转α角从0°≤α≤60°逐渐增大△ODE旋转过程中，求点F的运动路线长． 27．（11分）如图，顶点为P（m，m）（m＞0）的二次函数图象与x轴交于点A（2m，0），点B在该图象上，直线OB交二次函数图象对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON． （1）求该二次函数的关系式（用含m的式子表示）； （2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OPMN时，请判断△NOB的形状，并说明理由． ②求证：∠BNM＝∠ONM． 28．（11分）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为 　 　 ． ②如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为 　 　 ． （2）迁移探究 如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明 ． （3）拓展应用 如图（4），在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G，当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（镇江专用） 数学·参考答案 一．填空题：本大题共12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在横线上 1．5或﹣7 2．x≠1且x≠0 3． 10 4．2（m﹣1）2 5．2 6． 7． ＞ 8．58 9． 15°或165° 10．m 11． 12．y（x﹣1）2+2 二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 13 14 15 16 17 18 答案 C D B D C D 三、解答题:本大题有10个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分） 解：（1）原式＝21+5 ＝1﹣1+5 ＝5； （2）原式• • ＝x（x﹣1） ＝x2﹣x． 20．（10分） 解：（1）解第一个不等式得：x＜2， 解第二个不等式得：x＞﹣1， 故原不等式组的解集为﹣1＜x＜2； （2）原方程去分母得：1+3x﹣6＝x﹣1， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， 则x＝2是分式方程的增根， 故原方程无解． 21．（6分） （1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（SAS）； （2）解：∵∠AMC＝80°，∠AMC+∠DMC＝180°， ∴∠DMC＝100°， ∵△BDN≌△CDM， ∴∠N＝∠DMC＝100°， 故答案为：100． 22．（6分） 解：（1）小球经过B2通道的概率是， 故答案为：； （2）不一样多， 根据题意，画出如右树状图， 共有4种情况，其中落入①号槽的有1种，落入②号槽的有2种，落入③号槽的有1种． ，，， 所以，落入中间②号槽中的小球最多，两侧①号、③号的小球较少． 23．（6分） 解：（1）由频率分布直方图知b＝6， ∵被调查的总人数为4÷0.08＝50， ∴a＝50﹣（4+16+6+16）＝8， 则c＝8÷50＝0.16， 故答案为：8、6、0.16； （2）补全频数分布直方图如下： （3）该基地冬训方案科学． 理由：由题意知70分以上的人数为16+6+16＝38（人）． ∵冬训效果显著的人数占总人数的百分比为， ∴该基地冬训方案科学． 24．（6分） 解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧． ∴P1E⊥CD， 又∵∠AOD＝30°，r＝1cm， 在△OEP1中OP1＝2cm， 又∵OP＝6cm， ∴P1P＝4cm， ∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）， ∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒， 当点P在点O的右侧时，同法可得t＝8秒， 综上所述，4秒或8秒钟后⊙P与直线CD相切． 25．（6分） 解：（1）∵反比例函数y＝n/x的图象经过A（﹣2，﹣4），B（4，m）， ∴n＝﹣2×（﹣4）＝4m， ∴m＝2， ∴点B（4，2）， ∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣4），B（4，2）， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为：y＝x﹣2； （2）依题意得：点A，C关于原点对称， ∵点A（﹣2，﹣4）， ∴点C的坐标为（2，4）， 对于y＝x﹣2，当y＝0时，x＝2， 设一次函数y＝x+2与x轴的交点D，则点D（2，0）， 连接CD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于E，过点B作BF⊥CD于F，如图所示： ∵点C（2，4），点D（2，0）， ∴CD⊥x轴， ∴OD＝2，CD＝4， ∴AE＝2﹣（﹣2）＝4，BF＝4﹣2＝2， ∴S△ACDCD•AE4×4＝8，S△BCD4×2＝4， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝8+4＝12． 26．（8分） （1）证明：∵点A（2，0），点C（0，2）， ∴OA＝OC＝2， ∵点D，点E分别为OA，OC的中点， ∴ODOC＝1，OEOA＝1， ∴OD＝OE， ∵ODE绕原点O顺时针旋转α角（0°≤α≤90°）得△OD1E1， ∴OD1＝OD，OE1＝OE，∠D1OE1＝∠ODE＝90°， ∴OD1＝OE1，∠COD1＝∠AOE1， ∴△OCD1≌△OAE1（SAS）； （2）解：由（1）得， △OCD1≌△OAE1， ∴∠OCD1＝∠OAE1 ∵∠CEO＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠COA＝90°， ∴△COE∽△AFE， ∴， ∴OE＝AEOA＝1，CE， ∴， ∴AF； （3）解：如图， 连接AC，取AC的中点I， 由（2）知， ∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的圆上运动， 当α＝60°时，连接OI，OF，作DG⊥OC于G， ∴OGOD，DGOD， ∴CG＝OC﹣OG＝2， ∴tan∠OCF， ∴∠OCF＝30°， ∴∠OIF＝60°， ∴OIOC， ∴l， ∴点F的运动路线长为：． 27．（11分） 解：（1）∵抛物线过点O（0，0）、A（2m，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣0）（x﹣2m）， ∵抛物线顶点为P（m，m）， ∴将点P坐标代入得：a， ∴抛物线的解析式为yx（x﹣2m）； （2）∵P（m，m），对称轴直线l⊥x轴， ∴OC＝CP＝m， ∴△OPC是等腰直角三角形， ∴OPOCm，∠OPC＝45°， ∵OPMN， ∴MN＝2OP＝2m， ∵M、N关于点P对称， ∴MP＝NPMNm＝OP， ∴点O、M、N三点都在以点P为圆心、OP为半径的圆上，如图 ∴∠MON＝90°， ∵OC＝CAm，∠OCN＝∠CAN＝90°，CN＝CN， ∴△OCN≌△CAN， ∴∠ONC＝∠ANC， ∵∠ONC∠OPC＝22.5°， ∴∠ONB＝2∠OPC＝45°， ∴△NOB是等腰直角三角形； ②设PM＝PN＝d， ∵点P坐标为（m，m）， ∴M的坐标为（m，m﹣d）， ∴直线OM的解析式为y， 联立抛物线解析式得：x1＝0，x2＝m+d， ∴点B坐标为（m+d，）， 同理点N（m，m+d）可得直线AN的解析式为y， 令x＝m+d代入直线AN解析式得y， ∴点B在AN上，即点A、B、N三点共线， 由（2）得△OCN≌△CAN， ∴∠ONM＝∠CAN＝∠BNM． 28．（11分） （1）解：①如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，则EP⊥QH， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝CD＝HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF≌△HQG（ASA）， ∴GH＝EF＝5； 故答案为：5； ②如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，则EP⊥QH， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝2CD＝2HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF∽△HQG， ∴， ∴； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F， ∵∠F+∠FAC＝90°＝∠ADB+∠FAC， ∴∠F＝∠ADB． 又∵∠BAD＝∠ACF＝90°，BA＝AC， ∴△ABD≌△CAF（AAS）， ∴AD＝CF， ∴AB∥CF， ∴△ABE∽△FCE， ∴， 又∵CF＝AD， ∴． （3）或3． ∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝6， 当时，如图，点G在CD上， ∴BF， ∵∠ABF＝∠DAG，∠BAF＝∠ADG＝90°， ∴△BAF∽△ADG， ∴， ∴； 当时，如图，点G在BC上， ∴BF， ∵∠BAF＝∠GBA＝90°，∠ABF＝∠BGA， ∴△BAF∽△GBA， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（镇江专用） 考情速递 中考·新动向：命题趋势变化：镇江市中考数学命题愈发侧重对学生数学思维与实际运用能力的考查。在代数领域，函数相关命题不再局限于常规运算，开始向函数性质在实际场景中的应用拓展，像用二次函数解决利润最大化等商业问题，要求学生具备函数建模思维。几何方面，对空间想象和逻辑推理要求提升，例如通过立体图形的展开与折叠，考查学生对图形关系的理解和转换能力（第27题）。 中考·新考法：镇江市中考数学开始探索对非常规考点的创新考查。例如将概率与算法初步相结合，让学生根据随机事件设计算法流程；或者把数据分析与数学文化相融合，通过解读古代数学文献中的数据，进行统计分析，拓宽学生数学视野的同时，考查综合运用能力（第22题）。 命题·大预测：针对新动向和新考法，加强思维训练（第28题）。多做综合性练习题，特别是涉及知识融合、新情境的题目，锻炼分析问题和解决问题的能力。定期进行模拟考试，适应考试节奏和题型变化，提升解题速度和准确率。 留意生活中的数学元素以及社会热点中的数学问题（第13题），像学生上下学时间、学生课外阅读量分析等（第8题，第17题）。尝试用所学数学知识去分析和解决这些实际问题，增强数学应用意识，提高在新情境下运用数学知识解题的能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．填空题：本大题共12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在横线上 1．若|x+1|＝6，则x＝　5或﹣7　 ． 【分析】根据绝对值的性质即可求解． 【解答】解：∵|x+1|＝6， ∴x+1＝6或x+1＝﹣6， 解得：x＝5或x＝﹣7， 故答案为：5或﹣7． 【点评】本题主要考查了有理数的绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 2．已知式子有意义，则x的取值范围是 　x≠0且x≠1　 ． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题意，得x﹣1≠0且x≠0， 解得x≠1且x≠0． 故答案为：x≠1且x≠0． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键． 3．数据8，8，9，10，10，10的众数是 　10　 ． 【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数，根据众数的概念即可得出答案． 【解答】解：数据8，8，9，10，10，10， 其中出现次数最多的是10，所以这组数据的众数是10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键． 4．因式分解2m2﹣4m+2＝　2（m﹣1）2　 ． 【分析】直接提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝2（m2﹣2m+1） ＝2（m﹣1）2． 故答案为：2（m﹣1）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 5．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为 　2　 ． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝4， ∵底边BC的长为8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝4， ∴底边BC的长为2； 综上所述：底边BC的长为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形三边的关系，分两种情况讨论是解题的关键． 6．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　　 cm． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝45°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝3cm，EA＝EC，求出∠DAE＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：∵∠BAC＝135°， ∴∠B+∠C＝45°， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， ∴DA＝DB＝3cm，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°， 由勾股定理得，AEcm， ∴ECcm， 故答案为：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7．已知直线y＝2x+1经过P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）两点，则y1　＞　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合3＞﹣2，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵直线y＝2x+1经过P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）两点，且3＞﹣2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 8．如图是某班今年1～8月学生课外阅读数量折线统计图，课外阅读数量的中位数是 　58　 本． 【分析】观察折线统计图，根据中位数的定义，将这组数据按从小到大的顺序排列为：28，36，42，58，58，70，78，83，分析可知位于中间位置的两个数分别为58、58，求出这两个数的平均数即可． 【解答】解：从小到大为：28，36，42，58，58，70，78，83， ， 故答案为：58． 【点评】此题考查了中位数，从折线统计图中获得信息及正确理解中位数：将数据排序（从大到小或从小到大）后，位置在最中间的数值是解题的关键． 9．如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为 　15°或165°　 ． 【分析】根据圆内接正方形，圆内接正六边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OG， ∵正方形AGDH是⊙O的内接正方形， ∴∠AOG90°， ∵正六边形ABCDEF是⊙O的正六边形， ∴∠AOB60°， ∴∠BOG＝90°﹣60°＝30°， ∴弦BG所对劣弧所对应圆周角的度数为∠BOG＝15°． 弦BG所对优弧所对应圆周角的度数为180°﹣15°＝165°． 故答案为：15°或165°． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握圆内接正方形，圆内接正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 10．已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有两个不相等的实根，则m的取值范围是　m　 ． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣m）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣m）＞0， 解得m． 故答案为m． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11．如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为 　　 ．（计算结果保留π） 【分析】根据平行四边形的性质，可以得到∠ADC的度数和AD的长，然后即可得到∠AOE的度数，然后即可计算出劣弧的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝70°，BC＝6， ∴∠D＝∠B＝70°，BC＝AD＝6， 连接OE， ∴∠AOE＝2∠D＝140°，OA＝OD＝3， ∴劣弧的长为：， 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算、平行四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确弧长计算公式l． 12．已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2，1），B（4，3），C（4，﹣1）三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y＝x﹣1上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 　y（x﹣1）2+2　 ． 【分析】先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出设平移后的抛物线为y（x﹣2+m）2+1﹣m，令x＝0，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得m，即可求得平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式． 【解答】解：∵A（2，1），B（4，3）在直线y＝x﹣1上， ∴A或B是抛物线的顶点， ∵B（4，3），C（4，﹣1）的横坐标相同， ∴抛物线不会同时经过B、C点， ∴抛物线过点A和C两点， 把A（2，1），C（4，﹣1）代入y＝ax2+bx﹣1得， 解得， ∴二次函数为yx2+2x﹣1（x﹣2）2+1， ∵顶点始终在直线y＝x﹣1上， ∴抛物线向左、向下平移的距离相同， ∴设平移后的抛物线为y（x﹣2+m）2+1﹣m， 令x＝0，则y（﹣2+m）2+1﹣m（m﹣1）2， ∴m＝1时，抛物线与y轴交点纵坐标有最大值为， ∴平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为y（x﹣1）2+2， 故答案为：y（x﹣1）2+2． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键． 二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到2月16日，累计票房已达115亿元，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次用科学记数法表示约为（　　） A．1.15×1010 B．115×108 C．2.3×108 D．2.3亿 【分析】先换算单位，再根据科学记数法表示即可． 【解答】解：115亿元＝1.15×1010元， 1.15×1010÷50＝0.023×1010＝2.3×108（人）， 故选：C． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 14．下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝2a5 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a4＝a8 D．（﹣a2）3＝﹣a6 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案． 【解答】解：A．a2与a3，不是同类项，无法合并计算，故此选项不合题意； B．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意； C．a2•a4＝a6，故此选项不符合题意； D．（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 15．下列调查中，适合用普查方式的是（　　） A．检测某城市空气质量 B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况 C．检测一批节能灯的使用寿命 D．检测某批次汽车的抗撞能力 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【解答】解：A．检测某城市空气质量，适合抽样调查，故不符合题意； B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况，适合普查，故符合题意； C．检测一批节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故不符合题意； D．检测某批次汽车的抗撞能力，适合抽样调查，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 16．如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　） A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m 【分析】过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，证△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，得，，解得BC＝1.2（m），DE＝2.4（m），即可解决问题． 【解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H， 则AB＝AD﹣BD＝4.8﹣2.4＝2.4（m），BG＝DH＝1.6m，BG∥AP∥DH， ∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP， ∴，， 即，， 解得：BC＝1.2，DE＝2.4， ∴DE﹣BC＝2.4﹣1.2＝1.2（m）， 即此时小明影子的长度缩短了1.2m， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及中心投影等知识；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键． 17．罗外部分同学骑自行车上下学，骑行安全成为安全教育常规，若骑行速度超过300米/分钟，就超越了安全限度．周六刘明骑自行车到学校踢球，当他骑了一段时间后，发现没带水，于是折回刚经过的小卖部，买完水后继续骑行到学校，如图是他本次骑行所用时间与离家距离关系示意图．下列判断不正确的是（　　） A．刘明家到学校的路程是1500米 B．刘明在小卖部停留了4分钟 C．刘明在三段骑行中，平均速度都低于骑行的安全限度值 D．刘明用了14分钟，骑行2700米到达学校 【分析】结合函数图象，利用速度＝路程÷时间，确定出不正确的选项即可． 【解答】解：根据题意得：刘明家到学校的路程是1500米，刘明在书店停留了12﹣8＝4（分钟）， 当0＜t＜6时，速度为200米/分； 当6≤t＜8时，速度为300米/分； 当8≤t＜12时，速度为0； 当12≤t＜14时，速度为450米/分，速度高于骑行的安全限度值； 刘明用了14分钟，骑行2700米到达学校， 故选：C． 【点评】此题考查了函数的图象，弄清函数图象上数据表示的意义是解本题的关键． 18．如图，已知直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于点E，F两点，若AB＝2EF，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB＝2，所以EFAB，且△DEF为等腰直角三角形，则FD＝DEEF＝1，设F点坐标为（t，t+2），则E点坐标为（t﹣1，t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t+2）＝（t﹣1）•（t+1），解得t，这样可确定点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m． 【解答】解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图， 由直线y＝x+2可知A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB＝2， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴AB＝2， ∴EFAB， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴FD＝DEEF＝1， 设F点横坐标为t，代入y＝x+2，则纵坐标是t+2，则F的坐标是：（t，t+2），E点坐标为（t﹣1，t+1）， ∴t（t+2）＝（t﹣1）•（t+1），解得t， ∴E点坐标为（，）， ∵双曲线过点E，F两点， ∴m． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 三、解答题:本大题有10个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分）（1）计算：2×sin30°﹣20240+|﹣5|； （2）化简：． 【分析】（1）把特殊角三角函数值代入，算零指数幂，去绝对值，再算加减； （2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可． 【解答】解：（1）原式＝21+5 ＝1﹣1+5 ＝5； （2）原式• • ＝x（x﹣1） ＝x2﹣x． 【点评】本题考查实数运算和分式混合运算，解题的关键是掌握相关运算的法则． 20．（10分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【分析】（1）解各不等式后即可求得不等式组的解集； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＜2， 解第二个不等式得：x＞﹣1， 故原不等式组的解集为﹣1＜x＜2； （2）原方程去分母得：1+3x﹣6＝x﹣1， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， 则x＝2是分式方程的增根， 故原方程无解． 【点评】本题考查解一元一次不等式组即分式方程，熟练掌握解不等式组及方程的方法是解题的关键． 21．（6分）已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN． （1）求证：△BDN≌△CDM； （2）若∠AMC＝80°，则∠N＝ 　100　 °． 【分析】（1）求出BD＝DC，根据SAS推出两三角形全等即可； （2）根据邻补角定义求出∠DMC＝100°，再根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（SAS）； （2）解：∵∠AMC＝80°，∠AMC+∠DMC＝180°， ∴∠DMC＝100°， ∵△BDN≌△CDM， ∴∠N＝∠DMC＝100°， 故答案为：100． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 22．（6分）如图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2、C1、C2、C3分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内． （1）小球经过B2通道的概率是 　　 ； （2）如果向A1放入大量同样的小球，三个小槽中，小球会一样多吗？用画树状图的方法进行说明． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）小球经过B2通道的概率是， 故答案为：； （2）不一样多， 根据题意，画出如右树状图， 共有4种情况，其中落入①号槽的有1种，落入②号槽的有2种，落入③号槽的有1种． ，，， 所以，落入中间②号槽中的小球最多，两侧①号、③号的小球较少． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（6分）为了解冬训效果，某足球运动基地对参训队员进行一次体质检测，已知本次检测满分为100分，测试成绩取整数，测试结束后将测试成绩制成尚不完整的频数分布表和频数分布直方图．从测试结果来看，每名队员的成绩均超过50分． 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 a c 70.5～80.5 16 0.32 80.5～90.5 b 90.5～100.5 16 0.32 合计 1.00 请解答下列问题： （1）a＝　8　 ，b＝　6　 ，c＝　0.16　 ． （2）补全频数分布直方图． （3）若成绩在70分以上为冬训效果显著，同时冬训效果显著的人数占总人数的70%以上，就表示该基地冬训方案科学，请根据上述数据分析该基地冬训方案是否科学，并说明理由． 【分析】（1）先结合直方图得出b的值，求出被调查的总人数，从而求得a的值，根据频率＝频数÷总数可得答案； （2）根据以上所求数据即可补全图形； （3）先求出心理健康状况良好的人数占总人数的百分比，再与70%进行比较即可． 【解答】解：（1）由频率分布直方图知b＝6， ∵被调查的总人数为4÷0.08＝50， ∴a＝50﹣（4+16+6+16）＝8， 则c＝8÷50＝0.16， 故答案为：8、6、0.16； （2）补全频数分布直方图如下： （3）该基地冬训方案科学． 理由：由题意知70分以上的人数为16+6+16＝38（人）． ∵冬训效果显著的人数占总人数的百分比为， ∴该基地冬训方案科学． 【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24．（6分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么多少秒钟后⊙P与直线CD相切？ 【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得． 【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧． ∴P1E⊥CD， 又∵∠AOD＝30°，r＝1cm， 在△OEP1中OP1＝2cm， 又∵OP＝6cm， ∴P1P＝4cm， ∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）， ∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒， 当点P在点O的右侧时，同法可得t＝8秒， 综上所述，4秒或8秒钟后⊙P与直线CD相切． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和含30°角的直角三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出P1O是解决问题的关键． 25．（6分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（n为常数且n≠0）的图象都经过A（﹣2，﹣4），B（4，m）两点． （1）求一次函数的表达式； （2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积． 【分析】（1）将点A（﹣2，﹣4），B（4，m）代入反比例函数y＝n/x之中，得m＝2，由此得点B（4，2），再将A（﹣2，﹣4），B（4，2）代入一次函数y＝kx+b之中求出k，b，进而可得一次函数的表达式； （2）依题意得：点A，C关于原点对称，则点C（2，4），设一次函数y＝x+2于x轴的交点D，则点D（2，0），连接CD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于E，过点B作BF⊥CD于F，由点C，D的坐标得CD⊥x轴，进而得OD＝2，CD＝4，AE＝4，BF＝2，据此可求出S△ACD＝8，S△BCD＝4，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD可得出答案． 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝n/x的图象经过A（﹣2，﹣4），B（4，m）， ∴n＝﹣2×（﹣4）＝4m， ∴m＝2， ∴点B（4，2）， ∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣4），B（4，2）， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为：y＝x﹣2； （2）依题意得：点A，C关于原点对称， ∵点A（﹣2，﹣4）， ∴点C的坐标为（2，4）， 对于y＝x﹣2，当y＝0时，x＝2， 设一次函数y＝x+2与x轴的交点D，则点D（2，0）， 连接CD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于E，过点B作BF⊥CD于F，如图所示： ∵点C（2，4），点D（2，0）， ∴CD⊥x轴， ∴OD＝2，CD＝4， ∴AE＝2﹣（﹣2）＝4，BF＝4﹣2＝2， ∴S△ACDCD•AE4×4＝8，S△BCD4×2＝4， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝8+4＝12． 【点评】此题主要一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解反比例函数的对称性是解决问题的关键． 26．（8分）如图1，在直角坐标系中，点A（2，0），点C（0，2），点D，点E分别为OA，OC的中点，△ODE绕原点O顺时针旋转α角（0°≤α≤60°）得△OD1E1，射线CD1，AE1相交于点F． （1）当△ODE旋转至如图2的位置时，求证：△OCD1≌△OAE1； （2）如图2，在△ODE旋转过程中，当点D1恰好落在线段CE上时，求AF的长； （5）如图3，在旋转α角从0°≤α≤60°逐渐增大△ODE旋转过程中，求点F的运动路线长． 【分析】（1）可推出OD1＝OE1，∠COD1＝∠AOE1，进而证得△OCD1≌△OAE1； （2）可证得△COE∽△AFE，从而，进而得出结果； （3）连接AC，取AC的中点I，点F在以AC为直径的圆上运动，当α＝60°时，连接OI，OF，作DG⊥OC于G，可求得∠OCF＝30°，从而∠OIF＝60°，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵点A（2，0），点C（0，2）， ∴OA＝OC＝2， ∵点D，点E分别为OA，OC的中点， ∴ODOC＝1，OEOA＝1， ∴OD＝OE， ∵ODE绕原点O顺时针旋转α角（0°≤α≤90°）得△OD1E1， ∴OD1＝OD，OE1＝OE，∠D1OE1＝∠ODE＝90°， ∴OD1＝OE1，∠COD1＝∠AOE1， ∴△OCD1≌△OAE1（SAS）； （2）解：由（1）得， △OCD1≌△OAE1， ∴∠OCD1＝∠OAE1 ∵∠CEO＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠COA＝90°， ∴△COE∽△AFE， ∴， ∴OE＝AEOA＝1，CE， ∴， ∴AF； （3）解：如图， 连接AC，取AC的中点I， 由（2）知， ∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的圆上运动， 当α＝60°时，连接OI，OF，作DG⊥OC于G， ∴OGOD，DGOD， ∴CG＝OC﹣OG＝2， ∴tan∠OCF， ∴∠OCF＝30°， ∴∠OIF＝60°， ∴OIOC， ∴l， ∴点F的运动路线长为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，圆周角定理推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 27．（11分）如图，顶点为P（m，m）（m＞0）的二次函数图象与x轴交于点A（2m，0），点B在该图象上，直线OB交二次函数图象对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON． （1）求该二次函数的关系式（用含m的式子表示）； （2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OPMN时，请判断△NOB的形状，并说明理由． ②求证：∠BNM＝∠ONM． 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点坐标，所以设出抛物线的交点式，将点O、A的坐标代入后，再将顶点P的坐标代入即可求得二次函数解析式； （2）①先根据点P的坐标判断△POC为等腰直角三角形，再根据OPMN可得点M、N、O都在以MN为直径的圆上，从而证明∠MON＝90°，再利用△OCN≌△ACN，证明∠ONC＝∠ANC，得到∠ONB＝45°，从而证出△NOB的形状； ②先设定PN＝PM＝d，再依次求出直线BO、AN的解析式，将点B的坐标代入后确定A、B、N三点共线，再利用△OCN≌△CAN得到结论． 【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0）、A（2m，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣0）（x﹣2m）， ∵抛物线顶点为P（m，m）， ∴将点P坐标代入得：a， ∴抛物线的解析式为yx（x﹣2m）； （2）∵P（m，m），对称轴直线l⊥x轴， ∴OC＝CP＝m， ∴△OPC是等腰直角三角形， ∴OPOCm，∠OPC＝45°， ∵OPMN， ∴MN＝2OP＝2m， ∵M、N关于点P对称， ∴MP＝NPMNm＝OP， ∴点O、M、N三点都在以点P为圆心、OP为半径的圆上，如图 ∴∠MON＝90°， ∵OC＝CAm，∠OCN＝∠CAN＝90°，CN＝CN， ∴△OCN≌△CAN， ∴∠ONC＝∠ANC， ∵∠ONC∠OPC＝22.5°， ∴∠ONB＝2∠OPC＝45°， ∴△NOB是等腰直角三角形； ②设PM＝PN＝d， ∵点P坐标为（m，m）， ∴M的坐标为（m，m﹣d）， ∴直线OM的解析式为y， 联立抛物线解析式得：x1＝0，x2＝m+d， ∴点B坐标为（m+d，）， 同理点N（m，m+d）可得直线AN的解析式为y， 令x＝m+d代入直线AN解析式得y， ∴点B在AN上，即点A、B、N三点共线， 由（2）得△OCN≌△CAN， ∴∠ONM＝∠CAN＝∠BNM． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，对称的性质，勾股定理逆定理，一元一次方程的解法，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．第（2）题设点B横坐标为b后，即把b当常数进行求直线解析式和点坐标的运算，较多字母的运算过程要抓清楚常量和变量． 28．（11分）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为 　5　 ． ②如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为 　4　 ． （2）迁移探究 如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明 ． （3）拓展应用 如图（4），在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G，当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长． 【分析】（1）①过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，则EP⊥QH，证得四边形EBCP，HCDQ是矩形，设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP，证明△EPF≌△HQG（ASA），即可解答； ②过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，则EP⊥QH，证得四边形EBCP，HCDQ是矩形，设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP，证明△EPF∽△HQG，列出比例式，即可解答； （2）过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，证明△ABD≌△CAF（AAS），△ABE∽△FCE，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到AE＝AB＝6，分情况讨论，当时，如图，点G在CD上，利用勾股定理求出BF，证明△BAF∽△ADG，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在BC上，利用勾股定理求出BF，证明△BAF∽△GBA，列出比例式求解即可解答． 【解答】（1）解：①如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，则EP⊥QH， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝CD＝HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF≌△HQG（ASA）， ∴GH＝EF＝5； 故答案为：5； ②如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，则EP⊥QH， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝2CD＝2HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF∽△HQG， ∴， ∴； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F， ∵∠F+∠FAC＝90°＝∠ADB+∠FAC， ∴∠F＝∠ADB． 又∵∠BAD＝∠ACF＝90°，BA＝AC， ∴△ABD≌△CAF（AAS）， ∴AD＝CF， ∴AB∥CF， ∴△ABE∽△FCE， ∴， 又∵CF＝AD， ∴． （3）或3． ∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝6， 当时，如图，点G在CD上， ∴BF， ∵∠ABF＝∠DAG，∠BAF＝∠ADG＝90°， ∴△BAF∽△ADG， ∴， ∴； 当时，如图，点G在BC上， ∴BF， ∵∠BAF＝∠GBA＝90°，∠ABF＝∠BGA， ∴△BAF∽△GBA， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$