精品解析：2025年江苏省南京市中考数学多校联考模拟试卷

2025年中考数学模拟检测试卷 （考试时间：120分钟；时间：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为，．这些气温中最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 3. 年月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款芯片，这标志着中国首款商用（）记忆计算芯片的问世．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点O在边上，经过点B，交于点D，连接，恰好是的切线．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ） A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 比较大小：_______．（选填“”“ ”或“”） 8. 要使得式子有意义，则a的取值范围是______． 9. 计算：______． 10. 若与互为相反数，则________． 11. 分式方程的解是_______． 12. 已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为度时，镜片焦距为，则 ______． 13. 如图，，，分别平分，，若，则的度数是______． 14. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________． 15. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，得到，解得，类比上述方法及思想则___________． 16. 已知，且，，那么________ 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：，并求出它所有整数解的和． 18. 计算：． 19. 已知是关于的正比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）若点是该函数图象上的一点，求a的值． 20. 一个四边形的模具如图1所示，其中，，，，，按规定这个模具中也应为直角，解答下列问题： （1）这个模具是否符合规定要求？请说明理由； （2）如图2，连接，求的长． 21 某校举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，准备从甲、乙、丙三位男生和A、B两位女生中选取一位男生和一位女生参加全区党史知识竞赛． （1）若随机选一位男生和一位女生，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果． （2）求恰好选中男生甲和女生A的概率． 22. 北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 收集数据】 甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89 乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 72和79 51.8 乙班 80 80 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共87人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 23. 某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点，，在同一平面内，操控者站在坡度是，坡面长的斜坡的底部处遥控无人机，坡顶处的无人机以的速度沿仰角的方向爬升，时到达空中的点处． （1）求此时无人机离点所在地面的高度； （2）此时，若在距离点处的点处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶的正上方？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，，） 24. 如图，的对角线交于点O，点E、F、G、H分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 25. 对于二次函数． （1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数最小值是，求m的值． （2）若二次函数图象经过点，，求当时，n的取值范围． 26. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 27. （1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______． （2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟检测试卷 （考试时间：120分钟；时间：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为，．这些气温中最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用，掌握负数小于正数、负数的绝对值越大、自身反而越小成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：由题意得：， 所以最低气温是． 故选：C． 2. 在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 【详解】解；A、，可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，不符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，符合题意； D、，可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：C． 3. 年月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款芯片，这标志着中国首款商用（）记忆计算芯片的问世．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定和的值是解题的关键． 根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定，即可求解． 详解】解：， 故选：C． 4. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解． 【详解】解： ∵、切于点A、C， ∴，， ∴正五边形的每个内角的度数为： ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键． 5. 如图，在中，，点O在边上，经过点B，交于点D，连接，恰好是的切线．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，证明是解题的关键． 先证明得到，根据勾股定理求得，代入比例式即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是的切线， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． 故选：C． 6. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ） A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 比较大小：_______．（选填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，解题关键是理解并掌握比较有理数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 8. 要使得式子有意义，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式分母不能为0，二次根式被开方数为非负数． 9 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案：． 10. 若与互为相反数，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及绝对值的非负性、算术平方根的非负性、非负式和为零的条件、解二元一次方程组及值等知识，熟练掌握非负式和为零的条件是解决问题的关键． 根据题意可知，再根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性，得到非负式和为零的条件是，解这个二元一次方程组得到，从而代入求解即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 即，解得， ∴． 故答案为：． 11. 分式方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先去分母，化分式方程为整式方程，直接求解即可． 【详解】解：， 去分母，原方程可化为， ∴， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 12. 已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为度时，镜片焦距为，则 ______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．由于近视镜度数y（度）与镜片焦距之间成反比例关系可设，由200度近视镜的镜片焦距是先求得k的值． 详解】解：由题意设， 由于点适合这个函数解析式，则， 故答案为：100． 13. 如图，，，分别平分，，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质．熟练掌握并能灵活运用判定与性质是解题的关键．利用两直线平行，内错角相等和角平分线定义进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作，过作， ∴， ∴，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， 即， 故答案为：． 14. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：如图， 设AC＝x，则BC＝AD＝2+x， ∵∠ADC＝30°， ∴ADAC， ∴2+xx， ∴x， ∴AC， 将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍， ∴图中阴影部分面积＝4AC2＝4＝ 故答案为． 【点睛】本题考查旋转角的定义以及直角三角形的性质，本题关键在于用AB表示出AC的长度 15. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，得到，解得，类比上述方法及思想则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法．设，等式两边平方得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：设， 两边平方得， 整理得， 解得，（舍去）， 则． 故答案为：3． 16. 已知，且，，那么________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据，，，可得，看成是方程变为的两个实数根，根据根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：，，， ，可以看成是方程变为的两个实数根， ，， ． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，0． 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组解集为． 所以整数解有、、 所有整数解的和为． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 已知是关于的正比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义与性质，待定系数法求解析式； （1）设正比例函数的解析式为：，将点代入解析式即可求解； （2）将代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设正比例函数的解析式为：， 将点代入解析式可得：， 解得：， 正比例函数的解析式为：， 【小问2详解】 把代入得： ， 解得：． 20. 一个四边形的模具如图1所示，其中，，，，，按规定这个模具中也应为直角，解答下列问题： （1）这个模具是否符合规定要求？请说明理由； （2）如图2，连接，求的长． 【答案】（1）符合规定要求，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解（2）的关键． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判断即可； （2）作交的延长线与点E，根据证明得，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合规定要求； 【小问2详解】 作交的延长线与点E ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21. 某校举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，准备从甲、乙、丙三位男生和A、B两位女生中选取一位男生和一位女生参加全区党史知识竞赛． （1）若随机选一位男生和一位女生，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果． （2）求恰好选中男生甲和女生A的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有的等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数，然后根据概率公式求出概率． （1）根据题意画出树状图即可得出所有等可能的结果数； （2）找出恰好选中男生甲和女生A的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数； 【小问2详解】 解：∵在6种等可能的结果数其中，恰好选中男生甲和女生A的结果数为1， 所以恰好选中男生甲和女生A的概率． 22. 北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89 乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 72和79 51.8 乙班 80 80 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共87人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 【答案】（1）79；80；26.4； （2）乙班的竞赛成绩更加整齐，理由见解析； （3）43人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，平均数和方差的定义进行求解即可； （2）根据方差越小成绩越整齐进行求解即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 将甲班成绩从低到高排列为：69，72，72，78，79，79，85，86，89，91， 处在第5名和第6名的成绩分别为79，79， ∴甲班的中位数， 乙班的平均数， 乙班的方差， 故答案为：79；80；26.4； 【小问2详解】 乙班的竞赛成绩更加整齐，理由如下： ∵甲班的方差为51.8，乙班的方差为26.4，， ∴乙班的竞赛成绩更加整齐； 【小问3详解】 （人）， ∴估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数为43人． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体，掌握相应的定义是解题的关键． 23. 某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点，，在同一平面内，操控者站在坡度是，坡面长的斜坡的底部处遥控无人机，坡顶处的无人机以的速度沿仰角的方向爬升，时到达空中的点处． （1）求此时无人机离点所在地面的高度； （2）此时，若在距离点处的点处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶的正上方？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2）不是，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定： （1）过点作于点，过点作于点过点作于点，则四边形是矩形，先解得到，进而求出，再解求出的长即可得到答案； （2）解直角三角形分别求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点过点作于点，则四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ， 在中，， ， 故此时无人机离点所在地面的高度是． 【小问2详解】 解：不是，理由如下： 在中，， ，由（1）知，， 在中，， ， ， 此时无人机不在此人头顶的正上方． 24. 如图，的对角线交于点O，点E、F、G、H分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，同理，，再由平行四边形的性质得，则，，即可得出结论； （2）连接，由平行四边形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，得，然后证，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵G，F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴，， 同理可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵G，H分别是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 25. 对于二次函数． （1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【答案】（1）①，见解析；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． （1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【小问1详解】 解：①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； 【小问2详解】 解：当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 26. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】解：（1）连接， 是的直径， ， ， 又， ， 又． ， 即， 是的切线； （2），， ， 在中， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， 又， 即， 解得（取正值）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 27. （1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______． （2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值． 【答案】（1）8；（2）最小值为米． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到．作点关于的对称点，连接，则，连接，则，即，根据勾股定理求得，即可解答． （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得米，即点在以点为圆心，半径为 500 米的圆上运动．作点关于的对称点，连接，则，因此有．连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点．通过解直角三角形在中，求得（米），（米），在中，（米），（米），（米），在中，（米），因此在矩形中，米，米，进而求得米，（米），在中，根据勾股定理求得米，即可解答． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，，， 作点关于的对称点，连接， 则， 连接，，， 则， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米， ， ，即， ，， ， ， ， 米， 点在以点为圆心，半径为米的圆上运动， 作点关于的对称点，连接，，则， ， ， 连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点， ，， ， 在中，米， 米， 点与关于对称， ， ，， 四边形，四边形，四边形都是矩形， 米， 在中，，又， ， ， 在中，米， 米， ， 米， ， ， ， 在中，米， 米， 在矩形中，米，米， 点与关于对称， 米， 米， 在中，米， ， 即的最小值为米． 【点睛】本题考查最短路径问题，相似三角形的判定及性质，轴对称的性质，矩形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等．掌握最短路径中的将军饮马问题，瓜豆原理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$