【消灭易错】02 填空题必刷100道-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

消灭易错02 填空题必刷100道 A组 中考真题 数与式 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）计算： ． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 3．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 4．（2023·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，的取值应满足 ． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ． 方程（组）与不等式（组） 6．（2024·浙江·中考真题）若，则 7．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是 ． 8．（2023·浙江嘉兴·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 9．（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人． 10．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 11．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 12．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是 cm． （2）若，则的值是 ． 13．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 14．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 一次函数、反比例函数、二次函数 15．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ． 16．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．    17．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    18．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    19．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 20．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    21．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    特殊三角形、全等三角形、相似三角形 22．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    23．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    24．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．    25．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    26．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 27．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．    （1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为 ． （2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ． 28．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    29．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．    平行四边形与特殊平行四边形 30．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是 ．    31．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 32．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 33．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    圆的综合 34．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    35．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 36．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．    37．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 38．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    39．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．      则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 餐盘的半径为， 40．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    41．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．    42．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．    统计与概率 43．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 44．（2023·浙江绍兴·中考真题）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ． 45．（2023·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 46．（2023·浙江金华·中考真题）下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 ． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 47．（2023·浙江·中考真题）青田县“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，现有一农户在块面积相等的稻田里养殖田鱼，产量分别是（单位：）：，，，，，则这块稻田的田鱼平均产量是 ． 48．（2023·浙江嘉兴·中考真题）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．    49．（2023·浙江温州·中考真题）某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，其中成绩在分及以上的学生有 人．    B组 中考模拟 数与式 1．（2025·浙江·模拟预测） ． 2．（2025·浙江嘉兴·一模）分解因式： ． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图为小明微信账单．收到微信红包3.71元显示“”，则扫码付款7.35元，在阴影处显示的是 ． 4．（2025·浙江·模拟预测）当 时，分式的值为0． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）比较大小 （填“”、“”或“”）． 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）若，那么代数式的值是 ． 7．（2025·浙江·模拟预测）已知，则的值为 ． 方程（组）与不等式（组） 8．（2025·浙江衢州·一模）不等式的解是 ． 9．（2025·浙江温州·一模）方程组的解为 ． 10．（2025·浙江·模拟预测）分式方程的解是 ． 11．（2025·浙江·一模）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，还剩两；若每人两，则差两，一共有 人分银子． 12．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 13．（2025·浙江宁波·一模）使得方程有实数根的最大的整数 ． 14．（2025·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 15．（2025·浙江·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 一次函数、反比例函数、二次函数 16．（2025·浙江·一模）已知二次函数，当时，函数值 ． 17．（2025·浙江嘉兴·一模）已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ． 18．（2025·浙江·一模）若二次函数的最大值不大于1，则的取值范围是 ． 19．（2025·浙江·一模）如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点、分别在、轴正半轴上，且平行轴，若的面积为2，则的值为 ． 20．（2025·浙江湖州·一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ． 21．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 22．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为 ． 23．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知一次函数 与反比例函数 交于点 ，， 为一次函数上一点，作等腰直角三角形 与 使得 在 轴正半上，延长交 于点 ，连接，若 ，为中点， ，则 ． 特殊三角形、全等三角形、相似三角形 24．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 25．（2025·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，．若，则的长为 ． 26．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为 ． 27．（2025·浙江舟山·一模）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在边上，．若，，，则的长为 ． 28．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，点是中点，点在上．连接，且平分的周长．若，则的长为 ． 29．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是 ． 30．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是 平行四边形与特殊平行四边形 31．（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则 ． 32．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ． 33．（2025·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 34．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ． 35．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形和四边形分别是边长为3和2的正方形，连结，，，则五边形的面积为 ． 36．（2025·浙江宁波·一模）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 37．（2025·浙江温州·一模）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ． 38．（2025·浙江衢州·一模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若． （1）比较线段大小： ．（填写“”“”“”） （2）的值等于 ． 圆的综合 39．（2025·浙江衢州·一模）如图，直线与相切于点C，点A在上，于点B．若，，则的半径为 ． 40．（2025·浙江温州·一模）如图，是半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆O于点D，连结，．若，则等于 度． 41．（2025·浙江·一模）如图，是的切线，为切点，是的直径，延长，交的延长线于点，连接．若，则的度数为 ． 42．（2025·浙江·模拟预测）如图，是的直径．点在上，是的切线，且为切点．已知，则 ． 43．（2025·浙江·一模）如图，直线与的相切于点，交于点，连结，．若，则的度数是 ． 44．（2025·浙江·模拟预测）如图，扇形的半径为，且，则它的面积为 ． 45．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ． 46．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为 ． 统计与概率 47．（2025·浙江·一模）已知50本新书中有2本缺页，从中任意抽取一本为缺页书的概率是 48．（2025·浙江·模拟预测）有12张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到12的一个自然数．从中任意抽出一张卡片，则这张卡片上的数既是3的倍数又是偶数的概率是 ． 49．（2025·浙江杭州·一模）某商场抽奖盒中放置了8张“满100减20”优惠券和5张“免单券”，顾客随机抽取一张，则抽中“免单券”的概率为 ． 50．（2025·浙江湖州·一模）一个布袋里装有7个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中随机摸出的一个球是黑球的概率为 ． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 消灭易错02 填空题必刷100道 A组 中考真题 数与式 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）计算： ． 【答案】2023 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解． 【详解】解：的相反数是2023， 故， 故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题的关键． 3．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2023·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，的取值应满足 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】解：要使分式有意义，的取值应满足，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零是解决问题的关键． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为， ∴这个多项式可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键． 方程（组）与不等式（组） 6．（2024·浙江·中考真题）若，则 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 7．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是 ． 【答案】/ 【知识点】求不等式组的解集 【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解不等式组： 解：由①得，； 由②得， 所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是解题关键． 8．（2023·浙江嘉兴·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 9．（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人． 【答案】3 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验． 【详解】设第一组有x人，则第二组有人，根据题意，得 去分母，得 解得， 经检验，是原方程的根． 故答案为：3 【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根． 10．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 11．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 12．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是 cm． （2）若，则的值是 ． 【答案】 4 3 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长； （2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）设， ∵， ∴可设，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∵四边形对角互补， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键． 13．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【答案】 6 / 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 14．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、公式法解一元二次方程 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是， 故答案为：． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为， ∴，，即 ∴（负值舍去） ∵，． 解得： ∵① ∴， ∴， ∴② 联立①②解得：（为负数舍去）或 ∴， 图2阴影部分的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 一次函数、反比例函数、二次函数 15．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】8 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，由，可求，则，由将绕点A旋转得到，可知为的中点，设，则，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，， ∴， ∵将绕点A旋转得到， ∴为的中点， 设，则， ∵均在函数图象上， ∴， 解得，， 故答案为：8． 16．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．    【答案】作图见解析， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据点A、B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示：    ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点A、B的坐标确定原点的位置是解题的关键． 17．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    【答案】5 【知识点】求一次函数解析式 【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答． 【详解】解：设过，则有： ，解得：，则； 同理：， 则分别计算，的最大值为值． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键． 18．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    【答案】或 【知识点】坐标与图形、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与y轴的交点坐标、矩形性质理解 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 19．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【答案】2 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 20．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    【答案】20 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 21．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    【答案】 12 9 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为14， ∴的面积是5，    设，， ∴，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则③， 把③代入②得：， ∴，即④， 把③代入①得：⑤， 把④代入⑤得：； 故答案为：12；9 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键． 特殊三角形、全等三角形、相似三角形 22．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 23．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定． 【详解】解：∵在与中，，， ∴添加，则； 或添加，则； 或添加，则； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 24．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．    【答案】/90度 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【详解】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明． 26．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 27．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．    （1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为 ． （2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】由题意可得：为等边三角形，四边形为平行四边形，，（1）分别求得四边形的周长与的周长，根据题意，求解即可；（2）分别求得四边形的面积与的面积，根据题意，求解即可． 【详解】解：等边三角形与等边三角形中，， ∴和为等边三角形，， ∴，四边形为平行四边形， 又∵等边三角形与等边三角形 ∴，，， ∴， （1）平行四边形的周长为：， 的周长为： 由题意可得： 即：； （2）过点作，过点作，如下图：    在中，，，， ∴ 则平行四边形的面积为 在中，，，， ∴ 则的面积为： 由题意可得： 化简可得： 故答案为：； 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并灵活利用等边三角形的性质求得对应线段的长度． 28．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、由平行截线求相关线段的长或比值、等腰三角形的定义 【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵以为直径的半圆O与相切于点D， ∴，， ∴ 设，则， 在中：，即：， 解得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵为等腰三角形， 当时，， 当时， ∵， ∴点与点重合， ∴，    不存在的情况； 综上：的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键． 29．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．    【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、求图形旋转后扫过的面积、解直角三角形的相关计算、面积问题(旋转综合题) 【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可． 【详解】解：如图1，过点G作于H，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∵是等腰直角三角形， ∴点在直线上， 连接，是旋转到的过程中任意位置， 则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积， ∵， ∴， ∴， 作于N，则， ∴， 过点B作交的延长线于M，则， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积， ， ， ， 故答案为：，．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键． 平行四边形与特殊平行四边形 30．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是 ．    【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， 连接， ①当点E在点A上方时，如图， ∵，， ∴， ②当点E在点A下方时，如图， ∵，， ∴， 故答案为：或．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 31．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 32．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 【答案】/ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求面积、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 33．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 圆的综合 34．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【答案】/40度 【知识点】切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 35．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】根据弧长公式即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为， ∴它的弧长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 36．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．    【答案】/80度 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 37．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 38．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键． 39．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    【答案】10 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用垂径定理求值、切线的性质定理 【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】由题意得：，， 如图，连接，过点作，交于点，交于点，   则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 餐盘的半径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 40．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    【答案】2 【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合 【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴是的内接正三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得，， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 41．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．    【答案】/ 【知识点】三线合一、与三角形中位线有关的求解问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求弧长 【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，，      ∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴弧的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键． 42．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．    【答案】 5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∵过左侧的三个端点作圆，， 又， ∴在上，连接，则为半径， ∵， 在中， ∴ 解得：； 连接，取的中点，连接，交于点，连接，，    ∵， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， 又， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， 设，则 在中， 即 整理得 即 解得：或 ∴题字区域的面积为 故答案为：；． 【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 统计与概率 43．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 【答案】/ 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 先找出4的整数倍的个数，再根据概率公式可得答案． 【详解】一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张， ∴从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是． 故答案为：． 44．（2023·浙江绍兴·中考真题）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】根据概率公式计算概率 【点睛】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可． 【详解】解：∵有4个红球和6个白球， ∴任意摸出一个球是红球的概率， 故答案为：． 45．（2023·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 【答案】9 【知识点】解分式方程、已知概率求数量 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 46．（2023·浙江金华·中考真题）下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 ． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：该生体重“标准”的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是本题的关键． 47．（2023·浙江·中考真题）青田县“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，现有一农户在块面积相等的稻田里养殖田鱼，产量分别是（单位：）：，，，，，则这块稻田的田鱼平均产量是 ． 【答案】 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】根据平均数的定义，即可求解． 【详解】解：这块稻田的田鱼平均产量是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的定义是解题的关键． 48．（2023·浙江嘉兴·中考真题）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．    【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】根据概率公式即可求解． 【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 49．（2023·浙江温州·中考真题）某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，其中成绩在分及以上的学生有 人．    【答案】 【知识点】频数分布直方图 【分析】根据频数直方图，直接可得结论． 【详解】解：依题意，其中成绩在分及以上的学生有人， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数直方图，从统计图获取信息是解题的关键． B组 中考模拟 数与式 1．（2025·浙江·模拟预测） ． 【答案】3 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可得． 【详解】解：， 故答案为：3． 2．（2025·浙江嘉兴·一模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图为小明微信账单．收到微信红包3.71元显示“”，则扫码付款7.35元，在阴影处显示的是 ． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的意义， 根据收到微信红包记作“”，可知扫码付款记作“”解答即可. 【详解】解：因为收到微信红包3.71，记作“”， 所以扫码付款7.35，记作“”. 故答案为：. 4．（2025·浙江·模拟预测）当 时，分式的值为0． 【答案】3 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为0的条件．熟练掌握分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可，是解答本题的关键．根据分式的值为0的条件解答即得． 【详解】解：∵的值为0， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）比较大小 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了无理数的大小比较，先得出，,再比较，2．即可作答． 【详解】解：∵，， ∴2． 故答案为：． 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）若，那么代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题主要考查了代数式求值，解此题的关键在于掌握整体代入的数学思想． 先将变形为：，将代数式进行变形，利用整体思想进行求解即可． 【详解】解： ∵ ∴． ． 故答案为：． 7．（2025·浙江·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得和的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴①， ∵， ∴②， 将①代入②得：， 解得， 故答案为：6． 方程（组）与不等式（组） 8．（2025·浙江衢州·一模）不等式的解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，先去分母再去括号移项合并，最后系数化为1，即可解不等式． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1，， 故答案为：． 9．（2025·浙江温州·一模）方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可得解． 【详解】解：， 由可得：， 解得：， 将代入①可得， 解得：， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 10．（2025·浙江·模拟预测）分式方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程得解， 故答案为：． 11．（2025·浙江·一模）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，还剩两；若每人两，则差两，一共有 人分银子． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程在生活中的实际应用，熟练掌握是解题的关键。 题目中分银子的人数和银子的总数不变，有两种分法，根据银子的总数相等建立等式，进行求解。 【详解】解：设有人分银子， 由题意得：，解得， 故答案为：． 12．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 【答案】5 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 将解代入原方程组即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：5． 13．（2025·浙江宁波·一模）使得方程有实数根的最大的整数 ． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式解的最值 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，不等式的特殊解．由方程有实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 14．（2025·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．熟练掌握根与系数的关系是关键． 【详解】解：根据根与系数的关系得：，， 所以， 故答案为：． 15．（2025·浙江·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：1． 一次函数、反比例函数、二次函数 16．（2025·浙江·一模）已知二次函数，当时，函数值 ． 【答案】0 【知识点】求自变量的值或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，把直接代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 故答案为：0 17．（2025·浙江嘉兴·一模）已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（2025·浙江·一模）若二次函数的最大值不大于1，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题关键．先将配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解，进而得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的最大值不大于1，， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（2025·浙江·一模）如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点、分别在、轴正半轴上，且平行轴，若的面积为2，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义是解决问题的关键． 连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵平行x轴， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为． 20．（2025·浙江湖州·一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ． 【答案】3 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了根据图形面积求反比例函数系数，设点A的坐标为∶，， 根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可得出，再根据三角形面积得出关于，即可得出k的值． 【详解】解：设点A的坐标为∶，， ∵轴， ∴点B的纵坐标为：， ∵点B在反比例函数， ∴， 解得：， ∴点， ∴， ∵点C在x轴上，轴， ∴边上的高为∶， ∵的面积是2， 即， 化简得：， 解得：， 故答案为：3． 21．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 22．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、正比例函数的性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】先根据点在直线上，得，结合折叠性质，得，，，再运用两点距离公式列式，得出，，则，同理设，结合，故，解得，同理得，把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】解：过点作轴，如图所示： ∵点在直线上，过点作轴， ∴设点， ∵， ∴， ∵，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为， ∴，， 则， ∴， 解得， ∴，； ∴， ∵是直线上一点， ∴设， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正比例函数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知一次函数 与反比例函数 交于点 ，， 为一次函数上一点，作等腰直角三角形 与 使得 在 轴正半上，延长交 于点 ，连接，若 ，为中点， ，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作轴于点，过点作，交延长线于点，证明，则有，，从而可得点的横坐标与点的横坐标相同为，再根据 ，轴及等腰三角形的性质可得出，点的纵坐标为，则点，，再求出点，设解析式为，从而有解析式为，联立，求出点即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∵ 与 是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标与点的横坐标相同为， ∵ ，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∵，， ∴， 当时，， ∴，点的纵坐标为， ∴点，， ∵为中点， ∴点， 设解析式为， ∴，解得， ∴解析式为， 联立：，解得， ∴点， ∵反比例函数 图象过点 ， ∴， 故答案为：． 特殊三角形、全等三角形、相似三角形 24．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、利用菱形的性质求线段长、求角的余弦值 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题． 如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴、、共线， 在中， ． 故答案为：． 25．（2025·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理等知识，证明四点共圆是解答的关键．证明点A、C、B、D四点共圆得到，，利用勾股定理求得，利用等腰直角三角形的性质求得，过A作于H，证明是等腰直角三角形得到，进而利用勾股定理求得，即可求解． ∴ 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴点A、C、B、D四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过A作于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质等知识，先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据三角形中位线的判定以及性质即可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：∵，点E是的中点， ∴， ∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 27．（2025·浙江舟山·一模）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在边上，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，根据角平分线的特点，在上截取，连结，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出的长． 【详解】解：如图，在上取一点F，使，连接， 平分， ， ， ， ，，， ， ， 即， ，即， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 28．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，点是中点，点在上．连接，且平分的周长．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】如图所示，过点D作于点F，证明是的中位线，可得，结合平分的周长且，证明，可得，而，可得，进一步可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵平分的周长且， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，平行线分线段成比例的含义，线段的和差运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 29．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是 ． 【答案】且 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是注意临界状态的分析． 当恰好经过点C时，利用求解；当与相切时，此时与线段只有一个交点，由是的垂直平分线，得到；当恰好经过点A时，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当恰好经过点C时，符合题意，如图： 此时 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴； 当与相切时，此时与线段只有一个交点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； 当恰好经过点A时，符合题意，如图： 过点作于点E， ∴， ∴，， ∴， ∴与线段有两个交点，满足的条件是且， 故答案为：且． 30．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了三角形重心的性质，根据题意得出为的重心，连接并延长交于点，勾股定理求得，进而根据重心的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴是直角三角形， 依题意，为的重心 ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 平行四边形与特殊平行四边形 31．（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则 ． 【答案】104 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．先根据菱形的性质得到，，，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 32．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，由菱形的性质得，，由角三角形的特征得，设，由折叠得：，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，能构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， 设， 则，， 由折叠得：， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 33．（2025·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】根据题意可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，如图所示，过点作，可得是等腰三角形，四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形，则，，根据折叠，得到，在中由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 如图所示，过点作， ∴是等腰三角形， ∴四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠性质，勾股定理的运用，掌握矩形的折叠，勾股定理的运用是解题的关键． 34．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，过作于，交于，证明，求解，证明四点在同一个圆上，可得，证明，设，则，求解，，求解， ，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于，交于， ∵正方形， ∴四边形，四边形为矩形，， ，， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点在同一个圆上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∵，， 同理：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 35．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形和四边形分别是边长为3和2的正方形，连结，，，则五边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，作于点，交于点，设，利用勾股定理求得，由三角函数的定义，求得，，再由，利用三角函数的定义求得，根据五边形的面积为，据此计算即可求解． 【详解】解：作于点，作于点，交于点，设，如图， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的面积为 ， 故答案为：． 36．（2025·浙江宁波·一模）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，根据题意得出是解题的关键． 连接，，根据三角形的面积公式得出，根据，推出，当时，有最小值． 【详解】如图，连接，， ∵正方形的边长为1， 由勾股定理得： ∵和的边上的高， ， ， 当时，有最小值， 故答案为：． 37．（2025·浙江温州·一模）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了轴对称的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等角对等边，由对称的性质可得，，由平行四边形的性质可得，，推出，由等角对等边得出，设，则，，即可得出，证明，得出，设，则，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 38．（2025·浙江衢州·一模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若． （1）比较线段大小： ．（填写“”“”“”） （2）的值等于 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及对顶角相等得出，再结合等角的余角相等即可求解； （2）设，，则，，然后利用勾股定理即可得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵四边形是正方形， ∴， 设，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，余角的性质，等腰三角形的性质和判定以及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定以及勾股定理是解题的关键． 圆的综合 39．（2025·浙江衢州·一模）如图，直线与相切于点C，点A在上，于点B．若，，则的半径为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理 【分析】本题考查的是切线的性质和勾股定理、矩形的性质与判定，熟记圆的切线性质是解题的关键． 连接、，过点A作于点D，判断出四边形为矩形，即可得出，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点A作于点D， ∵直线与相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设的半径为x，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 40．（2025·浙江温州·一模）如图，是半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆O于点D，连结，．若，则等于 度． 【答案】130 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由切线的性质可得，求出，由等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质即可得解． 【详解】解：∵切半圆O于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（2025·浙江·一模）如图，是的切线，为切点，是的直径，延长，交的延长线于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【知识点】求一个角的余角、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查圆周角定理、切线性质、直角三角形两锐角互余，熟练应用圆的有关性质定理是解题关键． 连接，根据切线的性质得出，再根据角的和差及等边对等角得出，再根据圆周角定理得出，最后根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 42．（2025·浙江·模拟预测）如图，是的直径．点在上，是的切线，且为切点．已知，则 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，切线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据切线的性质得到，由此得到，根据是直径可得，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵点在上，是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，， 故答案为： ． 43．（2025·浙江·一模）如图，直线与的相切于点，交于点，连结，．若，则的度数是 ． 【答案】/64度 【知识点】切线的性质定理、等边对等角 【分析】本题主要考查了切线的性质； 根据切线的性质可得，求出，再利用三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵直线与的相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（2025·浙江·模拟预测）如图，扇形的半径为，且，则它的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查的是求解扇形的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵扇形的半径为，且， ∴扇形的面积为， 故答案为： 45．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，坐标与图形性质，垂径定理，连接，作的外接圆，圆心为P，连接，根据内心定义证明，可得，当A，I，P三点共线时，取得最小值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接， ∵点I为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 当A，I，P三点共线时，取得最小值， 此时． 故答案为：． 46．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】以为直径的半圆，得，得出直径是，再求，由垂径定理得，则点分别是的中点，利用三角形中位线定理，得到，再证明四边形是矩形，则，同理求出，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：连接交于一点，连接交于一点W，如图： ∵以为直径的半圆， ∴， ∴， ∴， ∵分别是和的中点，， ∴， ∴点分别是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 统计与概率 47．（2025·浙江·一模）已知50本新书中有2本缺页，从中任意抽取一本为缺页书的概率是 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的是概率的公式，用满足条件的个数除以总个数可得出概率的值．只要用缺页书的本数除以总的新书的本数即可得出抽取一本缺页书的概率． 【详解】解：∵50本新书中有2本缺页， ∴从中随机抽取一本，抽取一本为缺页书的概率是， 故答案为：． 48．（2025·浙江·模拟预测）有12张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到12的一个自然数．从中任意抽出一张卡片，则这张卡片上的数既是3的倍数又是偶数的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率的计算，理解题意，掌握概率公式是关键． 【详解】解：从1到12的自然数中，既是3的倍数又是偶数的6，12，共2种结果， ∴抽出一张卡片，则这张卡片上的数既是3的倍数又是偶数的概率是， 故答案为：． 49．（2025·浙江杭州·一模）某商场抽奖盒中放置了8张“满100减20”优惠券和5张“免单券”，顾客随机抽取一张，则抽中“免单券”的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，用“免单券”的数量除以奖券的总数量即可． 【详解】解：某商场抽奖盒中放置了8张“满100减20”优惠券和5张“免单券”，顾客随机抽取一张，则抽中“免单券”的概率为； 故答案为： 50．（2025·浙江湖州·一模）一个布袋里装有7个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中随机摸出的一个球是黑球的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，布袋里共有个球，其中黑球有2个， 则随机摸出的一个球是黑球的概率为， 故答案为：． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$