精品解析：云南省昆明市五华区云南民族大学附属中学2024-2025学年上学期期中诊断测试 九年级数学

2024—2025学年秋季学期期中诊断测试 初三年级数学试卷 （考试时间 120 分钟，满分100分） 命题人：陈立逆 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日-2024年8月11日在法国巴黎举行，中国代表队在第33届巴黎奥运会中取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线与x轴交于点，则该抛物线与x轴另一交点的坐标是 （ ） A. B. C. D. 5. 一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面内的半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（ ） A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 无法确定 7. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（ ） A. 20秒 B. 25秒 C. 30秒 D. 40秒 8. 如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 10. 将左边配成完全平方后，得方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为．若，，则的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 15. 对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，下列结论正确为（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 抛物线的对称轴是直线__________． 17. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 18. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 19. 古希腊的毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，他们试图用数学方法来解释世界，他们把一些正整数分别排成三角形、正方形…称为三角形数、正方形数…例如三角形数： 试写出第个三角形数与的关系式__________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1） （2）（配方法） 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根也都是整数，求m的值 22. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 23. 下面是某学习小组设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆外一点P． 求作：过点P且与相切的直线． 作法：如图，①连接，分别以O，P为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点；②作直线，与交于点Q，以Q为圆心，以长为半径作圆，交于A，B两点；③作直线，．则直线，是所求作的的切线． 根据该小组设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，按照上述作法补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，， ∵，， ∴是的垂直平分线，（ ）（填推理的依据） ∴Q为中点，， ∴为的直径， ∴，（ ）（填推理的依据） ∵A点在上， ∴是的切线．（ ）（填推理的依据） 24. 阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： （1）方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； （2）已知实数，满足，，且，求的值； （3）已知实数，满足，，且，求． 25. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． （1）求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x之间的函数解析式； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标． 27. 如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角． （1）若，则 ； （2）过点D作于E，判断之间的数量关系并证明； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年秋季学期期中诊断测试 初三年级数学试卷 （考试时间 120 分钟，满分100分） 命题人：陈立逆 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日-2024年8月11日在法国巴黎举行，中国代表队在第33届巴黎奥运会中取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B不选项符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：由关于的一元二次方程有实数根，可得： ，解得： 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 4. 抛物线与x轴交于点，则该抛物线与x轴另一交点的坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴交于点， ∴该抛物线与x轴另一交点的坐标是， 故选：B． 5. 一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，根据得，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 在平面内的半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（ ） A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点P到圆心的距离，点P在圆内，根据点与圆的位置关系直接作出判断． 【详解】∵的半径为，点到圆心O的距离为， 即点到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点在内， 故选：A． 7. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（ ） A. 20秒 B. 25秒 C. 30秒 D. 40秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握当飞机停止时，取得最大值．先将函数关系表达式化为，由飞机停止时，取得最大值，即可得到答案． 【详解】解： 当时，取得最大值，即此时飞机滑行停止 故选：A． 8. 如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键． 连接，由垂径定理得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵C是的中点， ∴， 在中，，， ， 由勾股定理可得，，则， 即的半径为 故选：B 9. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是． 故选C． 10. 将左边配成完全平方后，得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确进行配方，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法． 移项，配方（方程两边都加上4，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 11. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握基础知识是解题的关键． 由圆周角定理可求出，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数即可解题． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是圆内接四边形， ∴， 故选：A． 12. 已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 13. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为．若，，则的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内接圆及勾股定理，根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内接圆的性质． 【详解】解：设半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形． 又因为， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理易知：，， ， 在中，， ． 整理，得：， 解得（负值舍去）， 故答案为：B． 14. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，二次函数的增减性和对称性，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随的增大而减少， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：B． 15. 对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，下列结论正确为（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：A∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ，故A正确； B.由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点， ， ，故B错误； C.由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故C错误， D.对称轴为直线， ∴当和时的函数值相等，且都小于0， ，故D错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称轴为直线，代入数值求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴其对称轴为直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，掌握抛物线的对称轴为是解题的关键． 17. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 18. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米． 19. 古希腊的毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，他们试图用数学方法来解释世界，他们把一些正整数分别排成三角形、正方形…称为三角形数、正方形数…例如三角形数： 试写出第个三角形数与的关系式__________． 【答案】（且为整数） 【解析】 【分析】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．根据前几个三角形点的个数，可以得到第个式子的规律即可得出与的关系式，即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：（且为整数）． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1） （2）（配方法） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，进而根据直解开平方法解，即可求解． （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 或 ， 解得：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根也都是整数，求m的值 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴原方程有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用十字相乘法把原方程左边分解因式得到，则可解得，再根据m为正整数，方程的两个解都为整数进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵m为正整数，且关于x的一元二次方程的两个根也都是整数， ∴是整数， ∴． 22. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【答案】（1） （2） 解：不能，理由如下： 根据题意则有，即， ， 不能围成500平方米的矩形花园． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长； （2）根据题意可得方程，将其转化为一般形式，再利用根的判别式即可判断． 【小问1详解】 解：设矩形花园，则， 则有， 解得：或， 墙最长可利用28米， ， ， 的长为； 【小问2详解】 略 23. 下面是某学习小组设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆外一点P． 求作：过点P且与相切的直线． 作法：如图，①连接，分别以O，P为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点；②作直线，与交于点Q，以Q为圆心，以长为半径作圆，交于A，B两点；③作直线，．则直线，是所求作的的切线． 根据该小组设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，按照上述作法补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，， ∵，， ∴是的垂直平分线，（ ）（填推理的依据） ∴Q为中点，， ∴为的直径， ∴，（ ）（填推理的依据） ∵A点在上， ∴是的切线．（ ）（填推理的依据） 【答案】（1） 如图，，是所求作的的切线． （2） 证明：连接，，，，， ∵，， ∴是的垂直平分线，（与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∴Q为中点，， ∴为的直径， ∴，（直径所对的圆周角为直角） ∵A点在上， ∴是的切线．（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定等知识，熟练掌握切线的判定和基本作图步骤是解题的关键． （1）根据作图步骤补充完成作图即可； （2）连接，，，，，由，可得出是的垂直平分线，即可得出，由直径所对的圆周角为直角，又A点在上即可证明是的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： （1）方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； （2）已知实数，满足，，且，求的值； （3）已知实数，满足，，且，求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，学以致用． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）利用、满足的等式，可把、可看作方程的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到，，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则，可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，即，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ． 25. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． （1）求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x之间的函数解析式； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【答案】（1） （2）甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元 【解析】 【分析】本题考查二次函数、一次函数的实际应用： （1）根据函数图象分段求解，时为一次函数，利用待定系数法；时，； （2）分段求出W与x的函数关系式，利用二次函数、一次函数的性质求出最值，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 由图象经过点和可得：， 解得； ∴； 当时，； ∴； 【小问2详解】 解：①当时， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时，W取最小值42000元； ②当时，， ∴当时，W取最小值为（元）； ∵， ∴甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键. （1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程组即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次和二次函数解析式设出M点坐标和N的坐标，再表示出，然后根据解方程可得答案． 【小问1详解】 解：抛物线过点和， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 一次函数经过点和点， ， 解得， 一次函数解析式为， 轴， 设，，其中， 当M在N点的上方时，如图： ， 解得： ，（舍去）， ， 当M在N点下方时， ， 解得：，， ，， 综上，满足条件的点M的坐标有三个或或． 27. 如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角． （1）若，则 ； （2）过点D作于E，判断之间的数量关系并证明； （3）若，求的值． 【答案】（1）75 （2） 过点D作于点F， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）60 【解析】 【分析】（1）四边形是圆O的内接四边形，则，是四边形的一个外角得到，，则，由圆周角定理得到，即可得到答案； （2）过点D作于点F，先证明得到，再证明，则，进一步即可得到结论； （3）在中，，在中，，由得到，则，，即可得到结论． 【小问1详解】 ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵是四边形的一个外角， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵弧所对的圆周角分别为， ∴， ∵， ∴， 故答案为；75 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理及其推论，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $