精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高一4月月考 数 学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章8.1~8.4. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，，，则外接圆直径为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 2023年3月15日至19日，中国､伊朗､俄罗斯三国海军在阿曼湾举行“安全纽带—2023”海上联合军事演习.在某次巡航中，军舰B在海港A正南方向，军舰C在军舰B的正西方向，军舰D在军舰B，C之间，且海里，若在军舰C处测得海港A在东偏北45°的位置，在军舰D处测得海港A在东偏北75°的位置，则军舰B到海港A的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A B. 复数的共轭复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 10. 已知中，，若三角形有两解，则x不可能的取值是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 11. 正方体的棱长为2，用一个平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是（ ） A. 这两部分的表面积也相等 B. 截面可以是三角形 C. 截面可以是五边形 D. 截面可以是正六边形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则实数的值为________. 13. 如图，△O′A′B′是水平放置△OAB的直观图，则△AOB的面积是________． 14. 中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，. （1）若，求的值； （2）若与垂直，求实数. 16. 如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点. （1）求证:直线平面； （2）求证:点直线上. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角； （2）若，边上的中线，求边的长. 18. 如图，分别是矩形的边和的中点． （1）设，试用表示； （2）若是线段上的一动点，，求的最大值． 19. 如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为4，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设. （1）若点为的中点，试求的正弦值； （2）求面积的最大值及此时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高一4月月考 数 学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章8.1~8.4. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先用复数的乘法运算化简复数，然后求出复数所对应的点，即可得解. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 2. 在中，，，则外接圆的直径为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求三角形外接圆的直径即可. 【详解】由正弦定理，故外接圆的直径为4. 故选：B. 3. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 4. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式即可求解. 【详解】在上的投影向量的坐标为. 故选：C. 5. 已知在中，，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理得出，结合角的特征判断三角形形状. 【详解】因为，则，即， 所以，所以，所以为等腰三角形， 又，所以等边三角形. 故选：D. 6. 正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：C. 7. 如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线性运算可得，由三点共线可得系数和为1，即可求出. 【详解】由题可得， ， 三点共线，，. 故选：D. 8. 2023年3月15日至19日，中国､伊朗､俄罗斯三国海军在阿曼湾举行“安全纽带—2023”海上联合军事演习.在某次巡航中，军舰B在海港A的正南方向，军舰C在军舰B的正西方向，军舰D在军舰B，C之间，且海里，若在军舰C处测得海港A在东偏北45°的位置，在军舰D处测得海港A在东偏北75°的位置，则军舰B到海港A的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意用正弦定理解三角形，再结合两角和的正弦公式即可求得答案. 【详解】由题意知，，， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又因为， 所以， 即军舰B到海港A的距离为海里. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为 C. 若复数纯虚数，则 D. 若，为复数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数的概念、乘法运算及模长公式逐个判断即可. 【详解】因为，A正确； 复数，其共轭复数为，虚部为1，B不正确； 若，则，，C不正确； 设，，其中为实数，所以， ，D正确. 故选：BC. 10. 已知中，，若三角形有两解，则x不可能的取值是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解 【详解】解：因为中，，且三角形有两解， 所以， 由正弦定理得， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 故选：ACD 11. 正方体的棱长为2，用一个平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是（ ） A. 这两部分的表面积也相等 B. 截面可以是三角形 C. 截面可以是五边形 D. 截面可以是正六边形 【答案】AD 【解析】 【分析】平面一定过正方体的中心,正方体的对称性可逐项进行排除. 【详解】平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则平面一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积也相等，根据对称性，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形（如图）. 故选：AD. 【点睛】本题考查平面与平面相交的位置关系，考查截面图形的性质. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则实数的值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解. 【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数， 可得解得 所以实数的值为， 故答案： 13. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是________． 【答案】12 【解析】 分析】根据平面图形的斜二测画法，得出△OAB为直角三角形，求出两直角边，计算三角形的面积． 【详解】解：根据平面图形的斜二测画法知， 原△OAB为直角三角形，且两直角边分别为 OB＝4，OA＝3×2＝6， ∴△AOB的面积为S＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了三角形的斜二测画法与应用问题，是基础题． 14. 中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 分析】利用余弦定理结合已知条件可得不等式，继而解，即可得答案. 【详解】由题意得， 又，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以，即的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，. （1）若，求的值； （2）若与垂直，求实数. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量的模长公式列出方程求解的值. （2）先求出的坐标，再根据垂直向量数量积等于0列出方程求解的值. 【小问1详解】 因为，. 所以； 所以，即； 解得或. 【小问2详解】 因为； 又与垂直，； 所以，解得. 16. 如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点. （1）求证:直线平面； （2）求证:点在直线上. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】 利用公理1证得：点平面,点平面即可; 利用公理3证得：点、、都在平面与平面的交线上即可; 【详解】证明：∵平面，直线,平面 ∵平面，直线， ∴平面∴直线平面. 证明：∵直线，平面，∴平面. 由（1）知，平面，∴在平面与平面的交线上， 同理可知，也在平面与平面的交线上， ∴由公理3知,，，三点共线， ∴点在直线上. 【点睛】本题主要考查利用公理1和公理3证明线在面内和点共线问题;利用公理3证得点、、都在平面与平面的交线上是求解本题的关键; 属于中档题,常考题型. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角； （2）若，边上的中线，求边的长. 【答案】（1） （2），或，. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故，结合，从而求出； （2）根据及余弦定理得到，再由得到，结合余弦定理得到，，求出的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 即， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理知：， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故， 解得：，或，. 18. 如图，分别是矩形的边和的中点． （1）设，试用表示； （2）若是线段上的一动点，，求的最大值． 【答案】（1） （2）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由图形可得，，结合条件可得结论； （2）利用向量表示，利用数量积运算性质化简表达式求其最大值即可. 【小问1详解】 因为分别是矩形的边和的中点． 所以， 所以，又， 所以，又， 所以， 【小问2详解】 因为， 又， 所以， ， 所以， 所以， 又， 所以， 又， 所以时，取最大值，最大值为. 19. 如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为4，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设. （1）若点为的中点，试求的正弦值； （2）求面积的最大值及此时的值. 【答案】（1）； （2）面积的最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）（2），做，因，则可得，有，再借助三角恒等变换、三角函数性质求解得答案. 【小问1详解】 如图，做，因，，则 四边形为平行四边形，则，有. 当点为的中点，又，则 ，又 ，则 .解得： 【小问2详解】 因，则， 则， 则，其中. ，当且仅当 ，即时取等号. 故面积的最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $